Contenu connexe Similaire à เมทริกซ์... (20) Plus de Jiraprapa Suwannajak Plus de Jiraprapa Suwannajak (20) เมทริกซ์...1. เมทริกซ์
ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (อังกฤษ: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุ
จานวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนามาบวกและคูณกับตัวเลขได้
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสอง
ตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็น
แนวความคิดที่มีความสาคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่
เน้นการศึกษาเมทริกซ์
ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจานวนจริงหรือจานวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น
นิยาม
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจานวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือ
เรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและ
เขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียก
จานวนแต่ละจานวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุ
ตาแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 1
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5
เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ เราเรียก
จานวน m และ n ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์
เราใช้สัญญลักษณ์ เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมี m แถว และ n หลัก โดย
ที่ ai,j (หรือ aij) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตาแหน่ง แถว i และ หลัก j ของเมทริกซ์
2. การกระทาระหว่างเมทริกซ์
การบวก
ดูบทความหลักที่ การบวกเมทริกซ์
ให้ และ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถ
นิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก A + B ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด ที่คานวณโดยการบวกสมาชิกที่มี
ตาแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก แล้ว ci,j = ai,j + bi,j ยกตัวอย่างเช่น
การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง
การคูณด้วยสเกลาร์
กาหนดเมทริกซ์ และจานวน c เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ cA ว่าเป็นเมทริกซ์
ขนาด ที่คานวณโดยการนา c ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A กล่าวคือ
หาก แล้ว bi,j = cai,j ยกตัวอย่างเช่น
จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์
ขนาด ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ mn ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์
ชนิดหนึ่ง
3. การคูณ
ถ้า และ เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จานวนหลัก
ของ A เท่ากับจานวนแถวของ B แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ AB ว่าเป็นเมท
ริกซ์ โดยที่
กล่าวคือสมาชิกในแถว i หลัก j ของผลคูณ AB คานวณได้จากการนาสมาชิกของหลัก i ของ A และสมาชิก
ของคอลัมน์ B ในตาแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนาผลคูณทั้ง n ผลคูณนั้นมาบวกกัน
ปฏิบัติการนี้อาจทาให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเรา
ให้ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i ของ A และ
ให้ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j ของ B แล้ว เราจะได้
ว่า เมื่อ คือผลคูณจุดของ ai และ bj เช่น
ให้ และ
แล้ว และ
การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
สมบัติการเปลี่ยนหมู่: (AB)C = A(BC) สาหรับเมทริกซ์ A ขนาด , B ขนาด ,
