Cap3 movimiento armonico simple

Movimiento Armónico
Simple
Serway, R.A. and J.W.
Jewett, Física para ciencias e
ingeniería. Séptima ed. Vol. I.
2008, México: CENGAGE
Learning. Cap. 15

Movimiento oscilatorio
 El movimiento oscilatorio es aquel en el que el
objeto retorna regularmente a una posición dada en
intervalos fijos de tiempo.
 Un tipo especial de movimiento ocurre en los
sistemas mecánicos cuando la fuerza que actúa
sobre el objeto es proporcional a la posición con
respecto a cierta posición de equilibrio del mismo
 Si la fuerza va dirigida siempre hacia la posición de
equilibrio, el movimiento se conoce como movimiento
armónico simple (MAS).

Movimiento Armónico Simple 2

Movimiento de un sistema
masa-resorte
 Un bloque de masa m esta
atado a un resorte, el
bloque puede moverse sin
fricción sobre una superficie
horizontal
 Cuando el resorte no esta
ni comprimido ni estirado, el
bloque esta en su posición
de equilibrio
 x=0


Ley de Hooke
 La ley de Hooke establece que: Fs = - kx
 Fs es una fuerza restauradora
 Está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio
 Está siempre dirigida en sentido contrario al
desplazamiento
 k es la constante del resorte
 x es el desplazamiento


Fuerza restauradora
 x>0
 Fs < 0


Fuerza restauradora
 El bloque está en su
posición de equilibrio
 x=0
 El resorte no esta ni
comprimido ni estirado
 La fuerza es 0


Fuerza restauradora
 x<0
 Fs > 0


Aceleración



Aceleración, cont.
 La aceleración es proporcional al desplazamiento
del bloque
 El sentido del vector aceleración es opuesto al del
desplazamiento con respecto a la posición de
equilibrio.
 Un objeto se mueve con MAS si su aceleración es
proporcional y en sentido contrario a su
desplazamiento con respecto a la posición de
equilibrio


Aceleración, final



Movimiento del bloque



MAS
Planteamiento matemático



MAS
Solución de la ecuación diferencial



MAS



MAS – Representación gráfica



MAS– Definiciones
 A es la amplitud del movimiento
 Esta es el máximo desplazamiento de la partícula
con respecto a la posición de equilibrio
 w frecuencia angular
 unidades rad/s
 f constante de fase o ángulo inicial
 (wt + f) es la fase
 x (t) es periódico y su valor se repite cada
vez que wt aumenta 2p radianes

Periodo



Frecuencia



Resumen de ecuaciones-
Periodo y frecuencia
 Poniendo la frecuencia angular en función de
la frecuencia y el periodo
2p
w  2p ƒ 
T
 El período y la frecuencia también pueden
expresarse como:
m 1 k
T  2p ƒ
k 2p m

Periodo y frecuencia, cont
 El periodo y la frecuencia dependen
únicamente de la masa de la partícula y de la
constante del resorte
 La frecuencia es mayor para resortes más
rígidos y disminuye con el incremento de la
masa


Ecuaciones de movimiento
para el MAS
x (t )  A cos (wt  f )
dx
v  w A sin(w t  f )
dt
d 2x
a  2  w 2 A cos(w t  f )
dt
 ATENCIÓN, el MAS no es un movimiento con
aceleración constante


Valores máximos de v y a
 Puesto que las funciones trigonométricas
oscilan entre ±1, es posible encontrar los
valores máximos de v y a

k
v max  wA  A
m
k
amax w A
2
A
m

Gráficos
 La velocidad está
desfasada 90o con
respecto al
desplazamiento, mientra
s que la aceleración
180o


MAS Ejemplo 1
 Condiciones iniciales
 x (0)= A
 v (0) = 0
 Significa que f = 0
 La aceleración alcanza
los valores  w2A en A
 Las velocidades
alcanzan los valores
 wA en x = 0


MAS Ejemplo 2
 Condiciones iniciales
 x (0)=0
 v (0) = vi
 En este caso f =  p/2
 El grafico esta corrido
un cuarto de ciclo a la
derecha en relación al
caso de x (0) = A


Péndulo simple
 El péndulo simple exhibe movimiento periódico
 El movimiento ocurre en el plano vertical y es
impulsado por la fuerza de gravedad
 Para ángulos menores a 10º realiza un MAS.


Péndulo Simple, 2



Péndulo Simple, 3



Simple Pendulum, 4
 Por lo tanto q puede expresarse como:
q = qmax cos (w t + f)
 La frecuencia angular será:
g
w
L
 El período es
2p L
T  2p
w g

Péndulo simple, Resumen
 El periodo y la frecuencia del péndulo simple
depende únicamente de la longitud de la
cuerda y de la aceleración de la gravedad.
 El periodo es independiente de la masa
 Todos los péndulos de igual longitud que se
encuentran en la misma localidad oscilan con
el mismo periodo.


Péndulo físico
 Si un objeto colgado oscila alrededor de un
eje fijo que no pasa por su centro de masas y
el objeto no puede ser aproximado a una
partícula, estamos en presencia de un
péndulo físico
 Este no puede ser tratado como un péndulo
simple


Péndulo físico, 2
 La fuerza gravitatoria
ejerce un torque
alrededor de un eje que
pasa por O
 La magnitud del torque
es
mgd sin q
 I es el momento de
inercia alrededor del
eje O


Péndulo físico, 3
 Segunda ley de Newton,
d 2q
mgd sinq  I 2
dt
 La fuerza restitutiva es la fuerza e gravedad
 Asumiendo ángulos pequeños:

d 2q  mgd 
  q  w 2q
dt 2  I 


Péndulo Físico,4
 Se obtiene la ecuación del MAS
 La frecuencia angular es
mgd
w
I
 El período es
2p I
T  2p
w mgd


Péndulo físco, 5



Energía de un oscilador en MAS



Energía de un oscilador en
MAS, cont
 La energía mecánica total
se conserva
 La energía mecánica total
es proporcional al cuadrado
de la amplitud
 La energía se está
transfiriendo continuamente
de energía potencial
almacenada en el resorte a
energía cinética del bloque.


