1. Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Escuela Ingeniería Electrónica
Sede Barcelona, Anzoátegui
MEDIDAS DE DISPERSION
Profesor: Bachiller:
Carlos Hernández Julio Morales
BARCELONA, Diciembre 2015
2. Medidas de Dispersión
Las medidas que hasta ahora conocemos, medias, modas, percentiles,
etc., tienen todas ellas la propiedad de ubicarse siempre entre los dos
valores extremos de los datos, mínimo y máximo, pues indican posición,
bien sean central, o bien sea extrema como por ejemplo el percentil 5, o el
percentil 95.
Las medidas que van a ser estudiadas en esta presentación no gozan de
esta propiedad, y persiguen como objetivo describir la homogeneidad o
heterogeneidad de los datos.
Las medidas de tendencia central son insuficientes para describir el
comportamiento de los datos, pues no proporcionan información acerca
de cuan cerca o cuán lejos se encuentra estos datos, con relación a ese
valor central.
Así por ejemplo el trio de datos {8, 9,10} y {1, 10,16} tienen ambos media
9; pero resulta obvio, que en el primero de ellos existe una menor
desviación con respecto a este valor central que en el segundo.
Medir la variabilidad resulta muy importante en diversas situaciones
prácticas, pues a través de su medición se podrán comparar conjuntos de
datos, y así establecer cuando existe una mayor concentración de ellos
en la región central.
Así por ejemplo, en estudios sociales las medidas de dispersión
proporcionan la información requerida para analizar cómo es la
distribución de los ingresos dentro de la sociedad; en los estudios de la
calidad industrial, estas mismas medidas de dispersión se utilizan para
medir la precisión de las maquinas utilizadas en el proceso de producción.
Características de las Medidas de Dispersión
Las medidas de dispersión nos sirven para cuantificar la separación de los
valores de una distribución.
Llamaremos DISPERSIÓN O VARIABILIDAD, a la mayor o menor
separación de los valores de la muestra, respecto de las medidas de
centralización que hayamos calculado.
3. Al calcular una medida de centralización como es la media aritmética,
resulta necesario acompañarla de otra medida que indique el grado de
dispersión, del resto de valores de la distribución, respecto de esta media.
A estas cantidades o coeficientes, les llamamos: MEDIDAS DE
DISPERSIÓN, pudiendo ser absolutas o relativas.
Usos de las medidas de dispersión
Tanto las unas como las otras, son medidas que se toman para tener la
posibilidad de establecer comparaciones de diferentes muestras, para las
cuales son conocidas ya medidas que se tienen como típicas en su clase.
Por ejemplo: Si se conoce el valor promedio de los aprobados en las universidades
venezolanas, y al estudiar una muestra de los resultados de los
exámenes de alguna Universidad en particular, se encuentra un promedio
mayor, o menor, del ya establecido; se podrá juzgar el rendimiento de
dicha institución.
Rango
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin
agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor más alto (Xn
o Xmax.) y el más bajo (X1 ó Xmin) en un conjunto de datos.
Rango para datos no agrupados;
R = Xmáx.-Xmín = Xn-X1
Ejemplo:
Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a
saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de
las edades, se tiene que:
R = Xn-X1 ) = 34-18 = 16 años
Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no
hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el
uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el límite
superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase.
Rango para datos agrupados;
R= (lim. Sup. De la clase n – lim. Inf. De la clase 1)
Ejemplo:
4. Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de
distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabrera’s y
Asociados que fueron los siguientes:
Clases P.M.
Xi
fi fr fa↓ fa↑ fra↓ fra↑
7.420 – 21.835 14.628 10 0.33 10 30 0.33 1.00
21.835 – 36.250 29.043 4 0.13 14 20 0.46 0.67
36.250 – 50.665 43.458 5 0.17 19 16 0.63 0.54
50.665 – 65.080 57.873 3 0.10 22 11 0.73 0.37
65.080 – 79.495 72.288 3 0.10 25 8 0.83 0.27
79.495 – 93.910 86.703 5 0.17 30 5 1.00 0.17
Total XXX 30 1.00 XXX XXX XXX XXX
El rango de la distribución de frecuencias se calcula así:
R= (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. De la clase 1)
Características del Rango
El recorrido es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar
puesto que simplemente es la distancia entre los valores extremos (máximo y
mínimo) en una distribución.
