1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
(Exponential Function and Logarithm Function)
ข้อกาหนด เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก
บทนิยาม
a
n
 a  a  a  ...  a ( n ตัว) เมื่อ a เป็นจานวนจริงใด ๆ
n เป็นจานวนเต็มบวก
เรียก a ว่า ฐาน (base)
เรียก n ว่า เลขชี้กาลัง ( exponent)
เรียก a n ว่า เลขยกกาลัง (power)
ทฤษฎีบท (Theorem)
ถ้า a , b เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็น 0 และ m , n เป็นจานวนเต็ม จะได้
(1) a m  a n  a m  n
(2) ( a m ) n  a mn
(3) ( ab )  a b n n n
n n
a a
(4)    n
 
b b
m
(5) a
n
 a
mn

1
nm
a a
0
(6) a  1
1
(7) a  n  n
; n เป็นจานวนเต็มบวก
a
0
0
ไม่นิยาม
ตัวอย่างที่ 2
1
(1) 103.10-4 = 103+(-4) = 10-1 =
10
4 5 4+5 9
(2) X X = X = X
(3) ถ้า X  0 แล้ว X.X-1 = X1+(-1) = X0 = 1

2. ตัวอย่างที่ 3
(1) ( 2 3 ) 2  2 32  2 6  64
2 3 (  2 )( 3 ) 6 1 1
(2) (3 ) 3 3  6

3 729
1
(3) ถ้า x  0 แล้ว ( x 1 ) 2  x (  1 )( 2 )  x  2  2
x
ตัวอย่างที่ 4
(1) ( 3 x ) 2  3 2  x 2  9 x 2
1 1 1
(2) ( 2 x 2 ) 2  2 2 ( x 2 ) 2  4 x ( 2 ) 2  4 x
(3) (1 .1  10  3 ) 2  (1 .1 ) 2  (10  3 ) 2  1 .21  10  6
ตัวอย่างที่ 5
2
x 2 x
(1) ถ้า y  0 แล้ว ( )  2
y y
2
(2)  1
 x2


1
2 ( 1 )2
(x 2 ) x 2 x
   2
 
 2  2 4 4
 
ตัวอย่างที่ 6
3
10  3 (  2 )  3 2 1 1
(1) 2
 10  10  10 
10 10
5
2 5 (  2 ) 5 2 7
(2) 2
2 2  2  128
2
5
x 5 3 2
(3) ถ้า x  0 แล้ว 3
x x
x

3. รากที่ n ในระบบจานวนจริง และจานวนจริงในรูปกรณฑ์
บทนิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และถ้า a, x เป็นจานวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ
สมการ xn = a แล้วเราเรียก x ว่าเป็นรากที่ n ของ a
ตัวอย่างที่ 1 (1) รากที่ 2 ของ 4 คือ 2 และ -2 เพราะว่า (2)2 = 4 และ (-2)2 = 4
(2) รากที่ 3 ของ -8 คือ -2 เพราะว่า (-2)3 = -8
(3) รากที่ 6 ของ 64 มีสองจานวนคือ 2 หรือ -2
(4) รากที่ 6 ของ -64 ที่เป็นจานวนจริงไม่มีเลย
(5) รากที่ 3 ของ 64 มีจานวนเดียวคือ 4
(6) รากที่ 3 ของ -64 มีจานวนเดียวคือ -4
ข้อสังเกต
(1) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคู่แล้ว จานวนบวกแต่ละจานวนจะมีรากที่ n เป็น
จานวนจริงสองจานวน รากหนึ่งจะเป็นจานวนบวก และอีกรากหนึ่งเป็น
จานวนลบ
(2) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคู่ แล้วจานวนลบแต่ละจานวนจะไม่มีรากที่ n ที่เป็น
จานวนจริง
(3) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคี่ แล้ว จานวนจริงแต่ละจานวนจะมีรากที่ n เป็นจานวน
จริงเพียงจานวนเดียว รากที่ n ของจานวนบวกเป็นจานวนบวกและรากที่ n
ของจานวนลบก็เป็นจานวนลบ
บทนิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และ a เป็นจานวนจริง ( ยกเว้นกรณีที่ n เป็น
จานวนคู่ และ a เป็นจานวนลบ ) แล้วเรากาหนดความหมายของ n a ดังนี้
1
n
a = a n
สัญลักษณ์ที่เกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริง
(ก) เครื่องหมาย n เรียกว่า เครื่องหมาย กรณฑ์ ( Radical) และเรียก n ว่าเป็นอันดับ
ของกรณฑ์ ( อันดับของ กรณฑ์)
(ข) n a อ่านว่า กรณฑ์อันดับที่ n ของ a หรือรากที่ n ของ a
(ค) 2 a นิยมเขียนแทนด้วย a

