SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  69
Télécharger pour lire hors ligne
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ผังมโนทัศน์
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์ สิ่งหนึ่งที่เป็นพื้นฐานสำคัญในเรื่องของความสัมพันธ์คือ  คู่อันดับ  การเป็นคู่อันดับก็คือจะต้องเป็นคู่และมีอันดับ ใน คณิตศาสตร์จะเขียนคู่อันดับในรูป  (a , b)   โดยที่   a   เป็นสมาชิก ตัวหน้า  และ   b  เป็นสมาชิกตัวหลัง  ซึ่ง  (a , b)    (b , a)  แต่  (a , b) = (b , a)  เมื่อ  a = b  เท่านั้น  หรือ  (a , b) = (c , d)  ก็ต่อเมื่อ  a = c  และ  b = d
บทนิยาม   ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต   A   และเซต  B   คือเซตของคู่อันดับ  (a , b)  ทั้งหมด โดยที่  a   เป็นสมาชิกของเซต  A   และ   b  เป็นสมาชิกของเซต   B   เขียนแทนด้วย  A    B ดังนั้น  A    B   = {(a , b)/a    A   และ   b    B} ผลคูณคาร์ทีเชียน
วิธีทำ ตัวอย่างที่  1   กำหนดให้  A   = {0 , 1} , B = { 2 , 4 , 7} จงหา  A    B   และ  B    A A    B = {(0 , 2), (0 , 4), (0 , 7), (1 , 2), (1 , 4), (1 , 7)} B    A = {(2 , 0), (2 , 1), (4 , 0), (4 , 1), (7 , 0), (7 , 1)} จากตัวอย่างสังเกตเห็นว่า 1.  A    B      B    A  2.  n(A    B) = n(B    A) = n(A)    n(B)
ตัวอย่างที่   2   กำหนดให้  A = {0} , B = {– 3 , 5}   จงหา  A    B , B    A , A    A , B    B วิธีทำ A    B = {(0 , – 3), (0 , 5)}  และ  n(A    B) = 1    2 = 2 B    A = {(– 3 , 0), (5 , 0)}  และ  n(B    A) = 2    1 = 2 A    A = {(0 , 0)}    และ  n(A    A) = 1    1 = 1 B    B = {(– 3 , – 3 ), (– 3 , 5), (5 , – 3), (5 , 5)}  และ  n(B    B) = 2    2 = 4
จากที่กล่าวมาแล้วว่า ผลคูณคาร์ทีเซียน ของเซต  A   กับเซต   B  คือเซตของคู่อันดับ  (a , b)  ทั้งหมดโดยที่  a   เป็นสมาชิกของเซต  A   และ   b  เป็นสมาชิกของเซต   B   ถ้าแทนความสัมพันธ์ด้วย  r  จะกล่าวได้ว่า  ความสัมพันธ์เป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซตสองเซต  หรือ  r    A    B  และเรียก  r    A    A  ว่าความสัมพันธ์ใน  A ความสัมพันธ์
ตัวอย่างที่   1   กำหนดให้  A = {3 , 4} , B = {6 , 8 , 9}   A    B = {(3 , 6), (3 , 8), (3 , 9), (4 , 6), (4 , 8), (4 , 9)}  ให้  r 1   เป็นความสัมพันธ์  “หารลงตัว”  จาก   A  ไป  B  r 1  = {(3 , 6), (3 , 9), (4 , 8)}  ให้  r 2   เป็นความสัมพันธ์  “เป็นครึ่งหนึ่ง”  จาก   A  ไป  B  r 2  = {(3 , 6), (4 , 8)}  บทนิยาม   r  เป็นความสัมพันธ์จาก  A   ไป   B   ก็ต่อเมื่อ  r   เป็นสับเซตของ  A    B
ตัวอย่างที่   2   กำหนดให้  A = {2 , 4} , B = {2 , 4 , 6 , 8}   ให้  r 1   เป็นความสัมพันธ์  “หารลงตัว”  จาก   A  ไป  B  r 1  = {(2 , 2), (2 , 4), (2 , 6), (2 , 8), (4 , 4), (4 , 8)}  ให้  r 2   เป็นความสัมพันธ์  “เป็นสองเท่า”  จาก   A  ไป  A  r 2  = {(4 , 2)}  ให้  r 3   เป็นความสัมพันธ์  “เป็นครึ่งหนึ่ง”  จาก   B  ไป  B  r 3  = {(2 , 4), (4 , 8)}
โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ บทนิยาม   ให้  r  เป็นความสัมพันธ์จาก  A   ไป  B   โดเมน   (Domain)  ของ  r   คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของทุก  คู่อันดับใน  r   เขียนแทนด้วย  D r   ซึ่ง  D r  = {x / (x , y)    r} เรนจ์   (Range)  ของ  r   คือเซตของสมาชิกตัวหลังของทุก  คู่อันดับใน  r   เขียนแทนด้วย  R r   ซึ่ง  R r  = {y / (x , y)    r}
ตัวอย่างที่  1   r = {(1 , 2), (2 , 3), (3 , 4), (4 , 5)} D r  = {1 , 2 , 3 , 4} R r  = {2 , 3 , 4 , 5}   ตัวอย่างที่  2   r = {(x , y)    A    A / x < y}, A = {1 , 2 , 3} D r  = {1 , 2} R r  = {2 , 3}   ตัวอย่างที่  3   A = {-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3} D r  = {-1 , 0 , 1} R r  = {0 , 1}     r = {(x , y)    A    A / y = x 2 }   = {(-1 , 1), (0 , 0), (1 , 1)}
การหาโดเมน   1.  เขียนเงื่อนไขที่ให้อยู่ในรูป  y  ในเทอมของ  x   2.  พิจารณาค่า  x   ที่ทำให้  y   หาค่าไม่ได้  3.  โดเมนคือเซตของค่า  x   ทั้งหมดที่ทำให้  y   หาค่าได้  การหาเรนจ์   1.  เขียนเงื่อนไขที่ให้อยู่ในรูป  x  ในเทอมของ  y   2.  พิจารณาค่า  y   ที่ทำให้  x   หาค่าไม่ได้  3.  เรนจ์คือเซตของค่า  y   ทั้งหมดที่ทำให้  x   หาค่าได้
ตัวอย่างที่  4   r = {(x , y)    R    R / y = x + 3}  จงหา  D r   และ  R r จากโจทย์  1.  y = x + 3 3. D r  = {x / x    R} วิธีทำ  หา  D r 2.  พิจารณาค่า  x   จะพบว่า  x   เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะหาค่า  y   ได้เสมอ จากโจทย์  1.  y = x + 3 4. R r  = {x / x    R} หา  R r 3.  พิจารณาค่า  y   จะพบว่า  y   เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะหาค่า  x   ได้เสมอ 2.  x = y – 3
ตัวอย่างที่  5   r = {(x , y)    R    R / y = x 2  + 1}  จงหา  D r   และ  R r จากโจทย์  1.  y = x 2  + 1 3. D r  = {x / x    R} วิธีทำ  หา  D r 2.  พิจารณาค่า  x   จะพบว่า  x   เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะหาค่า  y   ได้เสมอ จากโจทย์  1.  y = x 2  + 1     x 2  = y – 1  4. R r  = {y / y  >  1} หา  R r 3.  พิจารณาค่า  y   จาก 2.  ค่า  y  – 1  >  0  เสมอ
กราฟของความสัมพันธ์ บทนิยาม   R   เป็นเซตของจำนวนจริง  และ   r    R    R กราฟของความสัมพันธ์  r   คือเซตของจุดในระนาบ  โดย ที่จุดแต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์  r
ตัวอย่างที่  1  A = {– 1, 0, 1}  จงเขียนกราฟของ  A    A วิธีทำ  A    A = {(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)}   X Y (0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)          (1,1) (1,-1) (-1,1) (-1,-1)
ตัวอย่างที่  2  วิธีทำ  X Y O จงเขียนกราฟของ   r     x -2 -1 0 1 y = x + 1 -1 0 1 2
ตัวอย่างที่  3  จงเขียนกราฟของ   วิธีทำ  X Y O      x -2 -1 0 1 2 y = x 2 4 1 0 1 4
ดังนั้น  ถ้า  r = {(x , y) / (x , y)    r} แล้ว  r -1  = {(y , x) / (x , y)    r} จะเห็นว่า และ ตัวผกผันของความสัมพันธ์ บทนิยาม   ตัวผกผันของความสัมพันธ์  r  คือความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจาก การสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่ เป็นสมาชิกของ  r   เขียนแทนตัวผกผันของความสัมพันธ์   r   ด้วย  r -1
ตัวอย่างที่  1 จงหา วิธีทำ
ตัวอย่างที่  2 จงหา วิธีทำ  พร้อมทั้งเขียนกราฟของ  r   และ  r -1 ในระบบแกนมุมฉากเดียวกัน หรือ   และ   X Y O r y = x r -1
ตัวอย่างที่  3 จงหา วิธีทำ  พร้อมทั้งเขียนกราฟของ  r   และ  r -1 ในระบบแกนมุมฉากเดียวกัน หรือ   และ   ดังนั้น
เขียนกราฟของ  r   และ  r -1   ได้ดังนี้ X Y O r r -1 y = x
บทนิยาม   ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ในสองคู่อันดับใด ๆ ของ ความสัมพันธ์นั้น  ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว  สมาชิกตัวหลัง ต้องเท่ากัน จากบทนิยามกล่าวได้ว่า  ฟังก์ชัน  f   คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งสำหรับ  x , y   และ   z  ใด ๆ  ถ้า  (x,y)    f   และ   (x,z)    f  แล้ว   y = z ดังนั้น  ถ้ามี  x , y   และ   z  ซึ่ง  (x,y)    f   และ   (x,z)    f  แต่   y    z  จะได้ว่า  f   ไม่เป็นฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่  1   จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ในข้อใดเป็นฟังก์ชัน 1.  {(1 , a), (1 , b), (2 , a), (3 , c)} 2.  {(1 , b), (5 , b), (10 , b)} 3.  {(4 , 10), (8 , -10), (12 , 10), (8 , 10)} วิธีทำ ข้อ  1  ไม่เป็นฟังก์ชัน  เพราะว่า  (1 , a), (1 , b)  มีสมาชิก ตัวหน้าเท่ากัน  แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน ข้อ  2  เป็นฟังก์ชัน  เพราะว่าไม่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน ข้อ  3  ไม่เป็นฟังก์ชัน  เพราะว่า  (8 , -10), (8 , 10)  มีสมาชิก ตัวหน้าเท่ากัน  แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน
การพิจารณาว่า ความสัมพันธ์ที่เป็นกราฟว่าเป็นฟังก์ชัน หรือไม่  ให้ลากเส้นตรงขนานกับแกน   Y   ให้ผ่านกราฟ  ถ้า เส้นตรงตัดกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ไม่เกิน  1  จุด  จะสรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้น เป็นฟังก์ชัน   แต่ถ้าเส้นตรง ตัดกราฟมากกว่า  1  จุด  ความสัมพันธ์นั้นจะ ไม่เป็นฟังก์ชัน เช่น X Y O จากรูปข้างต้น  จะได้ว่ากราฟของความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชัน เส้นขนานกับแกน   Y   ตัด กราฟเพียงจุดเดียว
ตัวอย่าง   จงพิจารณากราฟจากข้อต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่   วิธีทำ   เขียนกราฟได้ดังนี้  X Y O ดังนั้น  r   เป็นฟังก์ชัน
เขียนกราฟได้ดังนี้  X Y O ดังนั้น  r   ไม่เป็นฟังก์ชัน  เขียนกราฟได้ดังนี้  X Y O ดังนั้น  r   ไม่เป็นฟังก์ชัน  ตัดกราฟมากกว่า  1  จุด ตัดกราฟมากกว่า  1  จุด
ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์   บทนิยาม  f   เป็นฟังก์ชันจาก   A   ไป   B   ก็ต่อเมื่อ  f   เป็นฟังก์ชัน ที่มีโดเมน คือ   A   และมีเรนจ์เป็นสับเซตของ   B   เขียนแทนด้วย f : A    B  เมื่อ  D f  = A  และ  R f     B  ในกรณีที่ความสัมพันธ์   r   เป็นฟังก์ชันจะเขียน  y = f(x) แทน  (x , y)    f  และเรียก  f(x)  ว่าเป็น ค่าของฟังก์ชัน  f ที่   x   อ่านว่า  เอฟของเอกซ์  หรือ  เอฟที่เอกซ์  หรือ  เอฟเอกซ์ โดยทั่วไปเมื่อกล่าวว่า  f   เป็นฟังก์ชันจะหมายถึงฟังก์ชันจาก สับเซตของ  R   ไป   R
ตัวอย่าง   ให้  A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8}  ถ้า   f = {(10,8), (15,4), (20,4), (25,8)}   จะได้ว่า   g = {(2,10), (4,10), (6,15), (8,25)}   D f  = {10, 15, 20, 25}   = A   และ  R f  = {4, 8}    B ดังนั้น   f : A    B และถ้า   จะได้ว่า   D g  = {2, 4, 6, 8}   = B   และ  R g  = {10, 15, 25}    A ดังนั้น   g : B    A
บทนิยาม  f   เป็นฟังก์ชันจาก   A   ไปทั่วถึง   B   ก็ต่อเมื่อ  f   เป็น ฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ   A   และมีเรนจ์คือ   B   เขียนแทนด้วย f : A    B  เมื่อ  D f  = A  และ  R f  = B  ทั่วถึง ตัวอย่าง   ให้  A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8}  ถ้า   f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)}   จะได้ว่า   D f  = {10, 15, 20, 25}   = A   และ  R f  = {2, 4, 6, 8}    B ดังนั้น   f : A    B ทั่วถึง
บทนิยาม  f   เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก   A   ไป   B   ก็ต่อเมื่อ  f   เป็นฟังก์ชันจาก   A   ไป   B   ที่สำหรับ  x 1   , x 2   ใด ๆ ใน   A  ถ้า  f(x 1 ) = f(x 2 )  แล้ว  x 1   = x 2   เขียนแทนด้วย  f : A    B   1 – 1   ตัวอย่าง   ให้  A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8, 10}  ถ้า   f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)}   จะได้ว่า   ดังนั้น   f : A    B 10152025 2  4  6  8 10 A B 1 – 1
บทนิยาม  f   เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก   A   ไปทั่วถึง   B   ก็ต่อเมื่อ  f   เป็นฟังก์ชันจาก   A   ไปทั่วถึง   B   ที่สำหรับ  x 1   , x 2   ใด ๆ ใน   A  ถ้า  f(x 1 ) = f(x 2 )  แล้ว  x 1   = x 2   เขียนแทนด้วย  f : A    B   1 – 1   ตัวอย่าง   ให้  A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8}  ถ้า   f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)}   จะได้ว่า   ดังนั้น   f : A    B 10152025 2  4  6  8   A B 1 – 1   ทั่วถึง ทั่วถึง
ตัวอย่าง   จงตรวจสอบว่า  ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ วิธีทำ 1.  f(x) = mx + b  เมื่อ  m    0 2.  f(x) = x 2  + 2x + 1 1.  จาก  f(x) = mx + b  เมื่อ  m    0 ให้  x 1  , x 2   เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมมติ  f(x 1 ) = f(x 2 ) จะได้  mx 1  + b = mx 2  + b mx 1  = mx 2   เนื่องจาก  m    0 ดังนั้น  x 1  = x 2   นั่นคือ  f   เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
2.  f(x) = x 2  + 2x + 1 ให้  x 1  , x 2   เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมมติ  f(x 1 ) = f(x 2 ) จะได้  (x 1 ) 2   + 2x 1  +1 = (x 2 ) 2  + 2x 2  +1 จะเห็นว่า มีกรณีที่  x 1    x 2   แต่  f(x 1 ) = f(x 2 )  นั่นคือ  f   ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง   (x 1 ) 2   - (x 2 ) 2  + 2x 1  - 2x 2  = 0 (x 1  - x 2 )(x 1  + x 2  + 2) = 0 นั่นคือ  x 1  = x 2   หรือ  x 2  = - x 1  - 2 เช่น  x 1  = -2  จะได้  x 2  = - (-2) – 2 = 0  ซึ่ง  f(x 1 ) = f(x 2 )
จากการตรวจสอบฟังก์ชันในตัวอย่างข้างต้น  ฟังก์ชัน f(x) = mx + b  เมื่อ  m    0  เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง  และ ฟังก์ชัน  f(x) = x 2  + 2x + 1  ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เมื่อพิจารณากราฟของฟังก์ชันทั้งสอง  จะพบว่า ถ้าลากเส้นตรงขนานกับแกน  X  ตัดกราฟ แล้วตัดกราฟ เพียงจุดเดียว  จะสรุปว่ากราฟนั้นเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ถ้าตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุดกราฟนั้นจะ ไม่เป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจาก  f(x 1 ) = f(x 2 )  แต่  x 1     x 2
จาก   f(x) = mx + b  เมื่อ  m    0  เขียนกราฟได้ดังนี้ X Y O y = mx + b จะเห็นว่าเส้นตรงที่ขนานกับแกน   X   ตัดกราฟเพียงจุดเดียว ดังนั้นกราฟนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
จาก   f(x) = x 2  + 2x + 1 = (x + 1) 2   เขียนกราฟได้ดังนี้ X Y O จะเห็นว่าเส้นตรงที่ขนานกับแกน   X   ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด ดังนั้นกราฟนี้ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
ฟังก์ชันแบ่งออกเป็น  2  ชนิด คือ ฟังก์ชันพีชคณิต  (Algebraic function)  และฟังก์ชันอดิสัย  (Trancendental  function) ฟังก์ชันชนิดต่าง ๆ ที่ควรรู้จัก ฟังก์ชันพีชคณิต  คือ ฟังก์ชันที่มีนิพจน์ประกอบด้วยค่าคงที่  ตัวแปร และเครื่องหมายบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลัง หรือราก 1.  ฟังก์ชันเชิงเส้น  (Linear  function)   คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax + b  เมื่อ  a , b    R  เช่น  f(x) = 3x – 5 , f(x) = 2 – 4x 2.  ฟังก์ชันคงตัว  (Constant  function)   คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = b  เมื่อ  b    R  เช่น  f(x) = 3 , f(x) = 2
3.  ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์  (Absolute  value  function)   คือ ฟังก์ชัน ที่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์  เช่น  f(x) = /3x – 5/ , f(x) = – /x/ + 4 4.  ฟังก์ชันขั้นบันได  (Step  function)   คือ ฟังก์ชันที่มีค่าคงตัว เป็นช่วง ๆ  กราฟของฟังก์ชันนี้มีรูปคล้ายขั้นบันได   เช่น 5.  ฟังก์ชันกำลังสอง  (Quadratic  function)   คือ ฟังก์ชันที่อยู่ใน รูป  f(x) = ax 2  + bx + c  เมื่อ  a,b,c    R   และ  a    0  เช่น  f(x) = 2x 2  , f(x) = x 2  + 3 , f(x) = 2 – 5x – x 2
6.  ฟังก์ชันพหุนาม  (Polynomial  function)   คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 + ... +a 2 x 2 +a 1 x+a 0   โดยที่  a n ,a n-1 ,...,a 2 ,a 1 ,a 0    R   เช่น  f(x) = x 3  + x 2  – 2x +1 , f(x) = x 4  – 2x 2  + x – 1  7 .  ฟังก์ชันที่เป็นคาบ  (Periodic  function)   คือ  f   เป็นฟังก์ชันที่เป็น คาบก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง   p   ซึ่ง  f(x + p) = f(x)  สำหรับทุกค่าของ x   และ   x + p   ที่อยู่ในโดเมนของ  f   เช่น
ฟังก์ชันอดิสัย  คือ ฟังก์ชันใด ๆ ที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต 1.  ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  (Exponential  function)   คือ ฟังก์ชัน ที่อยู่ในรูป  f(x) = a x   เมื่อ  a > 0   และ  a    1  เช่น  f(x) = 2 x  , f(x) = 3 2x   2.  ฟังก์ชันลอการิทึม  (Logarithm  function)   คือ ฟังก์ชันที่อยู่ใน รูป  f(x) = log a x  เมื่อ  a > 0   และ  a    1  เช่น  f(x) = log 2 x , f(x) = log 3 5x  3.  ฟังก์ชันตรีโกณมิติ  (Trigonometric  function)   คือ ฟังก์ชันที่อยู่ ในรูปตรีโกณมิติ  เช่น  f(x) = sin x , f(x) = 2cos 3x  4.  ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน  เช่น  f(x) = arctan x , f(x) = arcsin x  5 .  Hyperbolic  function
ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด บทนิยาม   ให้  f   เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของ เซตของจำนวนจริง  และ  A   เป็นสับเซตของโดเมน 1.  f   เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม   (increasing  function)   บน   A   ก็ต่อเมื่อ สำหรับ  x 1  , x 2   ใด ๆ  ใน  A  ถ้า  x 1  < x 2   แล้ว  f(x 1 ) < f(x 2 ) 2.  f   เป็น ฟังก์ชันลด   (decreasing  function)   บน   A   ก็ต่อเมื่อ สำหรับ  x 1  , x 2   ใด ๆ  ใน  A  ถ้า  x 1  < x 2   แล้ว  f(x 1 ) > f(x 2 ) X Y O X Y O x 1 x 1 x 2 x 2 f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 2 ) ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
ตัวอย่าง   จงพิจารณาว่า  ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือ ฟังก์ชันลดบนเซต   R วิธีทำ 1.  f(x) = 3x + 2  2.  g(x) = –x 3  +1 1.  จาก  f(x) = 3x + 2 ให้  x 1  , x 2   เป็นจำนวนจริงใด ๆ  ซึ่ง  x 1  < x 2 จะได้  3 x 1  < 3x 2   ดังนั้น  f(x 1 )   < f(x 2 )  นั่นคือ  f   เป็นฟังก์ชันเพิ่ม   3 x 1  + 2 < 3x 2  + 2
2.  จาก  g(x) = –x 3  +1 ให้  x 1  , x 2   เป็นจำนวนจริงใด ๆ  ซึ่ง  x 1  < x 2 จะได้  (x 1 ) 3  < (x 2 ) 3   นั่นคือ  g   เป็นฟังก์ชันลด   -(x 1 ) 3  > -(x 2 ) 3   -(x 1 ) 3  +1 > -(x 2 ) 3  +1  ดังนั้น  g(x 1 ) > g(x 2 )
การดำเนินการของฟังก์ชัน
บทนิยาม   ให้  f  และ  g   เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต ของ  R   ผลบวก  (sum)  ผลต่าง  (difference)  ผลคูณ  (product)  และ ผลหาร  (quotient)  ของ  f   และ   g  เขียนแทนด้วย  f + g, f – g, fg  และ ตามลำดับ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดค่าโดย 1.  (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2.  (f - g)(x)  = f(x) - g(x) 3.  (fg)(x)  = f(x)g(x) 4. เมื่อ  g(x)    0 ซึ่ง  D f + g = D f – g = D fg = D f     D g  และ
ตัวอย่างที่  1   กำหนดให้   f = {(2,5),(4,10),(6,12),(8,20)}  และ  g = {(2,1),(4,2),(5,3),(6,4)}  จงหา  f + g,f – g,fg,  วิธีทำ   ดังนั้น  D f + g  = D f – g  = D fg  = D f/g  = D f     D g  = {2, 4, 6}   จากโจทย์  D f  = {2, 4, 6, 8}  และ  D g  = {2, 4, 5, 6}   นั่นคือ f + g = {(2,6),(4,12),(6,16)} f - g  = {(2,4),(4,8),(6,8)} fg  = {(2,5),(4,20),(6,48)}
ตัวอย่างที่  2   กำหนดให้  f(x) = x + 2 , g(x) = x 2   จงหา  f + g , f – g , fg ,  วิธีทำ   จากโจทย์  D f  = D g  = R ดังนั้น  D f + g  = D f – g  = D fg  = D f     D g  = R f + g = {(x , y)/ y = x + 2 + x 2 } f - g = {(x , y)/ y = x + 2 - x 2 } fg = {(x , y)/ y = (x + 2)x 2 } และ  D f/g  = (D f     D g ) – {x/g(x) = 0} = R – {0}
ตัวอย่างที่  3   กำหนดให้  f(x) = 2x + 1 , g(x) = x 2  – 1  จงหา (f + g)(x) , (f – g)(x) , (fg)(x) ,  วิธีทำ   จากโจทย์  D f  = D g  = R (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x 2  + 2x (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (2x + 1) – (x 2  – 1) = –x 2  + 2x + 2  (fg)(x) = f(x)g(x) = (2x + 1)(x 2  – 1) = 2x 3  + x 2  – 2x – 1  ดังนั้น  D f + g  = D f – g  = D fg  = D f     D g  = R และ  D f/g  = (D f     D g ) – {x/g(x) = 0} = R – {–1 , 1}
ตัวอย่างที่  5   จากตัวอย่างที่  4  จงหา  (f + g)(1) , (f – g)(-2) ,  (fg)(2) ,  วิธีทำ   จาก  (f + g)(x) = f(x) + g(x) =  จาก  (f – g)(x) = f(x) – g(x) =  จาก   (fg)(x) = f(x)g(x) =  จะได้  (f + g)(1) = f(1) + g(1) = (1 3  + 1) +1 = 3 จะได้  (f - g)(-2)  หาค่าไม่ได้  เนื่องจาก  -2     [0 ,   ) จะได้  (fg)(2) = f(2)g(2) =
ฟังก์ชันประกอบ
ให้  f  และ  g   เป็นฟังก์ชัน  ดังแผนภาพ A B C 1 2 3 a b c p q r f g จากแผนภาพจะได้  f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b, g(a)=p,   g(b)=p, g(c)=q   ดังนั้น  g(f(1)) = p, g(f(2)) = q, g(f(3)) = p
จะเห็นว่าฟังก์ชันที่สร้างขึ้นใหม่เป็นฟังก์ชันจากเซต  A   ไปเซต  C  เขียนแทนฟังก์ชันนี้ว่า  g o f   ( อ่านว่า จีโอเอฟ )  และเรียกว่า ฟังก์ชันประกอบของ  f  และ  g   จาก  (g o f)(1)=g(f(1))=p,   (g o f)(2)=g(f(2))=q, (g o f)(3)=g(f(3))=p A B C f g    x y=f(x) z=g(y)=g(f(x)) g o f
บทนิยาม   ให้  f  และ   g  เป็นฟังก์ชัน  และ  R f     D g         ฟังก์ชันประกอบของ  f   และ  g  เขียนแทนด้วย  gof   คือฟังก์ชัน ที่มีโดเมนคือ  D gof  = {x    D f  / f(x)    D g }  และกำหนดค่าโดย gof (x) = g(f(x))  สำหรับทุก  x   ใน   D gof  ตัวอย่างที่  1   ให้  f = {(1,3),(2,4),(3,5)}  และ   g = {(3,2),(4,3),(5,5)} จงหา  gof   และ   fog   วิธีทำ  จะหา  g o f  ต้องหา  R f      D g  = {3,4,5}     {3,4,5}      ดังนั้นมีฟังก์ชัน  g o f  ซึ่ง  g o f = {(1,2),(2,3),(3,5)} จะหา  f o g  ต้องหา  R g      D f  = {2,3,5}     {1,2,3}      ดังนั้นมีฟังก์ชัน  f o g  ซึ่ง  f o g = {(3,4),(4,5)} ข้อสังเกต   fog     gof
ตัวอย่างที่  2   ให้  g(x) = 2x – 3  และ   h(x) = x + 1   วิธีทำ   จงหา  h(g(2))  และ   g(h(2))   จากโจทย์จะได้  D g  = R   , R g  = R   และ  D h  = R   , R h  = R   ดังนั้น  R g    D h         และ  R h      D g         นั่นคือ h(g(2)) =  g(h(2)) = h(4 – 3) = h(1) =  g(2 + 1) = g(3) =  1 + 1 = 2 6 – 3 = 3
ตัวอย่างที่  3   ให้  f(x) = –2x  และ   g(x) = x 2   วิธีทำ   จากโจทย์จะได้  D f  = R   , R f  = R   และ  D g  = R   , R g  = [0 ,   )   ดังนั้น  R f    D g         และ  R g      D f         นั่นคือ g(f(x)) =  f(g(x)) = g(–2x) = (–2x) 2  =  f(x 2 ) = – 2x 2   4x 2 จงหา  g(f(x))   และ   f(g(x))   พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ D g o f  = R  และ   R g o f  = [0 ,   )   D f o g  = R  และ   R f o g  = (–    , 0]
ตัวอย่างที่  6   ให้  f(x) = 3x + 5  และ   h(x) = 3x 2  + 3x + 2   วิธีทำ   จากโจทย์  f(x) = 3x + 5   (1) = (2) 3g(x) = 3x 2  + 3x – 3  จงหา  g(x)   ซึ่ง   f(g(x)) = h(x) (1) g(x) = x 2   +  x – 1   และ  f(g(x)) = h(x)   จะได้  f(g(x)) = 3g(x)  + 5  (2) จะได้  3g(x)  + 5  = 3x 2  + 3x + 2
ฟังก์ชันผกผัน
ทฤษฎีบท   ให้  f   เป็นฟังก์ชัน   f   มีฟังก์ชันผกผัน  ก็ต่อเมื่อ  f  เป็นฟังก์ชัน  1 – 1   นั่นคือ  f  -1   เป็นฟังก์ชัน   ตัวอย่างที่  1   ให้  f = {(x , y) / y = 2x + 1}   จงหา  f  -1 วิธีทำ จาก  f = {(x , y) / y = 2x + 1}   ดังนั้น  f  -1  = {(y , x) / y = 2x + 1}   หรือ  f  -1  = {(x , y) / x = 2y + 1}   หรือ
ตัวอย่างที่  2   ให้  f(x) = x 3   จงหา  f  -1 (x) วิธีทำ จาก  f(x) = x 3   ดังนั้น  x = y 3   จะได้  y = x 3   นั่นคือ   ตัวอย่างที่  3   ให้  f(x) = x 2   จงหา  f  -1 (x) วิธีทำ จาก  f(x) = x 2   ดังนั้น  x = y 2   จะได้  y = x 2   นั่นคือ   ซึ่งไม่เป็นฟังก์ชัน  การหากราฟของฟังก์ชันผกผันใช้วิธีเดียวกับการหาความสัมพันธ์ผกผัน
เทคนิคการเขียนกราฟ
การเลื่อนกราฟในแนวตั้ง X Y O – 1   0  1  y = x 2   y = x 2  + 1  y = x 2  – 2
การเลื่อนกราฟในแนวตั้ง 1.  จากกราฟของ  y = f(x)   ถ้า เลื่อนกราฟขึ้นข้างบน  c   หน่วย จะได้สมการของกราฟเป็น  y = f(x)  +  c   เมื่อ  c > 0 2.  จากกราฟของ  y = f(x)   ถ้า เลื่อนกราฟลงข้างล่าง  c   หน่วย จะได้สมการของกราฟเป็น  y = f(x)  –  c  เมื่อ  c > 0 การเลื่อนกราฟในแนวตั้ง จะทำให้สมการของกราฟ  เกิดการเปลี่ยนแปลง  ดังนี้
การเลื่อนกราฟในแนวนอน X Y O – 1   0   1   y = x 2   y = (x + 1) 2   y = (x – 1) 2
การเลื่อนกราฟในแนวนอน 1.  จากกราฟของ  y = f(x)   ถ้า เลื่อนกราฟไปทางขวา  c   หน่วย จะได้สมการของกราฟเป็น  y = f(x – c )   เมื่อ  c > 0 2.  จากกราฟของ  y = f(x)   ถ้า เลื่อนกราฟไปทางซ้าย  c   หน่วย จะได้สมการของกราฟเป็น  y = f(x + c)   เมื่อ  c > 0 การเลื่อนกราฟในแนวนอน จะทำให้สมการของกราฟ  เกิดการเปลี่ยนแปลง  ดังนี้
ตัวอย่างที่  1  จงเขียนกราฟต่อไปนี้   1.  y = /x/ + 3  2.   y = /x/ – 2  วิธีทำ  พิจารณากราฟของ  y = /x/ X Y O y   = /x/ y   = /x/ + 3 y   = /x/ – 2
ตัวอย่างที่  2  จงเขียนกราฟต่อไปนี้   1.  y = /x + 1/  2.   y = /x – 2/  3.  y = /x – 3/ + 1   วิธีทำ  พิจารณากราฟของ  y = /x/ X Y O y   = /x/ y   = /x + 1/ y   = /x – 2/  y   = /x – 3/ + 1  y   = /x – 3/