Puesto que el recorrido se basa en los valores extremos éste tiende s ser
errático. No es extraño que en una distribución de datos económicos o
comerciales incluya a unos pocos valores en extremo pequeños o grandes.
Cuando tal cosa sucede, entonces el recorrido solamente mide la dispersión
con respecto a esos valores anormales, ignorando a los demás valores de la
variable.
La principal desventaja del recorrido es que sólo está influenciado por los
valores extremos, puesto que no cuenta con los demás valores de la variable.
Por tal razón, siempre existe el peligro de que el recorrido ofrezca
una descripción distorsionada de la dispersión.
En el control de la calidad se hace un uso extenso del recorrido cuando la
distribución a utilizarse no la distorsionan y cuando el ahorro del tiempo al
hacer los cálculos es un factor de importancia.
5. Utilidad en la estadística
El rango comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de
la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están
los datos de un conjunto.
Por ejemplo, para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es
la estatura medida en centímetros, tendríamos:
Es posible ordenar los datos como sigue:
Donde la notación x(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie
de datos. De este modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo
(k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:
En nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.
Desviaciones Típicas
La desviación típica o desviación estándar (denotada con el
símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es
una medida de dispersión para variables de razón (variables cuantitativas
o cantidades racionales) y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada
de la varianza de la variable.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las
medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la
desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la
media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de
los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e
interpretarlos para la toma de decisiones.
Características
Características de la desviación estándar es una medida de centralización
o dispersión para variables de razón y de intervalo, de gran utilidad en la
estadística descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la
desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de
6. distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética,
expresada en las mismas unidades que la variable.
Es útil para describir cuanto se apartan de la media de la distribución los
elementos individuales. Una medida de ello se denomina puntuación
estándar número de desviaciones a las que determinada observación se
encuentra con respecto a la media Característica de la Desviación
Estándar:
1. Es afectada por el valor de cada observación.
2. Como consecuencia de considerar desviaciones cuadráticas pone
mayor énfasis en las desviaciones extremas que en las demás
desviaciones.
3. Si en el eje X de la distribución de frecuencias normal, se mide a
ambos lados de la media una distancia igual a: Una desviación estándar
se forma un intervalo en el cual se encuentra el 68.27% de los valores
centrales de la variable Dos desviaciones estándar, se forma un intervalo
Donde se encuentra el 95.43% de los valores centrales. Tres
desviaciones estándar, se forma un intervalo que contiene el 99,73% de
Los valores centrales.
4. Al construir la tabla de frecuencias de una variable discreta y calcular a
partir de ella la desviación estándar no hay pérdida de información por lo
que la desviación para los datos observados es igual que para los datos
tabulados.
En la construcción de una tabla de una variable continua hay pérdida de
información por el agrupamiento de los valores en intervalos y se traduce
en la discrepancia entre el valor de la desviación observada y tabulada.
Utilidad en la estadística
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación
de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar
nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de
diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación
estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su
ecuación sería:
EJEMPLO
El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los
pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que
opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los
productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos
respectivamente.
7. Por lo que su media es:
Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de
507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho
peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar
cuánto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los
empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en
el proceso de empacado.
2.-Ejemplo: Desviación estándar para datos no agrupados
Calcular la desviación estándar al siguiente conjunto de datos muéstrales.
220 215 218 210 210
219 208 207 213 225
213 204 225 211 221
218 200 205 220 215
217 209 207 211 218
Varianza
La varianza es un conjunto de datos cuantitativos {X1, X2, X3……Xn} sin
agrupar, se define como la media aritmética del cuadrado de sus desvíos.
La varianza es una medida de dispersión que representa exclusivamente
lo que establece la definición: Media aritmética del cuadrado de los
desvíos.
8. Características
Lo que hace la varianza es establecer la variabilidad de la variable
aleatoria. Es importante tener en cuenta que, en ciertos casos, es
preferible emplear otras medidas de dispersión ante las características de
las distribuciones.
