SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  3
Télécharger pour lire hors ligne
“ศิลปะการคานวณ”
          ในยุคอารยธรรมทางเทคนิค ซึ่งเป็นยุคที่เราส่วนมากมีความเข้าใจกันน้อยมาก
เกี่ยวกับปัญหาต่างๆ แต่หากว่าเราปรารถนาที่จะเป็นผู้ที่สามารถตอบปัญหาประจาวันได้ จะต้อง
ศึกษาสิ่งต่างๆ อีกมาก และในบรรดาสิ่งเหล่านี้ สิ่งที่จาเป็นมากที่สุดขาดไม่ได้ คือ คณิตศาตร์
                   บางคนไม่ค่อยชอบคณิตศาสตร์ แม้จะมีครูดีๆ มาสอนให้ก็ตาม                เขาไม่
เหมาะสมที่จะเป็นนักคณิตศาสตร์และครูก็ควรปล่อยไปหลังจากที่ได้พิสูจน์แล้วว่าเขาไม่
เหมาะสมกับหลักการพื้นฐาน แต่ถ้ามีการสอนคณิตศาสตร์ได้อย่างเหมาะสมแล้ว ก็คงจะมี
คนเกลียดวิชานี้น้อยกว่าที่เป็นอยู่ในปัจจุบัน
 วิธีที่จะกระตุ้นให้เกิดความรักวิชาคณิตศาสตร์มีอยู่หลายวิธี วิธีหนึ่งได้แก่ วิธี
ที่บิดาของกาลิเลโอได้นามาใช้โดยไม่ตั้งใจ ในตอนแรกบิดาของกาลิเลโอได้ปิดบังไม่ให้
กาลิเลโอรู้ว่ามีวิชาคณิตศาสตร์ วันหนึ่งกาลิเลโอ (อายุได้ 18 ปี) ได้ฟังการบรรยายวิชา
เรขาคณิต และเขาได้เกิดความชอบขึ้น ต่อมาเขาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นแนวหน้า
แห่งยุค... แต่วิธีการนี้จะเหมาะสาหรับนักศึกษาที่จะนามาใช้หรือไม่ ?
 ในระยะแรก การสอนคณิตศาสตร์ทุกอย่างควรเริ่มจากจากปัญหาทางปฏิบัติ
และควรเริ่มต้นด้วยปัญหาที่ง่ายๆ ซึ่งจะเป็นที่น่าสนใจของเด็ก
 วิธีที่ดีที่สุดในการสอน คือ ดาเนินตามข้อชี้แนะจากประวัติศาสตร์ยุคต้นๆ
เนื้อหาที่ได้ประดิษฐ์ขึ้นมานั้น เป็นปัญหาทางปฏิบัติที่ทุกคนอยากจะแก้ปัญหาอย่างแท้จริง
ไม่ว่าจะเป็นการแก้ปัญหาที่เกิดจากความสนเท่ห์หรือเกิดขึ้นด้วยเหตุผลที่จาเป็นบางอย่าง
 ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับจานวนใดๆจานวนหนึ่งโดยเฉพาะ มักง่ายต่อการ
แก้ปัญหา ถ้าหากเราใช้อักษร x แทนจานวนที่เราต้องการ แต่การที่จะให้เด็กมีความคุ้นเคย
กับการใช้อักษรพีชคณิตนั้นเป็นเรื่องยาก อาจทาให้ง่ายขึ้นได้โดยให้ตัวอย่างมากๆ และเน้น
สูตรทั่วๆไป ตั้งแต่เริ่มต้น... ในขั้นต้นของการเรียนพีชคณิตกระบวนการแบบนี้เราควรสอน
ซ้าๆ พร้อมกับให้กฎใหม่ๆเพิ่มขึ้น
 สิ่งที่น่าประหลาดประการหนึ่งเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ คือ แม้คณิตศาสตร์จะมี
ประโยชน์ในทางปฏิบัติอย่างมาก แต่ก็ดูเหมือนว่าไม่สลักสาคัญมากนัก ไม่มีใครจะเป็นผู้
ชานาญในวิชาคณิตศาสตร์ เว้นแต่ผู้ที่ชอบคณิตศาสตร์เป็นพิเศษ ... ไม่มีใครกลายเป็นนัก
คณิตศาสตร์ที่ดีได้เพียงเพื่อเลี้ยงชีวิต หรือ เพียงเพื่อเป็นพลเมืองที่มีประโยชน์ แต่ต้องมีความ
พอใจในคณิตศาสตร์ร่วมด้วย
 วิชาคณิตศาสตร์ เป็นอุปกรณ์ที่ให้ความแน่นอน เมื่อนามาใช้กับโลกความ
เป็นจริง จะมีข้อตกลงเหมือนกันที่แน่นอนเสมอว่าไม่มีวงกลมหรือรูปสามเหลี่ยมจริงๆ ใน
ธรรมชาติ ดาวเคราะห์ก็มิได้โคจรเป็นรูปวงรีจริงๆ และถ้ามันโคจรเป็นรูปวงรี เราก็ไม่
สามารถรู้ได้ พลังในการวัดและการสังเกตของเรามีจากัด แล้วการปรับปรุงแก้ไขทางเทคนิค
