Calculo diferencial en la vida de un Ingeniero(Proyecto Final)

Objetivos del proyecto
1
APLICACIÓN DEL CÁLCULO
DIFERENCIAL EN LA VIDA
PROFESIONAL DE UN INGENIERO

1
Contenido
RESUMEN................................................................................................................................. 4
INTRODUCCIÓN:...................................................................................................................... 5
CAPÍTULO 1.............................................................................................................................. 7
1. Planteamiento del Problema............................................................................................... 7
1.1. Situación y Conflicto .................................................................................................... 7
1.2. Causas y Consecuencias............................................................................................. 7
1.3. Delimitación del problema............................................................................................ 7
1.4. Formulación del problema............................................................................................ 8
1.5. Objetivos...................................................................................................................... 8
Objetivo general.................................................................................................................... 8
Objetivos específicos ............................................................................................................. 8
1.6. Justificación e Importancia........................................................................................... 9
CAPÍTULO 2.............................................................................................................................10
MARCO TEÓRICO................................................................................................................10
Nociones básicas del cálculo diferencial ..................................................................................10
Noción de derivada...............................................................................................................11
Derivación implícita............................................................................................................12
Derivada logarítmica ..........................................................................................................13
Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas.....................................14
Derivadas en polares .........................................................................................................15
CAPÍTULO 3.............................................................................................................................17
3.1. LA METODOLOGÍA....................................................................................................17
3.2. Diseño de la Investigación ..........................................................................................18
3.3. Modalidad de la Investigación.....................................................................................18
3.4. Tipos de Investigación ................................................................................................18
3.5. Resultados de la encuesta..........................................................................................19
Edad ..................................................................................................................................19
Estudios.............................................................................................................................19
¿Piensa usted que el estudio del cálculo diferencial es útil en la vida profesional de un
ingeniero?..........................................................................................................................20

2
¿Cree usted que la baja autoestima de los estudiantes influye en su desempeño y
aprendizaje del Cálculo diferencial?...................................................................................20
¿Cuántas horas por día le dedica a esta materia?.............................................................21
¿En el transcurso de sus estudios ha recibido nociones básicas sobre el cálculo
diferencial? ........................................................................................................................21
En caso de responder SI a la pregunta anterior usted ¿Qué nivel de dificultad le asignaría?
..........................................................................................................................................21
Elaboración de Helados [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación
en?]....................................................................................................................................22
Fabricación de Chips [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]
..........................................................................................................................................22
Una reacción Oxido - Reducción [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de
aplicación en?]...................................................................................................................22
Administración de las compuertas de los circuitos integrados [¿El cálculo diferencial tiene
un importante campo de aplicación en?]............................................................................22
Digitalización de imágenes, sonidos y vídeos [¿El cálculo diferencial tiene un importante
campo de aplicación en?] ..................................................................................................22
¿Piensa usted que un Politécnico recién graduado Puede identificar un Problema Existente
en una Maquinaria y Pueda resolverlo por Métodos de Cálculo Diferencial? .....................22
Bibliografía ............................................................................................................................23
ANEXOS ...............................................................................................................................23
Ilustraciones
Ilustración 1.- Isaac Barrow........................................................................................................ 4
Ilustración 2.- Pendiente de una gráfica en un punto.................................................................. 5
Ilustración 3.- Elaboración de Herramientas............................................................................... 6
Ilustración 4.- Análisis de Ondas con el Cálculo Diferencial ......................................................17
Ecuaciones
Ecuación 1.- Problema de la convergencia de la serie............................................................... 7
Ecuación 3: derivación implícita................................................................................................12
Ecuación 4: Ejemplo 1 ..............................................................................................................12
Ecuación 5: Ejemplo 2 ..............................................................................................................12
Ecuación 2.- Definición de la derivada ......................................................................................12
Ecuación 6: Derivada logarítmica..............................................................................................13

3
Ecuación 7: Propiedad 1 de DL.................................................................................................13
Ecuación 8: Propiedad 2...........................................................................................................13
Ecuación 9: Propiedad 3...........................................................................................................13
Ecuación 10; Propiedad 4 .........................................................................................................14
Ecuación 11: Propiedad 5 .........................................................................................................14
Ecuación 12: Ejemplo 3.1 .........................................................................................................14
Ecuación 13:Ejemplo 3.2 ..........................................................................................................14
Tablas
Tabla 1.- Tabla de derivadas.....................................................................................................11
Tabla 2.- Cambio de dirección de una función según el orden de la derivada...........................18