Contenu connexe

Tendances

การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามการแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามPiyanouch Suwong
 
สรุปสูตรเรื่อง เซต
สรุปสูตรเรื่อง เซตสรุปสูตรเรื่อง เซต
สรุปสูตรเรื่อง เซตK'Keng Hale's
 
อนุพันธ์
อนุพันธ์อนุพันธ์
อนุพันธ์krurutsamee
 
แบบฝึกหัดการวัดตำแหน่งของข้อมูล (สถิติ)
แบบฝึกหัดการวัดตำแหน่งของข้อมูล (สถิติ)แบบฝึกหัดการวัดตำแหน่งของข้อมูล (สถิติ)
แบบฝึกหัดการวัดตำแหน่งของข้อมูล (สถิติ)Math and Brain @Bangbon3
 
แบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ชุดที่ 1
แบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ชุดที่  1แบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ชุดที่  1
แบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ชุดที่ 1Teraporn Thongsiri
 
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงAon Narinchoti
 
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นRitthinarongron School
 
เลขนัย
เลขนัยเลขนัย
เลขนัยAey Usanee
 
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงาน
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงานเอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงาน
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงานWijitta DevilTeacher
 
มัธยฐาน F
มัธยฐาน  Fมัธยฐาน  F
มัธยฐาน FBangon Suyana
 
เอกสารประกอบ เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น
เอกสารประกอบ เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น เอกสารประกอบ เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น
เอกสารประกอบ เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น Wijitta DevilTeacher
 
เพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตเพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตAon Narinchoti
 
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชันแบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชันphaephae
 
การเท่ากัน
การเท่ากันการเท่ากัน
การเท่ากันAon Narinchoti
 
แบบฝึกหัดแรงและการเคลื่อนที่
แบบฝึกหัดแรงและการเคลื่อนที่แบบฝึกหัดแรงและการเคลื่อนที่
แบบฝึกหัดแรงและการเคลื่อนที่nik2529
 
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามการแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามChitpol Kamthep
 

Tendances (20)

การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามการแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
 
สรุปสูตรเรื่อง เซต
สรุปสูตรเรื่อง เซตสรุปสูตรเรื่อง เซต
สรุปสูตรเรื่อง เซต
 
อนุพันธ์
อนุพันธ์อนุพันธ์
อนุพันธ์
 
แบบฝึกหัดการวัดตำแหน่งของข้อมูล (สถิติ)
แบบฝึกหัดการวัดตำแหน่งของข้อมูล (สถิติ)แบบฝึกหัดการวัดตำแหน่งของข้อมูล (สถิติ)
แบบฝึกหัดการวัดตำแหน่งของข้อมูล (สถิติ)
 
กระแสไฟฟ้า (Electric current)2
กระแสไฟฟ้า (Electric current)2กระแสไฟฟ้า (Electric current)2
กระแสไฟฟ้า (Electric current)2
 
แบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ชุดที่ 1
แบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ชุดที่  1แบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ชุดที่  1
แบบฝึกหัดเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ชุดที่ 1
 
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
 
ระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้น
 
เลขนัย
เลขนัยเลขนัย
เลขนัย
 
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงาน
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงานเอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงาน
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงาน
 
มัธยฐาน F
มัธยฐาน  Fมัธยฐาน  F
มัธยฐาน F
 
เอกสารประกอบ เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น
เอกสารประกอบ เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น เอกสารประกอบ เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น
เอกสารประกอบ เรื่อง สภาพสมดุลและสภาพยืดหยุ่น
 
สมดุลกล2
สมดุลกล2สมดุลกล2
สมดุลกล2
 
07สมดุลกล
07สมดุลกล07สมดุลกล
07สมดุลกล
 
เพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตเพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซต
 
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชันแบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
แบบทดสอบ พร้อมเฉลย ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
 
21 ใบความรู้ เรื่องแรงเสียดทาน
21 ใบความรู้  เรื่องแรงเสียดทาน21 ใบความรู้  เรื่องแรงเสียดทาน
21 ใบความรู้ เรื่องแรงเสียดทาน
 
การเท่ากัน
การเท่ากันการเท่ากัน
การเท่ากัน
 
แบบฝึกหัดแรงและการเคลื่อนที่
แบบฝึกหัดแรงและการเคลื่อนที่แบบฝึกหัดแรงและการเคลื่อนที่
แบบฝึกหัดแรงและการเคลื่อนที่
 
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนามการแยกตัวประกอบของพหุนาม
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
 

Similaire à ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน1
ฟังก์ชัน1ฟังก์ชัน1
ฟังก์ชัน1Inmylove Nupad
 
ฟังก์ชัน
ฟังก์ชันฟังก์ชัน
ฟังก์ชันYingying Apinya
 
เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57
เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57
เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57krurutsamee
 
เธ„เธงเธฒเธกเธชเธฑเธกเธžเธฑเธ™เธ˜เนŒ[1]
เธ„เธงเธฒเธกเธชเธฑเธกเธžเธฑเธ™เธ˜เนŒ[1]เธ„เธงเธฒเธกเธชเธฑเธกเธžเธฑเธ™เธ˜เนŒ[1]
เธ„เธงเธฒเธกเธชเธฑเธกเธžเธฑเธ™เธ˜เนŒ[1]aonuma
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 sensehaza
 
เซต (Sets)
เซต (Sets)เซต (Sets)
เซต (Sets)Tum Anucha
 
เลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมเลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมJiraprapa Suwannajak
 
แบบฝึกหัดความสัมพันธ์ระหว่างเซตตอน2
แบบฝึกหัดความสัมพันธ์ระหว่างเซตตอน2แบบฝึกหัดความสัมพันธ์ระหว่างเซตตอน2
แบบฝึกหัดความสัมพันธ์ระหว่างเซตตอน2kroojaja
 
สรุป%20ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน[1]
สรุป%20ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน[1]สรุป%20ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน[1]
สรุป%20ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน[1]aon04937
 
ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)kroojaja
 
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSEO-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSEFocusjung Suchat
 

Similaire à ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (20)

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชันความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
 
Relations
RelationsRelations
Relations
 
Function
FunctionFunction
Function
 
Math1 new
Math1 newMath1 new
Math1 new
 
Function
FunctionFunction
Function
 
1.pdf
1.pdf1.pdf
1.pdf
 
Relation and function
Relation and functionRelation and function
Relation and function
 
ฟังก์ชัน1
ฟังก์ชัน1ฟังก์ชัน1
ฟังก์ชัน1
 
ฟังก์ชัน
ฟังก์ชันฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน
 
Relafuncadd1
Relafuncadd1Relafuncadd1
Relafuncadd1
 
เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57
เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57
เอกสารลำดับอนันต์กำหนดการเชิงเส้น57
 
เธ„เธงเธฒเธกเธชเธฑเธกเธžเธฑเธ™เธ˜เนŒ[1]
เธ„เธงเธฒเธกเธชเธฑเธกเธžเธฑเธ™เธ˜เนŒ[1]เธ„เธงเธฒเธกเธชเธฑเธกเธžเธฑเธ™เธ˜เนŒ[1]
เธ„เธงเธฒเธกเธชเธฑเธกเธžเธฑเธ™เธ˜เนŒ[1]
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6 สรุปเนื้อหา O- net ม.6
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
 
เซต (Sets)
เซต (Sets)เซต (Sets)
เซต (Sets)
 
เลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึมเลขยกกำลังและลอการิทึม
เลขยกกำลังและลอการิทึม
 
Function1
Function1Function1
Function1
 
แบบฝึกหัดความสัมพันธ์ระหว่างเซตตอน2
แบบฝึกหัดความสัมพันธ์ระหว่างเซตตอน2แบบฝึกหัดความสัมพันธ์ระหว่างเซตตอน2
แบบฝึกหัดความสัมพันธ์ระหว่างเซตตอน2
 
สรุป%20ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน[1]
สรุป%20ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน[1]สรุป%20ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน[1]
สรุป%20ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน[1]
 
ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)ตัวกำหนด(Determinant)
ตัวกำหนด(Determinant)
 
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSEO-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
O-net 01 เรื่องเซต ของ MATH HOUSE
 

Plus de Jiraprapa Suwannajak

พื้นที่ผิวและปริมาตร
พื้นที่ผิวและปริมาตรพื้นที่ผิวและปริมาตร
พื้นที่ผิวและปริมาตรJiraprapa Suwannajak
 
งาน เศรษฐกิจพอเพียง
งาน เศรษฐกิจพอเพียงงาน เศรษฐกิจพอเพียง
งาน เศรษฐกิจพอเพียงJiraprapa Suwannajak
 
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยวงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยJiraprapa Suwannajak
 
เศรษฐกิจพอเพียง
เศรษฐกิจพอเพียงเศรษฐกิจพอเพียง
เศรษฐกิจพอเพียงJiraprapa Suwannajak
 
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชันแบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชันJiraprapa Suwannajak
 
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIctสื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIctJiraprapa Suwannajak
 

Plus de Jiraprapa Suwannajak (20)

พื้นที่ผิวและปริมาตร
พื้นที่ผิวและปริมาตรพื้นที่ผิวและปริมาตร
พื้นที่ผิวและปริมาตร
 
ภาคตัดกรวย
ภาคตัดกรวยภาคตัดกรวย
ภาคตัดกรวย
 
เมทริกซ์...
เมทริกซ์...เมทริกซ์...
เมทริกซ์...
 
รากที่สอง..
รากที่สอง..รากที่สอง..
รากที่สอง..
 
อสมการ
อสมการอสมการ
อสมการ
 
เศษส่วน
เศษส่วนเศษส่วน
เศษส่วน
 
ลอการิทึม
ลอการิทึมลอการิทึม
ลอการิทึม
 
ลอการิทึม..[1]
ลอการิทึม..[1]ลอการิทึม..[1]
ลอการิทึม..[1]
 
ตรีโกณมิต..[1]
ตรีโกณมิต..[1]ตรีโกณมิต..[1]
ตรีโกณมิต..[1]
 
ตรรกศาสตร์
ตรรกศาสตร์ตรรกศาสตร์
ตรรกศาสตร์
 
งาน เศรษฐกิจพอเพียง
งาน เศรษฐกิจพอเพียงงาน เศรษฐกิจพอเพียง
งาน เศรษฐกิจพอเพียง
 
วงกลมวงรี
วงกลมวงรีวงกลมวงรี
วงกลมวงรี
 
กลุ่ม4
กลุ่ม4กลุ่ม4
กลุ่ม4
 
วงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยวงกลมหนึ่งหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วย
 
ปรัชญาเศร..
ปรัชญาเศร..ปรัชญาเศร..
ปรัชญาเศร..
 