และ C ขนาด ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
สมบัติการแจกแจงทางขวา: (A + B)C = AC + BC สาหรับเมท
ริกซ์ A และ B ขนาด และ C ขนาด ใดๆ
สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: C(A + B) = CA + CB สาหรับเมท
ริกซ์ A และ B ขนาด และ C ขนาด ใดๆ
คาเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจานวนโดยทั่วไป เนื่องจากมันไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ
สาหรับเมทริกซ์ A ขนาด และ Bขนาด ใดๆ
4. ถ้า แล้ว ผลคูณ BA ไม่มีนิยาม
แม้ m = p แต่ถ้า แล้ว AB เป็นเมทริกซ์ขนาด ส่วน BA เป็นเมทริกซ์
ขนาด ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
แม้ m = n = p แต่ส่วนมากแล้ว AB มักจะมีค่าไม่เท่ากับ BA ยกตัวอย่างเช่น
เรากล่าวว่าเมทริกซ์ A แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ B ถ้า AB = − BA เมทริกซ์ที่แอนติคอม
มิวต์ซึ่งกันและกันมีความสาคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
ข้อสังเกตุ i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column
การสลับเปลี่ยน
ดูบทความหลักที่ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมท
ริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m×n คือ AT ขนาด n×m ( หรือเขียนอยู่ใน
รูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น
เมทริกซ์จัตุรัส
เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์
ขนาด n × n ยกเว้น n= 1
เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยง
มุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่
เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MIn = M และ InN = N สาหรับทุกๆเมทริกซ์M ขนาด m × nและเมท
ริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:
5. เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ
เมทริกซ์สมมาตร คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง
นั่นก็คือ หรือ ai,j = aj,i สาหรับทุกดัชนีที่ i และ j
เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์
ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ หรือ ai,j = − aj,iสาหรับทุกดัชนีที่ i
และ j
เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจานวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค
(conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับ
สมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ หรือเขียนแทนด้วยการ
สลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า
เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนาน
เส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ
6. แบบฝึกหัด
จากข้อ1-4จงแปลงระบบสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูประบบสมการสามเหลี่ยมบน
1. 2 x +4 x -6 x = -4
1 2 3
x1 +5 x 2 +3 x 3 =10
x1 +3 x 2 +2 x 3 = 5
วิธีทา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน
2 4 6 4
1 5 3 10 r2 r2 1
r
2 1
1 3 2 5 r3 r3 1
r
2 1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3
1
2 4 6 4
0 3 6 12
0 1 5 7 r3 r3 1
r
3 1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
2 4 6 4
0 3 6 12
0 0 3 3
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
2 x +4 x -6 x = -4
1 2 3
3 x +6 x =12
2 3
3x = 3
3
7. 2. x1 + x 2 +6 x 3 = 7
- x +2 x +9 x = 2
1 2 3
x1 -2 x +3 x =10
2 3
วิธีทา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน
1 1 6 7
1 2 9 2 r2 r2 1r1