4
RESUMEN
El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la
tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una
curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la
importancia de esa relación.
La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto
se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el
estudio de la variación de una función.
Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una
función y = f(x), su derivada, en forma de diferencial de una función de una sola
variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como
el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la
derivada de una función y la integral de dicha función; si F(x) es la función integral que
debe ser integrable en el intervalo.
Ilustración 1.- Isaac Barrow

5
INTRODUCCIÓN:
CÁLCULO DIFERENCIAL:
El cálculo diferencial es un método universal, se puede aplicar en física, química,
biología, contabilidad, etc. En cualquier proceso que puede ser traducido a una
ecuación, ahí puedes aplicarlo.
Su aplicación más conocida es la determinación de los máximos y mínimos de una
función (variable dependiente en una ecuación), en otras palabras sirve para
determinar: las coordenadas del punto más alto o más bajo de una curva (o ambos), es
decir, donde la pendiente es cero.
Ilustración 2.- Pendiente de una gráfica en un punto
En Ingeniería:
Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de
crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de
partes mecánicas de un automóvil, y muchas aplicaciones más en ingeniería y física.
El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:
● Fabricación de chips (obleas de microprocesadores)
● Miniaturización de componentes internos.
● Administración de las compuertas de los circuitos integrados.
● Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.
● Han coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial.
El cálculo diferencial se aplica a todo, por comenzar a dar ejemplos, se aplica a la
velocidad de los coches ya que la velocidad es la derivada del espacio con respecto al
tiempo, la aceleración es el cambio de velocidad .

6
Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial,
ya que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación
numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia y fuerzas
distribuidas
Ilustración 3.- Elaboración de Herramientas

Nociones Básicas del Cálculo Diferencial
CAPÍTULO 1
1. Planteamiento del Problema
En la sociedad la mayoría de la población piensa que el estudio del cálculo diferencial
es una pérdida de tiempo, creando cierto tipo de rechazo a esta materia por el
estudiante universitario, motivo el cual es necesario mostrar las diversas aplicaciones
que tiene para la vida profesional de un ingeniero y así hacer más amena la materia
para el estudiante
1.1. Situación y Conflicto
El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y
Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de
diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos
términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y
el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el
desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de
Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la
época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió
en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de
series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron
nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series
asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo
diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que
caracterizan su estructura actual
Ecuación 1.- Problema de la convergencia de la serie
1.2. Causas y Consecuencias
Con frecuencia los padres y docentes no confían en su juicio cuando tratan de evaluar
el desarrollo y aprendizaje de su hijo, ni saben a quién preguntar o a dónde acudir
cuando ven que la conducta del niño es notablemente diferente a la que manifiestan la
mayoría de los niños de su edad.
1.3. Delimitación del problema
Definir las dificultades o problemas de aprendizaje es adentrarse en un terreno
altamente debatido, esto es debido a que los especialistas no han logrado llegar a un
acuerdo universal, sin embargo, en términos generales: "este concepto se utiliza para

8
describir la condición que padece la persona e interfiere con su habilidad para
almacenar, procesar o producir la información deseada, traduciéndose en dificultades
significativas para escuchar, hablar, leer, escribir, razonar, realizar con éxito tareas
matemáticas o relacionarse con los demás
1.4. Formulación del problema
¿El ingeniero utilizará el Cálculo Diferencial en su vida profesional?
1.5. Objetivos
Objetivo general
* Dar a conocer la importancia de la aplicación del cálculo diferencial en la vida
profesional de un ingeniero y los efectos que esto tiene en el desarrollo de la sociedad
Objetivos específicos
* Demostrar con datos históricos y cuantitativos del porqué el cálculo diferencial ha sido
un factor de evolución científica en nuestra sociedad estos últimos años
* Mostrar las aplicaciones más comunes del cálculo en la vida diaria
* Explicar las nociones básicas teóricas en las que se sustenta.
* Evaluar a través de una encuesta la opinión que tiene determinada población sobre la
utilidad del cálculo
* Presentar los datos cuantitativos obtenidos de las encuestas en gráficos estadísticos

9
1.6. Justificación e Importancia
n la actualidad, y desde hace siglo, las matemáticas han sido algo esencial para
la vida, y así mismo el desarrollo del ser humano, y de la sociedad en conjunto.
Las matemáticas se van jerarquizando, dependiendo su grado de dificultad
Por lo que se dividen en ramas, como lo son, la geometría, el álgebra, la trigonometría,
la estadística, las matemáticas en general, y algo muy peculiar llamado calculo, tanto
integral como diferencial.
Al escuchar esta última rama de las matemáticas, se piensa que es algo muy complejo,
lo cual no tiene ninguna aplicación en la vida diaria, pero al profundizar más en el tema,
se encontrara que es todo lo contrario.
El cálculo diferencial, se puede aplicar en la economía, la administración, la física, etc.
Los principales elementos que se utilizan en esta rama de las matemáticas, son las
funciones, las derivadas, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que
estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes calculo en importantes empresas,
o simples operaciones en la economía familiar.
E

