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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLE
SEPARABLE CON DERIVE 6.10
LIC. MAT. JORGE LUIS ROJAS PAZ
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado se denotan en
general como:
) = 0 ………….( α )
dy
F ( x, y,
dx
dy
despejando de esta ecuación la derivada , ( α ) adopta la forma siguiente:
dx
dy
=G(x, y)…………….. ( β )
dx
si después de este trabajo es aún posible escribir ( β ) en la forma
p( x)dx + q ( y )dy = 0
Entonces esta última ecuación recibe el nombre de Ecuación Diferencial Ordinaria de
Variable Separable cuya primitiva se obtiene mediante
∫ p( x)dx + ∫ q( y)dy = k
donde k ∈ R .
Ejercicio de Aplicación
Problema .- Resolver la ecuación diferencial ordinaria siguiente:
tgx.sen2 y.dx + cos 2 x.ctgy.dy = 0
Solución:
Observamos en primera instancia que estamos frente a una ecuación diferencial
ordinaria de variable separable. Luego acomodándola convenientemente obtenemos
tgx ctgy
2
dx + dy = 0 ..…. (1)
cos x sen 2 y
Integrando se tiene
tgx ctgy
∫ cos2 x dx + ∫ sen2 y dy = k
Como
tgx 1
∫ cos2 x dx = − cos2 x
ctgy 1
y ∫ sen 2
y
dy =
sen 2 y
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la primitiva de la ecuación (1) es dada por: − + = k ; k∈ R
cos x sen 2 y
2
también si aplicamos en forma conveniente identidades trigonométricas obtenemos la
primitiva en la forma
ctg 2 y = tg 2 x + k ; k ∈ R ⊗

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Podemos hacer uso del Software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuación
diferencial de variable separable usando la función
SEPARABLE _ GEN (m, n, x, y, c)
Explicaremos a continuación su uso en el problema anteriormente desarrollado, para
dy
ello despejamos de la ecuación (1) la derivada , obteniendo
dx
dy senx sen3 y
=−
dx cos3 x cos y
Entonces es claro que
senx
m( x) = − y
cos3 x
sen3 y
n( y ) =
cos y
En seguida sustituimos estos valores en la función: SEPARABLE _ GEN (m, n, x, y, c)
e ingresamos en la ventana Álgebra de derive como se indica a continuación
Fig. 01

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Finalmente haciendo clic en el botón = de derive, obtenemos la primitiva de la
ecuación (1)
Fig. 02
Es posible observar gracias a derive las curvas que representa la primitiva a medida que
el parámetro k asume valores en R para ello siga, teniendo la ventana anterior activada
el orden de tareas según la numeración especificada a continuación
1.- Pulse la tecla Author.
2.- Pulse Variable Value.
3.- En variable name ingrese k.
4.- En variable value ingrese por ejemplo 1
5.- luego presione OK
6.- finalmente =
Obtenemos así la ventana siguiente

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Procedemos a graficar la curva remarcada en la figura anterior con la sentencias
habituales de derive para 2D obteniendo de esta forma la grafica
Si se continúa con este proceso adoptando nuevos valores para el parámetro k
tendremos una familia de curvas como en la siguiente figura

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Se han tomado valores para k tales como: K=+/-1 k=+/-2 k=+/-1/4
BIBLIOGRAFÍA
Textos gerais
HOFFMAN,K;KUNZE.R.-...................................Álgebra Lineal .ed.Prentice Hall.1973.
SIMMONS.G;ROTA.G.C.-…...Ordinary Diffencial Equations. Gin and Company.1962.
GUZMÁN. M.-…………..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Teoría de Estabilidad y
Control. Editorial Alhambra.1975.
Texto de Aplicaciones
ESPINOZA. R.-…..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .ed.Servicios Gráficos JJ.2004.