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Des mesures pour des décisions

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Le suivi des process de production fait l'objet d'une littérature abondante. le SPC (MSP) est une technique qui a pénétré le monde des process "séries". Force est néanmoins de constater que la mesure, et les incertitudes associées, sont rarement considérées. Et pourtant ...

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Des mesures pour des décisions

  1. 1. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 1 Métrologie industrielle : comment enrichir vos décisions en exploitant les études visant la maîtrise des procédés ? Laurent Leblond – P.S.A Peugeot Citroën Christophe Dubois – Delta Mu Jean-Michel POU – Delta Mu Rencontres francophones sur la Qualité et la Mesure Angers – 28, 29 et 30 Avril 2015
  2. 2. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 2 Sommaire • Le contexte • Les objectifs • La problématique • L’approche choisie • Quelques premiers résultats • Suite des travaux • Vos questions
  3. 3. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 3 Le contexte Sous l’impulsion du WG1 du JCGM, la Métrologie semble s’orienter vers une approche bayésienne : • JCGM 106 (NF ISO/CEI Guide 98-4) • Révision du G.U.M
  4. 4. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 4 Le contexte 1. Les décisions industrielles reposent sur des mesures 2. Toutes les mesures sont fausses (mais certaines sont utiles !) 3. Comment l’incertitude impacte nos décisions : a) Risque « Client » ? b) Risque « Fournisseur » ?
  5. 5. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 5 Le contexte Le Guide 98-4 propose des solutions : • Lorsque toutes les entités d’un lot sont mesurées : Risque Global • Pour une entité en particulier d’un lot : Risque Spécifique
  6. 6. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 6 Le contexte Le Guide 98-4 ne propose pas de solution dans le cas des phénomènes d’intérêt (production industrielle ou autres contextes) connus uniquement à partir d’échantillons mesurés …
  7. 7. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 7 L’objectif Estimer un intervalle contenant : Le taux d’entités réellement « non conformes »
  8. 8. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 8 Les moyens Proposer une approche qui prenne en compte : • L’effet échantillonnage • Les propriétés des incertitudes de mesure (Part HO et LO) • La répétition des échantillonnages tout au long de l’observation du « Phénomène d’Intérêt »
  9. 9. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 9 Définition Phénomène d’Intérêt 𝑃ℎ𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡 On appelle ici « phénomène d’intérêt » tout ensemble « d’entités » possédant des propriétés que l’on cherche à connaitre, par exemple : • Une production de pièces industrielles; • « L’ambiance » climatique dans une enceinte; • La qualité d’une production agro-alimentaire; • …
  10. 10. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 10 La problématique Lors des mesures par échantillonnage, on obtient, pour chaque entité mesurée : 𝑣 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟é𝑒 = 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é𝑒 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒 Avec : 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é𝑒: UNE réalisation de la variable aléatoire « Phénomène d’intérêt » 𝑒 𝑀𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒 : UNE réalisation de la variable aléatoire « Incertitude de mesure » notée 𝑈
  11. 11. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 11 La problématique 𝑃ℎ𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡 est la variable aléatoire qui décrit la réalité du « phénomène d’intérêt ». Si 𝑃ℎ𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡peut être modélisé par une loi de probabilité, les paramètres de la modalisation sont indiqués de la façon suivante : 𝐿𝑜𝑖 𝑃ℎ 𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡 (𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒1, 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒2, … 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑛) Note : Sans paramètres associés, 𝐿𝑜𝑖 𝑃ℎ 𝐼𝑛𝑡é𝑟ê𝑡 est une loi empirique qui peut être décrite par son histogramme des fréquences
