1. Introducci´n a la Geometr´ Fractal:
o ıa
I. Autosimilitud
Carlos Munuera
cmunuera@modulor.arq.uva.es
Universidad de Valladolid
CMG

2. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
o ıa 1
¿Qu´ es un fractal?
e
Seguramente, la primera pregunta que se plantea en un curso sobre fractales es
¿Qu´ es un fractal?
e
A estas alturas, varias respuestas posibles pueden ser,
Es una figura bastante extra¯a, generalmente pintada con colores lujuriosos.
n
No lo se, pero he visto algunos que me han gustado.
No tengo la menor idea. Yo s´lo me matricul´ en este curso porque necesitaba los
o e
cr´ditos.
e
Es un conjunto de puntos cuya dimensi´n de Haussdorf no coincide con su dimensi´n
o o
topol´gica.
o
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3. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
o ıa 2
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4. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
o ıa 3
Una primera aproximaci´n
o
Un fractal es una figura plana que se obtiene llevando a cabo
un determinado proceso gr´fico un n´mero infinito de veces.
a u
En este sentido nunca podremos ver realmente un fractal. Sin embargo, podemos
aproximarlo razonablemente efectuando un n´mero de iteraciones suficientemente alto.
u
M´s iteraciones proporcionan un fractal m´s ’real’. Asimismo, en algunos fractales el
a a
proceso que citamos es preciso aplicarlo en cada punto del plano. Obviamente esto es
imposible, de manera que se realiza un mallado del plano y se toma un punto como
representante de cada rect´ngulo de la malla. Obviamente un mallado m´s fino
a a
proporciona mayor detalle (luego mayor nitidez) en el fractal.
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5. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
o ıa 4
Por otro lado, conviene ser cauto en el n´mero de iteraciones que realicemos y en el
u
di´metro del mallado. Pedir una cantidad excesiva de iteraciones o una nitidez muy
a
alta, requiere una cantidad muy elevada de computaci´n (y por tanto de tiempo) hasta
o
ver la figura resultante.
• Abrir Maple y la hoja Fractal 2.txt
• Ejecutar Koch con 1 a 5 iteraciones
• Ejecutar Maldelbrot con mallados 50 × 50 y 250 × 250
Apreciar la diferencia de tiempo y de nitidez en los gr´ficos obtenidos
a
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6. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
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Una definici´n (m´s rigurosa) de fractal: Autosimilitud
o a
En algunos libros podemos encontrar la siguiente definici´n de fractal, debida a B.
o
Mandelbrot
Un fractal es un tipo de objeto geom´trico fragmentado
e
que puede ser subdividido en partes, cada una de las
cuales es (aproximadamente) una copia reducida del total.
La autosimilitud es una de las principales caracter´
ısticas de los fractales. Para ver esto,
comencemos por los fractales m´s simples. Estos se construyen mediante iteraci´n.
a o
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7. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
o ıa 6
El tri´ngulo de Sierpinski
a
Partimos de un tri´ngulo macizo (con su interior). Conectando los puntos medios de los
a
lados obtenemos un tri´ngulo semejante al inicial.
a
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El tri´ngulo de Sierpinski
a
Partimos de un tri´ngulo macizo (con su interior). Conectando los puntos medios de los
a
lados obtenemos un tri´ngulo semejante al inicial.
a
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El tri´ngulo de Sierpinski
a
Partimos de un tri´ngulo macizo (con su interior). Conectando los puntos medios de los
a
lados obtenemos un tri´ngulo semejante al inicial. Quitemos el tri´ngulo interior.
a a
La figura as´ obtenida est´ formada por 3 tri´ngulos, cada uno de los cuales es
ı a a
semejante al original, escalado un factor de 1/2.
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Repitamos el proceso con cada uno de los tr´ngulos, y as´ hasta el infinito. La figura
a ı
obtenida tras un n´mero infinito de iteraciones se llama tri´ngulo de Sierpinski.
u a
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o ıa 10
Obs´rvese que el tri´ngulo de Sierpinski es auto-similar: est´ hecho a base de infinitas
e a a
copias de si mismo.
3 copias escaladas 1/2;
9 copias escaladas 1/4;
27 copias escaladas 1/8; etc.
