karina arias

1. Pi
La constante pi, que se denota , Es un número real definido como la relación de un círculo 's
circunferencia a su diámetro ,
(1)
También es a veces llamado Arquímedes constante o de Ludolfo.
Es igual a
(2)
(Sloane A000796 ). dígitos de Pi tienen muchas propiedades interesantes, aunque no se sabe mucho
acerca de sus propiedades analíticas. Espiga (Rabinowitz y Wagon 1995; Arndt y Haenel 2001; Borwein y
Bailey 2003, pp. 140-141) y la extracción de dígito- algoritmos (la fórmula BBP ) son conocidos por .

2. continuó fracción de Pi está dada por [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] (Sloane A001203 ). Su expansión Engel
es 1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ... (Sloane A006784 ).
se sabe que es irracional (Lambert 1761; Legendre 1794; Hermite 1873; Nagell 1951; Niven 1956; Struik
1969; Königsberger 1990; Schröder 1993; Stevens 1999; Borwein y Bailey 2003, pp. 139-140). En 1794,
Legendre también demostró que es irracional (Wells 1986, p. 76). También es trascendente
(Lindemann 1882). Una consecuencia inmediata de la demostración de Lindemann de la trascendencia de
También demostró que el problema geométrico de la Antigüedad conocido como la cuadratura círculo es
imposible. Un simplificado, pero sigue siendo difícil, la versión de demostración de Lindemann está dada
por Klein (1955).
También se sabe que no es un número de Liouville (Mahler, 1953), pero no se sabe si Es normal que
a cualquier base (Stoneham 1970). La siguiente tabla resume los avances en la computación límites
superiores en la medida de irracionalidad de . Es probable que el exponente se puede reducir a ,
Donde es una pequeña cantidad infinitesimal (Borwein et al. 1989).

3. límite superior
referencia
20
Mahler
(1953), Le
Lionnais
(1983, p. 50)
14,65
Chudnovsky y
Chudnovsky
(1984)
8,0161
Hata (1992)
No se sabe si , O son
irracionales . Sin embargo, se sabe que no pueden adaptarse a cualquier polinomio de la ecuación de
grado con entero coeficientes de tamaño medio (1988ab Bailey, Borwein et al. 1989).
JH Conway ha demostrado que existe una secuencia de menos de 40 fracciones , , ... con la
propiedad de que si usted comienza con y en repetidas ocasiones se multiplica por el primero de los
que da un resultado entero hasta que un poder de 2 (por ejemplo, ) Se produce, a continuación, es el
decimales º dígito de .
cultivos en todo tipo de lugares inesperados en matemáticas, además de círculos y esferas . Por
ejemplo, se produce en la normalización de la distribución normal , en la distribución de números primos ,
en la construcción de los números que están muy cerca de enteros (la constante de Ramanujan ), y en la
probabilidad de que un alfiler caer en una serie de paralelos líneas cruza una línea ( la aguja de Buffon
problema ). Pi también aparece como la proporción media de la duración real y la distancia directa entre la

