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Plan de l’exposé                          Introduction aux GSHSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude        ...
Plan de l’exposé    Généralités                          Introduction aux GSHS       GSHS : dynamique hybride & probabilit...
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Plan de l’exposé                                                      Caractérisation de l’incertitude ?                  ...
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Retour sur l’exemple du thermostat            Une vidéo a été projetée à ce stade de la présentation.        Cette vidéo (...
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General stochastic hybrid systems and their FPK equation

  1. 1. Groupe de travail SDH (GdR MACS) Exposé pour la réunion du 20 septembre 2007Les systèmes hybrides stochastiques généraux (GSHS) et leur équation de Fokker-Planck-Kolmogorov Julien Bect Département Signaux et Systèmes Électroniques http://www.supelec.fr/deptsse 20 septembre 2007
  2. 2. Plan de l’exposé Introduction aux GSHSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Conclusion / perspectives Références 1 Plan de l’exposé 2 Introduction aux GSHS Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d’application Un modèle de consommation électrique 3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Caractérisation de l’incertitude ? Rappel : cas des EDO et des EDS L’équation de FPK généralisée aux GSHS Résultat numériques 4 Conclusion / perspectives 5 Références 2 / 23
  3. 3. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique 1 Plan de l’exposé 2 Introduction aux GSHS Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d’application Un modèle de consommation électrique 3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Caractérisation de l’incertitude ? Rappel : cas des EDO et des EDS L’équation de FPK généralisée aux GSHS Résultat numériques 4 Conclusion / perspectives 5 Références 3 / 23
  4. 4. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Généralités sur les SHS modélisation probabiliste de l’incertitude système hybrides stochastiques vs modélisation non-déterministe automates hybrides 99% de la littérature porte sur des systèmes markoviens on s’y ramène (souvent) par augmentation de l’état processus de Markov à temps continu sujet de recherche assez ancien depuis les 70’s : modèles à sauts de paramètres markoviens introduction de modèles « à sauts forcés » processus déterministes par morceaux (Davis, 1984) formalisme GSHS (Bujorianu & Lygeros, 2004) 4 / 23
  5. 5. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Dynamique hybride & probabilités (1) saut spontané Xτ1 ∼ K (Xτ− , · ) 1 E2 X0 saut forcé Xτ− 1 Xτ− 2 λ(Xt ) ≥ 0 Xτ2 ∼ K (Xτ− , · ) 2 E1 E3 (Librement inspiré d’un schéma de J. Lygeros, CTS-HYCON, 2006) 5 / 23
  6. 6. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Dynamique hybride & probabilités (2) Résumé des éléments définissant un GSHS : Espace d’état « hybride » : E = ∪q∈Q{q} × Eq Dynamique continue : EDS Deux types de sauts : sauts spontanés, intensité stochastique λ(Xt ) ≥ 0 sauts forcés, déclenché par la garde G ⊂ ∂E Réinitialisation : noyau de transition K (x , dx ′ ) « Domaine invariant » : E0 = E G (par déf. on a toujours E0 ∩ G = ∅ !) 6 / 23
  7. 7. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Comparaison avec les automates hybrides Automate hybride GSHS inclusion différentielle équation différentielle stoch. E0 ∩ G = ∅ en général E0 ∩ G = ∅ (par déf.) sauts possibles dans E0 ∩ G sauts spontanés dans E0 (non déterminisme) (probabiliste, intensité λ ≥ 0) sauts forcés dans G E0 sauts forcés dans G réinit. non-déterministe réinit. stochastique xτk ∈ Reset(xτk ) − Xτk ∼ K (Xτ− , · ) k x0 détermine un ensemble x0 détermine une loi de proba. de trajectoires admissibles sur l’ensemble des trajectoires 7 / 23
  8. 8. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique On trouve des GSHS dans des domaines très variés ! ateliers de fabrication : machines avec pannes consommation optimale de resources renouvelables systèmes embarqués (projet Columbus) gestion du trafic aérien (projet Hybridge) biologie : réseaux de régulation génétique énergie : consommation électrique, éolienne à vitesse variable ... 8 / 23
