Aplicaciones de las Derivadas Matematica I

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Núcleo - Barquisimeto
APLICACIONES DE LAS
DERIVADAS
Participante:
Lameda Julian
C.I 25,824,084
Facilitador: Domingo Meléndez
Asignatura: Matemática I
Barquisimeto; Marzo de 2016

2. .
APLICACIONES DE LAS
DERIVADAS
Definición de las Derivadas
La derivada de una Función en un valor de entrada dado describe la
mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.
En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un
punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función
en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es
el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El
teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el
proceso inverso de la integración en funciones continuas

3. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1- Creciente y Decreciente:
Los intervalos de creciente y decreciente de una función y = f(x) se
obtienen a partir de la primera derivada de la función por la siguiente
regla:
(a) f crece en un intervalo (a, b) si f 0 (x) > 0 para todo x en (a, b).
(b) f decrece en un intervalo (a, b) si f 0 (x) < 0 para todo x en (a, b).
Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la
derivada son los máximos o mínimos, según la derivada cambie de
positiva a negativa o de negativa a positiva, respectivamente.
En resumen:
(a) Un punto x0 del dominio de la función corresponde a un máximo
local o relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0) en donde f crece y
otro intervalo (x0, x0 + δ) en donde f decrece.
(b) Un punto x0 del dominio de la función corresponde a un mínimo
local o relativo si existe un intervalo (x0 −δ, x0) en donde f decrece y
otro intervalo (x0, x0 + δ) en donde f crece.

4. Ejemplo
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la
función f(x) = x( √ x + 1).

5. 2- Máximos y Mínimos:
Los máximos y mínimos locales se encuentran entre los llamados puntos
singulares o críticos, es decir, puntos del dominio de la función en donde la
derivada se anula o no existe.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Encontrar los máximos y mínimos locales de la
función f(x) = x 5 − 5x + 6.

6. 3- Puntos De Inflexión.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Se llaman puntos de inflexión los puntos en donde cambia la
concavidad de una función, ya sea de arriba hacia abajo, o viceversa.
Para ello, si la función posee derivadas de segundo orden, un punto x0
del dominio de f será punto de inflexión si f 00(x0) = 0 y ocurre alguna
de las siguientes situaciones:
a) existe un intervalo (x0 − δ, x0) en donde f 00(x) < 0 y otro intervalo
(x0, x0 + δ) en donde f 00(x) > 0.
b) existe un intervalo (x0 − δ, x0) en donde f 00(x) > 0 y otro intervalo
(x0, x0 + δ) en donde f 00(x) < 0.

7. Ejemplo

8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
4- Concavidad
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que
une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que
une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.
5- Convexidad

9. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Definición de Razón de Cambio de las
Derivadas.
Se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con
relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a
partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no
estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.
La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula
dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto
quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se
establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se
modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de
un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.