1. Matrices y determinantes Profa. Joane De Jesús Mate 4031: Algebra Lineal

2. Dimensión de una matriz Una matriz es un arreglo rectangular de números encerrados entre paréntesis cuadrados. (corchetes) El orden o dimensión de una matriz es importante en la relación con las operaciones con matrices. Se define una matriz m x n como la que tiene m filas y n columnas. Siempre primero el número de filas.

3. Dimensión de una matriz Si una matriz tiene el mismo número de filas y de columnas se denomina una matriz cuadrada. Una matriz con una sola columna se denomina matiz columna y una con una sola fila se denomina matriz fila.

4. Ejemplos Matriz cuadrada 425505679 3 x 3 Matriz columna 3−210 4 x 1 Matriz fila 230 1 x 3

5. Matrices Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos correspondientes son iguales. 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓=𝑢𝑣𝑤𝑥𝑦𝑧 Si y solo si a=u b=v c=w d=x e=y f=z

6. Operaciones con matrices Suma de matrices Multiplicación de una matriz por un número

7. Suma de matrices La suma de matrices de la misma dimensión es una matriz cuyos elementos se forman con la suma de los elementos correspondientes de las dos matrices dadas. Para matrices con diferentes dimensiones no se define la suma. 𝑎𝑏𝑐𝑑+𝑤𝑥𝑦𝑧=(𝑎+𝑤)(𝑏+𝑥)(𝑐+𝑦)(𝑑+𝑧)

8. Ejemplo Sume las siguientes matrices, si es posible. 2−3012−5+312−325 = 2+3−3+10+21+(−3)2+2−5+5 = 5−22−240

9. Suma de matrices La suma de matrices de la misma dimensión es asociativa y conmutativa, es decir, si A, B y C son matrices de la misma dimensión, entonces A+B=B+A Propiedad conmutativa (A+B)+C=A+(B+C) Propiedad asociativa Se denomina matriz cero o nula aquella que tiene todos sus elementos iguales a cero. Ejemplo: 0000

10. Suma de matrices El negativo de una matriz, denotado por –M, es una matriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de M. por lo tanto, si 𝑀=𝑎𝑏𝑐𝑑, entonces −M=−𝑎−𝑏−𝑐−𝑑 Obsérvese que M+(-M)=0

11. Resta de matrices Si A y B son matrices de la misma dimensión, entonces se define la resta de la siguiente manera: A-B=A+(-B) Por lo tanto, para restar la matriz B de la matriz A, simplemente se restan los elementos correspondientes.

12. Ejemplo Reste las siguientes matrices, si es posible. 3−250−−2234 = 3−250+2−2−3−4 = 3+2−2+(−2)5+(−3)0+(−4) = 5−42−4

13. Multiplicación de una matriz por un número El producto de un número k y una matriz M, denotado por kM, es una matriz con elementos formados por la multiplicación de cada elemento de M por k.

14. Ejemplo Multiplica la matriz por el escalar dado. −23−10−2130−1−2 = 3(−2)−1(−2)0(−2)−2(−2)1(−2)3(−2)0(−2)−1(−2)−2(−2) = −6204−2−6024

15. Práctica Utiliza las matrices dadas para contestar las siguientes preguntas: 𝐴=2−130 𝐵=−312−3 𝐶=2−30 ¿Cuál es la dimensión de A, B y C? ¿Qué elemento está en la primera fila y segunda columna de la matriz B? Escriba una matriz nula de la misma dimensión que B. Encuentre:A+B, A-B y B-A Encuentre: 5C y -10A

16. Multiplicación de matrices Producto punto Multiplicación de matrices Propiedades de la multiplicación

17. Producto punto El producto punto de una matriz fila 1 x n y una matriz columna n x 1 es el número real dado por: 𝑎1𝑎2 …𝑎𝑛∙𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+…+𝑎𝑛𝑏𝑛

18. Ejemplo Encuentre el producto punto: 2−30∙−52−2 = 2−5+−32+0−2 =−10+−6+0 =−16

19. Producto de matrices El producto de dos matrices A y B se define solo bajo la suposición de que el número de columnas de A es igual al número de columnas de B. Si A es una matriz m x p y B es una matriz p x n, entonces la matriz producto de A y B, denotada por AB, es una matriz m x n. m x p p x n Deben ser iguales Matriz resultante

20. Ejemplo Multiplica las siguientes matrices, si es posible. 𝐴=23−1−212 𝑦 𝐵=1320−12 Verifica las dimensiones: 2 x 3 3 x 2 El número de columnas de A es igual al número de filas de B. Las dimensiones del producto son 2 x 2.