  9. 9. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Généralisation à 2d du modèle de Malhamé et Chong (1985) pièce n 1 ˚ pièce n 2 ˚ (temp. Zt1 ) (temp. Zt2 ) thermostat Qt ∈ {0, 1} « vecteur » d’état : Xt = (Qt , Zt ) 9 / 23
  10. 10. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Modélisation par un GSHS à sauts forcés Qt = 0 dZt = f(0, Zt ) dt + σ dBt 20 Zt1 Zt1 > zmin 24 22 Zt1 = zmin Zt1 = zmax 20 24 Zt2 Qt = 1 22 dZt = f(1, Zt ) dt + σ dBt Zt1 < zmax 1 0.5 Qt f(q, z ) = Az + zext fext + qfchauff 0 σ1 0 0 20 40 60 80 100 σ = 0 σ2 temps (minutes) 10 / 23
  11. 11. Plan de l’exposé Généralités Introduction aux GSHS GSHS : dynamique hybride & probabilitésÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Comparaison avec les automates hybrides Conclusion / perspectives Domaines d’application Références Un modèle de consommation électrique Espace d’état hybride du modèle E = {0} × E0 ∪ {1} × E1 z2 mode on (q = 1) E1 = −∞; zmax × R zmin zmax z1 z2 mode off (q = 0) E0 = zmin ; +∞ × R zmin zmax z1 11 / 23
  12. 12. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références 1 Plan de l’exposé 2 Introduction aux GSHS Généralités GSHS : dynamique hybride & probabilités Comparaison avec les automates hybrides Domaines d’application Un modèle de consommation électrique 3 Équation de FPK et caractérisation de l’incertitude Caractérisation de l’incertitude ? Rappel : cas des EDO et des EDS L’équation de FPK généralisée aux GSHS Résultat numériques 4 Conclusion / perspectives 5 Références 12 / 23
  13. 13. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Caractérisation de l’incertitude ? l’état Xt est une variable aléatoire. . . mais quelle est sa loi de probabilité µt ? Xt n’est (presque) jamais une V.A. gaussienne, donc pour caractériser µt , il ne suffit pas de s’intéresser à la moyenne et à la variance ! deux situations où la question se pose : propagation de l’incertitude µ0 est connue : évolution t → µt ? GSHS stable (en loi) comment trouver la loi stationnaire µst ? 13 / 23
  14. 14. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Rappel : cas des EDO et des EDS systèmes dynamiques « classiques » : tps continu, E = Rn on suppose l’existence d’une ddp : µt (dx ) = pt (x ) dx deux cas particuliers en l’absence de bruit : évolution déterministe (EDO) X0 ∼ p0 (x ) dx ˙ Xt = f(Xt ) en présence de bruit : processus de diffusion (EDS) X0 ∼ p0 (x ) dx dXt = f(Xt ) dt + gk (Xt ) dBtk k 14 / 23
  15. 15. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Équations de Liouville et de Fokker-Planck-Kolmogorov cas déterministe (EDO) : l’équation de Liouville  ∂pt jt = fpt + div (fpt ) = 0 −→ ∂t  ∂pt + div jt = 0 ∂t cas diffusif (EDS) : l’équation de FPK 1 jt = fpt − gk div (gk pt ) 2 k lorsque la dynamique est hybride : équation de FPK généralisée ! 15 / 23
  16. 16. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Quelques références Processus de diffusion & équation de FPK Kolmogorov (1931), Itô (1950), Stratonovich (1966) Généralisation aux processus diffusifs par morceaux sauts spontanés (assez bien connu) Kolmogorov (1931), Gardiner (1985), Krystul, Bagchi & Blom (2003), Hespanha (2005) sauts forcés (seulement en dimension 1 !) Feller (1952, 1954), Malhamé & Chong (1985) 16 / 23
  17. 17. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Prendre en comptes les sauts : la notion d’intensité moyenne de sauts Soit R (A) = Eµ0 k ≥1 1A Xτ− , τk . k On dit que X admet une intensité moyenne de sauts, pour la mesure initiale µ0 , s’il existe une application t → rt , à valeurs dans l’ensemble des mesures positives sur E, telle que : 1 pour tout Γ ∈ E, la fonction t → rt (Γ) est mesurable ; t 2 pour tous Γ ∈ E et t > 0, R (Γ×]0; t]) = 0 rs (Γ) ds. Que vaut rt (dx ) ? sauts spontanés : rt0 (dx ) = λ(x ) µt (dx ) sauts forcés : rtG (dx ) = ??? 17 / 23
  18. 18. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références L’équation de FPK généralisée notations µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité) L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. rt (dx ) intensité moyenne de sauts K (x , dy) noyau de réinitialisation t → µt obéit à l’équation d’évolution µ′ = L∗ µt + rt (K − I ) t 18 / 23