4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริง
ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง และ m ; n เป็นจานวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 โดยที่ n a
และ n b หาค่าได้แล้ว
1.  n a 
n
=a
2. n ab = n a n b
a n a
3. n = ; b0
b nb
n n  a ; nเปนจำนวน คู่
็
4. a = 
 a ; nเปนจำนวน คี่
็
5. m n a = mn a
n m
6. kn
a
km
= a ; k เป็นจานวนเต็มบวก
m
 1
 m
7. n
a
m
= a

n 

= a n
 
8. n 0 = 0
9. n 1 = 1
การบวกและการลบของจานวนที่ติดกรณฑ์
ข้อตกลง
จะนาจานวนที่ติดกรณฑ์ มาบวกหรือลบกันได้ต่อเมื่อจานวนนั้น ๆ ต้องมีคุณสมบัติครบ 2
ประการ คือ
1. อันดับของกรณฑ์ต้องเท่ากัน
2. จานวนที่อยู่ภายใต้กรณฑ์ต้องเท่ากัน
และเวลาบวกหรือลบกันให้นา " สัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาบวกหรือลบ " เท่านั้น
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ 5 3  3 3  2 3
แนวคิด นาสัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาบวก ลบ กัน
5 3  3 3  2 3 = 5 3 2 3
= 6 3

5. ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ 12  27  3
แนวคิด จะต้องทาตัวเลขภายใต้กรณฑ์ให้เท่ากันเสียก่อน แล้วจึงนามาบวกลบกัน
จะได้ 12  27  3 = 4 .3  9 .3  3
= 2 33 3 3
=  2  3  1 3
= 4 3
การคูณกรณฑ์ด้วยกรณฑ์
ข้อตกลง
1. จะนากรณฑ์มาคูณกันได้ก็ต่อเมื่ออันดับกรณฑ์ต้องเท่ากัน
2. เมื่ออันดับกรณฑ์เท่ากันก็ให้นาตัวเลขภายใต้กรณฑ์มาคูณกัน
3. นาสัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาคูณกัน
ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ  3 7  2 5  2 2 
แนวคิด จะเห็นว่าคูณกันได้เลยตามข้อตกลง
จะได้  3 7  2 5  2 2  =  3 .2 .2   7 .5 .2 
= 12 70
ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ  5  3  5  3
แนวคิด
 5  3  5  3  =  5 5    5 3    3 5    3 3 
=5-3
=2
ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ 2 3

2 5 3 
แนวคิด จะเห็นว่าโจทย์ที่ให้อันดับของกรณฑ์ตัวตั้งกับตัวคูณไม่เท่ากัน ต้องทาให้เท่ากันเสียก่อน
โดยนาอันดับของกรณฑ์ที่ทั้งตัวตั้งและตัวคูณมาหา ค.ร.น. โดยใช้ทฤษฎีบทข้อ 6 เข้าช่วย
km kn m n
a = a
3 .2 2
จะได้ 3 2 = 2 = 6 4
2 .3 3
3 = 3 = 6 27