1 2 3 10 r3 r3 1r1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3
1
1 1 6 7
0 3 15 9
0 3 3 3 r3 r3 ( 1) r1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
1 1 6 7
0 3 15 9
0 0 12 12
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
x1 + x 2 + 6x = 7
3
3 x +15 x = 9
2 3
12 x =12
3
8. 3. 2 x -2 x +5 x = 6
1 2 3
2 x +3 x + 1 2
x 3 = 13
- x +4 x -4 x = 3
1 2 3
วิธีทา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน
2 2 5 6
2 3 1 13 r2 r2 1r1
1 4 4 3 r3 r3 1 2 r1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3
1
2 2 5 6
0 5 4 7
0 3 1.5 6 r3 r3 3
r
5 1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
2 2 56
0 5 4 7
0 0 0.9 1.8
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
2 x -2 x +5 x = 6
1 2 3
-4 x + 2
x3 = 7
0.9 x =1.8 3
9. 4. -5 x +2 x1 2 - x = -1
3
x1 +0 x 2 + 3 x 3 = 5
3x + 1
x 2 + 6 x 3 =17
วิธีทา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน
2 2 5 6
2 3 1 13 r2 r2 1r1
1 4 4 3 r3 r3 1 2 r1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3
1
5 2 1 1
0 0.4 2.8 4.8
0 2.2 5.4 16.4 r3 r3 2.2
r
0.4 1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
5 2 1 1
0 0.4 2.8 4.8
0 0 10 10
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
-5 x +2 x
1 2 - x = -1
3
0.4 x +2.8 x =4.8
2 3
-10 x =-10
3
10. 5. จงหาสมการพาราโบลา y 5 3x 2x
2
ที่ผ่านจุด(1,4), (2,7) และ(3,14)
ที่จุด(1,4) ได้สมการเป็น 4 = A+ B+ C
ที่จุด(2,7) ได้สมการเป็น 7 = A+2B+4C
ที่จุด(3,14) ได้สมการเป็น 14 = A+3B+9C
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 1 1 4
1 2 4 7 r2 r2 1r1
1 3 9 14 r3 r3 1r1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปรAในแถวที่2และ3
1 1 1 4
0 1 3 3
0 2 8 10 r3 r3 2 r1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปรBในแถวที่3
1 1 1 4
0 1 3 3
0 0 2 4
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
A+ B+ C= 4
B+3C= 3
2C= 4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
C=4/2=2
B=3-3x2=-3
11. A=4+3-2=5
สมการพาราโบลาคือ y 5 3 x 2 x
2
6. จงหาสมการพาราโบลา y A Bx Cx
2
ที่ผ่านจุด(1,6), (2,5) และ(3,2)
ที่จุด(1,4) ได้สมการเป็น 6 = A+ B+ C
ที่จุด(2,7) ได้สมการเป็น 5 = A+2B+4C
ที่จุด(3,14) ได้สมการเป็น 2 = A+3B+9C
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 1 1 6
1 2 4 5 r2 r2 1r1
1 3 9 2 r3 r3 1r1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปรAในแถวที่2และ3
1 1 1 6
0 1 3 1
0 2 8 4 r3 r3 2 r1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปรBในแถวที่3
1 1 1 6
0 1 3 1
0 0 2 2
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
A+ B+ C= 6
B+3C= -1
2C= -2
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
12. C=-2/2=-1
B=-1-3x(-1)=2
A=6-2+1=5
สมการพาราโบลาคือ y 5 2 x x
2
7. จงหาสมการกาลัง3 y A Bx C x D x
2 3
ที่ผ่านจุด(0,0), (1,1) ), (2,2) และ(3,2)
ที่จุด(0,0) ได้สมการเป็น 0=A
ที่จุด(1,1) ได้สมการเป็น 1 = A+B+C+D
ที่จุด(2,2) ได้สมการเป็น 2 = A+2B+4C+8D
ที่จุด(3,2) ได้สมการเป็น 2 = A+3B+9C+27D
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 r2 r2 r1
1 2 4 8 2 r3 r3 r1
1
3 9 27 2 r4 r4 r1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปรAในแถวที่2,3และ4
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 2 4 8 2 r3 r3 2 r2
0
