Contenu connexe Similaire à วงกลมหนึ่งหน่วย (20) Plus de Jiraprapa Suwannajak (20) วงกลมหนึ่งหน่วย1. ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit circle)
บทนิยาม วงกลมหนึ่งหน่วย หมายถึง กราฟของความสัมพันธ์
U = {(x,y) RR | x2+ y2 = 1}
คือ วงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกาเนิด และรัศมียาว 1 หน่วย นั่นเอง ดังรูป
Y
(0,1)
2
2
-1,0) O (1,0) X
3
(0,-1)
2
เนื่องจากวงกลมหนึ่งหน่วยมีรัศมียาว 1 หน่วย
จากสูตร ความยาวเส้นรอบวง = 2r
= 2 (1) = 2 หน่วย
หรือ 2(3.1416) 6.2832 หน่วย
2
ดังนั้น เสี้ยววงกลมหนึ่งหน่วยยาว = 4 = 2 หรือประมาณ 1.5708 หน่วย
2
ครึ่งวงกลมหนึงหน่วยยาว = 2 = หรือประมาณ 3.1416 หน่วย
่
3 3
3 ใน 4 ของวงกลมหนึ่งหน่วยยาว = 4 2 = 2 หรือประมาณ 4.7124 หน่วย
2. การวัดความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย
กาหนด R จุด P( ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว โดยวัดจากจุด (1,0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลม
ถ้า 0 หมายถึงการวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ถ้า < 0 หมายถึงการวัดไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
ให้ความยาวส่วนโค้งวงกลมหนึ่งหน่วยยาว หน่วย มี โคออร์ดิเนทจุดปลายส่วนโค้งเป็น (x,y)
นั่นคือ P( ) = (x,y)
จากรูปวงกลมหนึ่งหน่วย จะเห็นว่า (พิจารณารูปหน้าที่ 1 ประกอบ)
3
P(0) = (1,0) , P( 2 ) = (0,1) , P() = (-1,0) , P( 2 ) = (0,-1) , P(2) = (1,0)
3
P(- 2 ) = (0,-1) , P(-) = (-1,0) , P(- 2 ) = (0,1) , P(-2) = (1,0)
ทฤษฎีบท 1 ถ้า เป็นจานวนใดๆ แล้ว P( ) = P( + 2n) เมื่อ n เป็นจานวนเต็ม
จุดปลายส่วนโค้งที่ยาว P() เมื่อ เป็นจานวนจริงที่สาคัญที่ควรทราบ ( 3 , 4 , 6 )
ตัวอย่างที่ 1 จงหา P( 4 )
วิธีทา จากรูป เนื่องจาก P( 4 ) เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AB และส่วนโค้ง AB ยาว 2
B(0,1) ดังนั้น AP = PB = 4
P(x,y) ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว 4
เพราะฉะนั้น AP2 = PB2
O A(1,0) (x-1)2 + (y-0)2 = (x-0)2 + (y-1)2
x2- 2x + 1 + y2 = x2 + y2-2y + 1
x = y
แต่เนื่องจาก (x,y) เป็นจุดบนวงกลม x2+ y2 = 1
x2 + x2 = 1 2x2 = 1
1 1 1
x2 = 2 x = และ y =
2 2
3. แต่ P(x,y) อยู่ในควอดรันต์รันที่ 1 ดังนั้น x และ y มีค่าเป็นบวก
1 1
เพราะฉะนั้น x = และ y = 0.701
2 2
1 1 2 2
ดังนั้น P ( 4 ) = ( , ) = ( 2 , 2 )
2 2
ตารางต่อไปนี้ สรุป จุด P( ) เมื่อ = 6 , ,
4 3
P( )
3 1
6 ( , )
2 2
2 2
( , )
4 2 2
1 3
( , )
3 2 2
โดยอาศัยความรู้เรื่องการสมมาตรต่อแกน X ต่อแกน Y หรือต่อจุดกาเนิด สามารถที่จะหาพิกัดของจุด P( )
เมื่อ เป็นความยาวส่วนโค้งที่อยู่ในควอดรันต์อื่นๆ ดังรูป
2 1 3
P( ) P( 3 ) = ( , )
3 2 2
3 2 2
P( 4 ) P( )=( , ) P( 6 )
4 2 2
O O O
7 11
P( 6 ) P( 6 )
4 5 5 7
P( ) P( 3 ) P( 4 ) P( 4 )