ก็ได้ทาให้ภาวะจากัดนี้ค่อยๆหมดไป แต่ไม่มีทางเป็นไปได้เลยว่าเทคนิคได้ก็ตามจะสมบูรณ์
ไม่มีข้อผิดพลาดเลย เพราะท้ายที่สุดเราก็ต้องพึ่งพาประสาทสัมผัสของเรา ซึ่งประสาท
สัมผัสนี้ย่อมไม่อาจแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่มีความคล้ายคลึงกันมากได้
  ความแน่นอนทางคณิตศาสตร์เป็นนความแน่นอนทางตรรกที่ประณีตเป็น
นามธรรม ซึ่งแน่นอนนี้จะสูญหายไปเมื่อเราได้นาเอาเหตุผลทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์กับ
โลกความเป็นจริง ... ในทานองเดียวกับที่ ไม่มีอะไรที่จะมาทาให้ความเชื่อที่ว่า 2 กับ 2 เป็น
4 ให้สั่นคลอนได้ สองจะต้องเป็นสองของสิ่งบางสิ่ง และประโยคที่ว่า 2 กับ 2 เป็น 4 จะไร้
ความหมาย หากว่าเราไม่สามารถนามันไปใช้ได้
  อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์ไม่มีความแน่นอนตามที่วิชานี้อ้าง แต่มีความ
ใกล้เคียงเหมือนเรื่องอื่นๆ แต่นี่ไม่มีความสาคัญทางปฏิบัติแต่อย่างใด เนื่องจากความรู้ของเรา
ทั้งหมดเกี่ยวกับโลกที่รับรู้ได้ทางประสาทสัมผัสนั้นเป็นโลกที่เรารู้ได้เพียงแค่ความใกล้เคียง
...ประชาชนส่วนมากเห็นว่าคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะอ้างว่าเป็นความรู้อื่นๆ สาหรับคนที่เห็น
ว่าคณิตศาสตร์ไม่มีสิทธิอ้างแบบนี้ทาให้เกิดการต่อต้าน ซึ่งขัดขวางการเลียนแบบการคิดหา
เหตุผลทางคณิตศาสตร์...ความแน่นอนทางคณิตศาสตร์เหนือความรู้อื่นๆ เป็นเรื่องของดีกรี
และเนื่องจากความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องของคาพูด แต่ความรู้นี้ก็มีลักษณะอันซับซ้อน
ของมันปกปิดอยู่
 เราไม่สามารถรูโลกได้อย่างแน่นอน แต่เรารู้ว่าถ้าเราสมมติว่ามันเป็นความจริง
เหมือนอย่างนักคณิตศาสตร์กล่าว ผลก็เป็นสิ่งที่ถูกต้องตราบเท่าที่เราสามารถตัดสินได้ นั่น
คือ คณิตศาสตร์ได้เสนอสมมติฐานที่ดีที่สุดสาหรับเข้าใจโลก เมื่อใดสมมติฐานเกิด
ข้อผิดพลาด คณิตศาสตร์ใหม่ก็จะสนองความถูกต้องให้ตามความจาเป็น ดังนั้น ถ้าอยาก
เข้าใจโลกทางทฤษฎีเท่าที่เราสามารถเข้าใจได้ เราจะต้องศึกษาคณิตศาสตร์พอสมควร ถ้า
ประโยชน์ที่จะได้รับเป็นเรื่องทางปฏิบัติและอยากจะเกี่ยวข้องกับดลกอย่างฉลาด ไม่ว่าจะ
เป็นไปเพื่อประโยชน์ของท่านเองหรือเพื่อมนุษยชาติก็ตาม เราอาจได้รับความสาเร็จได้ โดย
การสร้างผลงานของเราเองขึ้นมาบนงานของบรรพบุรุษ โดยไม่ต้องศึกษาคณิตศาสตร์ก็ได้
  นอกจากนี้ คณิตศาสตร์ได้ให้ความบันเทิงแก่ผู้ที่ชอบ ซึ่งจะเห็นว่าประชาชน
ได้พบว่ามีความสนุกสนานทานองเดียวกันนี้ในเกมหมากรุก และก็ได้รับการยกย่องว่ามี
ประโยชน์ไม่เฉพาะเกมเท่านั้น ในแง่ความเข้าใจกระบวนการของนามธรรมบางอย่าง เรา
พบว่ามีความคิดของมนุษย์ และในแง่ของนักคณิตศาสตร์ก็ปรากฏว่ามีความงามที่สมบูรณ์ที่
แสดงว่ามนุษย์สามารถบรรลุความสาเร็จได้ก็ต่อเมื่อเขาสามารถทาตนเองให้หลุดพ้นจาก
ความกลัว ความโหดร้าย และจากความเป็นทาสต่อความเห็นที่ว่าสิ่งใดที่มีอยู่เป็นตัวตนนั้น
เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นโดยบังเอิญ