4. fuente y la boca de un río serpenteante (Stølum 1996, Singh, 1997).
Una breve historia de la notación para pi está dada por Castellanos (1988ab). A veces se conoce como
la constante de Ludolfo después Ludolph van Ceulen (1539-1610), un neerlandés calculadora. El
símbolo Se utilizó por primera vez por el matemático galés William Jones en 1706, y adoptado
posteriormente por Euler. En la medida de un círculo, Arquímedes (ca. 225 aC) obtuvo la primera
aproximación rigurosa por inscribir y circunscribir -Gons en un círculo usando el algoritmo de
Arquímedes . Uso (Un 96-gon), Arquímedes obtuvo
(3)
(Wells 1986, p. 49; Shanks 1993, p. 140; et al Borwein. 2004, pp. 1-3).
La Biblia contiene dos referencias (I Reyes 7:23 y 4:2 Crónicas) que dan un valor de 3 para (Wells 1986,
p. 48). Cabe mencionar, sin embargo, que ambos casos se refieren a un valor que se obtiene a partir de
mediciones físicas y, como tal, probablemente dentro de los límites de la incertidumbre experimental. I
Reyes 7:23 dice: "Le hizo también un mar de fundición de diez codos de un borde al otro, todo el año en la
brújula, y cinco codos de altura de los mismos; y una línea de treinta codos lo brújula alrededor. " Esto
implica . Los babilonios se obtuvo una estimación de como ,
Mientras que los egipcios dieron en el papiro Rhind y 22 / 7 en otros lugares. Los
geómetras chino, sin embargo, hizo lo mejor de todo, rigurosamente derivados a 6 decimales.
apareció en Alfred Hitchcock, insípida y mal actuado película de 1966 Torn Curtain, incluso en una
extraña pero memorable escena en particular, cuando Paul Newman (profesor Michael Armstrong)
establece una símbolo en el suelo con el pie en la puerta de una granja. En esta película, el símbolo
es el paso de señal de un metro de cadena alemana del Este, que pasa de contrabando a Occidente
fugitivos.
La película de 1998 Pi es uno, extraño, y hipercinético película oscura sobre un matemático que poco a
poco va buscando una locura para un patrón al Mercado de Valores. Tanto una secta jasídica y
cabalística una firma de Wall Calle aprender de su investigación y tratar de seducirlo. Por desgracia, la
película tiene esencialmente nada que ver con las matemáticas reales. 314159, los primeros seis dígitos
del , Es la combinación de la novela de Ellie oficina de seguros en Contacto de Carl Sagan.
El 15 de septiembre de 2005, Google ofrece tal y 14.159.265 acciones ordinarias de Clase A, que es lo

5. mismo que los primeros ocho dígitos o después del punto decimal (Markoff 2005).
La fórmula para el volumen de un cilindro lleva a la broma matemática: "¿Cuál es el volumen de una pizza
de espesor y el radio ? Respuesta: zz pi a. Este resultado se conoce a veces como el segundo
teorema de la pizza .
El álbum de 2005 aérea cuenta con una canción llamada "Pi" en el que los primeros dígitos de se
intercalan (por desgracia incorrectamente) con letra.
Hay muchas, muchas fórmulas para pi , desde lo simple a lo complicado.
Ramanujan (1913-1914) y Olds (1963) dan construcciones geométricas de 355/113. Gardner (1966, pp.
92-93) da una construcción geométrica de . Dixon (1991) da a las
construcciones que se y .
Construcciones para la aproximación de son aproximaciones a cuadrar el círculo (que en sí es
imposible).
VER TAMBIÉN: Casi enteros , el algoritmo de Arquímedes , la Fórmula BBP , Brent-Salamín Fórmula ,
Laplace aguja en problemas Buffon , la Aguja Problema Buffon , Círculo , circunferencia , diámetro ,
función beta de Dirichlet , Eta función de Dirichlet , Dirichlet función lambda , e , Euler-Mascheroni
Constant , de la serie de Maclaurin , es la fórmula de Machin , como fórmulas-Machin , Distribución Normal
, Aproximaciones Pi , Pi Continuación Fracción , dígitos de Pi , Pi fórmulas , juegos de palabras Pi , Radio ,
primos entre sí , función zeta de Riemann , Esfera , Trigonometría
Pi
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación , búsqueda
Este artículo es sobre el número. Para la letra griega, véase Pi (letra) . Para otras
aplicaciones, vea Pi (desambiguación) .

