Cap5 ondas longitudinales 1

Capítulo 5
Ondas longitudinales
Ondas sonoras

Introducción a las ondas sonoras
 Son ondas longitudinales
 Viajan a través de cualquier material
 Su velocidad de propagación depende de las
propiedades del medio
 La descripción matemática de las ondas
sonoras senoidales es similar a las de una
cuerda

Ondas longitudinales 2

Velocidad de las ondas sonoras
 Sea un gas compresible
en un pistón como se
muestra a la derecha
 El gas tiene una densidad
uniforme antes de mover
el pistón
 Cuando el pistón se
mueve rápidamente a la
derecha, El gas cerca de
él se comprime
 Región más oscura en el
esquema


Velocidad de las ondas sonoras, cont
 Cuando el pistón regresa a
la posición de equilibrio, la
compresión continúa
propagándose
 Esto corresponde a un
pulso longitudinal
propagándose con
velocidad v
 La velocidad del pistón
no es igual a la velocidad
de la onda


Para calcular la velocidad de propagación de las ondas sonoras se
analizará el movimiento de un elemento del medio de espesor dx y
sección transversal con área A sometido a una diferencia de presión.

P P P+dP P
• Pulso moviéndose a la derecha
con velocidad v.
•Sistema de referencia fijo al
pulso. El medio se mueve hacia la
x
izquierda.
• Arriba, tres secciones de igual
P+dP P masa.
• Puesto que la densidad es
mayor en el pulso, la velocidad
dentro del pulso es menor que
fuera de el.
dx • Al moverse el medio sobre el
v frente del pulso se desacelera.


P+dP P

dx
v


dV Adx Atdv
La velocidad y el
volumen del pulso x
están relacionados
dV Atdv A dv
v
según:
dV dv
V v
dP
v v2
dv
dP 2
Sustituyendo la velocidad por el
V v volumen, teniendo en cuenta la
dV definición de módulo volumétrico y
B v2 despejando la velocidad

B
v

Velocidad de las ondas
sonoras, General
 La velocidad de las ondas sonoras depende del
módulo volumétrico y de la densidad
 El modulo volumétrico puede ser expresado en
términos de la compresibilidad
 La velocidad de propagación de las ondas sonoras
tiene la forma general:

propiedad elástica
v
Propiedad inercial


Velocidad del sonido en un
líquido o un gas
 El módulo volumétrico del fluido es B
 La densidad del fluido es
 La velocidad del sonido en el medio es:

B
v


Velocidad del sonido en una
barra sólida
 El módulo de Young de material es Y
 La densidad del material es
 La velocidad del sonido en la barra es
Y
v


Ejemplos de velocidades del
sonido en medios

Gas Líquido (25°C) Sólidos
Hidrógeno 1286 Glicerol 1904 Pyrex 5640
(0°C) Agua de mar 1533 Hierro 5950
Helio (0°C) 972 Agua 1493 Aluminio 6420
Aire (20°C) 343 Mercurio 1450 Latón 4700
Aire (0°C) 331 Keroseno 1324 Cobre 5010
Oxígeno (0°C) 317 Metanol 1143 Oro 3240
Tetracloruro de 926 Plomo 1960
carbono Caucho 1600


Ondas sonoras periódicas
 Una onda sonora se
propaga por un tubo
lleno de gas
 La fuente de la onda es
un pistón oscilante
 La distancia entre dos
regiones comprimidas o
enrarecidas es la
longitud de onda.


Ondas sonoras periódicas,
cont
 Mientras las regiones viajan a través del
tubo, cualquier elemento diferencial el medio
se mueve con M.A.S. paralelo a la dirección
de propagación de la onda.
 La función de posición armónica es
s (x, t) = smax cos (kx – t + )
 smax es la separación máxima de la posición de
equilibrio
 Ella es también llamada la amplitud de
desplazamiento de la onda

presión
 La variación de la presión en el gas es
también periódica
P = Pmax sin (kx – t + )
 Pmax es la amplitud de presión
 Pmax = v smax (Serway Ejemplo 17.1)
 k es el número de onda
 es la frecuencia angular


final
 Una onda sonora
puede ser considerada
como una onda de
desplazamiento o de
presión
 La onda de presión
está desfasada en π/2
relativo a la onda de
desplazamiento
 La presión es máxima
cuando el desplazamiento
es mínimo, etc.


Energía de ondas periódicas
de sonido
 Considere un elemento
de aire de masa dm y
longitud dx
 El pistón transmite
energía al elemento de
aire en el tubo
 Esta energía se
propaga por la onda
sonora alejándose del
pistón

Energía, cont.



Potencia de ondas periódicas de
sonido
 La razón de transferencia de energía es la potencia
de la onda
dE 1 dx 2 1 2
P A s max Av s max
dt 2 dt 2
 Esta es la energía que transmite la onda en la unidad
de tiempo.


Intensidad de ondas periódicas de
sonido
 La intensidad, I, se define como la potencia por
unidad de area.
 Esta es la razón a la cual la energía trasportada por la
onda atraviesa la unidad de área, A, perpendicular a la
dirección de propagación de la onda.