คาถาม/ข้อสงสัย
        จากย่อหน้าที่ 2 ;
                วิธีการนี้ใช้ได้สาหรับทุกคนหรือไม่ ? ( เนื่องจากเห็นว่าวิธีการนี้หากใช้กับ
เด็ก จะเป็นการไม่ให้โอกาสในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่ดี เพราะเชื่อว่าเด็กสามารถพัฒนาให้
ทักษะที่ดีได้ หากว่าอยู่ในสภาพการเรียนรู้ที่ดี)

               ..................................................................................................

Contenu connexe

Plus de Jiraprapa Suwannajak

เลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมเลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมJiraprapa Suwannajak
 
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชันความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชันJiraprapa Suwannajak
 
งาน เศรษฐกิจพอเพียง
งาน เศรษฐกิจพอเพียงงาน เศรษฐกิจพอเพียง
งาน เศรษฐกิจพอเพียงJiraprapa Suwannajak
 
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยวงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยJiraprapa Suwannajak
 
เศรษฐกิจพอเพียง
เศรษฐกิจพอเพียงเศรษฐกิจพอเพียง
เศรษฐกิจพอเพียงJiraprapa Suwannajak
 
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชันแบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชันJiraprapa Suwannajak
 
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIctสื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIctJiraprapa Suwannajak
 
กราฟิกเพื่อการศึกษา
กราฟิกเพื่อการศึกษากราฟิกเพื่อการศึกษา
กราฟิกเพื่อการศึกษาJiraprapa Suwannajak
 
วิถีสู่การพัฒนาการศึกษาที่ยั่งยืน
วิถีสู่การพัฒนาการศึกษาที่ยั่งยืนวิถีสู่การพัฒนาการศึกษาที่ยั่งยืน
วิถีสู่การพัฒนาการศึกษาที่ยั่งยืนJiraprapa Suwannajak
 
ดนตรีกับวิชาชีพครู
ดนตรีกับวิชาชีพครูดนตรีกับวิชาชีพครู
ดนตรีกับวิชาชีพครูJiraprapa Suwannajak
 

Plus de Jiraprapa Suwannajak (20)

เลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมเลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึม
 
ลอการิทึม
ลอการิทึมลอการิทึม
ลอการิทึม
 
ลอการิทึม..[1]
ลอการิทึม..[1]ลอการิทึม..[1]
ลอการิทึม..[1]
 