Una de las características de la varianza es que viene expresada en
unidades cuadráticas respecto de las unidades originales de la variable.
Un parámetro de dispersión derivado de la varianza y que tiene las
mismas unidades de la variable aleatoria es la desviación típica, que se
define como la raíz cuadrada de la varianza.
Utilidad en la estadística
En Teoría de Probabilidad y la Estadística, la varianza es aquella medida
de dispersión que ostenta una variable aleatoria respecto a su esperanza.
La varianza se relaciona con la desviación típica o desviación estándar, la
cual se denota a través de la letra griega denominada sigma y que será la
raíz cuadrada de la varianza.
Para calcular la varianza será necesario seguir los siguientes pasos:
primero deberemos calcular la media, es decir, el promedio de los
números, luego, por cada número, deberemos restar la media y elevar el
resultado al cuadrado y finalmente la media de esas diferencias al
cuadrado.
La principal función y utilidad que se le puede encontrar a la varianza es
que nos permite saber y determinar qué es normal, qué es grande, qué es
pequeño, aquello que es extra grande o bien aquello que es extra
pequeño.
Por ejemplo, si tomamos varias razas de perros y la idea es determinar
cuál de ellos es más grande y cuál el más pequeño, sin dudas, la mejor
manera de saber la respuesta a esta incógnita será la aplicación de la
fórmula de la varianza.
9. Coeficiente de Variación
En estadística, cuando se desea hacer referencia a la relación entre el
tamaño de la media y la variabilidad de la variable, se utiliza
el coeficiente de variación.
Su fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la media
aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual del grado de
variabilidad que la desviación típica o estándar. Por otro lado presenta
problemas ya que a diferencia de la desviación típica este coeficiente es
variable ante cambios de origen. Por ello es importante que todos los
valores sean positivos y su media dé, por tanto, un valor positivo. A mayor
valor del coeficiente de variación mayor heterogeneidad de los valores de
la variable; y a menor C.V., mayor homogeneidad en los valores de la
variable. Suele representarse por medio de las siglas C.V.
Se calcula:
Donde es la desviación típica, y es la Media. Se puede dar en
porcentaje calculando:
Características
El coeficiente de variación no posee unidades.
El coeficiente de variación es típicamente menor que uno. Sin embargo,
en ciertas distribuciones de probabilidad puede ser 1 o mayor que 1.
Para su mejor interpretación se expresa como porcentaje.
Depende de la desviación típica, también llamada "desviación estándar",
y en mayor medida de la media aritmética, dado que cuando ésta es 0 o
muy próxima a este valor el C.V. pierde significado, ya que puede dar
10. valores muy grandes, que no necesariamente implican dispersión de
datos.
El coeficiente de variación es común en varios campos de la probabilidad
aplicada, como teoría de renovación y teoría de colas. En estos campos
la distribución exponenciales a menudo más importante que
la distribución normal. La desviación típica de una distribución
exponencial es igual a su media, por lo que su coeficiente de variación es
1. Las distribuciones con un C.V. menor que uno, como la distribución de
Erlang se consideran de "baja varianza ", mientras que aquellas con un
C.V. mayor que uno, como la distribución hiperexponencial se consideran
de "alta varianza". Algunas fórmulas en estos campos se expresan
usando el cuadrado del coeficiente de variación, abreviado como
S.C.V. (por sus siglas en inglés).
Utilidad en la estadística
Su utilidad radica en que podemos determinar que tanta variabilidad
existe entre dos muestra en las que inclusive la información no tienen las
mismas unidades o se trata de datos diferentes. En el siguiente ejemplo
se muestra la utilidad del coeficiente de variación
Ejemplo.
Dos profesores que imparten diferentes materias a un mismo grupo
deciden investigar como es el coeficiente de variación de en una y otra
materia, para lo cual se obtiene la media y la desviación estándar
respectivamente, por lo que:
Resultados de la materia A:
Resultados de la materia B:
11. Por lo que se concluye que aunque las calificaciones en promedio son
igual a 8 las calificaciones son mucho más dispersas ya que el coeficiente
de variación es mayor para la segunda muestra.
