1. สมการตรีโกณ
การหาคาตอบของสมการตรีโกณมิติ มี 2 ลักษณะ คือ
1. คาตอบเฉพาะของสมการตรีโกณมิติ หมายถึง คาตอบของสมการที่มีการจากัดขอบเขตของ
คาตอบ
2. คาตอบทั่วไปของสมการตรีโกณมิติ หมายถึง คาตอบของสมการที่ไม่มีการจากัดขอบเขตของ
คาตอบ
ดังนั้น ในการหาคาตอบของสมการ ถ้าโจทย์ไม่ระบุว่าให้คาตอบอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งแล้ว
คาตอบจะต้องอยู่ในรูปคาตอบทั่วไป ดังนี้
- คาตอบทั่วไปของสมการฟังก์ชันไซน์และโคเซแคนต์ เท่ากับ 2 n เมื่อ เป็น
คาตอบทั้งหมดของสมการในช่วง 0 , 2 และ n I
- คาตอบทั่วไปของสมการของฟังก์ชันโคไซน์และเซแคนต์ เท่ากับ 2 n เมื่อ
เป็นคาตอบของสมการที่เป็นจานวนจริงน้อยที่สุดหรือศูนย์ และ n I
- คาตอบทั่วไปของสมการของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เท่ากับ n เมื่อ
เป็นคาตอบของสมการที่เป็นจานวนจริงน้อยที่สุดหรือศูนย์ และ n I
การเขียนคาตอบทั่วไปของสมการอาจเขียนได้มากกว่า 1 วิธีที่กล่าวมาข้างต้น
2
ตัวอย่าง จงหาค่า A จากสมการ 3 cot A (1 3 ) cos A 1
เมื่อ 0 A 2
แนวคิด จากโจทย์จะได้
2
3 cot A (1 3 ) cos A 1 = 0
( 3 cot A 1 )(cot A 1 ) = 0
1
cot A = , 1
3
4 3 7
ดังนั้น A = , , ,
3 3 4 4
2. ตัวอย่าง กาหนด 0 o x 360 o จงหาค่า x จากสมการ
sin 2 x + 2 cos x sin x = 1
แนวคิด จาก sin 2 x + 2 cos x sin x = 1
จะได้ 2 cos x sin x + 2 cos x - sin x = 1 ; (sin 2 x = 2 sin x cos )
( 2 cos x)(sin x +1) - (sin x+1) = 0
(sin x + 1)(2 cos x -1) = 0
o
นั่นคือ sin x = -1 จะได้ x = 270
1 o o
หรือ cos x = จะได้ x = 60 , 300
2
o o o
x = 60 , 270 , 300
แบบฝึกหัด
1. กาหนดให้ 0 x 2 จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้
3
(1) sin x
2
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
1
(2) cos x
2
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(3) tan x 3
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
4. 1
(10) sin x cos x
2
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
2. กาหนดให้ 0 o x 360 o จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้
1
(1) 3 cot sin x sin x 0
x
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(2) sin 2x = cos x
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(3) sin 3x + sin x = 0
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
5. ………………………………………………………..
(4) cos 3x +8 cos3 x = 0
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(5) sin 5x cos 3x -cos 5x sin 3x = cos x
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(6) sin 5x + sin x = sin 3x
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(7) cos x 3 sin x 1
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
6. ………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(8) sin x cos x 2
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(9) 3 (1 sin x ) cos x
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
(10) 3 cos 2 x sin 2 x 2
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
………………………………………………………..
7. 3. จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ ( ตอบในหน่วยเรเดียน)
1
(1) sin x
2
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
1
(2) cos x
2
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
(3) tan x = -1
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
(4) sec 2x = 2
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
(5) cosec 3x = -1
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
8. ………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
(6) 2 sin2 x + sin x - 1 = 0
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
5
(7) cos x sec x
2
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
(8) 4 tan2x - 3 sec2 x = 0
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
(9) sin 5x cos x = sin 6x cos 2x
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
9. (10) sin x + sin 2x +sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
4. จงแก้สมการในแต่ละข้อ
(1) sec 2 และ tan 1
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
(2) cot 3 และ cos ec 2
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
5. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 cos x sin x 0 เมื่อ x
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..
………………………………………………………..………………………………………..