  12. 12. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 12 La problématique 𝑈 est une variable aléatoire permettant de décrire la distribution des erreurs de mesure. Dans le cas le plus fréquemment admis, 𝑈 suit une loi de distribution Normale, de paramètres : • Moyenne = 𝑏𝑖𝑎𝑖𝑠 • Variance 𝑢 𝑐 2 = 𝑢 𝐿𝑂 2 + 𝑢 𝐻𝑂 2 Elle sera notée : 𝑈 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠, 𝑢 𝑐 2
  13. 13. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 13 Approche envisagée
  14. 14. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 14 Dans un premier temps, nos travaux se limitent au cas gaussien, pour 𝐿𝑜𝑖 𝑃ℎ 𝐼𝑛𝑡è𝑟ê𝑡 et pour 𝑈. On considère donc : • 𝐿𝑜𝑖 𝑃ℎ 𝐼𝑛𝑡è𝑟ê𝑡 (𝜇, 𝜎2 ) suit une loi normale de moyenne 𝜇 et de variance 𝜎2 • 𝑈 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠, 𝑢 𝑐 2 suit une loi normale de moyenne 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 et de variance 𝑢 𝑐 2 Approche envisagée
  15. 15. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 15 Remarque : Lorsqu’on mesure 𝑛 entités dans un même contexte, le 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 et « une partie de 𝑢 𝑐 2 (la 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂)» restent constants entre les mesures. Propriété : La 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 des erreurs de mesure ne varie pas entre les mesures de chaque entité. Approche envisagée
  16. 16. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 16 Ainsi, pour chaque entité mesurée d’un échantillon, on obtient : 𝑣 𝑀𝑒𝑠1 = 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é 1 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠1 𝑣 𝑀𝑒𝑠2 = 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é 2 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠2 …. 𝑣 𝑀𝑒𝑠 𝑛 = 𝑣 𝐸𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑛 + 𝑒 𝑀𝑒𝑠 𝑛 Où 𝑛 représente le nombre d’entités dans l’échantillon. Approche envisagée
  17. 17. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 17 Avec : 𝑒 𝑀𝑒𝑠1 = 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂1 𝑒 𝑀𝑒𝑠2 = 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂2 …. 𝑒 𝑀𝑒𝑠 𝑛 = 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 + 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂 𝑛 Approche envisagée
  18. 18. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 18 Pour un échantillon donné, il est possible d’obtenir : • Une estimation de 𝜇 via la moyenne empirique 𝑥 des valeurs mesurées des échantillons; • Une estimation de 𝜎2 via la variance empirique 𝑠2 de l’échantillon; En tenant compte des propriétés de 𝑼 Les premiers résultats
  19. 19. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 19 Mais : 𝒙 est une estimation de 𝝁 + 𝑩𝒊𝒂𝒊𝒔 + 𝒑𝒂𝒓𝒕 𝑳𝑶. Pour être réaliste, il convient de déterminer l’intervalle de dispersion dans lequel se trouve 𝜇. La « largeur » de cet intervalle dépend : – Du nombre 𝑛 d’échantillons (Student) – Du 𝐵𝑖𝑎𝑠 et 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂des erreurs de mesure Les premiers résultats
  20. 20. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 20 Mais : 𝒔 𝟐 est une estimation de 𝝈 𝟐 + 𝒖 𝑯𝑶 𝟐 Pour être objectif, il convient de déterminer l’intervalle de dispersion dans lequel se trouve 𝜎2. La « largeur » de cet intervalle dépend : – Du nombre 𝑛 d’échantillons (Khi Deux) – De la part 𝐻𝑂 des erreurs de mesure Approche envisagée