6.  2 3 2  5 3  = 2 6 4 5 6 27 
=  2 . 5  6 4 . 27
= 10 6 108
การคูณโดยอาศัยรูปผลต่างกาลังสอง
( a  b )( a  b )  a  b )
2 2
ดังนั้น ( a  b )( a  b )  a  b
รูปผลต่างกาลังสองจะนามาใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับกรณฑ์ในกรณีที่ตัวส่วนติดกรณฑ์
การหารกรณฑ์ด้วยกรณฑ์
ข้อตกลง
1. จะนากรณฑ์มาหารกันได้ก็ต่อเมื่ออันดับของกรณฑ์ต้องเท่ากัน
2. เมื่ออันดับของกรณฑ์เท่ากันก็ให้นาตัวเลขภายใต้กรณฑ์มาหารกัน
3. ถ้าตัวส่วนติดกรณฑ์ต้องใช้รูปผลต่างกาลังสองแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของผลหารต่อไปนี้
32
(1)
2
แนวคิด จากโจทย์จะเห็นว่าอันดับของกรณฑ์เท่ากัน สามารถกระทากันได้เลย
32 32
จะได้ = = 16 =4
2 2
15
(2)
2
แนวคิด จะเห็นว่าอันดับของกรณฑ์เท่ากัน แต่ผลหารไม่ลงตัว จะต้องทากรณฑ์ของตัวส่วนให้
หมดไป
โดยนา 2 คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วน
15 15  2 30
จะได้ = 
2 2 2 2
3
2
(3)
3

7. แนวคิด จะเห็นว่าอันดับกรณฑ์ไม่เท่ากันต้องเปลี่ยนเป็นกรณฑ์อันดับ 6
3 3 .2 2 6
2 2 4
จะได้ = 
2 .3 3 6 3
3 3 3
6 6 3 6  4  27 
4 3
= 
6 3 6 3 6 6
3  3 3
6
108
=
3
ตัวอย่างที่ 9 จงทาให้ส่วนไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์
1 1 5  3 
(1) =
5 3  5  3  5  3
5 3
=
53
5 3
=
2
ข้อสังเกต จากตัวอย่างข้างต้น  5  3  5  3  เราสามารถใช้
รูปผลต่างกาลังสองมาใช้แก้ปัญหา
 a  b  a  b   a  b
สรุป
1. กรณฑ์ เหมือนกันเท่านั้นจึงจะบวกลบกันได้
2. กรณฑ์ อันดับเดียวกันเท่านั้น จึงจะคูณ หารกันได้
3. การเปรียบเทียบ กรณฑ์ จะเปรียบเทียบได้ก็ต่อเมื่อเป็นกรณฑ์อันดับเดียวกัน

8. การหารากที่สองของจานวนที่อยู่ในรูป x  2 y
นักเรียนพิจารณาการกระจายต่อไปนี้
2 2 2 2 2
( a  b )  a  2 ab  b  ( a  b )  2 ab
2 2 2
( a b )  ( a )  2 a . b  ( b )  ( a  b )  2 ab
ดังนั้น
2
( a  b )  2 ab  ( a b)  a b

ถ้า a , b  R ซึ่ง x = a + b และ y = ab ;
1. ( a  b )  2 ab = a b
 a b เมือa  b
่
2. ( a  b )  2 ab = a b =
 b a เมือb  0
่
3. รากที่สองของ ( a  b )  2 ab   ( a  b )
4. รากที่สองของ ( a  b )  2 ab   ( a  b )
2
5. ( a  b )  2 ab  ( a  b)
ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 10  96
แนวคิด 1. พยายามแยกตัวประกอบ(Facter)ตัวที่อยู่ในกรณฑ์
2. หน้ากรณฑ์สัมประสิทธิ์ต้องเป็น 2
จะได้ 10  96 = 10  4 . 24
= 10  2 24
= ( 6  4 )  2 6 .4
2
= ( 6 4)
2
= ( 6  2)
ดังนั้น รากที่สองของ 10  96 =  10  2 24
2
=  ( 6  2)
=  ( 6  2)

9. ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 5 2 6
แนวคิด 5 2 6 = ( 3  2 )  2 3 .2
2
= ( 3  2)
= 3 2
ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สองของ 18  8 5
แนวคิด 18  8 5 =  18  8 5
2
=  18  2 4 . 5
=  18  2 80
=  (10  8 )  2 10 . 8
=  ( 10  8 )
=  ( 10  2 2
การแก้สมการจานวนที่อยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์
หลักการแก้สมการ ( การหาเซตคาตอบ)
เป้าหมายหลัก คือ ต้องทาให้ตัวแปรและตัวเลขในสมการไม่ติดกรณฑ์
1. ถ้ามีเพียงหนึ่งกรณฑ์ ให้ย้ายข้างให้เหลือกรณฑ์ตัวเดียว
2. ถ้ามีกรณฑ์ 2 ตัว ให้ย้ายไปอยู่ข้างละ 1 ตัว
3. ในกรณฑ์ที่มีกรณฑ์มากให้แบ่งกรณฑ์ไปอยู่แต่ละข้างให้ยึดหลักว่า " ผลบวกของ
สัมประสิทธิ์ของตัวแปรทั้งสองข้างนั้นต้องเท่ากันหรือใกล้เคียงกันมากที่สุด "
n
4. ยกกาลังเพื่อให้กรณฑ์หมด โดยนา ( n a )  a มาใช้
5. แก้สมการตามปกติ
6. ตรวจคาตอบที่ได้ว่าสมการเป็นจริงหรือไม่

10. ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคาตอบจากสมการ x  9  11  x
แนวคิด x9 = x - 11
2 2
( x  9) = ( x  11 ) (ยกกาลังสองทั้งสองข้าง)
2
x+9 = x  22 x  121
2
x  23 x  112 = 0
( x  7 )( x  16 ) = 0
 x  7 ,16
ตรวจคาตอบ
1. กรณี x = 7 จะได้ 7  9  11  7 เป็นเท็จ ดังนั้น 7 ไม่เป็นคาตอบของสมการ
2. กรณี x = 16 จะได้ 16  9  11  16 เป็นจริง ดังนั้น 16 เป็นคาตอบของสมการ
ดังนั้น เซตคาตอบของสมการ คือ  16 
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ x8  x 1 1  0
แนวคิด x8 = x 1 1
( 8 x )
2
=  x  1  1 2 (ยกกาลังสองทั้งสองข้าง)
x8 = x 1 2 x 1 1
2 x 1 = 8
x 1 = 4 ( ย้าย 2 มาหาร 8)
2 2 n
( x  1) = 4 ( ใช้กฎ ( n a )  a )
x-1 = 16
x = 17
ตรวจคาตอบ
17  8  17  1  1 = 0
9  16  1 = 0
3-4+1 = 0
0 = 0 สมการเป็นจริง

11.  เซตคาตอบคือ  17 
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ 2 x  1  3 x  2  4 x  3  5 x  4
แนวคิด จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้มี 4 กรณฑ์ ให้แบ่งเป็นข้างละ 2 กรณฑ์ โดยพยายามให้ผลบวกของ
สัมประสิทธิ์ของ x ทั้ง 2 ข้างเท่ากันหรือใกล้เคียงกัน แล้วยกกาลังสองทั้งสองข้าง 2
ครั้ง
จะได้ 2x  1  5x  4 = 4 x  3  3x  2
2 2
( 2x  1  5x 4 ) = ( 4x  3  3x  2 )
( 2 x  1 )  ( 5 x  4 )  2 ( 2 x 1 )( 5 x  4 ) =
( 4 x  3 )  ( 3 x  2 )  2 ( 4 x  3 )( 3 x  2 )
( 2 x  1 )( 5 x  4 ) = ( 4 x  3 )( 3 x  2 )
 ( 2 x  1 )( 5 x  4 ) 
2
=  ( 4 x  3 )( 3 x  2 ) 
2
2 2
10 x  13 x  4 = 12 x  17 x  6
2
2x  4x  2 = 0 ( นา 2 มาหารทุก
เทอม)
x2 - 2x + 1 = 0
(x-1) (x-1) = 0
x = 1
ตรวจคาตอบ
2 (1 )  1  5 (1 )  4 = 4 (1 )  3  3 (1 )  2
1 1 = 1 1
1- 1 = 1-1
0 = 0 สมการเป็นจริง
 เซตคาตอบ = { 1 }

12. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
นิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป
f   x , y   R  R y  a , a  0 , a  1
 x
จากสมการ y = ax จะเรียก a ว่า ฐาน ( base) ซึ่งแบ่งการพิจารณาค่าของ a ออกได้ 2 ช่วง
เมื่อนามาเขียนกราฟได้ดังนี้
กรณี 0 < a < 1 กรณี a > 1
y y
(0,1) (0,1)
x x
0 0
ข้อสังเกตจากกราฟ
1. กราฟของฟังก์ชัน y =ax , a > 0 , a  1 จะผ่านจุด (0,1)
2. ถ้า 0 < a < 1 โดเมนเพิ่มขึ้น เรนจ์จะลดลง
เรียก y = ax เป็นฟังก์ชันลด ( Decreasing Function)
3. ถ้า a > 1 โดเมนเพิ่มขึ้น เรนจ์จะเพิ่มขึ้น
เรียก y = ax เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ( Increasing Function)
4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จาก R ไปทั่วถึง R+ (one to one onto)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 หมายความว่า ถ้า ax = ay แล้ว x = y
R R+
11 
f : R R
ทัวถึง
่

13. ตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชันที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
x
1 
1. y =  
5 
2. y = 3x
3. y = 3-x
แนวคิด
1. ฟังก์ชันลด เพราะ 1
เป็นฐาน ซึ่ง 0< 1 <1
5 5
2. ฟังก์ชันเพิ่ม เพราะ 3 เป็นฐาน ซึ่ง 3 > 1
x
1 11
3. ฟังก์ชันลด เพราะ y = 3 = x    ดังนั้น เป็นฐาน
-x
 
3 3 3
ซึ่ง 0 < 1 <1
3
สมการเอกซ์โพเนนเชียล
สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กาลัง โดยที่ฐานเป็นค่าคงตัว
หลักการทั่วไปในการแก้สมการ
1. ถ้าโจทย์มี 2 พจน์ ให้จัดพจน์แต่ละพจน์ไว้คนละข้างของสมการ ทาฐานของเลขยก
กาลังให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง
2. ถ้าโจทย์มีมากกว่า 2 พจน์ ให้จัดข้างใดข้างหนึ่งของสมการให้เท่ากับศูนย์ แยกตัว
ประกอบ ( factor) แล้วพิจารณาค่าของตัวแปร
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ 2x = 8
แนวคิด ทาฐานให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง
จะได้ 2x = 23
 x = 3

14. 1
ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 5x =
125
แนวคิด ทาฐานให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง
1
จะได้ 5x = 3
5
5x = 53
 x = -3
ตัวอย่างที่ 3จงหาเซตคาตอบของสมการ 2   64 x x 1
แนวคิด โจทย์ข้อนี้ เป็นลักษณะโจทย์ 2 พจน์ ต้องทาฐานให้เท่ากัน เทียบเลขชี้กาลัง
แล้วแก้สมการปกติ
จะได้ (2x)x-1 = 64
= 64 = 26
2
x x
2
 x2 – x = 6
2
x –x–6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
จะได้ x = 3, -2
 เซตคาตอบของสมการคือ { -2 , 3 }