21. 23−1−212.1320−12 =21+32+(−1)(−1)23+30+(−1)(2)−21+12+2(−1)−23+10+2(2) =2+6+16+0+(−2)−2+2+(−2)−6+0+4 =94−2−2

22. Propiedades de la multiplicación Suponiendo, que, para las matrices indicadas A, B y C todos los productos y sumas están definidos, para k, un numero real: (AB)C=A(BC) Propiedad asociativa A(B+C)=AB+AC Propiedad distributiva (B+C)A=BA+CA Propiedad distributiva k(AB)=(kA)B=A(kB) La multiplicación de matrices no es siempre conmutativa.

23. Práctica Encuentra los productos punto. 24∙31 −1−22∙2−13 −240∙−1−32

24. Práctica Encuentre los productos de las matrices, si es posible. 34−1−2∙−12 2−312∙1−10−2 2−1113−2∙130−1−22

25. Inversa de una matriz cuadradaEcuaciones de matrices Matriz identidad para la multiplicación Inversa de una matriz cuadrada Ecuaciones de matrices

26. Matriz identidad para la multiplicación El conjunto de las matrices cuadradas de orden n (dimensión n x n) tiene una identidad y esta dada como sigue: el elemento identidad para la multiplicación para el conjunto de matrices cuadradas de orden n es la matriz cuadrada de orden n, denotada por I, con unos en la diagonal principal (desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha) y ceros en los otros lugares. Ejemplos: 1001100010001

27. Inversa de una matriz cuadrada En el conjunto de los números reales se sabe que para cada número real a, existe un número real 𝑎−1, tal que 𝑎−1𝑎=1. El número 𝑎−1 se denomina inverso de a con respecto al producto, o el inversomultiplicativo de a. Si 𝑀−1 existe para una matriz M, entonces 𝑀−1 se denomina inversa de M con respecto al producto.

28. Inversa de una matriz cuadrada A continuación se emplea esta definición para encontrar 𝑀−1para 𝑀=2312 se necesita 𝑀−1=𝑎𝑐𝑏𝑑 tal, que 𝑀𝑀−1=𝑀−1𝑀=𝐼 Por lo tanto, se escribe 2312𝑎𝑐𝑏𝑑 =1001

29. Inversa de una matriz cuadrada y se trata de encontrar a, b, c y d de tal manera que el producto de M y 𝑀−1 sea la matriz identidad I. Para encontrar la matriz inversa de una matriz, se aumenta la misma con la matriz inversa y se trabaja con reducción de filas hasta intercambiar las matrices de posiciones.

30. Ejemplo Encuentra la matriz inversa para 𝐴=2914 Aumentamos la matriz con I 2914 1001 ~ 1429 0110 ~ 1401 011−2 𝑅2↔𝑅1𝑅2->𝑅2−2𝑅1𝑅1->𝑅1−4𝑅2 29−2−801 100−21−2 140−410 01−48−49

31. ~ 1001 −491−2 Matriz inversa 𝐴−1=−491−2 Verificamos la respuesta multiplicando A por la inversa 2914−491−2=2−4+9(1)29+9(−2)1−4+4(1)19+4(−2) =−8+918+(−18)−4+49+(−8)=1001

32. Inversa de una matriz cuadrada M Si 𝑀|𝐼 se transforma mediante operaciones con filas en 𝐼|𝐵 , entonces la matriz resultante B es 𝑀−1. Sin embargo, si se obtienen sólo ceros en una o más filas a la izquierda de la barra vertical, entonces 𝑀−1 no existirá.

