3. สมบัติของลอการิทึม เมื่อ a, M, N เป็นจำนวนจริงบวก , a ≠ 1 และ x เป็นจำนวนจริง 1. log a MN = log a M + log a N 2. log a ( M/N) = log a M – log a N 3. log a M n = n log a M 4. log a a = 1 5. log a 1 = 0 6. 10 log M = M 7. log N M = log a M / log a N เมื่อ N ≠ 1 8. M log N = N log M 9. log a M = 1 / log M a; M ≠ 1 10. log b a = 1 / log a b 11. log a n M = 1 / n log a M 12. log a n a M = M / N
4. กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม จากสมการ y= log a x; x > 0; a > 0 และ a ≠ 1 จึงสามารถแบ่ง a ได้เป็น 2 ช่วง คือ a > 1 และ 0 < a < 1 เมื่อนำมาเขียนกราฟได้ดังนี้
5. ข้อสังเกตจากกราฟ 1. กราฟของฟังก์ชัน y = log a x; a > 0 และ a ≠ 1 จะผ่านจุด ( 1 , 0 ) เสมอ 2. ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = log a x เป็น ฟังก์ชันลด ถ้า a > 1 แล้ว y = log a x เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม 3. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R + ไปทั่วถึง R 4. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า log a x = log a y ก็ต่อเมื่อ x = y 5. เนื่องจาก y = log a x ก็ต่อเมื่อ a y = x เมื่อแทนค่า y ในสมการหลัง จะได้ 10 log x = x และเมื่อแทนค่า x ในสมการแรก จะได้ y = log a a y ดังนั้น 10 log x = x y = log a a y
8. จงใช้สมบัติของลอการิทึมเขียนพจน์ที่กำหนดให้ในรูปผลบวก , ผลต่าง หรือผลคูณของลอการิทึมอื่นๆ จนกว่าจะไม่สามารถใช้สมบัติใดได้อีก ( กำหนดให้ลอการิทึมในแต่ละข้อหาค่าได้ ) 1. Log a 2xy 3 / 5z = log a 2 xy 3 – log a 5z = log a 2 + log a x + log a y 3 – ( log a 5 + log a 2) = log a 2 + log a x + 3log a y – log a 5 – log a 2
9. 2. log 3 a (a 2 -8) / 2x+7 = log 3 a + log 3 (a 2 -8) – (log 3 2x + log 3 7) = log 3 a(a 2 -8) – log 3 2x+7 = log 3 a + log 3 ( a 2 -8) – ( log 3 2 + log 3 x + log 3 7) = log 3 a + log 3 ( a 2 -8) – log 3 2 – log 3 x – log 3 7
12. ลอการิทึมสามัญ Common logarithm ลอการิทึมสามัญ หมายถึง ลิการิทึมฐาน 10 จะเขียน log 10 N แทนด้วย log N ดังนั้น log N = log (N 0 x 10 n ) = log N 0 + log 10 n = log N 0 + n เรียก n ซึ่งเป็น การหาค่า log N ทำโดยเขียน N เป็น N 0 x 10 n โดยที่ 1 ≤ N 0 < 10, n ∈ I จำนวนเต็มว่า ค่าแคแรคเทอริสติก ( characteristic ) เรียก log N 0 ซึ่งมีค่าเป็นเลขทศนิยมที่ มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ว่า ค่าแมนทิสซา ( mantissa ) แอนติลอการิทึม เป็นวิธีการหาค่า N เมื่อโจทย์กำหนด log N ให้มีสมบัติ คือ 1. Antilog a = x เมื่อ log x = a 2. Antilog ( log a ) = a
16. ลอการิทึมธรรมชาติ ลอการิทึมธรรมชาติ คือ log ฐาน e เมื่อ e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ e มีค่าประมาณ 2.718 ; log e x จะเขียนแทนด้วย In x เช่น log e 3 เขียนแทนด้วย In 3 การหาค่าของ In x ทำได้โดยเปลี่ยนให้เป็นลอการิทึมสามัญ ดังนั้น In x = log e x = log x / log e = log x / 0.4343 สมบัติต่างๆ ของ In x ก็เช่นเดียวกับ log a M เช่น In xy = In x + In y เป็นต้น
18. สมการลอการิทึม หลักการทั่วไปในการแก้สมการ 1. สมการที่อยู่ในรูป log a x = c; x > 0, a > 0 และ a ≠ 1 ให้จัดอยู่ในรูป a c = x 2. สมการที่อยู่ในรูป log a x = log a b; x > 0, b > 0, a > 0, a ≠ 1 ให้ปลด log เป็น x = b 3. สมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ไม่สามารถทำฐานให้เท่ากันได้ ให้ใส่ log ทั้งสองข้างเพื่อหาค่า เช่น 2 x = 5 2x-1 เขียนเป็น log 2 x = log 5 2x-1 และใช้สมบัติของ log หาค่า x 4. ค่าตัวแปรที่ได้ต้องตรวจคำตอบ โดยค่าที่ได้จะเป็นคำตอบก็ต่อเมื่อแทนค่าของตัวแปรใน สมการทุกพจน์ต้องเป็นจริงตามนิยาม
19.
20. ถ้า x และ y สอดคล้องสมการ log k x . Log 5 k = 1 เมื่อ k > 1 และ 10 2y = 625 ตามลำดับแล้วข้อใดต่อไปนี้ผิด ก ) 5 < x + y < 7 ข ) 3 < x + y < 4 ค ) 0 < xy < 10 วิธีทำ จากโจทย์ log k x . log 5 x = 1 เมื่อ k > 1 log 5 x = 1 จะได้ x = 5 จากโจทย์ 10 2y = 625 2y = log 10 625 2y = log 10 5 4 2y = 4log 10 5 y = 2log 105 ง ) 0 < x < 1 -y 2
22. อสมการลอการิทึม หลักการทั่วไปในการแก้อสมการ การแก้อสมการลอการิทึม แก้โดยใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดมาช่วยแก้ปัญหา นั่นคือ เมื่อ x 1 > 0, x 2 > 0 1. ถ้า a > 1 แล้ว log a x 1 < log a x 2 ก็ต่อเมื่อ x 1 < x 2 2. ถ้า 0 < a < 1 แล้ว log a x 1 < log a x 2 ก็ต่อเมื่อ x 1 > x 2