  19. 19. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références L’équation de FPK généralisée notations µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité) L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. rt (dx ) intensité moyenne de sauts K (x , dy) noyau de réinitialisation t → µt obéit à l’équation d’évolution µ′ = L∗ µt + rt (K − I ) t dérivée par rapport au temps 18 / 23
  20. 20. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références L’équation de FPK généralisée notations µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité) L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. rt (dx ) intensité moyenne de sauts K (x , dy) noyau de réinitialisation t → µt obéit à l’équation d’évolution µ′ = L∗ µt + rt (K − I ) t dérivée effet de par rapport la diffusion au temps 18 / 23
  21. 21. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références L’équation de FPK généralisée notations µt (dx ) loi de Xt (mesure de probabilité) L∗ opérateur de Fokker-Planck, au sens des distrib. rt (dx ) intensité moyenne de sauts K (x , dy) noyau de réinitialisation t → µt obéit à l’équation d’évolution µ′ = L∗ µt + rt (K − I ) t dérivée effet de effet des sauts par rapport la diffusion rt K = E rt (dx )K (x , · ) au temps 18 / 23
  22. 22. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Corollaire important On en déduit l’expression de l’intensité moyenne de sauts forcés. Si µt (dx ) = pt (x ) dx au voisinage de G, avec p de classe C 2,1 , rtG (Γ) = jt , n ds , Γ∩G avec n la normale sortante sur G. 19 / 23
  23. 23. Retour sur l’exemple du thermostat Une vidéo a été projetée à ce stade de la présentation. Cette vidéo (≈ 2.3 Mo) est disponible sur la page « réunions » du site web du groupe SDH, à l’adresse suivante : http ://www.rennes.supelec.fr/sdh.
  24. 24. Plan de l’exposé Caractérisation de l’incertitude ? Introduction aux GSHS Rappel : cas des EDO et des EDSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude L’équation de FPK généralisée aux GSHS Conclusion / perspectives Résultat numériques Références Considérations numériques Discrétisation spatiale : méthode des volumes finis conservation de la masse garantie matrices « très creuses » (densité : 10−6 – 10−8 ) Efficace pour le calcul du régime stationnaire calcul « direct » (recherche d’un vecteur propre) compris précision / temps de calcul comparable à une méthode de type Monte-Carlo intérêt de résoudre FPK : construction d’une approximation de µst , stockable donc réutilisable 21 / 23
  25. 25. Plan de l’exposé Introduction aux GSHSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Conclusion / perspectives Références Conclusion / perspectives GSHS : classe très générale de modèle stochastiques hybrides formalisme unifié, proposé par Bujorianu & Lygeros (2004) ⇒ besoin d’outils unifiés également ! Caractérisation de l’incertitude une équation de FPK généralisée a été établie unification + prise en compte de sauts forcés concept d’intensité moyenne de sauts Directions de recherche phénomène de Zénon, différentes formes de stabilité, etc. fonctions de Lyapunov multiples ? méthodes numériques 22 / 23
  26. 26. Plan de l’exposé Introduction aux GSHSÉquation de FPK et caractérisation de l’incertitude Conclusion / perspectives Références Références en lien avec le travail présenté J. Bect, Processus de Markov diffusifs par morceaux : outils analytiques et numériques. Thèse de doctorat, Univ. Paris-Sud 11, 2007. http ://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00169791/fr J. Bect, H. Baili et G. Fleury, Generalized Fokker-Planck equation for piecewise-diffusion processes with boundary hitting resets, MTNS 2006, Kyoto, juillet 2006. http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016373/en J. Bect, Y. Phulpin, H. Baili et G. Fleury, On the Fokker-Planck equation for stochastic hybrid systems : application to a wind turbine model, PMAPS 2006, Stockholm, juin 2006. http ://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00016375/en 23 / 23

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