6. Cuando un círculo de diámetro es de 1 unidad, su circunferencia es pi unidades
Lista de los números - Irracional y sospechosos números irracionales
γ - ζ (3) - √ 2 - √ 3 - √ 5 - φ - ρ - δ S - α - e - π - δ
Sistema de Evaluación de π
numeración
Binario 11.00100 10.000 11.111 10.110 ... [1]
Decimal 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 ...
Hexadecimal 3.243F6 A8885 A308D 31319 ... [2]
aproximaciones 3, 22 / 7, 333 / 106, 355 / 113, 103993 / 33102, ... [3]
racionales
(Listados en orden de precisión cada vez mayor)
fracción continua [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, ... ] [4]
(Esta fracción continua no es periódica . se muestra
en notación lineal )
Trigonometría π radianes = 180 grados
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 ...
π (a veces escrito pi) es una constante matemática cuyo valor es la relación de cualquier círculo 's
circunferencia con su diámetro en el espacio euclidiano , lo que es el mismo valor que la proporción de
área de un círculo al cuadrado de su radio. Es aproximadamente igual a 3.141593 en la notación decimal
usual (ver la tabla para su representación en algunas bases de otro tipo). La constante es también
conocida como constante de Arquímedes, aunque este nombre es poco común en la moderna, occidental,
de habla Inglés-contextos. Muchas fórmulas de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería implican π, que
es uno de los importantes matemáticos y físicos constantes más. [5]
π es un número irracional , lo que significa que su valor no puede expresarse exactamente como una
fracción m / n, donde myn son enteros . En consecuencia, su representación decimal nunca termina o se
repite. También es un número trascendente , lo que implica, entre otras cosas, que ninguna secuencia

7. finita de operaciones algebraicas sobre números enteros (potencias y raíces, sumas, etc) puede ser igual
a su valor, resultando esto fue un logro tarde en la historia y matemática un resultado significativo de la
matemática alemana del siglo 19o. A lo largo de la historia de las matemáticas, ha habido un gran
esfuerzo para determinar π con más precisión y para comprender su naturaleza, la fascinación con el
número incluso ha llevado a más de la cultura no-matemático.
La letra griega π, a menudo enunciados pi en el texto, se aprobó por el número de la palabra griega para
el perímetro "περίμετρος", por primera vez por William Jones en 1707, y popularizado por Leonhard Euler
en 1737. [6]
Contenido
[hide]
• 1 Fundamentos
o 1.1 La carta π
o 1.2 Definición geométrica
o 1,3 Irracionalidad y trascendencia
o 1.4 Representación decimal
o Estimación de 1,5 π
• 2 Historia
o 2.1 Antigüedad
o 2,2 segundo milenio dC
o 2,3 de la Computación en la era del ordenador
o 2,4 Pi y continuó fracción
o Memorización de 2,5 dígitos
• 3 Avanzado propiedades
o 3,1 aproximaciones numéricas
o 3.2 Preguntas abiertas
• 4 Uso en matemáticas y ciencias
o 4.1 Geometría y trigonometría
o 4.2 Los números complejos y cálculo
o 4,3 Física
o 4.4 Probabilidad y estadística
o 4.5 Geomorfología y la teoría del caos
• 5 En la cultura popular
• 6 Véase también
• 7 Referencias
• 8 Enlaces externos
Fundamentos

8. Π minúscula se utiliza para simbolizar la constante
La carta π
Artículo principal: pi (letra)
Circunferencia = π × diámetro
El nombre de la letra griega π es pi, lo que la ortografía es de uso común en tipográficos contextos,
cuando la letra griega no está disponible o su uso podría ser problemático. [ cita requerida ] No se escribe con
mayúscula (Π), incluso al comienzo de una sentencia. [ aclaraciones necesarias ] Al referirse a esta constante, el
símbolo π se pronuncia siempre / paɪ / , [ cita requerida ] "pie" en Inglés , que es el Inglés Pronunciación
convencional de la letra griega. En griego, el nombre de esta carta se pronuncia pi] [ .
La constante se denomina "π", porque "π" es la primera letra del griego περιφέρεια palabras (periferia) y
περίμετρος (perímetro), probablemente refiriéndose a su uso en la fórmula para encontrar la
circunferencia, o perímetro de un círculo. [ 7] π es Unicode carácter U +03 C0 (" pequeña letra griega pi ").
[8]
Definición geométrica

9. Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado
En la geometría plana euclidiana , π se define como la relación de un círculo 's circunferencia a su
diámetro : [7]
La razón C / d es constante, independientemente del tamaño de un círculo. Por ejemplo, si un círculo
tiene dos veces el diámetro d de otro círculo, también tendrá el doble de la circunferencia C, preservando
la relación C / D.
Π Como alternativa también puede ser definido como la relación de un círculo de área (A) para el área de
un cuadrado cuyo lado es igual a la radio : [7] [9]
Estas definiciones dependen de los resultados de la geometría euclidiana, como el hecho de que todos
los círculos son similares . Esto puede considerarse un problema cuando ocurre en π áreas de las
matemáticas que de otra manera no tienen que ver con la geometría. Por esta razón, a menudo los
matemáticos prefieren definir π sin hacer referencia a la geometría, en lugar de seleccionar uno de sus
analíticas propiedades como una definición. Una opción común es definir π como el doble del más
pequeño x positivo para los que cos (x) = 0. [10] Las fórmulas a continuación ilustran otros (equivalente)
definiciones.
Irracionalidad y trascendencia
Artículo principal: Prueba de que π es irracional

10. La cuadratura del círculo : Se trata de un problema propuesto por los antiguos geómetras . En
1882, se demostró que π es transcendental, y por lo tanto esta cifra no se puede construir en
un número finito de pasos con una idealizada regla y compás .
π es un número irracional , lo que significa que no se puede escribir como el cociente de dos números
enteros . La creencia en la irracionalidad de π es mencionado por Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī [11]
en el siglo 9. Maimónides también menciona con certeza la irracionalidad de π en el siglo 12. [12] Esto fue
demostrado en 1768 por Johann Heinrich Lambert . [13] En el siglo 20, se encontraron pruebas que no
requieren conocimientos previos más allá del cálculo integral. Uno de ellos, debido a Ivan Niven , es
ampliamente conocida. [14] [15] Una prueba de algo similar anterior es María Cartwright . [16]
π es un número trascendente , lo que significa que no hay polinomio con racional coeficientes para el que
π es una raíz . [17] Esto fue probado por Ferdinand von Lindemann en 1882. Una consecuencia importante
de la trascendencia de π es el hecho de que no es construible . Debido a que las coordenadas de todos
los puntos que se pueden construir con regla y compás son números construibles, es imposible la
cuadratura del círculo , es decir, es imposible construir, con regla y compás solamente, un cuadrado cuya
área es igual al área de un círculo dado. [18] Esto es históricamente significativa, para cuadrar un círculo es
uno de los problemas elementales de geometría de fácil comprensión que nos quedan de la antigüedad;
muchos aficionados en los tiempos modernos han tratado de resolver cada uno de estos problemas, y los
esfuerzos son sus a veces ingeniosas, pero en este caso, condenado al fracaso: un hecho que no
siempre comprendidas por el que participan aficionados.
Representación decimal
Ver también: aproximaciones numéricas de las π
La representación decimal de π truncado a 50 decimales es: [19]
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

