1. ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ
Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο
λήκαηνο κήθνπο L ,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην
ζεκείν. Εθηξέπνληαο θαηά γωλία θ θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλνληαο ην εθθξεκέο,
απηό εθηειεί παιηλδξνκηθή θίλεζε (ηαιάληωζε).
Ο ζεκειηώδεο λόκνο ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο δίλεη:
η = Ι . αγωλ.
ή
2. -m.g.sinζ.L = m.L2 . αγωλ.
ή
2
d
L m 2
m s L
...i
g n ..
d
t
2
ή
2
d
gs 0
.i
n
2
d
t
L
(Yπνζέηνληαο όηη δελ ππάξρνπλ ηξηβέο ή αληηζηάζεηο ζηελ θίλεζε ηνπ
ζώκαηνο.)
Γηα κηθξέο γωλίεο εθηξνπήο (π.ρ. κηθξόηεξεο από 50 ) ηζρύεη όηη:
sin
(Με ηελ πξνππόζεζε όηη ε γωλία ζ κεηξηέηαη ζε rad), νπόηε ε εμίζωζε ηεο
θίλεζεο γίλεηαη:
2
d g
.
0
d2 L
t
Η παξαπάλω δηαθνξηθή εμίζωζε έρεη ηε γεληθή ιύζε:
3. g
g
A(L B L
o . i
. s t .n .
c
) s
( t
)
Όπνπ νη ζηαζεξέο Α θαη Β πξνζδηνξίδνληαη από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο. Έηζη,
αλ γηα παξάδεηγκα ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ε αξρηθή γωλία είλαη ζ0 θαη ε
ηαρύηεηα είλαη κεδέλ ,ηόηε ε ιύζε απινπζηεύεηαη ζηελ:
. o
0 cs
(
g
.)
t
L
ηελ πεξίπηωζε απηή ην εθθξεκέο εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάληωζε θαη ε
πεξίνδόο ηνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε:
T 2. .
L
g
0
Αλ ηώξα ε αξρηθή γωλία δελ είλαη πνιύ κηθξή (ζ0 > 0.1 rad ,ή ζν>6 ),
ηόηε απνδεηθλύεηαη όηη ε πεξίνδνο ηνπ εθθξεκνύο δίλεηαη από ηε ζρέζε:
0
L
d
T4 .
.
g 1 2i2
kn
0 s
Όπνπ:
0
k s (
in
2
)
6.
0
k s (
in
2
)
Η εμίζωζε ηεο θίλεζεο ηνπ απινύ εθθξεκνύο είλαη:
2
d
g
.i
sn
2
d
t
L
(1)
Βάδνπκε:
d
u
dt
Τόηε:
2
d d u
ud
d d
u
u
2
d d dd d
t
t
t
Οπόηε ε (1) γίλεηαη:
d
u
g
u sn
i
d
L
(2)
Με νινθιήξωζε παίξλνπκε:
2
u g
cs
o c
2 L
(3)
Τώξα αλ ζ=ζ0 , u=0 είλαη:
g
c c s 0
o
L
θαη ε (3) γξάθεηαη:
7. g
2 2
u
( s s0
cc
o o)
L
ή
d
2
g
( s 0
c
o c
o
s
d
t
L
(4)
Εζηηάδνληαο ηελ πξνζνρή καο ζην ηκήκα ηεο θίλεζεο από ζ=ζ0 ζε ζ=0 ,πνπ
αληηζηνηρεί ζην έλα ηέηεξην ηεο πεξηόδνπ,πξέπεη λά πάξνπκε ην αξλεηηθό
πξόζεκν θαη ε (4) μαλαγξάθεηαη:
d
go s
2
( s c
c o
0
d
t
L
Με ρωξηζκό ηωλ κεηαβιεηώλ θαη νινθιήξωζε έρνπκε:
L
d
t
2 cc
g o 0
s o
s
Αθνύ t=0 ζηε ζέζε ζ=ζ0 θαη t=Τ/4 ζηε ζέζε ζ=0 ,έρνπκε:
0
L
d
t4
2 cc
g o 0
s o
s
0
Χξεζηκνπνηώληαο ηελ ηξηγωλνκεηξηθή ηαπηόηεηα:
c 2n ) 1
o s 2
s
i (
2
(5)
8. θαη αληηθαζηζηώληαο ην ζ κε ην ζ0 ε (5) γξάθεηαη:
d
0
L
t 2
g
0
s2 0 2 )
i ( )s (
n
i
n
2
2
(6)
Έζηω ηώξα όηη:
s ( ) s (0 s
i
n n )i
i
n
2
2
(7)
Τόηε κε δηαθόξηζε θαη ηωλ δύν πιεπξώλ παίξλνπκε:
1
c d s 0c .
o
s
() ) s
i
n od
(
2 2
2
Καη βάδνληαο :
0
k s (
in
2
)
Έρνπκε:
2i ( 0) o .
s
n cs d
2
d
1 ks 2
2 i
n
Από ηελ (7) βιέπνπκε όηη: όηαλ ζ=0 είλαη θαη θ=0 θαη όηαλ ζ=ζ0 ηόηε θ=π/2
Έηζη ε (6) θαηαιήγεη ζηελ:
9.
T4
.
2
L
d
.
2 i
g0 1 ks 2
n
Τν δηώλπκν ηνπ Νεύηωλα καο ιέεη όηη:
x 1
Αλ :
ηόηε:
p 2 ()2
() p p
p
p
1 )
1 3
(
p
()
11
p
x x
x
x
.
.
.
2
.
1
3
.
2
.
1
p
Αλ
1
2
Τν δηώλπκν γξάθεηαη:
1
2
1.
1
31 3
.
3
.
5
(x 1 2
1
x x
)
x.
.
.
2.
2
13
.
2
.
1
Θέηνληαο :
x k sn
2 i 2
Καη νινθιεξώλνληαο από 0 έωο π/2 , βξίζθνπκε:
10.
2
L
d
T4 .
.
1ks 2
g0 2 i
n
2
L 1 2 1 4
.
3
k 4
4 2
1 s
i
n
k
s ..
i
n. d
.
g 2
2
.
4
0
L
1 . 4.
3 3
.
5
21 1 6
2 ( 2 ( )
2 1 k ) 2 .
k
(
)
k
.
.
g2 2 2
.
4 .
4
.
6
Όπνπ θάλνπκε ρξήζε ηνπ νινθιεξώκαηνο:
152 )
...(
.
.
s2 .
i nd
n
36n1
2 .( ) 2
.. . 2
4. n
0
2
Η νινθιήξωζε ηωλ επί κέξνπο όξωλ είλαη δπλαηή θαζόζνλ:
k 1
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΦΥΣΙΚΟΣ
MSC. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