3 9 27 2 r4 r4 3 r2
ขั้นที่2กาจัดตัวแปรBในแถวที่3และ4
13. 1 0 0 00
0 1 1 1 1
0 0 2 6 0
0
0 6 24 1 r4 r4 3 r3
ขั้นที่3กาจัดตัวแปรCในแถวที่4
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 2 6 0
0
0 0 6 1
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
A+0B+0C+0D= 0
B+ C+ D= 1
2C+6D= 0
6D=-1
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
D=-1/6=- 1
6
C=6x 1 /2= 1
6 2
B=1- 1 + 1 = 2
2 6 3
A=0
สมการกาลัง3คือ y
2 1 1
x x
2 3
x
3 2 6
14. จากข้อ8-10จงหาระบบสมการสามเหลี่ยมบนพร้อมทั้งหาผลเฉลย
8. 4 x1 +8 x +4 x +0 x = 8
2 3 4
x1 +5 x 2 +4 x 3 -3 x = -4
4
x1 +4 x 2 +7 x 3 +2 x 4 =10
x1 +3 x 2 +0 x 3 -2 x = -4
4
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
4 8 4 0 8
1 5 4 3 4 r2 r2 1
r
4 1
1 4 7 2 10 r3 r3 1
r
4 1
1
3 0 2 4 r4 r4
1
r
4 1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2,3และ4
4 8 4 0 8
0 3 3 3 6
0 2 6 2 8 r3 r3 2 3 r2
0
1 1 2 6 r4 r4 1 3 r2
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4
2
4 8 4 0 8
0 3 3 3 6
0 0 4 4 12
0
0 2 1 4 r4 r4
1
r
2 3
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
4 8 4 0 8
0 3 3 3 6
0 0 4 4 12
0
0 0 1 2
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
15. 4 x1 +8 x +4 x +0 x = 8
2 3 4
3 x +3 x -3 x = -6
2 3 4
4 x +4 x =12
3 4
x4 = 2
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x4 = 2
x 3 =(12-4x2)/4=1
x 2 =(-6-3x1+3x2)/3=-1
x1 =(8-8x(-1)-4x1)/4=3
16. 9. 2 x1 +4 x -4 x +0 x =12
2 3 4
x1 +5 x 2 - 5 x 3 - 3 x 4 =18
2 x +3 x +
1 2
x 3 +3 x 4 = 8
x1 +4 x 2 - 2 x 3 +2 x 4 = 8
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
2 4 4 0 12
1 5 5 3 18 r2 r2 1 2 r1
2 3 1 3 8 r3 r3 r1
1
4 2 2 8 r4 r4 1 2 r1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2,3และ4
2 4 4 0 12
0 3 3 3 12
0 1 5 3 4 r3 r3 1
3 r2
0
2 0 2 2 r4 r4
2
3 r2
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4
2
2 4 4 0 12
0 3 3 3 12
0 0 4 2 0
0
0 2 4 6 r4 r4
1
2 3 r
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
2 4 4 0 12
0 3 3 3 12
0 0 4 2 0
0
0 0 3 6
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
17. 2 x1 +4 x -4 x +0 x =12
2 3 4
3 x -3 x -3 x =12
2 3 4
4 x +2 x = 0
3 4
3 x =-6
4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x 4 = -2
x 3 =(0-2x(-2))/4=1
x 2 =(12+3x1+3x(-2))/3=3
x1 =(12-4x3+4x1)/2=2
18. 10. x1 +2 x 2 +0 x 3 -1 x 4 = 9
2 x +3 x -
1 2
x 3 +0 x 4 = 9
0 x +4 x + 2 x -5 x =26
1 2 3 4
5 x +5 x + 2 x -4 x =32
1 2 3 4
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 2 0 1 9
2 3 1 0 9 r2 r2 2 r1
0 4 2 5 26
5
5 2 4 32 r4 r4 5 r1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2และ4
1 2 0 1 9
0 1 1 2 9
0 4 2 5 26 r3 r3 4 r2
0
5 2 1 13 r4 r4 5 r2
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4
2
1 2 0 1 9
0 1 1 2 9
0 0 2 3 10
0
0 7 9 32 r4 r4
7
2 r3
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
1 2 0 1 9
0 1 1 2 9
0 0 2 3 10
0
0 0 1.5 3
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
19. x1 +2 x 2 +0 x 3 - x 4 = 9
- x 2 - x 3 +2 x 4 = -9
-2 x +3 x =-10
3 4
1.5 x = -3
4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x 4 = -2
x 3 =(10+3x(-2))/2=2
x 2 =9-2+2x(-2)=3
x1 =9-2x3-2=1