10
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO
Nociones básicas del cálculo diferencial
El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de
cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de
estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada
es la de diferencial de una función.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una
función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia
conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos
matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes
instantáneas de en cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las
tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las
derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus
intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

Tipos de Derivada
11
Noción de derivada
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes
conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque
sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por
ello, aproximamos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de
las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta
tangente.
Tabla 1.- Tabla de derivadas
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que
llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo
como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos

Tipos de Derivada
12
Derivación implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 /
x, viene definida implícitamente por la ecuación
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y,
así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:
Ecuación 3: derivación implícita
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será
la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la
y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ecuación 4: Ejemplo 1
Ejemplo 2:
Aquí las variables 𝐧𝐨 coinciden: se usa regla de la cadena
Ecuación 5: Ejemplo 2
Ecuación 2.- Definición de la derivada

Tipos de Derivada
13
.
Derivada logarítmica
En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo,
la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula
Ecuación 6: Derivada logarítmica
Donde f ′ es la derivada de f.
Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales,
estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del
logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la
Propiedades básicas
Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada
logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo,
dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se
tiene que
Ecuación 7: Propiedad 1 de DL
Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la
suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de
Leibniz para la derivada del producto y así obtener
Ecuación 8: Propiedad 2
Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto
es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están
definidas).
En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la
función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

Tipos de Derivada
14
En la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la
negación del logaritmo del número.
En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las
derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:
Ecuación 10; Propiedad 4
En la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del
dividendo y del divisor.
Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante),
la misma es el producto del exponente y de la derivada logarítmica de la base:
En forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente
y el logaritmo de la base.
En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto,
una regla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la
lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas
mediante la derivada logarítmica.
Cálculo de derivadas ordinarias utilizando derivadas logarítmicas
Las derivadas logarítmicas pueden ayudar a simplificar el cálculo de derivadas que
requieren la regla del producto. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que
ƒ(x) = u(x)v(x) y que se desea calcular ƒ'(x). En vez de realizar el cálculo en forma
directa, calculamos su derivada logarítmica. O sea, se calcula:
Ecuación 12: Ejemplo 3.1
Multiplicando por ƒ se calcula ƒ':
Ecuación 13:Ejemplo 3.2

Tipos de Derivada
15
Esta técnica es especialmente útil cuando ƒ es el producto de una gran cantidad de
factores. La técnica descripta hace posible calcular ƒ' mediante el cálculo de la
derivada logarítmica de cada factor, sumando, y multiplicando por ƒ.
Derivadas en polares
Partiendo de las ecuaciones de
conversión entre coordenadas
rectangulares y polares, y tomando
derivadas parciales se obtiene
Para encontrar la pendiente en
cartesianas de la recta tangente a una
curva polar r(θ) en un punto dado, la
curva debe expresarse primero como un
sistema de ecuaciones paramétricas
Diferenciando ambas ecuaciones
respecto a θ resulta
Dividiendo la segunda ecuación por la
primera se obtiene la pendiente
cartesiana de la recta tangente a la
curva en el punto (r, r(θ)):
La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto
se vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el
estudio de la variación de una función.
Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una
función y = f(x), su derivada, en forma de diferencial de una función de una sola
variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como
el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la

Tipos de Derivada
16
derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que
debe ser integrable en el intervalo.
Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de
crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de
partes mecánicas de un automóvil, y muchas aplicaciones más en ingeniería y física.
El cálculo diferencial tiene un importante campo de aplicación en esta área:
 Fabricación de chips (obleas de microprocesadores)
 Miniaturización de componentes internos.
 Administración de las compuertas de los circuitos integrados.
 Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.
 Han coadyuvado a aumentar la inteligencia artificial.
El cálculo diferencial se aplica a todo, por comenzar a dar ejemplos, se aplica a la
velocidad de los coches ya que la velocidad es la derivada del espacio con respecto al
tiempo, la aceleración es el cambio de velocidad.