11. Vea los enlaces de abajo y los de secuencia A000796 en OEIS de más dígitos.
Mientras que la representación decimal de π se ha calculado en más de un billón (10 12) dígitos, [20]
elementales aplicaciones , tales como la estimación de la circunferencia de un círculo, rara vez se
requieren más de una docena de lugares decimales. Por ejemplo, la representación decimal de π
truncado a 11 decimales es suficiente para estimar la circunferencia de un círculo que cabe dentro de la
tierra con un error de menos de un milímetro, y la representación decimal de π truncado a 39 decimales
es suficiente para calcular la circunferencia de un círculo que cabe en la universo observable con una
precisión comparable a la radio de un átomo de hidrógeno . [21] [22]
Debido a que π es un número irracional , su representación decimal no repetir , y por lo tanto no termina.
Esta secuencia de repetición de dígitos no ha fascinado a los matemáticos y los laicos por igual, y con
mucho esfuerzo durante los últimos siglos se ha puesto en cómputo cada vez más de estas cifras y la
investigación de las propiedades de π. [23] A pesar del trabajo de análisis mucho, y superordenador
cálculos que se han determinado a lo largo 1 billón de dígitos de la representación decimal de π, no
simple base-10 en el patrón de dígitos se ha encontrado. [24] Cifras de la representación decimal de π
están disponibles en muchas páginas web, y no hay software para el cálculo del representación decimal
de π a miles de millones de dígitos en cualquier computadora personal .
Estimación de π
Artículo principal: aproximaciones numéricas de las π
π puede ser estimado empíricamente dibujando un gran círculo, y después medir su diámetro y la
circunferencia y dividiendo la circunferencia por el diámetro. Otro enfoque basado en la geometría,
atribuida a Arquímedes , [25] consiste en calcular el perímetro , P n, de un polígono regular con n lados
circunscrito alrededor de un círculo con un diámetro d. Entonces
Es decir, los lados del polígono tiene más, cuanto más cerca a la aproximación π enfoques. Arquímedes
determinar la exactitud de este método, comparando el perímetro del polígono circunscrito con el
perímetro de un polígono regular con el mismo número de lados inscrito dentro del círculo. El uso de un
polígono con 96 lados, se calcula el rango de fracciones: 3 10
/ 71 <π <3 1
/ 7.
[26]
π también puede calcularse utilizando métodos puramente matemáticos. La mayoría de las fórmulas
utilizadas para calcular el valor de π han deseables propiedades matemáticas, pero son difíciles de
entender sin experiencia en la trigonometría y cálculo . Sin embargo, algunas son bastante simples, como
esta forma de la serie de Gregory-Leibniz : [27]

12. Mientras que la serie es fácil de escribir y calcular, no es inmediatamente evidente por qué los
rendimientos de π. Además, esta serie converge tan despacio que casi 300 términos son necesarios para
calcular π correctamente a 2 decimales. [28] Sin embargo, mediante el cálculo de esta serie en una forma
algo más inteligente, tomando los puntos medios de los importes parciales, puede hacerse a converger
mucho más rápido. Dejar
y luego definir
a continuación, calcular π 10,10 tendrá tiempo de cálculo similar a la informática de 150 términos de la
serie original en una fuerza de manera bruta, y , Adecuada, a 9
decimales. Este cálculo es un ejemplo de la transformación van Wijngaarden . [29]
Historia
Véase también: Cronología de cálculo de π y π aproximaciones numéricas de las
La Gran Pirámide de Giza se estima que originalmente fue 280 codos de altura por 440 codos
de largo a cada lado. La proporción de 440/280 es aproximadamente igual a π / 2.

13. Arquímedes utilizó el método de agotamiento para calcular el valor de π.
La evidencia más temprana del uso consciente de una aproximación exacta de la longitud de una
circunferencia con respecto a su radio es de 3 1 / 7 en los diseños del antiguo Reino pirámides de Egipto.
La Gran Pirámide de Giza, construida c.2550-2500 a. C., fue construida con un perímetro de 1.760 codos
y una altura de 280 codos, la relación 1760/280 ≈ 2π. Egiptólogos como los Profesores Flinders Petrie [30]
y el IES Edwards [31] han demostrado que estas proporciones circulares fueron elegidos deliberadamente
por razones simbólicas por el Reino Antiguo escribas y arquitectos. [32] [33] Lo mismo apotropaico
proporciones se usaron antes en la Pirámide de Meidum c.2600 BC. Esta aplicación es
arqueológicamente evidencia, la evidencia textual, mientras que no corresponden a esta etapa temprana.
La historia temprana de π a partir de fuentes textuales o menos paralela al desarrollo de las matemáticas
como un todo. [34] Algunos autores dividen los progresos en tres períodos: el período antiguo en el que se
estudió π geométricamente, la época clásica como consecuencia del desarrollo del cálculo en Europa en
torno el siglo 17, y la edad de las computadoras digitales. [35]
Antigüedad
Esta relación de la circunferencia con el diámetro de un círculo es el mismo para todos los círculos, y que
es un poco más de 3, era conocido del Antiguo Egipto, Babilonia, India y geómetras griegos. El más
conocido de manifiesto textualmente aproximaciones primera fecha del año 1900 aC, son 25 / 8
(Babilonia) y 256/81 (Egipto), tanto dentro del 1% del valor real. [7] El indio texto Shatapatha Brahmana da
π como 339 / 108 ≈ 3,139.