P
I
A

Intensidad, cont



Intensidad de una fuente
puntual
 Una fuente puntual va a emitir sonido en
todas direcciones
 Esto resulta en una onda esférica
 La potencia será igualmente distribuida sobre
toda el área de la esfera


Intensidad de una fuente
puntual, cont
 I av av
A 4 r2
 Se trata de una
dependencia con el
inverso del cuadrado


Nivel Sonoro



Nivel sonoro, cont.
 I0 se conoce como intensidad de referencia
 Se toma igual al umbral auditivo
 I0 = 1.00 x 10-12 W/ m2
 I es la intensidad del sonido cuyo nivel se va a
determinar
 Las unidades de son los decibeles (dB)
 Umbral del dolor: I = 1.00 W/m2; = 120 dB
 Umbral auditivo: I0 = 1.00 x 10-12 W/ m2; =
0 dB

Nivel sonoro, ejemplo
 Cual es el nivel sonoro que corresponde a
una intensidad de 2.0 x 10-7 W/m2 ?
= 10 log (2.0 x 10-7 W/m2 / 1.0 x 10-12 W/m2)
= 10 log 2.0 x 105 = 53 dB
 Regla de oro: Doblar la intensidad del sonido
equivale a aproximadamente a 10 dB.


Niveles sonoros
Fuente de Sonido Β (dB)
Avión 150
Martillo neumático, Ametralladora 130
Sirena, concierto de Rock 120
Cortadora de césped 100
Embotellamiento 80
Aspiradora 70
Conversación normal 50
Zumbido de un mosquito 40
Susurro 30
Susurro de las hojas 10
Umbral auditivo 0

Se tienen dos sonidos de la misma frecuencia, siendo el
nivel de sonido del primero igual a 80 dB mientras que el
segundo posee una intensidad de 1x10-2W/m2. ¿Cuál de los
dos es más intenso?: a) el primero, b) son igual de
intensos, c) el segundo, d) no se puede saber


Una bocina emite ondas en todas direcciones. Por lo
tanto, al alejarse de la fuente: a) disminuye la
potencia de la bocina y aumenta la intensidad de
onda, b) aumenta la potencia de la bocina y
disminuye la intensidad de onda, c) la potencia de la
bocina se mantiene constante y disminuye la
intensidad de onda, d) ninguna de las anteriores


Un extremo de un tubo de aluminio es golpeado en forma
longitudinal en un extremo con un martillo. Un oyente en
el otro extremo del tubo escucha dos sonidos, uno que
proviene de la onda que ha viajado por el tubo y otro que
proviene de la onda que ha viajado por el aire. Si el
intervalo de tiempo en que el oyente escucha los dos
sonidos es de 120ms, calcula la longitud del tubo de
aluminio (la velocidad del sonido en el aire es 343m/s, y
para el aluminio el módulo de Young es YAl = 70 x 109
N/m2 y la densidad es Al = 2710 kg/m3).
R: 44.14m


El nivel de sonido de un martillo neumático es de 130
dB y el de una sirena es igual a 120 dB, ¿cuántas veces
más intenso es el sonido del martillo neumático que el
de la sirena?
R: 10 veces


El nivel de sonido promedio de una conversación
humana es de 65 dB. Si todas las personas hablan al
mismo tiempo a 65dB cada una, ¿cuántas se necesitan
para producir un nivel de sonido de 80 dB?
R: 32 (¡más o menos, el número de alumnos en un salón
de clase!)


Una bocina (supuesta como una fuente puntual) emite una
potencia P = 31.6 W de sonido. Un micrófono pequeño
con área de sección transversal A = 75.2 mm2 se localiza
a una distancia d = 194 m de la bocina. Calcula la
cantidad de energía que se transmite al micrófono en un
tiempo de 25 min.
R: 7.537 10-6 J


Sistema de referencia

Observador Fuente
Dirección positiva para las velocidades
del observador y la fuente

La velocidad del sonido con respecto al
medio se considera siempre positiva.


observador en movimiento

Observador Fuente
vL > 0
Observador Fuente
vL < 0

La velocidad relativa de las ondas y el observador es v+vL
v vL v vL v vL
fL fS
v fS v

Fuente y observador en
movimiento
v = cte, esta determinada por
las propiedades del medio.

v vS v vS
frente
fS fS fS
v vS
atras
fS

Frecuencia que percibe el observador detrás de la fuente:
v vL v vL v vL
fL fS
atras v vS f S v vS

Efecto Doppler, ejemplo en el
agua
• Una fuente puntual se
esta moviendo a la
derecha
• Los frentes de onda
están más cerca a la
derecha
• Los frentes de onda
están más lejos a la
izquierda


Estrategia de solución de
problemas
1. Establezca el sistema de coordenadas con la dirección
positiva del observador a la fuente y coloque el signo a
cada velocidad.
2. Utilice la notación adecuada para cada velocidad (S
fuente, L observador).
3. Determine las incógnitas
4. Utilice la ecuación del efecto Doppler.
5. Cuando la onda se refleje en una superficie
estacionaria o en movimiento, el análisis se debe
llevar a acabo en dos pasos.
6. Analice su respuesta. Si la fuente y el observador se
acercan: fL > fS, si se alejan: fL < fS.

Un tren viajando a 40 m/s pasa al lado de un andén donde se
encuentra parado un pasajero. El tren suena su silbato con una
frecuencia de 320 Hz. a) ¿Cuál es el cambio de frecuencia
escuchada por el pasajero mientras el tren pasa a su lado?, b)
¿Cuál es la longitud de onda observada por el pasajero cuando el
tren se acerca a él?, ¿y cuando el tren se aleja?
R: a) 75.6 Hz ; b) 0.947 m , 1.197 m


A fin de determinar la velocidad con que se acerca un automóvil por
la carretera, un agente de tránsito estacionado a un lado de ésta,
envía ondas sonoras hacia el automóvil con una frecuencia f = 148
kHz. a) Si la frecuencia de las ondas reflejadas que detecta el
agente es de 191.6 kHz, ¿cuál es la velocidad del automóvil ? b)
¿Cuál es la frecuencia escuchada por el agente cuando el auto lo
rebasa? (usa el valor de 343 m/s para la velocidad del sonido).
R: a) 44.0 m/s ; b) 114.3 kHz


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