3
4. การหาค่าของ sin (- ) และ cos (- ) เมื่อ > 0
Y
P( ) = (x,y)
O A(1,0) X
P(- ) = (x,-y)
ให้ P( ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกายาว | | หน่วย P(- ) เป็นจุด
ปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกายาว | | หน่วย เช่นกัน P( ) และ P(- ) สมมาตรกัน
โดยมีแกน X เป็นแกนสมมาตร
จากนิยาม sin = y และ sin (- ) = -y
cos = x cos (- ) = x
ดังนั้น sin (- ) = - sin ( )
cos (- ) = cos ( )
2 3
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ sin ( 3 ) , cos ( 6 ) , sin ( 4 )
2 2 3
วิธีทา sin ( 3 ) = - sin 3 = 2
3
cos ( 6 ) = cos 6 = 2
3 3 2
sin ( 4 ) = - sin 4 = - 2
การหาค่าของ sin และ cos เมื่อ > 2
การหา sin และ cos ให้นา 2 ไปหาร สมมติให้ผลหารเท่ากับ n เหลือเศษ (alpha)
โดยที่ 0 2 = 2n + , nI+ เมื่อ
ดังนั้น sin = sin (2n + ) = sin
cos = cos (2n + ) = cos
5. 32 35
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ sin 3 , cos ( 4 )
32 2 2 3
วิธีทา sin 3 = sin ( 5 2 3 ) = sin 3 = 2
35 35 3 3 2
cos ( 4 ) = cos ( 4 ) = cos ( 4 2 4 ) = cos ( 4 ) = 2
การหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงตั้งแต่ 0 ถึง 2 โดยอาศัยค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของ
จานวนจริงตั้งแต่ 0 ถึง 2
1. เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว หน่วย อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 ( 2 )
Y
P’(x’,y’) P(x,y) ให้ P’(x’,y’) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว
ส่วนโค้ง AB ยาว =
ส่วนโค้ง P’B ยาว = -
B O A(1,0) X และ ส่วนโค้ง AP ยาว = -
ดังนั้น เมื่อ ตกอยู่ใน Q2
sin = sin ( - )
11 11
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ sin 12 0 . 26 และ cos 12 = 0.96 จงหาค่าของ sin 12 และ cos 12
11
วิธีทา เนื่องจากจุดปลาย 12 อยู่ในควอดรันต์ที่ 2
11 11
ดังนั้น sin 12 = sin ( 12 ) = sin 12 = 0.26
11 11
cos 12 = - cos ( 12 ) = - cos 12 = - 0.96
20
ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ sin ( 3 )
20 20 2
วิธีทา sin ( 3 ) = - sin 3 = - sin [( 3 2 ) 3 ]
2 2 3
= - sin 3 = - sin ( 3 ) = - sin 3 = 2
6. 3
2. เมื่อจุดปลายส่วนโค้ง หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 3 ( 2 )
Y
M (-x,y) P(x,y) ให้ P(x’,y’) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว หน่วย
จุด P’(x’,y’) สมมาตรกับจุด M(-x,y)
B(-1,0) O A(1,0) X จุด M(-x,y) สมมาตรกับจุด P(x,y)
ดังนั้น เมื่อ อยู่ใน Q3
P’(x’,y’) sin sin( )
cos cos( )
ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ cos 5 และ sin( 16 )
4 3
วิธีทา เนื่องจาก cos 5 อยู่ใน Q 3 จะได้
4
5
cos
4
= cos( 5 ) = cos = 2
4 4 2
16
sin(
3
) = sin( 16 ) = sin( 4 4 )
3 3
4 4
= sin 3 = sin( 3 )