  21. 21. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 21 Intervalle de dispersion de 𝝈 𝟐 La variance apparente (« phénomène d’intérêt » et « mesure » indépendants) est égale à : 𝜎𝐴𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 2 = 𝜎2 + 𝑢 𝐻𝑂 2 𝑠2 est une estimation de 𝜎𝐴𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 2 . Donc, une estimation de 𝜎2 est donnée par : 𝑠2 − 𝑠 𝐻𝑂 2 𝑠 𝐻𝑂 2 est une estimation de la 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂 de 𝑈 Approche envisagée
  22. 22. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 22 Intervalle de dispersion de 𝝈 𝟐 Avec : 𝑠2 est calculé à partir des 𝑛 données mesurées disponibles. 𝑛−1 𝜎2+ 𝑢 𝐻𝑂 2 𝑠2 se distribue suivant une loi du Khi Deux à 𝑛 − 1 degré de liberté. Dans le cas d’une évaluation de type A, 𝑠 𝐻𝑂 2 se distribue suivant une loi du Khi Deux. Approche envisagée
  23. 23. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 23 Intervalle de dispersion de 𝝈 𝟐 En utilisant la simulation de Monté Carlo pour réaliser cette décomposition de variances, on obtient un intervalle de dispersion des 𝑠2dans lequel se trouve 𝜎2. Approche envisagée
  24. 24. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 24 Intervalle de dispersion de 𝝁 𝑥 −𝜇 − 𝐵𝑖𝑎𝑖𝑠 − 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 𝑠2+ 𝑢 𝑃𝑎𝑟𝑡 𝐻𝑂 2 𝑛 d’un échantillon se distribue suivant une loi de Student à 𝑛 − 1 degrés de liberté. L’intervalle de confiance de 𝜇 est obtenu en tenant compte d’un intervalle d’incertitude de la 𝑝𝑎𝑟𝑡 𝐿𝑂 Approche envisagée
  25. 25. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 25 Connaissance du « phénomène d’intérêt » A ce stade, nous disposons : • De valeurs de 𝜇 possibles • De valeurs de 𝜎2 possibles Avec ces simulations (Couple 𝜇; 𝜎2 possibles), on peut déterminer des taux de non-conformité possibles. Approche envisagée
  26. 26. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 26 Paramètres théoriques Soit : Un coefficient de capabilité 6×𝜎 𝑃𝑟𝑜𝑑 2× 𝜎 𝐻𝑂 2 + 𝜎 𝐿𝑂 2 d’environ 7 Un taux de non conforme de 5% environ Quelques premiers résultats µ 𝜎 prod 10 1 mesure HO 0 0,3 mesure LO 0 0,3 Cible 10 borne inf 8 borne sup 12
  27. 27. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 27 Sensibilité au nombre 𝑛 de mesures Quelques premiers résultats Borne Max (95%) de l’intervalle de dispersion du taux de Non conforme 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Taux nc sup Pour n = 30 0 20 40 60 80 100 120 Taux nc sup Pour n = 1000 Pour n = 10 000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Taux nc sup
  28. 28. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 28 Sensibilité à la capabilité du processus de mesure (𝑛 = 1000) 0 20 40 60 80 100 120 Taux nc sup Pour C = 7 Pour C = 10 0 20 40 60 80 100 120 Taux nc sup Pour C = 4 0 20 40 60 80 100 120 Taux nc sup Quelques premiers résultats Borne Max (95%) de l’intervalle de dispersion du taux de Non conforme
  29. 29. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 29 Sensibilité à la part HO et LO (C = 4; 𝑛 = 1000) Pour 100%HO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0,95%1,34%1,73%2,11%2,50%2,89%3,28%3,67%4,06%4,45%4,84%5,23%5,62%6,01%6,39% Taux nc sup 0 20 40 60 80 100 120 Taux nc sup Pour 100%LO Quelques premiers résultats Borne Max (95%) de l’intervalle de dispersion du taux de Non conforme
  30. 30. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 30 • Ecrire les modèles analytiques pour retrouver (ou infirmer) les résultats obtenus; • Etendre l’approche aux phénomènes « non gaussiens », tant pour le « Phénomène d’intérêt » que pour « Incertitude »; • Augmenter le nombre n de résultats en « ajoutant » les résultats de chaque échantillonnage obtenus au cours du temps; • Intégrer la révision bayésienne des valeurs mesurées en tenant compte de l’a priori • Définir la qualité des estimateurs de l’incertitude de mesure (Biais, 𝑢 𝐻𝑂 2 , 𝑢 𝐿𝑂 2 ) Suite des travaux
  31. 31. Pour plus de modèles : Modèles Powerpoint PPT gratuits Page 31 Jean-Michel POU • Président Fondateur de la société Delta Mu • Président du cluster « Auvergne Efficience Industrielle » Mail : jmpou@deltamu.fr Vos questions

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