14. aproximación de Arquímedes Pi
π algoritmo de Liu Hui
Arquímedes (287-212 a. C.) fue el primero en calcular π con rigor. Se dio cuenta de que su magnitud
puede estar delimitado por debajo y por encima al inscribir círculos en polígonos regulares y calcular el
exterior e interior de los respectivos perímetros de polígonos: [36]
Al utilizar el equivalente de caras polígonos 96, demostró que el 3 10 / 71 <π <3 1 / 7. [36]
El
promedio de estos valores es de 3,14185.
Ptolomeo , en su Almagesto , da un valor de 3,1416, lo que pudo haber obtenido de Apolonio de Perga .
[37]
Hacia el año 265, el Reino Wei matemático Liu Hui proporcionó un simple y riguroso algoritmo iterativo
para calcular π con cualquier grado de exactitud. Se llevó a través del cálculo de un 3072-gon y obtuvo
un valor aproximado de π de 3,1416. [38] Más tarde, Liu Hui inventó un método rápido de cálculo de π y
obtuvo un valor aproximado de 3,14 con sólo un 96-gon, [ 38] , aprovechando el hecho de que la diferencia
de superficie de polígonos sucesivos forma una serie geométrica con un factor de 4.
Alrededor de 480, el matemático chino Zu Chongzhi demostrado que π ≈ 355/113, y demostró que
3,1415926 <π <3,1415927 [38] utilizando el algoritmo de Liu Hui se aplica a un 12288-gon. Este valor se
mantendría la aproximación más exacta de π disponibles para los próximos 900 años.

15. Segundo milenio dC
Hasta el segundo milenio dC , las estimaciones de π son exactos a menos de 10 dígitos decimales. Los
principales avances en el estudio al lado de π vino con el desarrollo de series infinitas y, posteriormente,
con el descubrimiento del cálculo , que permiten la estimación de π a cualquier precisión deseada por
considerar suficientemente los numerosos términos de una serie de referencia. Alrededor de 1400,
Madhava Sangamagrama de fundar la primera serie como se conoce:
Esto ahora se conoce como la serie de Madhava-Leibniz [39] [40] o de Leibniz-Gregory serie desde que fue
descubierta por James Gregory y Gottfried Leibniz en el siglo 17. Por desgracia, la tasa de convergencia
es demasiado lenta para calcular muchos dígitos en la práctica; cerca de 4.000 términos se sumarán a
mejorar estimación de Arquímedes. Sin embargo, mediante la transformación de la serie en
Madhava fue capaz de estimar π como 3,14159265359, que es correcto a 11 decimales. El récord fue
batido en 1424 por el matemático persa , al-Kashi Jamshid , que dio una estimación de π que es correcta
a 16 dígitos decimales.
El primer europeo importante contribución desde Arquímedes fue hecha por el matemático alemán
Ludolph van Ceulen (1540-1610), que utilizaron un método geométrico para obtener una estimación de π
que es correcta a 35 dígitos decimales. Estaba muy orgulloso del cálculo, que requería la mayor parte de
su vida, que había grabado en los dígitos de su lápida. [41]
Por la misma época, los métodos de cálculo y determinación de las series infinitas y productos para
magnitudes geométricas comenzaron a surgir en Europa. La representación fue la primera fórmula de
Viète ,