ตรีโกณมิต..[1]
ตรีโกณมิต..[1]ตรีโกณมิต..[1]
ตรีโกณมิต..[1]
 
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชันความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
 
ตรรกศาสตร์
ตรรกศาสตร์ตรรกศาสตร์
ตรรกศาสตร์
 
งาน เศรษฐกิจพอเพียง
งาน เศรษฐกิจพอเพียงงาน เศรษฐกิจพอเพียง
งาน เศรษฐกิจพอเพียง
 
วงกลมวงรี
วงกลมวงรีวงกลมวงรี
วงกลมวงรี
 
กลุ่ม4
กลุ่ม4กลุ่ม4
กลุ่ม4
 
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยวงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
 
ปรัชญาเศร..
ปรัชญาเศร..ปรัชญาเศร..
ปรัชญาเศร..
 
เศรษฐกิจพอเพียง
เศรษฐกิจพอเพียงเศรษฐกิจพอเพียง
เศรษฐกิจพอเพียง
 
เศรษฐกิจ..[1]
 เศรษฐกิจ..[1] เศรษฐกิจ..[1]
เศรษฐกิจ..[1]
 
สมการตรีโกณ
สมการตรีโกณสมการตรีโกณ
สมการตรีโกณ
 
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชันแบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
 
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIctสื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
 
กราฟิกเพื่อการศึกษา
กราฟิกเพื่อการศึกษากราฟิกเพื่อการศึกษา
กราฟิกเพื่อการศึกษา
 
วิถีสู่การพัฒนาการศึกษาที่ยั่งยืน
วิถีสู่การพัฒนาการศึกษาที่ยั่งยืนวิถีสู่การพัฒนาการศึกษาที่ยั่งยืน
วิถีสู่การพัฒนาการศึกษาที่ยั่งยืน
 