20. 11. จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้
x1 + 2 x 2 =7
2 x +3 x -
1 2
x3 =9
4 x + 2 x +3 x =10
2 3 4
2 x - 4 x =12
3 4
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 2 0 0 7
2 3 1 0 9 r2 r2 2 r1
0 4 2 3 10
0
0 2 4 12
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2
1 2 0 0 7
0 1 1 0 5
0 4 2 3 10 r3 r3 4 r2
0
0 2 4 12
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
1 2 0 0 7
0 1 1 0 5
0 0 2 3 10
0
0 2 4 12 r4 r4 r3
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
21. 1 2 0 0 7
0 1 1 0 5
0 0 2 3 10
0
0 0 1 2
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
x1 +2 x 2 +0 x 3 +0 x 4 = 7
- x 2 - x 3 +0 x 4 = -5
-2 x +3 x =-10
3 4
-x = 2
4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x 4 = -2
x 3 =(10+3x(-2))/2=2
x 2 =5-2=3
x1 =7-2x3-2=1
22. 12. จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้
x1 + x 2 =5
2 x -1 x + 5 x
1 2 3 = -9
3 x - 4 x +2 x =19
2 3 4
2 x +6 x = 2
3 4
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 1 0 0 5
2 1 5 0 9 r2 r2 2 r1
0 3 4 2 19
0
0 2 6 2
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2
1 1 0 0 5
0 3 5 0 19
0 3 4 2 19 r3 r3 r2
0
0 2 6 2
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
1 1 0 0 5
0 3 5 0 19
0 0 1 2 0
0
0 2 6 2 r4 r4 2 r3
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
1 1 0 0 5
0 3 5 0 19
0 0 1 2 0
0
0 0 2 2
24. 13. บริษัทRockmoreกาลังตัดสืนใจเลือกซื้อคอมพิวเตอร์เครื่องใหม่ ระหว่างรุ่น DoGood 174 กับMightDo
11โดยพิจรณาจากการหาผลเฉลยของระบบสมการ
34x+55y-21=0
55x+89y-34=0
เมื่อDoGood 174คานวณได้เป็นx=-0.11 และy=0.45และเมื่อลองแทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบจะได้ผลคือ
34(-0.11)+55(0.45)-21=0.01
55(-0.11)+89(0.45)-34=0.00
เมื่อMightDo 11คานวณได้เป็นx=-0.99 และy=1.01และเมื่อลองแทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบจะได้ผลคือ
34(-0.99)+55(1.01)-21=0.89
55(-0.99)+89(1.01)-34=1.44
คอมพิวเตอร์รุ่นไหนให้ผลเฉลยที่ดีกว่ากัน เพาะอะไร
ในความเป็นจริงถ้าตรวจสอบผลเฉลยโดยการแทนค่ากลับ ผลลับธ์ที่ได้จะต้องเท่ากับ 0แต่ทั้ง2รุ่นกลับมี
ความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นทั้งคู่ โดยรุ่น DoGood 174มีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นน้อยกว่าMighDo 11 ดังนั้น
ผลเฉลยจากรุ่นDoGoodจึงดีกว่า เพราะคลาดเคลื่อนน้อยกว่า
จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้ด้วยการกาจัดตัวแปลของเกาซ์เซียนโดย(i)การหาตัวหลักบางส่วน
(ii)การหาตัวหลักบางส่วนแบบมาตรา (ใช้เลข4หลัก)
(a) 2 x - 3 x + 100 x =1
1 2 3 (b) x1 + 20 x 2 - x 3 +0.001 x 4 =0
x1 + 10 x 2 - 0.001 x 3 =0 2 x - 5 x + 30 x - 0.1 x =1
1 2 3 4
3 x -100 x + 0.01 x =0
1 2 3 5x +1
x 2 -100 x 3 - 10 x =0
4
2 x -100 x -
1 2
x3 + x 4 =0
25. (a/i)
ขั้นที่1จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
2 3 100 1
1 10 0.001 0 r1 r3
3 100 0.01 0
ขั้นที่2สลับแถวที่1กับ3 เพราะหลักที่1ในแถวที่3มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่1
3 100 0.01 0
1 10 0.001 0 r2 r2 1
r
3 1
2 3 100 1 r3 r3 2
r
3 1
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3ด้วยการแทนที่
1
3 100 0.01 0
0 43.33 0.004 0 r2 r3
0 63.67 99.99 1
ขั้นที่4สลับแถวที่2กับ3 เพราะหลักที่2ในแถวที่3มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่2
