Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre semejanza y triángulos rectángulos para estudiantes de décimo grado. La guía incluye información sobre el teorema de Thales, el teorema de Pitágoras, figuras semejantes y la relación entre las áreas de figuras semejantes. También presenta actividades prácticas como medir alturas con espejos y calcular áreas para reforzar los conceptos matemáticos.

1. GUÍA DE APRENDIZAJE No. 2
ÁREA DE MATEMÁTICAS – GRADO DÉCIMO
Colegio
Nombre del Estudiante: Curso DD MM AA
2010
Asignatura: Matemáticas Período: Primero Administrador (es) de Programa:
Tema: Semejanza y Triángulos Rectángulos  Juan Andrés Galindo Cepeda
TIEMPO: 2 Unidades de clase
RECURSOS: Un espejo pequeño.
Una cinta métrica.
Un palo recto.
APRENDIZAJES ESPERADOS:
 Enriquecer el significado, propio, del concepto de proporcionalidad geométrica.
 Conocer, y utilizar adecuadamente, la relación que hay entre los segmentos asociados en las figuras semejantes. Usar esta
relación para calcular alturas y distancias por distintos métodos.
 Conocer, y utilizar adecuadamente, la relación que hay entre las áreas de figuras semejantes.
INDUCCIÓN:
En la enseñanza de las Matemáticas se puede considerar que el tema de la proporcionalidad es el núcleo a partir del cual se
unifican las líneas básicas de nociones como: razón y proporción, fracción y número decimal, cambio de unidades y escalas,
problemas clásicos de "regla de tres", Teorema de Thales, semejanza de figuras, mapas y maquetas, etc. En las Ciencias es uno
de los instrumentos más importantes: nos encontramos con frecuencia que muchos conceptos de Física y Química son en
realidad nombres dados a relaciones de proporcionalidad (velocidad, aceleración, densidad, presión, concentraciones, dilata-
ciones, Ley de Ohm, etc.). También aparece en las Ciencias Sociales (densidad de población, tasa de natalidad, lectura de ma-
pas, etc.). Asimismo, tiene una importancia fundamental desde el punto de vista del desarrollo de la inteligencia, siendo uno
de los esquemas operativos fundamentales del estadio de las operaciones formales. En esta unidad vamos a ver algunas de las
múltiples aplicaciones de la Proporcionalidad y Semejanza.
ACTIVIDAD PREVIA
Determine en la siguiente gráfica el motivo por el cual al
reacomodar las piezas, queda un espacio, ¿las figuras son
semejantes o congruentes?
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________________________________________________
_____________________________________________
En un cuadrado de área 64 unidades (8 por lado) recorta
las 4 piezas A B C y D. Ahora acomódalas como en la figura
de la derecha. El área parece haber aumentado a 65 uni-
dades. ¿Dónde está el error?
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2. INFORMACIÓN
TEOREMA DE THALES
Thales de Mileto vivió hacia el año 600 a. de C. Es el más antiguo de los Siete Sabios de Grecia y aunque se sabe muy poco de su
vida, no hay duda en considerarle como el padre de la Geometría.
La demostración que presentamos del teorema conocido como "teorema de Thales" está basada en la que describió Euclides en
el libro VI de los Elementos, hace 23 siglos. No solo soportó el paso del tiempo, se adapta perfectamente a nuestra época y sigue
asombrándonos su belleza geométrica.
En el teorema se enuncia que si tres o mas rectas paralelas son cruzadas por una diagonal, los segmentos que se forman de la
diagonal mantienen la relación de las distancias de las paralelas. Si trazamos otra diagonal, podemos plantear con los cuatro
segmentos una proporción.
TEOREMA DE PITÁGORAS
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor
longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los
cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del
triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto).
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y
b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:
2 2 2
h c1 c2
METAS DE APRENDIZAJE
Según lo establecido hasta ahora en la inducción, determina tus metas de aprendizaje teniendo en cuenta que ellas deben tener:
un qué, un cómo y un para qué.
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APRENDIZAJE INDIVIDUAL
FIGURAS SEMEJANTES - RAZÓN DE SEMEJANZA
Dos figuras son semejantes cuando siendo de iguales o diferente tamaño existe una correspondencia entre los vértices tal que:
Los ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de los lados correspondientes o asociados son proporcionales; es
decir, cada longitud en una de ellas se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra por una cantidad fija (el do-
ble, el triple, etc.) A esa cantidad fija se le llama RAZÓN DE SEMEJANZA.
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3. 1. Teniendo en cuenta la información anterior y las siguientes figuras determina:
a. Los pares de lados correspondientes: _______________
b. Los pares de ángulos correspondientes: _____________
c. La medida de los lados de cada figura: ______________
d. El cociente de las medidas de los lados correspondien-
tes:
 ¿Cómo se llama a esta cantidad (cociente)? __________
 ¿Cómo son los resultados de esos cocientes? ________
 ¿Puedes establecer una conclusión con respecto a estos
resultados? ___________________________________
 Compara tu conclusión con la obtenida por tus compa-
ñeros.