เดินหมาก
เดินหมากเดินหมาก
เดินหมาก
 
ดนตรีกับวิชาชีพครู
ดนตรีกับวิชาชีพครูดนตรีกับวิชาชีพครู
ดนตรีกับวิชาชีพครู
 

ศิลปะการคำนวณ

  • 1. “ศิลปะการคานวณ” ในยุคอารยธรรมทางเทคนิค ซึ่งเป็นยุคที่เราส่วนมากมีความเข้าใจกันน้อยมาก เกี่ยวกับปัญหาต่างๆ แต่หากว่าเราปรารถนาที่จะเป็นผู้ที่สามารถตอบปัญหาประจาวันได้ จะต้อง ศึกษาสิ่งต่างๆ อีกมาก และในบรรดาสิ่งเหล่านี้ สิ่งที่จาเป็นมากที่สุดขาดไม่ได้ คือ คณิตศาตร์ บางคนไม่ค่อยชอบคณิตศาสตร์ แม้จะมีครูดีๆ มาสอนให้ก็ตาม เขาไม่ เหมาะสมที่จะเป็นนักคณิตศาสตร์และครูก็ควรปล่อยไปหลังจากที่ได้พิสูจน์แล้วว่าเขาไม่ เหมาะสมกับหลักการพื้นฐาน แต่ถ้ามีการสอนคณิตศาสตร์ได้อย่างเหมาะสมแล้ว ก็คงจะมี คนเกลียดวิชานี้น้อยกว่าที่เป็นอยู่ในปัจจุบัน วิธีที่จะกระตุ้นให้เกิดความรักวิชาคณิตศาสตร์มีอยู่หลายวิธี วิธีหนึ่งได้แก่ วิธี ที่บิดาของกาลิเลโอได้นามาใช้โดยไม่ตั้งใจ ในตอนแรกบิดาของกาลิเลโอได้ปิดบังไม่ให้ กาลิเลโอรู้ว่ามีวิชาคณิตศาสตร์ วันหนึ่งกาลิเลโอ (อายุได้ 18 ปี) ได้ฟังการบรรยายวิชา เรขาคณิต และเขาได้เกิดความชอบขึ้น ต่อมาเขาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นแนวหน้า แห่งยุค... แต่วิธีการนี้จะเหมาะสาหรับนักศึกษาที่จะนามาใช้หรือไม่ ? ในระยะแรก การสอนคณิตศาสตร์ทุกอย่างควรเริ่มจากจากปัญหาทางปฏิบัติ และควรเริ่มต้นด้วยปัญหาที่ง่ายๆ ซึ่งจะเป็นที่น่าสนใจของเด็ก วิธีที่ดีที่สุดในการสอน คือ ดาเนินตามข้อชี้แนะจากประวัติศาสตร์ยุคต้นๆ เนื้อหาที่ได้ประดิษฐ์ขึ้นมานั้น เป็นปัญหาทางปฏิบัติที่ทุกคนอยากจะแก้ปัญหาอย่างแท้จริง ไม่ว่าจะเป็นการแก้ปัญหาที่เกิดจากความสนเท่ห์หรือเกิดขึ้นด้วยเหตุผลที่จาเป็นบางอย่าง ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับจานวนใดๆจานวนหนึ่งโดยเฉพาะ มักง่ายต่อการ แก้ปัญหา ถ้าหากเราใช้อักษร x แทนจานวนที่เราต้องการ แต่การที่จะให้เด็กมีความคุ้นเคย กับการใช้อักษรพีชคณิตนั้นเป็นเรื่องยาก อาจทาให้ง่ายขึ้นได้โดยให้ตัวอย่างมากๆ และเน้น สูตรทั่วๆไป ตั้งแต่เริ่มต้น... ในขั้นต้นของการเรียนพีชคณิตกระบวนการแบบนี้เราควรสอน ซ้าๆ พร้อมกับให้กฎใหม่ๆเพิ่มขึ้น สิ่งที่น่าประหลาดประการหนึ่งเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ คือ แม้คณิตศาสตร์จะมี ประโยชน์ในทางปฏิบัติอย่างมาก แต่ก็ดูเหมือนว่าไม่สลักสาคัญมากนัก ไม่มีใครจะเป็นผู้ ชานาญในวิชาคณิตศาสตร์ เว้นแต่ผู้ที่ชอบคณิตศาสตร์เป็นพิเศษ ... ไม่มีใครกลายเป็นนัก คณิตศาสตร์ที่ดีได้เพียงเพื่อเลี้ยงชีวิต หรือ เพียงเพื่อเป็นพลเมืองที่มีประโยชน์ แต่ต้องมีความ พอใจในคณิตศาสตร์ร่วมด้วย วิชาคณิตศาสตร์ เป็นอุปกรณ์ที่ให้ความแน่นอน เมื่อนามาใช้กับโลกความ เป็นจริง จะมีข้อตกลงเหมือนกันที่แน่นอนเสมอว่าไม่มีวงกลมหรือรูปสามเหลี่ยมจริงๆ ใน