3 100 0.01 0
0 63.67 99.99 1
0 43.33 0.004 0 r3 r3 0.681 r1
ขั้นที่5กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3ด้วยการแทนที่
2
3 100 0.01 0
0 63.67 99.99 1
0 0 68.09 0.681
ขั้นที่6เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลี่ยมบน
3 x - 100 x + 100 x = 0
1 2 3
63.67 x +99.99 x = 1
2 3
-68.09 x =-0.681
3
26. ขั้นที่7ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
x 3 =0.01
x 2 =0
x 3 =0
(a/ii)
ขั้นที่1จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
2 3 100 1
1 10 0.001 0 r1 r2
3 100 0.01 0
ขั้นที่2สลับแถวที่1กับ2 เพราะหลักที่1ในแถวที่2มีค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที่ 1
1 10 0.001 0
2 3 100 1 r2 r2 2 r1
3 100 0.01 0 r3 r3 3 r1
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3ด้วยการแทนที่
1
1 10 0.001 0
0 23 100.0 1 r2 r3
0 130 0.013 0
ขั้นที่4สลับแถวที่2กับ3 เพราะหลักที่2ในแถวที่3มีค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที่2
1 10 0.001 0
0 130 0.013 0
0 23 100 1 r3 r3 0.1769 r2
ขั้นที่5กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3 ด้วยการแทนที่
2
27. 1 10 0.001 0
0 130 0.013 0
0 100 1
ขั้นที่6เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลี่ยมบน
x1 + 10 x 2 - 0.001 x 3 = 0
-130 x +0.013 x = 0
2 3
100 x =1
3
ขั้นที่7ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
x 3 =0.01
x 2 =0
x 3 =0
(b/i)
ขั้นที่1จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
1 20 1 0.001 0
2 5 30 0.1 1
5 1 100 10 0 r1 r3
2
100 1 1 0
ขั้นที่2สลับแถวที่1กับ3 เพราะหลักที่1ในแถวที่3มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่1
5 1 100 10 0
2 5 30 0.1 1 r2 r2 0.4 r1
1 20 1 0.001 0 r3 r3 0.2 r1
2
100 1 1 0 r4 r4 0.4 r1
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2,3และ4ด้วยการแทนที่
1
28. 5 1 100 10 0
0 5.4 70 3.9 1 r2 r4
0 19.8 19 2.001 0
0
100.4 39 5 0
ขั้นที่4สลับแถวที่2กับ4 เพราะหลักที่2ในแถวที่4มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่2
5 1 100 10 0
0 100.4 39 5 0
0 19.8 19 2.001 0 r3 r3 0.1972 r2
0
5.4 70 3.9 1 r4 r4 0.0538 r2
ขั้นที่5กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4ด้วยการแทนที่
2
5 1 100 10 0
0 100.4 39 5 0
0 0 26.69 2.987 0 r3 r4
0
0 67.9 3.631 1
ขั้นที่6สลับแถวที่3กับ4 เพราะหลักที่3ในแถวที่4มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่3
5 1 100 10 0
0 100.4 39 5 0
0 0 67.9 3.631 1
0
0 26.69 2.987 0 r4 r4 0.3931r3
ขั้นทึ่7กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4ด้วยการแทนที่
3
5 1 100 10 0
0 100.4 39 5 0
0 0 67.9 3.631 1
0
0 0 1.56 0.3931
ขั้นที่8เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลี่ยมบน
5x + 1
x2 - 100 x - 10 x = 0
3 4
-100.4 x + 39 x +
2 3 5x =0 4
29. 67.9 x +3.631 x = 1
3 4
1.56 x =-0.3931
4
ขั้นที่9ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
x 4 =-0.252
x 3 =0.0028
x 2 =-0.0115
x1 =-0.4457
(b/ii)
ขั้นที่1จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
1 20 1 0.001 0
2 5 30 0.1 1 r1 r2
5 1 100 10 0
2
100 1 1 0
ขั้นที่2สลับแถวที่1กับ2 เพราะหลักที่1ในแถวที่2มีค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที่ 1
2 5 30 0.1 1
1 20 1 0.001 0 r2 r2 0.5 r1