16. encontrado por François Viète en 1593. Otro famoso resultado es 'producto de Wallis ,
por John Wallis en 1655. Isaac Newton se deriva una serie de π y se calculan 15 dígitos, aunque más
tarde confesó: "Me da vergüenza decirle a cuántas figuras que llevaba estos cálculos, al no tener otro
negocio en el momento." [ 42]
En 1706 John Machin fue el primero en calcular decimales de π 100, utilizando la fórmula
con
Las fórmulas de este tipo, ahora conocido como -como fórmulas Machin , se utiliza para establecer varios
récords sucesivos y sigue siendo el mejor método conocido para el cálculo de π hasta bien entrada la era
de los ordenadores. Un registro notable fue fijado por el cálculo de prodigio Zacarías Dase , que en 1844
empleó una fórmula similar a Machin para calcular 200 decimales de π en la cabeza a instancias de
Gauss . El mejor valor al final del siglo 19 se debió a William Shanks , que tomó 15 años para calcular π
con los dígitos 707, aunque debido a un error sólo los primeros 527 eran correctas. (Para evitar estos
errores, los cálculos modernos registro de cualquier tipo a menudo se realizan dos veces, con dos
fórmulas diferentes. Si los resultados son los mismos, es probable que sea correcta.)
avances teóricos en el siglo 18 dio lugar a ideas sobre la naturaleza π que no podría lograrse mediante
cálculo numérico solo. Johann Heinrich Lambert demostró la irracionalidad de π en 1761, y Adrien-Marie
Legendre en 1794 también resultó ser de 2 a π es irracional. Cuando Leonhard Euler en 1735 resolvió el
famoso problema de Basilea - para encontrar el valor exacto de
que es π 2 / 6, estableció una profunda relación entre π y números primos . Tanto Legendre y Euler
especulado que podría ser π trascendental , que se demostró finalmente en 1882 por Ferdinand von
Lindemann .

17. William Jones libro "Una introducción a las matemáticas Nuevo de 1706 se dice que es el primer uso de
la letra griega π para esta constante, pero la notación se hizo especialmente popular después de
Leonhard Euler , la comisión aprobó en 1737. [43] Escribió:
Hay varias otras maneras de encontrar las longitudes o áreas de especial líneas
curvas, o aviones, lo que puede facilitar mucho la práctica, como por ejemplo, en el
Círculo, el diámetro de la circunferencia es de 1 a (16 / 5 a 4 / 239) - 1 / 3 (16 / 5 3 - 4 /
239 3) + ... = 3,14159 ... = π [7]
Ver también: la historia de la notación matemática
De la Computación en la era del ordenador
Aunque prácticamente un físico necesita sólo 39 dígitos de Pi para hacer un círculo del tamaño del
universo observable una precisión de un átomo de hidrógeno, el mismo número como una curiosidad
matemática ha creado muchos problemas en diferentes campos.
El advenimiento de las computadoras digitales en el siglo 20 dio lugar a un aumento en la tasa de nuevos
registros de cálculo π. John von Neumann et al. utilizados ENIAC para calcular dígitos de π 2037 en
1949, un cálculo que llevó 70 horas. [44] [45] miles de decimales adicionales se obtuvieron en las décadas
siguientes, con el hito dígitos millones de pasajeros en 1973. El progreso no sólo se debe a un hardware
más rápido, pero también nuevos algoritmos. Una de las novedades más importantes fue el
descubrimiento de la transformación rápida de Fourier (FFT) en la década de 1960, que permite a los
ordenadores para realizar operaciones aritméticas en los grandes números de forma extremadamente
rápida.
En el principio del siglo 20, el matemático indio Srinivasa Ramanujan encontrado muchas nuevas
fórmulas de π, algunos destacan por su elegancia, profundidad matemática ya la rápida convergencia. [46]
Una de sus fórmulas es la serie,
y el correspondiente constatado por la Chudnovsky hermanos en 1987,
que entregar 14 dígitos por cada término. [46] El Chudnovskys utiliza esta fórmula para establecer varios
registros informáticos π en la final de la década de 1980, incluyendo el primer cálculo de más de mil
millones (1,011,196,691) decimales en 1989. Sigue siendo la fórmula de elección para el cálculo de π