Tipos de Derivada
17
CAPÍTULO 3
3.1. LA METODOLOGÍA
Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En
particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que
llevan a dicha función a un extremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin
embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x³ tiene
un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. El criterio
de la primera derivada y el criterio permiten determinar si los puntos críticos son
máximos, mínimos o ninguno.
Ilustración 4.- Análisis de Ondas con el Cálculo Diferencial
En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de
cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de la
segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos,
considerando el valor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la
función en el punto crítico. Si todos los valores son positivos, entonces el punto es un
mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos valores
positivos y algunos negativos, entonces el punto crítico es un punto silla, y si no se
cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los valores son 0 y
3).

Tipos de investigación
18
3.2. Diseño de la Investigación
Una función de una variable es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese
punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x
perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser
diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser
diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto c es continua en c, pero
no toda función continua en c es diferenciable en c (como f(x) = |x| es continua pero no
diferenciable en x = 0).
3.3. Modalidad de la Investigación
Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el
siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos
como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866),
y Karl Weierstrass (1815–1897). Fue también durante este periodo que el
cálculo diferencial fue generalizado al espacio euclídeo y el plano complejo.
Tabla 2.- Cambio de dirección de una función según el orden de la derivada
3.4. Tipos de Investigación
uando una función depende de
más de una variable, se utiliza el
concepto de derivada parcial. Las
derivadas parciales se pueden pensar
informalmente como tomar la derivada
de una función con respecto a una de
ellas, manteniendo las demás variables
constantes. Las derivadas parciales se
representan como (en donde ; es
una 'd' redondeada conocida como
'símbolo de la derivada parcial').
C

19
El concepto de derivada puede ser
extendido de forma más general. El hilo
común es que la derivada en un punto
sirve como una aproximación lineal a la
función en dicho punto. Quizá la
situación más natural es que las
funciones sean diferenciables en
las variedades. La derivada en un cierto
punto entonces se convierte en
una transformación lineal entre los
correspondientes espacios tangentes y
la derivada de la función se convierte en
un mapeo entre los grupos.
3.5. Resultados de la encuesta
Edad
entre 16 y 18 años 1 5%
entre 18 y 20 años 15 71%
mayor a 20 años 5 24%
Estudios
Primaria 0 0%
secundaria 7 35%
Universidad 12 60%
Universidad + Maestría 0 0%
Universidad + PhD 1 5%

20
¿Piensa usted que el estudio del cálculo diferencial es útil en la vida profesional
de un ingeniero?
1 0 0%
2 1 5%
3 4 20%
4 5 25%
5 10 50%
¿Cree usted que la baja autoestima de los estudiantes influye en su desempeño y
aprendizaje del Cálculo diferencial?
1 4 21%
2 2 11%
3 4 21%
4 2 11%
5 7 37%

21
¿Cuántas horas por día le dedica a esta materia?
1/2 Hora 2 11%
1 hora 5 26%
2 horas 3 16%
3 horas 6 32%
no estudia todos los días 1 5%
Otro 2 11%
¿En el transcurso de sus estudios ha recibido nociones básicas sobre el cálculo
diferencial?
Si 15 71%
No 6 29%
En caso de responder SI a la pregunta anterior usted ¿Qué nivel de dificultad le
asignaría?
1 1 5%
2 2 10%

22
3 9 45%
4 4 20%
5 4 20%
Elaboración de Helados [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de
aplicación en?]
Definitivamente Sí 7 37%
Por supuesto que No 12 63%
Fabricación de Chips [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo de
aplicación en?]
Una reacción Oxido - Reducción [¿El cálculo diferencial tiene un importante campo
de aplicación en?]
Administración de las compuertas de los circuitos integrados [¿El cálculo
diferencial tiene un importante campo de aplicación en?]
Digitalización de imágenes, sonidos y vídeos [¿El cálculo diferencial tiene un
importante campo de aplicación en?]
¿Piensa usted que un Politécnico recién graduado Puede identificar un Problema
Existente en una Maquinaria y Pueda resolverlo por Métodos de Cálculo
Diferencial?
Obviamente que si 6 29%
Si y sólo si es que repasa sus apuntes de Cálculo 4 19%
tal vez pero con ayuda de alguien más 3 14%

23
Tendría la solución pero por falta de experiencia no confiaría en sus Cálculos 7 33%
No lo lograría 1 5%
Otro 0 0
Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial. (s.f.).
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares#C.C3.A1lculo_diferencial. (s.f.).
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_logar%C3%ADtmica. (s.f.).
http://www.dervor.com/derivadas/derivacion_implicita.html. (s.f.).
http://www.julioprofe.net/p/calculo.html. (s.f.).
ANEXOS
http://clubensayos.com/Temas-Variados/Aplicacion-De-Calculo-Diferencial-En/1395604.html
http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml#ixzz37Bjx6B5i

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