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12. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
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Hemos descubierto otra importante propiedad de los factales:
Los fractales son (en cierto sentido) invariantes por cambios de escala.
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13. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
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La curva de Koch
Esta curva fu´ inventada en 1890 (mucho antes del descubrimiento de los fractales) por
e
el matem´tico sueco Helge von Koch. Posee curiosas propiedades geom´tricas:
a e
Su longitud es infinita.
Es continua, pero no tiene tangente en ning´n punto.
u
Se construye siguiendo el proceso que ya hemos visto en el ordenador.
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La curva de Koch
Esta curva fu´ inventada en 1890 (mucho antes del descubrimiento de los fractales) por
e
el matem´tico sueco Helge von Koch. Posee curiosas propiedades geom´tricas:
a e
Su longitud es infinita.
Es continua, pero no tiene tangente en ning´n punto.
u
Se construye siguiendo el proceso que ya hemos visto en el ordenador.
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15. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
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El resultado final tiene el aspecto siguiente
Ejecutar de nuevo el programa Koch de Maple.
• Observar la formaci´n de la curva.
o
• ¿Por cu´ntas copias del original est´ formada la curva?
a a
• Cada una de ellas, ¿qu´ factor de escala tiene respecto del original?
e
[Respuesta: 4 copias escaladas 1/3 ]
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16. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
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M´s ejemplos de autosimilitud
a
Con reglas de formaci´n m´s complicadas (y con m´s potencia de c´lculo) podemos
o a a a
producir fractales m´s complejos, en ocasiones de apariencia bastante natural. De
a
momento no nos perocuparemos por las reglas que producen estos fractales. Las
veremos m´s adelante.
a
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Una geometr´ natural
ıa
Habitualmente describimos el mundo utilizando la geometr´ eucl´
ıa ıdea. Esta geometr´
ıa
se basa en conceptos ’est´ticos’, como rectas o planos, que se describen
a
matem´ticamente en t´rminos de ecuaciones y coordenadas.
a e
Por el contrario, la geometr´ fractal se basa en procesos recursivos, y se expresa
ıa
matem´ticamente mediante algoritmos. Como muchos objetos naturales se forman
a
tambi´n en forma recursiva, la geometr´ fractal permite describirlos con mayor
e ıa
propiedad. Por esta raz´n, en ocasiones se habla de la geometr´ fractal como una
o ıa
geometr´ ’natural’. Rec´
ıa ıprocamente, tambi´n se dice que ’la naturaleza es fractal’.
e
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19. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
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20. Introducci´n a la Geometr´ Fractal I
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¿Por qu´ nos interesan los fractales?
e
Por su calidad y sus posibilidades est´ticas.
e
Por que proporciona un nuevo puntos de vista para analizar los objetos geom´tricos
e
naturales. En consecuencia, por sus aplicaciones al dise¯o y la arquitectura (y muchos
n
otros campos).
...
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Programas inform´ticos
a
A partir de ahora utilizaremos programas espec´
ıficos para construir y manejar fractales.
En concreto utilizaremos Fractint y su versi´n simplificada ManpWin.
o
Estos programas pueden descargarse gratuitamente a trav´s de Internet en la direcci´n
e o
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html
(La p´gina oficial de Fractint)
a
Existen multitud de programas de tratamiento de fractales (aunque en su mayor´ıa
menos conocidos) que pueden obtenerse tambi´n a trav´s de Internet. Entre ellos, uno
e e
de los de mayor inter´s es UltraFrac.
e
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Un ejemplo: Manpwin y el fractal de Mandelbrot
Este es posiblemente el fractal m´s conocido e importante, y volveremos a encontrarlo
a
m´s adelante. Por el momento vamos a utilizarlo para examinar la autosimilitud de los
a
fractales con la ayuda del programa Manpwin.
Abrir el programa Manpwin.
• Hacer sucesivas ampliaciones del fractal de Maldelbrot.
Observar su autosimilitud
• Repetir el proceso con fractales de tipo Newton.
• Cambiar los colores y observar los resultados
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Para saber m´s
a
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/2415/index.html
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/cockpit/5889/index.html
Dos sitios con informaci´n sobre fractales en castellano
o
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html
La p´gina oficial de Fractint
a
Carlos Munuera
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
Universidad de Valladolid
cmunuera@modulor.arq.uva.es
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