เศรษฐกิจพอเพียง
เศรษฐกิจพอเพียงเศรษฐกิจพอเพียง
เศรษฐกิจพอเพียง
 
เศรษฐกิจ..[1]
 เศรษฐกิจ..[1] เศรษฐกิจ..[1]
เศรษฐกิจ..[1]
 
สมการตรีโกณ
สมการตรีโกณสมการตรีโกณ
สมการตรีโกณ
 
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชันแบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชัน
 
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIctสื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
สื่อชั้นสูงและการบูรณาการIct
 

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

  • 4. ความสัมพันธ์ สิ่งหนึ่งที่เป็นพื้นฐานสำคัญในเรื่องของความสัมพันธ์คือ คู่อันดับ การเป็นคู่อันดับก็คือจะต้องเป็นคู่และมีอันดับ ใน คณิตศาสตร์จะเขียนคู่อันดับในรูป (a , b) โดยที่ a เป็นสมาชิก ตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง ซึ่ง (a , b)  (b , a) แต่ (a , b) = (b , a) เมื่อ a = b เท่านั้น หรือ (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
  • 5. บทนิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a , b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A  B ดังนั้น A  B = {(a , b)/a  A และ b  B} ผลคูณคาร์ทีเชียน
  • 6. วิธีทำ ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {0 , 1} , B = { 2 , 4 , 7} จงหา A  B และ B  A A  B = {(0 , 2), (0 , 4), (0 , 7), (1 , 2), (1 , 4), (1 , 7)} B  A = {(2 , 0), (2 , 1), (4 , 0), (4 , 1), (7 , 0), (7 , 1)} จากตัวอย่างสังเกตเห็นว่า 1. A  B  B  A 2. n(A  B) = n(B  A) = n(A)  n(B)
  • 7. ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {0} , B = {– 3 , 5} จงหา A  B , B  A , A  A , B  B วิธีทำ A  B = {(0 , – 3), (0 , 5)} และ n(A  B) = 1  2 = 2 B  A = {(– 3 , 0), (5 , 0)} และ n(B  A) = 2  1 = 2 A  A = {(0 , 0)} และ n(A  A) = 1  1 = 1 B  B = {(– 3 , – 3 ), (– 3 , 5), (5 , – 3), (5 , 5)} และ n(B  B) = 2  2 = 4
  • 8. จากที่กล่าวมาแล้วว่า ผลคูณคาร์ทีเซียน ของเซต A กับเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a , b) ทั้งหมดโดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B ถ้าแทนความสัมพันธ์ด้วย r จะกล่าวได้ว่า ความสัมพันธ์เป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซตสองเซต หรือ r  A  B และเรียก r  A  A ว่าความสัมพันธ์ใน A ความสัมพันธ์
  • 9. ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {3 , 4} , B = {6 , 8 , 9} A  B = {(3 , 6), (3 , 8), (3 , 9), (4 , 6), (4 , 8), (4 , 9)} ให้ r 1 เป็นความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก A ไป B r 1 = {(3 , 6), (3 , 9), (4 , 8)} ให้ r 2 เป็นความสัมพันธ์ “เป็นครึ่งหนึ่ง” จาก A ไป B r 2 = {(3 , 6), (4 , 8)} บทนิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A  B
  • 10. ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {2 , 4} , B = {2 , 4 , 6 , 8} ให้ r 1 เป็นความสัมพันธ์ “หารลงตัว” จาก A ไป B r 1 = {(2 , 2), (2 , 4), (2 , 6), (2 , 8), (4 , 4), (4 , 8)} ให้ r 2 เป็นความสัมพันธ์ “เป็นสองเท่า” จาก A ไป A r 2 = {(4 , 2)} ให้ r 3 เป็นความสัมพันธ์ “เป็นครึ่งหนึ่ง” จาก B ไป B r 3 = {(2 , 4), (4 , 8)}
  • 11. โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ บทนิยาม ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B โดเมน (Domain) ของ r คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของทุก คู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย D r ซึ่ง D r = {x / (x , y)  r} เรนจ์ (Range) ของ r คือเซตของสมาชิกตัวหลังของทุก คู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R r ซึ่ง R r = {y / (x , y)  r}
  • 12. ตัวอย่างที่ 1 r = {(1 , 2), (2 , 3), (3 , 4), (4 , 5)} D r = {1 , 2 , 3 , 4} R r = {2 , 3 , 4 , 5} ตัวอย่างที่ 2 r = {(x , y)  A  A / x < y}, A = {1 , 2 , 3} D r = {1 , 2} R r = {2 , 3} ตัวอย่างที่ 3 A = {-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3} D r = {-1 , 0 , 1} R r = {0 , 1} r = {(x , y)  A  A / y = x 2 } = {(-1 , 1), (0 , 0), (1 , 1)}
  • 13. การหาโดเมน 1. เขียนเงื่อนไขที่ให้อยู่ในรูป y ในเทอมของ x 2. พิจารณาค่า x ที่ทำให้ y หาค่าไม่ได้ 3. โดเมนคือเซตของค่า x ทั้งหมดที่ทำให้ y หาค่าได้ การหาเรนจ์ 1. เขียนเงื่อนไขที่ให้อยู่ในรูป x ในเทอมของ y 2. พิจารณาค่า y ที่ทำให้ x หาค่าไม่ได้ 3. เรนจ์คือเซตของค่า y ทั้งหมดที่ทำให้ x หาค่าได้
  • 14. ตัวอย่างที่ 4 r = {(x , y)  R  R / y = x + 3} จงหา D r และ R r จากโจทย์ 1. y = x + 3 3. D r = {x / x  R} วิธีทำ หา D r 2. พิจารณาค่า x จะพบว่า x เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะหาค่า y ได้เสมอ จากโจทย์ 1. y = x + 3 4. R r = {x / x  R} หา R r 3. พิจารณาค่า y จะพบว่า y เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะหาค่า x ได้เสมอ 2. x = y – 3
  • 15. ตัวอย่างที่ 5 r = {(x , y)  R  R / y = x 2 + 1} จงหา D r และ R r จากโจทย์ 1. y = x 2 + 1 3. D r = {x / x  R} วิธีทำ หา D r 2. พิจารณาค่า x จะพบว่า x เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะหาค่า y ได้เสมอ จากโจทย์ 1. y = x 2 + 1  x 2 = y – 1 4. R r = {y / y > 1} หา R r 3. พิจารณาค่า y จาก 2. ค่า y – 1 > 0 เสมอ
  • 16. กราฟของความสัมพันธ์ บทนิยาม R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r  R  R กราฟของความสัมพันธ์ r คือเซตของจุดในระนาบ โดย ที่จุดแต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ r
  • 17. ตัวอย่างที่ 1 A = {– 1, 0, 1} จงเขียนกราฟของ A  A วิธีทำ A  A = {(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)} X Y (0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)          (1,1) (1,-1) (-1,1) (-1,-1)
  • 18. ตัวอย่างที่ 2 วิธีทำ X Y O จงเขียนกราฟของ r     x -2 -1 0 1 y = x + 1 -1 0 1 2
  • 19. ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของ วิธีทำ X Y O      x -2 -1 0 1 2 y = x 2 4 1 0 1 4
  • 20. ดังนั้น ถ้า r = {(x , y) / (x , y)  r} แล้ว r -1 = {(y , x) / (x , y)  r} จะเห็นว่า และ ตัวผกผันของความสัมพันธ์ บทนิยาม ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r คือความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจาก การสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่ เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนตัวผกผันของความสัมพันธ์ r ด้วย r -1
  • 21. ตัวอย่างที่ 1 จงหา วิธีทำ
  • 22. ตัวอย่างที่ 2 จงหา วิธีทำ พร้อมทั้งเขียนกราฟของ r และ r -1 ในระบบแกนมุมฉากเดียวกัน หรือ และ X Y O r y = x r -1
  • 23. ตัวอย่างที่ 3 จงหา วิธีทำ พร้อมทั้งเขียนกราฟของ r และ r -1 ในระบบแกนมุมฉากเดียวกัน หรือ และ ดังนั้น
  • 24. เขียนกราฟของ r และ r -1 ได้ดังนี้ X Y O r r -1 y = x
  • 25. บทนิยาม ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ในสองคู่อันดับใด ๆ ของ ความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลัง ต้องเท่ากัน จากบทนิยามกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งสำหรับ x , y และ z ใด ๆ ถ้า (x,y)  f และ (x,z)  f แล้ว y = z ดังนั้น ถ้ามี x , y และ z ซึ่ง (x,y)  f และ (x,z)  f แต่ y  z จะได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน
  • 26. ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ในข้อใดเป็นฟังก์ชัน 1. {(1 , a), (1 , b), (2 , a), (3 , c)} 2. {(1 , b), (5 , b), (10 , b)} 3. {(4 , 10), (8 , -10), (12 , 10), (8 , 10)} วิธีทำ ข้อ 1 ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะว่า (1 , a), (1 , b) มีสมาชิก ตัวหน้าเท่ากัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน ข้อ 2 เป็นฟังก์ชัน เพราะว่าไม่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน ข้อ 3 ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะว่า (8 , -10), (8 , 10) มีสมาชิก ตัวหน้าเท่ากัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน
  • 27. การพิจารณาว่า ความสัมพันธ์ที่เป็นกราฟว่าเป็นฟังก์ชัน หรือไม่ ให้ลากเส้นตรงขนานกับแกน Y ให้ผ่านกราฟ ถ้า เส้นตรงตัดกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ไม่เกิน 1 จุด จะสรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้น เป็นฟังก์ชัน แต่ถ้าเส้นตรง ตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นจะ ไม่เป็นฟังก์ชัน เช่น X Y O จากรูปข้างต้น จะได้ว่ากราฟของความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชัน เส้นขนานกับแกน Y ตัด กราฟเพียงจุดเดียว
  • 28. ตัวอย่าง จงพิจารณากราฟจากข้อต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่ วิธีทำ เขียนกราฟได้ดังนี้ X Y O ดังนั้น r เป็นฟังก์ชัน
  • 29. เขียนกราฟได้ดังนี้ X Y O ดังนั้น r ไม่เป็นฟังก์ชัน เขียนกราฟได้ดังนี้ X Y O ดังนั้น r ไม่เป็นฟังก์ชัน ตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ตัดกราฟมากกว่า 1 จุด
  • 30. ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์ บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีโดเมน คือ A และมีเรนจ์เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย f : A  B เมื่อ D f = A และ R f  B ในกรณีที่ความสัมพันธ์ r เป็นฟังก์ชันจะเขียน y = f(x) แทน (x , y)  f และเรียก f(x) ว่าเป็น ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x อ่านว่า เอฟของเอกซ์ หรือ เอฟที่เอกซ์ หรือ เอฟเอกซ์ โดยทั่วไปเมื่อกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันจะหมายถึงฟังก์ชันจาก สับเซตของ R ไป R
  • 31. ตัวอย่าง ให้ A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถ้า f = {(10,8), (15,4), (20,4), (25,8)} จะได้ว่า g = {(2,10), (4,10), (6,15), (8,25)} D f = {10, 15, 20, 25} = A และ R f = {4, 8}  B ดังนั้น f : A  B และถ้า จะได้ว่า D g = {2, 4, 6, 8} = B และ R g = {10, 15, 25}  A ดังนั้น g : B  A
  • 32. บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็น ฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ A และมีเรนจ์คือ B เขียนแทนด้วย f : A  B เมื่อ D f = A และ R f = B ทั่วถึง ตัวอย่าง ให้ A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถ้า f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)} จะได้ว่า D f = {10, 15, 20, 25} = A และ R f = {2, 4, 6, 8}  B ดังนั้น f : A  B ทั่วถึง
  • 33. บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ที่สำหรับ x 1 , x 2 ใด ๆ ใน A ถ้า f(x 1 ) = f(x 2 ) แล้ว x 1 = x 2 เขียนแทนด้วย f : A  B 1 – 1 ตัวอย่าง ให้ A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8, 10} ถ้า f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)} จะได้ว่า ดังนั้น f : A  B 10152025 2 4 6 8 10 A B 1 – 1
  • 34. บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ที่สำหรับ x 1 , x 2 ใด ๆ ใน A ถ้า f(x 1 ) = f(x 2 ) แล้ว x 1 = x 2 เขียนแทนด้วย f : A  B 1 – 1 ตัวอย่าง ให้ A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถ้า f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)} จะได้ว่า ดังนั้น f : A  B 10152025 2 4 6 8 A B 1 – 1 ทั่วถึง ทั่วถึง
  • 35. ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ วิธีทำ 1. f(x) = mx + b เมื่อ m  0 2. f(x) = x 2 + 2x + 1 1. จาก f(x) = mx + b เมื่อ m  0 ให้ x 1 , x 2 เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมมติ f(x 1 ) = f(x 2 ) จะได้ mx 1 + b = mx 2 + b mx 1 = mx 2 เนื่องจาก m  0 ดังนั้น x 1 = x 2 นั่นคือ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
  • 36. 2. f(x) = x 2 + 2x + 1 ให้ x 1 , x 2 เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมมติ f(x 1 ) = f(x 2 ) จะได้ (x 1 ) 2 + 2x 1 +1 = (x 2 ) 2 + 2x 2 +1 จะเห็นว่า มีกรณีที่ x 1  x 2 แต่ f(x 1 ) = f(x 2 ) นั่นคือ f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (x 1 ) 2 - (x 2 ) 2 + 2x 1 - 2x 2 = 0 (x 1 - x 2 )(x 1 + x 2 + 2) = 0 นั่นคือ x 1 = x 2 หรือ x 2 = - x 1 - 2 เช่น x 1 = -2 จะได้ x 2 = - (-2) – 2 = 0 ซึ่ง f(x 1 ) = f(x 2 )
  • 37. จากการตรวจสอบฟังก์ชันในตัวอย่างข้างต้น ฟังก์ชัน f(x) = mx + b เมื่อ m  0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ ฟังก์ชัน f(x) = x 2 + 2x + 1 ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เมื่อพิจารณากราฟของฟังก์ชันทั้งสอง จะพบว่า ถ้าลากเส้นตรงขนานกับแกน X ตัดกราฟ แล้วตัดกราฟ เพียงจุดเดียว จะสรุปว่ากราฟนั้นเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ถ้าตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุดกราฟนั้นจะ ไม่เป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจาก f(x 1 ) = f(x 2 ) แต่ x 1  x 2
  • 38. จาก f(x) = mx + b เมื่อ m  0 เขียนกราฟได้ดังนี้ X Y O y = mx + b จะเห็นว่าเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ตัดกราฟเพียงจุดเดียว ดังนั้นกราฟนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
  • 39. จาก f(x) = x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 เขียนกราฟได้ดังนี้ X Y O จะเห็นว่าเส้นตรงที่ขนานกับแกน X ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด ดังนั้นกราฟนี้ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
  • 40. ฟังก์ชันแบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic function) และฟังก์ชันอดิสัย (Trancendental function) ฟังก์ชันชนิดต่าง ๆ ที่ควรรู้จัก ฟังก์ชันพีชคณิต คือ ฟังก์ชันที่มีนิพจน์ประกอบด้วยค่าคงที่ ตัวแปร และเครื่องหมายบวก ลบ คูณ หาร ยกกำลัง หรือราก 1. ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a , b  R เช่น f(x) = 3x – 5 , f(x) = 2 – 4x 2. ฟังก์ชันคงตัว (Constant function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = b เมื่อ b  R เช่น f(x) = 3 , f(x) = 2
  • 41. 3. ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute value function) คือ ฟังก์ชัน ที่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ เช่น f(x) = /3x – 5/ , f(x) = – /x/ + 4 4. ฟังก์ชันขั้นบันได (Step function) คือ ฟังก์ชันที่มีค่าคงตัว เป็นช่วง ๆ กราฟของฟังก์ชันนี้มีรูปคล้ายขั้นบันได เช่น 5. ฟังก์ชันกำลังสอง (Quadratic function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ใน รูป f(x) = ax 2 + bx + c เมื่อ a,b,c  R และ a  0 เช่น f(x) = 2x 2 , f(x) = x 2 + 3 , f(x) = 2 – 5x – x 2
  • 42. 6. ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 + ... +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 โดยที่ a n ,a n-1 ,...,a 2 ,a 1 ,a 0  R เช่น f(x) = x 3 + x 2 – 2x +1 , f(x) = x 4 – 2x 2 + x – 1 7 . ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (Periodic function) คือ f เป็นฟังก์ชันที่เป็น คาบก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง p ซึ่ง f(x + p) = f(x) สำหรับทุกค่าของ x และ x + p ที่อยู่ในโดเมนของ f เช่น
  • 43. ฟังก์ชันอดิสัย คือ ฟังก์ชันใด ๆ ที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต 1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function) คือ ฟังก์ชัน ที่อยู่ในรูป f(x) = a x เมื่อ a > 0 และ a  1 เช่น f(x) = 2 x , f(x) = 3 2x 2. ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithm function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ใน รูป f(x) = log a x เมื่อ a > 0 และ a  1 เช่น f(x) = log 2 x , f(x) = log 3 5x 3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ ในรูปตรีโกณมิติ เช่น f(x) = sin x , f(x) = 2cos 3x 4. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน เช่น f(x) = arctan x , f(x) = arcsin x 5 . Hyperbolic function