Energía de un oscilador en
MAS, cont



Energía en el MAS, resumen


Importancia de los osciladores
armónicos simples
 Los osciladores armónicos
simples sirven de modelo
para un gran número de
sistemas físicos
 Ejemplo, las moléculas y los
sólidos
 Si los átomos en las
moléculas y los sólidos no
se mueven muy lejos de su
posición de
equilibrio, pueden ser
modelados por osciladores
armónicos.
 La energía potencial es
similar Movimiento Armónico Simple 41

Reducción de un potencial
complejo al de un oscilador


Problema resuelto
Una varilla de masa M y longitud L está articulada en el punto P, a una distancia d de su centro de masa,
como se muestra en la figura P3-9. Los extremos de la varilla están amarrados a resortes de constante de
fuerza k1 y k2, como se muestra y la varilla oscila en un plano vertical sobre una mesa sin fricción. Calcula
el periodo de oscilaciones pequeñas del sistema (ICM = ML2/12) si: a) d = 0, k1 = k2 = k, b) d = L/4, k1 = k y
k2 = 2k. Presenta tus resultados en términos de M, L y k.
k1

pivote
P
d
C

k2

P3-9
M 7ML
R: a) T  2p ; b) T  2p
6k 57kL  12Mg


1. Establecer la energía total para el sistema cuando esté ligeramente fuera de su posición
de equilibrio:
En general la energía total viene dada por:
Et  Ktras  Krot  U grav  Uelást (1)
Cuando un sólido se traslada todos sus puntos se desplazan exactamente lo mismo y
como esta condición no se cumple para la varilla en estudio entonces:
Ktras  0 (2)
Sin embargo, es evidente que la varilla se encuentra rotando alrededor de un eje
perpendicular a ella que pasa por el punto P y en consecuencia:
Krot  1 Iw 2
2 (3)
Con esto quedan determinados los términos de energía cinética. Analicemos ahora los
de energía potencial. Puesto que la varilla no gira sobre su centro de masas entonces
este cambiará su posición en el campo gravitatorio por lo que fuera del equilibrio el
sistema tendrá cierta energía potencial gravitatoria dada por:
U grav  U grav  Mgh (4)
Donde g es la aceleración de la gravedad y h es la altura con respecto a la posición de
equilibrio. Quedan por establecer los términos de energía potencial elástica, los cuales
se proponen en su forma habitual:
Uelást  1 k1s12  1 k2 s22
2 2 (5)
Donde s1 y s 2 son las deformaciones de los resortes.
Sustituyendo 2, 3, 4 y 5 en 1:
Et  1 Iw 2  Mgh  1 k1s12  1 k2 s2
2 2 2
2
(6)


2. Expresar la energía total en función de una sola variable.
La energía Total depende de ω, h, L1 y L2. En este caso se pondrán estas variables
en función del ángulo de giro del sistema (θ).
De la definición de velocidad angular:
dq
w (7)
dt
Para poner h en función de θ analicemos la circunferencia de radio d:

θ d

h
Analizando la figura se puede arribar a la conclusión de que:
h  d  d cosq  (8)
Para poner s1 y s2 se utiliza la proporción que involucra la longitud de la
circunferencia:
2p ( L 2  d ) s1

2p q (9)
s1  ( L 2  d )q
Siguiendo un procedimiento similar para el segundo resorte se obtiene:
s2  ( L 2  d )q (10)
Sustituyendo (7), (8), (9) y (10) en 6 se obtiene la energía en función de θ:
dq 
2
1 
Et  2 I    Mgd  d cosq   1 k1 ( L 2  d )2q 2  1 k2 ( L 2  d ) 2q 2
2 2 (11) 45
 dt 

3. Aplicar la condición de conservación de la energía.
dEt
0
dt
Derivando (11) e igualando a cero:
dq d 2q dq dq dq
0I  Mgd sin q   k1 ( L 2  d ) 2 q  k2 ( L 2  d ) 2q
dt dt 2 dt dt dt
Simplificando dq dt se obtiene:
d 2q
0  I 2  Mgd sin q   k1 ( L 2  d ) 2 q  k2 ( L 2  d ) 2 q (12)
dt
4. Aplicar la aproximación de oscilaciones pequeñas.
En este caso: sinq   q , sustituyendo en (12):
d 2q
0  I 2  Mgdq  k1 ( L 2  d ) 2 q  k2 ( L 2  d ) 2 q (12)
dt
5. Obtener la ecuación del M.A.S.
Despejando la aceleración angular en (12) y sacando factor común θ:
d 2q Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2
 q (13)
dt 2 I


6. Identificar ω2.
Comparando (21) con la ecuación del M.A.S.  = ω2θ:
Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2
w 
2

I
Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2
w
I
Para encontrar el período se utiliza:
2p
T
w
Sustituyendo la frecuencia angular:
I
T  2p
Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2
Utilizando ahora el teorema de los ejes paralelos para el momento de inercia de un cuerpo
que gira alrededor de un punto a la distancia d de su centro de masa:
12 ML  Md
1 2 2

T  2p
Mgd  k1 ( L 2  d ) 2  k2 ( L 2  d ) 2


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