  • 2. ธรรมชาติ ดาวเคราะห์ก็มิได้โคจรเป็นรูปวงรีจริงๆ และถ้ามันโคจรเป็นรูปวงรี เราก็ไม่ สามารถรู้ได้ พลังในการวัดและการสังเกตของเรามีจากัด แล้วการปรับปรุงแก้ไขทางเทคนิค ก็ได้ทาให้ภาวะจากัดนี้ค่อยๆหมดไป แต่ไม่มีทางเป็นไปได้เลยว่าเทคนิคได้ก็ตามจะสมบูรณ์ ไม่มีข้อผิดพลาดเลย เพราะท้ายที่สุดเราก็ต้องพึ่งพาประสาทสัมผัสของเรา ซึ่งประสาท สัมผัสนี้ย่อมไม่อาจแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่มีความคล้ายคลึงกันมากได้ ความแน่นอนทางคณิตศาสตร์เป็นนความแน่นอนทางตรรกที่ประณีตเป็น นามธรรม ซึ่งแน่นอนนี้จะสูญหายไปเมื่อเราได้นาเอาเหตุผลทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์กับ โลกความเป็นจริง ... ในทานองเดียวกับที่ ไม่มีอะไรที่จะมาทาให้ความเชื่อที่ว่า 2 กับ 2 เป็น 4 ให้สั่นคลอนได้ สองจะต้องเป็นสองของสิ่งบางสิ่ง และประโยคที่ว่า 2 กับ 2 เป็น 4 จะไร้ ความหมาย หากว่าเราไม่สามารถนามันไปใช้ได้ อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์ไม่มีความแน่นอนตามที่วิชานี้อ้าง แต่มีความ ใกล้เคียงเหมือนเรื่องอื่นๆ แต่นี่ไม่มีความสาคัญทางปฏิบัติแต่อย่างใด เนื่องจากความรู้ของเรา ทั้งหมดเกี่ยวกับโลกที่รับรู้ได้ทางประสาทสัมผัสนั้นเป็นโลกที่เรารู้ได้เพียงแค่ความใกล้เคียง ...ประชาชนส่วนมากเห็นว่าคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะอ้างว่าเป็นความรู้อื่นๆ สาหรับคนที่เห็น ว่าคณิตศาสตร์ไม่มีสิทธิอ้างแบบนี้ทาให้เกิดการต่อต้าน ซึ่งขัดขวางการเลียนแบบการคิดหา เหตุผลทางคณิตศาสตร์...ความแน่นอนทางคณิตศาสตร์เหนือความรู้อื่นๆ เป็นเรื่องของดีกรี และเนื่องจากความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องของคาพูด แต่ความรู้นี้ก็มีลักษณะอันซับซ้อน ของมันปกปิดอยู่ เราไม่สามารถรูโลกได้อย่างแน่นอน แต่เรารู้ว่าถ้าเราสมมติว่ามันเป็นความจริง เหมือนอย่างนักคณิตศาสตร์กล่าว ผลก็เป็นสิ่งที่ถูกต้องตราบเท่าที่เราสามารถตัดสินได้ นั่น คือ คณิตศาสตร์ได้เสนอสมมติฐานที่ดีที่สุดสาหรับเข้าใจโลก เมื่อใดสมมติฐานเกิด ข้อผิดพลาด คณิตศาสตร์ใหม่ก็จะสนองความถูกต้องให้ตามความจาเป็น ดังนั้น ถ้าอยาก เข้าใจโลกทางทฤษฎีเท่าที่เราสามารถเข้าใจได้ เราจะต้องศึกษาคณิตศาสตร์พอสมควร ถ้า ประโยชน์ที่จะได้รับเป็นเรื่องทางปฏิบัติและอยากจะเกี่ยวข้องกับดลกอย่างฉลาด ไม่ว่าจะ เป็นไปเพื่อประโยชน์ของท่านเองหรือเพื่อมนุษยชาติก็ตาม เราอาจได้รับความสาเร็จได้ โดย การสร้างผลงานของเราเองขึ้นมาบนงานของบรรพบุรุษ โดยไม่ต้องศึกษาคณิตศาสตร์ก็ได้ นอกจากนี้ คณิตศาสตร์ได้ให้ความบันเทิงแก่ผู้ที่ชอบ ซึ่งจะเห็นว่าประชาชน ได้พบว่ามีความสนุกสนานทานองเดียวกันนี้ในเกมหมากรุก และก็ได้รับการยกย่องว่ามี ประโยชน์ไม่เฉพาะเกมเท่านั้น ในแง่ความเข้าใจกระบวนการของนามธรรมบางอย่าง เรา พบว่ามีความคิดของมนุษย์ และในแง่ของนักคณิตศาสตร์ก็ปรากฏว่ามีความงามที่สมบูรณ์ที่
  • 3. แสดงว่ามนุษย์สามารถบรรลุความสาเร็จได้ก็ต่อเมื่อเขาสามารถทาตนเองให้หลุดพ้นจาก ความกลัว ความโหดร้าย และจากความเป็นทาสต่อความเห็นที่ว่าสิ่งใดที่มีอยู่เป็นตัวตนนั้น เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นโดยบังเอิญ คาถาม/ข้อสงสัย จากย่อหน้าที่ 2 ; วิธีการนี้ใช้ได้สาหรับทุกคนหรือไม่ ? ( เนื่องจากเห็นว่าวิธีการนี้หากใช้กับ เด็ก จะเป็นการไม่ให้โอกาสในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่ดี เพราะเชื่อว่าเด็กสามารถพัฒนาให้ ทักษะที่ดีได้ หากว่าอยู่ในสภาพการเรียนรู้ที่ดี) ..................................................................................................