33. Práctica En cada problema demuestra que las dos matrices son inversas una de otra, comprobando que su producto es igual a la matriz de identidad I. 3−4−233423 33−1−2−21−4−521−1102−1230

34. Práctica Dada la matriz M, como se indica, encuentre 𝑀−1 y muestre que 𝑀−1𝑀=𝐼. 2153 13−225−3−32−4

35. Función determinante Función determinante Determinantes de segundo orden Determinantes de tercer orden

36. Función determinante El dominio de la función determinante es el conjunto de todas las matrices cuadradas con elementos reales, y su rango es el conjunto de todos los números reales. Si A es una matriz cuadrada, entonces el determinante de A se denota por det A o, simplemente, al escribir el orden de elementos en A utiliza líneas verticales en lugar de paréntesis cuadrados.

37. Función determinante Ejemplo: det2351=2351 Un determinante de orden n es uno con n filas y n columnas.

38. Determinantes de segundo orden Los determinantes de segundo orden se simbolizan en general de la siguiente forma: 𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22, donde se emplea una letra simple con un doble subíndice para facilitar la generalización a determinantes de orden más alto. El primer subíndice indica la fila a la que pertenece el elemento, y el segundo subíndice indica la columna.

39. Determinantes de segundo orden El valor de un determinante de segundo orden es: 𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22=𝑎11𝑎22−𝑎21𝑎12 El determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

40. Ejemplo Encuentre el determinante de 𝐴=3−54−2 det 𝐴=3−54−2 =3−2−4−5 =−6−−20 =−6+20 det𝐴=14

41. Determinantes de tercero orden Un determinante de tercer orden es un arreglo cuadrado de nueve elementos y representa un número real, dado por la siguiente fórmula: 𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33=𝑎11𝑎22𝑎33−𝑎11𝑎32𝑎23+𝑎21𝑎32𝑎13−𝑎21𝑎12𝑎33+𝑎31𝑎12𝑎23−𝑎31𝑎22𝑎13 Para disminuir el proceso utilizaremos los conceptos menor y cofactor.

42. Determinantes de tercer orden El menor de un elemento de un determinante de tercer orden es un determinante de segundo orden que se obtiene por la eliminación de la fila y la columna a la que pertenece el elemento. Por ejemplo: Menor de 𝑎23=𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33=𝑎11𝑎12𝑎31𝑎32

43. Determinantes de tercer orden Una cantidad asociada estrechamente al menor de un elemento es el cofactor del mismo. El cofactor del elemento 𝑎𝑖𝑗 es el producto del menor 𝑎𝑖𝑗 y de (−1)𝑖+𝑗. Cofactor de 𝑎𝑖𝑗=−1𝑖+𝑗(𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑗)

44. Determinantes de tercer orden El signo frente al menor −1𝑖+𝑗, puede determinarse mejor si usamos una tabla patrón de los signos + y – sobre el determinante comenzando con + en la esquina superior izquierda: +−+−+−+−+

45. Ejemplo Encuentre los cofactores de -2 y 5 en el determinante −2031−65−120 Cofactor de -2 (−1)1+1−6520 =−6520=−60−25=0−10=−10

46. Cofactor de 5 (−1)2+3−20−12 =−−20−12 =−[2−2−10]=−−4−0=−4=4

47. Práctica Encuentra los cofactores de -6 y 3 en el determinante −2031−65−120

48. Determinantes de tercer orden El valor de un determinante de orden 3 es la suma de los tres productos obtenidos al multiplicar cada elemento de alguna fila (o columna) por su cofactor. Si utilizamos la primera fila: 𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33

49. Ejemplo Encuentre el determinante por el desarrollo de la primera fila. −2031−65−120 =−2−6520+0−15−10+31−6−12 =−2−60−25+0+312−−1−6 =−20−10+0+32−6 =−2−10+0+3−4 =20+0+−12 =8

50. Práctica Encuentre el determinante de: 𝐴=21341212−3 𝐵=2−20−3121−3−1

51. Referencia Algebra y trigonometría. 1988. McGraw Hill, tercera edición.