3
= [ sin( 3 )] = sin 3 = 2
3
3. เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 ( 2 2 )
Y ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว หน่วย
จุด P(x,y) สมมาตรกับจุด P’(x’,y’)
P(x,y)
ดังนั้น เมื่อ อยู่ใน Q4
O A(1,0) X sin sin( 2 )
cos cos( 2 )
P’(x’,y’) = (x,-y)
7. 11 5 47
ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ sin 6 , cos 3 , sin 4
11 5 47
วิธีทา เนื่องจาก sin 6 , cos 3 , sin 4 อยู่ใน Q4 จะได้
11 11 1
sin
6
= sin( 2 6 ) = sin 6 = 2 ***
5 5 1
cos
3
= cos( 2 3 ) = cos 3 = 2 ***
47 7 7 7 2
sin
4
= sin( 10 ) = sin 4 = sin( 2 4 ) = sin 4 = 2 ***
4
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ
sin
1. tan = เมื่อ cos 0
cos
cos
2. cot = เมื่อ sin 0
sin
3. sec = เมื่อ cos 0
1
cos
4. cosec = เมื่อ sin 0
1
sin
tan = เมื่อ cot 0
1
หมายเหตุ
cot
cot = เมื่อ tan 0
1
tan
ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ tan , cot , sec , cosec เมื่อกาหนด ดังนี้
1. = 2. = 3. =
6 4 3
1 3
วิธีทา 1. เนื่องจาก sin = และ cos =
6 2 6 2
1
sin
1 2 1 3
ดังนั้น tan =
6
= 2
= 2
= หรือ
6 3 3 3 3
cos
6 2
1 1 3
cot =
= 1
= 1 = 3
6 1
tan
6 3
8.
1 1 2 2
sec =
= = 1 =
6 3 3 3
cos
6 2
1 1 2
cosec =
= 1
= 1 = 2
6 1
sin
6 2
9. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. กราฟของฟังก์ชันไซน์
จากความสัมพันธ์ sine = {(x,y)RR |y = sin x}
โดยที่ โดเมนของ sin = R
เรนจ์ของ sin = [-1,1] มีกราฟดังรูป
Y
1
X
3 3
-2 - O 2
2
2
2 2
-1
2. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์
จากความสัมพันธ์ cos = {(x,y)RR |y = cos x}
โดยที่ โดเมนของ cos = R
เรนจ์ของ cos = [-1,1] มีกราฟดังรูป
Y
1
X
- 2 - 3 - - O
3
2
2 2 2 2
-1
ฟังก์ชันทีเ่ ป็ นคาบ หมายถึง ฟังก์ชันที่สามารถแบ่งแกน X ออกเป็นช่วงย่อยๆ โดยที่ความยาวแต่ละช่วงเท่ากัน
และกราฟของฟังก์ชันในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุด ซึ่งมีลักษณะ
ดังกล่าว เรียกว่า คาบ ของฟังก์ชัน
ดังนั้น ฟังก์ชัน y = sin x และ y = cos x เป็ นฟังก์ชันทีเ่ ป็ นคาบและมีคาบเท่ากับ 2
10. ฟังก์ชันที่เป็นคาบซี่งมีค่าสูงสุด และค่าต่่าสุด จะเป็นฟังก์ที่มีแอมพลิจูด ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่าง
ระหว่างค่าสูงสุด และค่าต่่าสุดของฟังก์ชัน นั่นคือ
1
แอมพลิจูด = 2 (ค่ าสู งสุ ดของฟังก์ ชัน - ค่ าต่าสุ ดของฟังก์ ชัน)
ดังนั้น ฟังก์ชั่น y = sin x และ y = cos x มีแอมพลิจูดเป็ น 1 เท่ากัน
3. กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์
sin x
จาก tangent = {(x,y) RR | y = tan x = cos x , cos x 0 }
โดเมนของ tangent = {xR | cosx 0}
= R - {xR | cosx = 0}
= R - {x R | x = n 2 เมื่อ n เป็นจ่านวนเต็มคี่ }
เรนจ์ของ tangent = R มีกราฟดังรูป
Y
3
2 O 3 2 X
2 2 2 2