2. En el siguiente triángulo determine las posibles razo-
nes (cociente entre dos valores) que se pueden esta-
blecer entre las longitudes de los lados que la con-
forman:
3. En las siguientes figuras (triángulos rectángulos) semejantes, plantea las posibles proporciones entre los lados corres-
pondientes de los triángulos uno y dos; dos y tres; uno y tres, compara los cocientes de cada proporción y saca una con-
clusión: (puedes hallar el valor de x, y, z utilizando el teorema de Pitágoras)
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4. APRENDIZAJE EN PEQUEÑO GRUPO
MEDICIÓN DE ALTURAS CON ESPEJOS
Se trata de medir la altura de un edificio con los elementos señalados. Para ello colocamos el espejo en el suelo, entre el edifi-
cio y el observador, de forma que éste, en posición erguida, pueda ver la parte más alta del edificio reflejada en el espejo. A
continuación, se miden la altura del observador, h , la distancia de la base del edificio al espejo, D, y la distancia del espejo al
pie del observador, d. Con los datos obtenidos y con un sencillo razonamiento de proporcionalidad y semejanza, podemos
obtener la altura que buscábamos, H.
Observen bien la figura. Según las leyes de la reflexión, el ángulo de incidencia coincide con el de reflexión.
1. Contesten en tu cuaderno a las siguientes cues-
tiones:
 Los dos triángulos que aparecen en la figura son
semejantes. ¿Por qué?
 Con la cinta métrica podemos medir fácilmente D, d
y h.
 Con los datos, D, d y h, que aparecen en la figura,
calculen en sus cuadernos la altura del edificio, H.
Comprueba que tu resultado coincide con el que se
indica en el gráfico
2. Realicen mediante este método el cálculo de algunas alturas del colegio y desarrollen el proceso utilizado en los respec-
tivos cuadernos.
RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE FIGURAS SEMEJANTES
1. Ya sabemos la relación que hay entre las longitudes de los segmentos asociados en las figuras semejantes. La razón o cociente
de esas longitudes siempre es la misma, es constante y se llama Razón de Semejanza, r.
Si los lados de una figura son el doble de grande que la otra (r =2), ¿Su superficie también será el doble? La siguiente escena acla-
ra la situación:
 ¿Son semejantes las dos figuras de la escena? ¿Por qué?
 ¿Qué significa que la razón de semejanza entre las dos figuras sea 2?
2cm 1cm
 Cuando r=2, ¿cuál es la razón entre las áreas de las dos figuras?
1cm  ¿Y si r=3? ¿y si r=4?
 ¿Sorprende el resultado? ¿Por qué?
2cm
Intenten deducir una fórmula que nos dé la relación que hay entre las áreas de dos figuras semejantes: _____________________
2. Asumamos que todos hemos comido alguna vez en la "Descar-
tes"; son antológicas sus pizzas de "105 quesos" y especialmente
la "marinera extra-súper", que la sirven con el barco y todo. Sin
embargo, hay algo que llama la atención en la tabla de precios:
Discutan en torno a las siguientes preguntas:
 La pizza mediana es el doble de ancha que la pequeña. ¿Por
qué no cuesta el doble?
 La pizza grande es el triple de ancha que la pequeña, ¿por qué
no cuesta el triple?
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5. La siguiente escena aclara la situación, calculen las áreas y respondan las preguntas:
Área=________ Repasen lo que dijimos en capítulos anteriores sobre la relación entre
las áreas de figuras semejantes
Área=________
 ¿Son semejantes las dos figuras de la escena? ¿Por qué?
 ¿Cómo se calcula la superficie de un círculo conociendo su diámetro?
15cm  Calculen el precio por cm2 en la pizza de la de 15cm de diámetro.
30cm
 Hagan lo mismo con la pizza de 30cm de diámetro.
 ¿Coinciden los resultados anteriores? ¿Es lógico?
 Si la pizza de 30 cm, es el doble de ancha que la de 15 cm , ¿qué rela-
Precio: 2,34 € ción habrá entre sus áreas?. Por tanto, ¿qué relación habrá entre sus
precios?
Precio: 9,36 €
EVALUACIÓN
Observe el siguiente gráfico y determine:
1. La altura de cada una de las pirámides.
2. Determine si son sólidos semejantes (argumente)
3. Si son semejantes, ¿cuál es la razón de semejanza?
4. Analice el comportamiento del volumen en cada una de las pirámides en relación con la altura y/o el área de la base de
cada una de ellas
BIBLIOGRAFIA
 Libro Espiral 10, Ed. Norma
 Libro Delta 19, Ed. Norma
 GARCÍA E IBÁÑEZ, Matemáticas II, Geometría y Trigonometría, Ed. Thomson. México. 2006
 GOODSON y MIERTSCHIN, Trigonometría con aplicaciones técnicas, Ed. Limusa. México. 1992
 HIRSCH/SCHOEN, Trigonometría conceptos y aplicaciones, Ed. MacGraw-Hill. México. 1987
 http://es.wikipedia.org
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