5 1 100 10 0 r3 r3 2.5 r1
2
100 1 1 0 r4 r4 r1
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2,3และ4ด้วยการแทนที่
1
2 5 30 0.1 1
0 22.5 16 0.051 0.5
0 13.5 175 9.75 2.5
0
95 31 1.1 1 r2 r4
ขั้นที่4สลับแถวที่2กับ4 เพราะหลักที่2ในแถวที่4มีค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที่ 2
30. 2 5 30 0.1 1
0 95 31 1.1 1
0 13.5 175 9.75 2.5 r3 r3 0.1421r2
0
22.5 16 0.051 0.5 r4 r4 0.2368 r2
ขั้นที่5กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4ด้วยการแทนที่
2
2 5 30 0.1 1
0 95 31 1.1 1
0 0 179.4 9.594 2.642
0
0 23.34 0.3115 0.7368 r4 r4 0.1301r3
ขั้นที่6กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4ด้วยการแทนที่
3
2 5 30 0.1 1
0 95 31 1.1 1
0 0 179.4 9.594 2.642
0
0 0 1.56 0
ขั้นที่7เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลี่ยมบน
2 x - 5 x + 30 x - 0.1 x = 1
1 2 3 4
-95 x - 31 x + 1.1 x =-1
2 3 4
-179.4 x -9.594 x =-2.642
3 4
1.56 x = 0
4
ขั้นที่9ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
x 4 =0
x 3 =0.0147
x 2 =0.0057
x1 =0.2938
31. 15 จงหาผลเฉลยของระบบสมการAX=B ที่เป็นเมตริกซ์ของฮิลเบอร์ท ซึ่งเป็นเมตริกซ์ที่สภาวะไม่
เหมาะสมโดยกาหนดAและBให้
(a)คานวนโดยติดเศษศ่วนไว้
1 1
2
1
3
1
4 1
1 1 1 1
0
A= 12 3 4 5 , B=
3 1
4
1
5
1
6
0
1 1 1 1
4 5 6 7 0
ขั้นที่1ทาเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
1 1
2
1
3
1
4
1
1
2
1
3
1
4
1
5
0 r2 r2 1 r1
2
1 1 1 1
0 r3 r3 1 r1
3 4 5 6 3
1
4
1
5
1
6
1
7
0 r4 r4 1 r1
4
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2,3และ4โดยการแทนที่
1
1 1
2
1
3
1
4
1
0
1
12
1
12
3
40
1
2
0 1 4 1
1 r3 r3 r2
12 45 12 3
0
3
40
1
12
9
112
4 r4 r4 190 r2
1
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4โดยการแทนที่
2
1 1
2
1
3
1
4
1
0
1
12
1
12
3
40
1
2
0 0 1 1 1
180 120 6
r r4
1 9 1 3
0
0 120 700 5 4 2
r3
ขั้นที่4กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4โดยการแทนที่
3
1 1
2
1
3
1
4
1
0
1
12
1
12
3
40
1
2
0 0 1 1 1
180 120 6
0
0 0 1
2800
20
1
32. ขั้นที่5หาผลเฉลยโดยใช้การแทนค่ากลับ
x 4 =-140
x 3 =240
x 2 =-120
x1 =16
(b)คานวนโดยใช้เลข4หลัก
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0
A= , B=
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0
ขั้นที่1ทาเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0 r2 r2 0.5000 r1
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0 r3 r3 0.3333 r1
0.2500
0.2000 0.1667 0.1429 0 r4 r4 0.2500 r1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2,3และ4โดยการแทนที่
1
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1
0 0.0833 0.0834 0.0750 0.5000
0 0.0834 0.0889 0.0834 0.3333 r3 r3 1.001r2
0
0.0750 0.0834 0.0804 0.2500 r4 r4 0.9004 r2
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4โดยการแทนที่
2
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1
0 0.0833 0.0834 0.0750 0.5000
0 0 0.0054 0.0083 0.1672
0
0 0.0083 0.0129 0.2002 r4 r4 1.537 r2
33. ขั้นที่4กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4โดยการแทนที่
3
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1
0 0.0833 0.0834 0.0750 0.5000
0 0 0.0054 0.0083 0.1672
0
0 0 0.0001 0.0568
ขั้นที่5หาผลเฉลยโดยใช้การแทนค่ากลับ
x 4 =-568
x 3 =904
x 2 =-399.7
x1 =41.55