  • 44. ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด บทนิยาม ให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของ เซตของจำนวนจริง และ A เป็นสับเซตของโดเมน 1. f เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) บน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับ x 1 , x 2 ใด ๆ ใน A ถ้า x 1 < x 2 แล้ว f(x 1 ) < f(x 2 ) 2. f เป็น ฟังก์ชันลด (decreasing function) บน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับ x 1 , x 2 ใด ๆ ใน A ถ้า x 1 < x 2 แล้ว f(x 1 ) > f(x 2 ) X Y O X Y O x 1 x 1 x 2 x 2 f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 2 ) ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
  • 45. ตัวอย่าง จงพิจารณาว่า ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือ ฟังก์ชันลดบนเซต R วิธีทำ 1. f(x) = 3x + 2 2. g(x) = –x 3 +1 1. จาก f(x) = 3x + 2 ให้ x 1 , x 2 เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่ง x 1 < x 2 จะได้ 3 x 1 < 3x 2 ดังนั้น f(x 1 ) < f(x 2 ) นั่นคือ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 3 x 1 + 2 < 3x 2 + 2
  • 46. 2. จาก g(x) = –x 3 +1 ให้ x 1 , x 2 เป็นจำนวนจริงใด ๆ ซึ่ง x 1 < x 2 จะได้ (x 1 ) 3 < (x 2 ) 3 นั่นคือ g เป็นฟังก์ชันลด -(x 1 ) 3 > -(x 2 ) 3 -(x 1 ) 3 +1 > -(x 2 ) 3 +1 ดังนั้น g(x 1 ) > g(x 2 )
  • 48. บทนิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต ของ R ผลบวก (sum) ผลต่าง (difference) ผลคูณ (product) และ ผลหาร (quotient) ของ f และ g เขียนแทนด้วย f + g, f – g, fg และ ตามลำดับ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดค่าโดย 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) 3. (fg)(x) = f(x)g(x) 4. เมื่อ g(x)  0 ซึ่ง D f + g = D f – g = D fg = D f  D g และ
  • 49. ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ f = {(2,5),(4,10),(6,12),(8,20)} และ g = {(2,1),(4,2),(5,3),(6,4)} จงหา f + g,f – g,fg, วิธีทำ ดังนั้น D f + g = D f – g = D fg = D f/g = D f  D g = {2, 4, 6} จากโจทย์ D f = {2, 4, 6, 8} และ D g = {2, 4, 5, 6} นั่นคือ f + g = {(2,6),(4,12),(6,16)} f - g = {(2,4),(4,8),(6,8)} fg = {(2,5),(4,20),(6,48)}
  • 50. ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f(x) = x + 2 , g(x) = x 2 จงหา f + g , f – g , fg , วิธีทำ จากโจทย์ D f = D g = R ดังนั้น D f + g = D f – g = D fg = D f  D g = R f + g = {(x , y)/ y = x + 2 + x 2 } f - g = {(x , y)/ y = x + 2 - x 2 } fg = {(x , y)/ y = (x + 2)x 2 } และ D f/g = (D f  D g ) – {x/g(x) = 0} = R – {0}
  • 51. ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ f(x) = 2x + 1 , g(x) = x 2 – 1 จงหา (f + g)(x) , (f – g)(x) , (fg)(x) , วิธีทำ จากโจทย์ D f = D g = R (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x 2 + 2x (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (2x + 1) – (x 2 – 1) = –x 2 + 2x + 2 (fg)(x) = f(x)g(x) = (2x + 1)(x 2 – 1) = 2x 3 + x 2 – 2x – 1 ดังนั้น D f + g = D f – g = D fg = D f  D g = R และ D f/g = (D f  D g ) – {x/g(x) = 0} = R – {–1 , 1}
  • 52. ตัวอย่างที่ 5 จากตัวอย่างที่ 4 จงหา (f + g)(1) , (f – g)(-2) , (fg)(2) , วิธีทำ จาก (f + g)(x) = f(x) + g(x) = จาก (f – g)(x) = f(x) – g(x) = จาก (fg)(x) = f(x)g(x) = จะได้ (f + g)(1) = f(1) + g(1) = (1 3 + 1) +1 = 3 จะได้ (f - g)(-2) หาค่าไม่ได้ เนื่องจาก -2  [0 ,  ) จะได้ (fg)(2) = f(2)g(2) =
  • 54. ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน ดังแผนภาพ A B C 1 2 3 a b c p q r f g จากแผนภาพจะได้ f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b, g(a)=p, g(b)=p, g(c)=q ดังนั้น g(f(1)) = p, g(f(2)) = q, g(f(3)) = p
  • 55. จะเห็นว่าฟังก์ชันที่สร้างขึ้นใหม่เป็นฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต C เขียนแทนฟังก์ชันนี้ว่า g o f ( อ่านว่า จีโอเอฟ ) และเรียกว่า ฟังก์ชันประกอบของ f และ g จาก (g o f)(1)=g(f(1))=p, (g o f)(2)=g(f(2))=q, (g o f)(3)=g(f(3))=p A B C f g    x y=f(x) z=g(y)=g(f(x)) g o f
  • 56. บทนิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f  D g   ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย gof คือฟังก์ชัน ที่มีโดเมนคือ D gof = {x  D f / f(x)  D g } และกำหนดค่าโดย gof (x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ใน D gof ตัวอย่างที่ 1 ให้ f = {(1,3),(2,4),(3,5)} และ g = {(3,2),(4,3),(5,5)} จงหา gof และ fog วิธีทำ จะหา g o f ต้องหา R f  D g = {3,4,5}  {3,4,5}   ดังนั้นมีฟังก์ชัน g o f ซึ่ง g o f = {(1,2),(2,3),(3,5)} จะหา f o g ต้องหา R g  D f = {2,3,5}  {1,2,3}   ดังนั้นมีฟังก์ชัน f o g ซึ่ง f o g = {(3,4),(4,5)} ข้อสังเกต fog  gof
  • 57. ตัวอย่างที่ 2 ให้ g(x) = 2x – 3 และ h(x) = x + 1 วิธีทำ จงหา h(g(2)) และ g(h(2)) จากโจทย์จะได้ D g = R , R g = R และ D h = R , R h = R ดังนั้น R g  D h   และ R h  D g   นั่นคือ h(g(2)) = g(h(2)) = h(4 – 3) = h(1) = g(2 + 1) = g(3) = 1 + 1 = 2 6 – 3 = 3
  • 58. ตัวอย่างที่ 3 ให้ f(x) = –2x และ g(x) = x 2 วิธีทำ จากโจทย์จะได้ D f = R , R f = R และ D g = R , R g = [0 ,  ) ดังนั้น R f  D g   และ R g  D f   นั่นคือ g(f(x)) = f(g(x)) = g(–2x) = (–2x) 2 = f(x 2 ) = – 2x 2 4x 2 จงหา g(f(x)) และ f(g(x)) พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ D g o f = R และ R g o f = [0 ,  ) D f o g = R และ R f o g = (–  , 0]
  • 59. ตัวอย่างที่ 6 ให้ f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x 2 + 3x + 2 วิธีทำ จากโจทย์ f(x) = 3x + 5 (1) = (2) 3g(x) = 3x 2 + 3x – 3 จงหา g(x) ซึ่ง f(g(x)) = h(x) (1) g(x) = x 2 + x – 1  และ f(g(x)) = h(x) จะได้ f(g(x)) = 3g(x) + 5 (2) จะได้ 3g(x) + 5 = 3x 2 + 3x + 2
  • 61. ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 นั่นคือ f -1 เป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างที่ 1 ให้ f = {(x , y) / y = 2x + 1} จงหา f -1 วิธีทำ จาก f = {(x , y) / y = 2x + 1} ดังนั้น f -1 = {(y , x) / y = 2x + 1} หรือ f -1 = {(x , y) / x = 2y + 1} หรือ
  • 62. ตัวอย่างที่ 2 ให้ f(x) = x 3 จงหา f -1 (x) วิธีทำ จาก f(x) = x 3 ดังนั้น x = y 3 จะได้ y = x 3 นั่นคือ  ตัวอย่างที่ 3 ให้ f(x) = x 2 จงหา f -1 (x) วิธีทำ จาก f(x) = x 2 ดังนั้น x = y 2 จะได้ y = x 2 นั่นคือ  ซึ่งไม่เป็นฟังก์ชัน การหากราฟของฟังก์ชันผกผันใช้วิธีเดียวกับการหาความสัมพันธ์ผกผัน
  • 64. การเลื่อนกราฟในแนวตั้ง X Y O – 1 0 1 y = x 2 y = x 2 + 1 y = x 2 – 2
  • 65. การเลื่อนกราฟในแนวตั้ง 1. จากกราฟของ y = f(x) ถ้า เลื่อนกราฟขึ้นข้างบน c หน่วย จะได้สมการของกราฟเป็น y = f(x) + c เมื่อ c > 0 2. จากกราฟของ y = f(x) ถ้า เลื่อนกราฟลงข้างล่าง c หน่วย จะได้สมการของกราฟเป็น y = f(x) – c เมื่อ c > 0 การเลื่อนกราฟในแนวตั้ง จะทำให้สมการของกราฟ เกิดการเปลี่ยนแปลง ดังนี้
  • 66. การเลื่อนกราฟในแนวนอน X Y O – 1 0 1 y = x 2 y = (x + 1) 2 y = (x – 1) 2
  • 67. การเลื่อนกราฟในแนวนอน 1. จากกราฟของ y = f(x) ถ้า เลื่อนกราฟไปทางขวา c หน่วย จะได้สมการของกราฟเป็น y = f(x – c ) เมื่อ c > 0 2. จากกราฟของ y = f(x) ถ้า เลื่อนกราฟไปทางซ้าย c หน่วย จะได้สมการของกราฟเป็น y = f(x + c) เมื่อ c > 0 การเลื่อนกราฟในแนวนอน จะทำให้สมการของกราฟ เกิดการเปลี่ยนแปลง ดังนี้
  • 68. ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟต่อไปนี้ 1. y = /x/ + 3 2. y = /x/ – 2 วิธีทำ พิจารณากราฟของ y = /x/ X Y O y = /x/ y = /x/ + 3 y = /x/ – 2
  • 69. ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟต่อไปนี้ 1. y = /x + 1/ 2. y = /x – 2/ 3. y = /x – 3/ + 1 วิธีทำ พิจารณากราฟของ y = /x/ X Y O y = /x/ y = /x + 1/ y = /x – 2/ y = /x – 3/ + 1 y = /x – 3/