18. software que se ejecuta en computadoras personales, en contraste con el superordenadores utiliza para
establecer registros modernos.
Considerando que la serie suelen aumentar la precisión con una cantidad fija por cada término agregó,
existen algoritmos iterativos que multiplican el número de dígitos correctos en cada paso, con la
desventaja de que cada paso requiere generalmente un cálculo costoso. Un gran avance se hizo en
1975, cuando Richard Brent y Eugene Salamín independiente descubrió el algoritmo de Brent-Salamín ,
que utiliza la aritmética sólo duplicar el número de dígitos correctos en cada paso. [47] El algoritmo consiste
en establecer
e iterar
hasta que un n y b n son lo suficientemente cerca. A continuación, la estimación de π viene dada por
Utilizando este esquema, el 25 de iteraciones son suficientes para llegar a 45 millones decimales
correctos. Un algoritmo similar que cuadruplica la precisión en cada paso ha sido encontrado por
Jonathan y Peter Borwein . [48] Los métodos han sido utilizados por Yasumasa Kanada y el equipo para
establecer la mayoría de los registros de cálculo π desde 1980, hasta un cálculo de decimales
206158430000 de π en 1999. A partir de enero de 2010, el registro es casi 2,7 billón de dígitos. [49] Esto
supera el récord anterior de 2,576,980,370,000 decimales, fijada por Daisuke Takahashi en el Sistema-
Tsukuba T2K, un supercomputador de la Universidad de Tsukuba al noreste de Tokio. [50]
Un hecho importante fue la reciente -Borwein-Plouffe fórmula Bailey (fórmula BBP), descubierto por
Simon Plouffe y lleva el nombre de los autores del documento en el que se publicó la primera fórmula,
David H. Bailey , Peter Borwein , y Simon Plouffe . [ 51] La fórmula,

19. es notable, ya que permite la extracción de cualquier individuo hexadecimales o binarios cifras de π sin
calcular todos los anteriores. [51] Entre 1998 y 2000, la computación distribuida proyecto PiHex utiliza una
modificación de la fórmula BBP por Fabrice Bellard para calcular el cuatrillón ( 1.000.000.000.000.000: th)
poco de π, que resultó ser 0. [52]
Si una fórmula de tipo
Se encontraron donde b y c son enteros positivos y p y q son polinomios con grado fijo y coeficientes
enteros (como en la fórmula anterior BPP), este sería un ser la forma más eficiente de la informática
cualquier dígito de π en cualquier posición en la base b c sin calcular todos los dígitos en la base anterior,
en un tiempo sólo en función del tamaño del entero k y en el grado fijo de los polinomios. Plouffe también
describe las fórmulas como las interesantes para el cálculo de los números de la clase * SC, en un
polinomio espacio logarítmica y lineal casi a tiempo, dependiendo sólo del tamaño (orden de magnitud)
del entero k, y que requiere recursos informáticos modestos. La fórmula anterior (que se encuentra por
Plouffe de π con b = 2 y c = 4, pero también se encuentra para iniciar la sesión (9 / 10) y para unos pocos
constantes irracionales otros), implica que π es un número * SC.
En 2006, Simon Plouffe , utilizando el algoritmo entero relación PSLQ, encontró una serie de fórmulas. [53]
Sea q = e π (la constante de Gelfond), entonces
y otros de la forma,
donde k es un número impar , y a, b, c son números racionales .
En la fórmula anterior, si k es de la forma m 4 + 3, entonces la fórmula tiene la forma particularmente
sencilla,

20. , donde p número racional donde el denominador es un número muy factorizable, aunque ninguna prueba
rigurosa se haya dado aún.
Pi y continuó fracción
La secuencia de denominadores parciales de la simple fracción continua de π no muestra ningún patrón
obvio: [4]
o
Sin embargo, hay fracciones continuas generalizadas de π con una estructura perfectamente regulares,
tales como: [54]
Memorización de dígitos
Artículo principal: Piphilology

21. Las últimas décadas han visto un aumento en el récord de número de dígitos de memoria.
Bueno antes que las computadoras se utilizaron para el cálculo de π, memorizar un número récord de
dígitos se había convertido en una obsesión para algunas personas. En 2006, Akira Haraguchi , un
ingeniero japonés jubilado, afirmó haber recitado 100.000 decimales. [55] Esto, sin embargo, aún tiene que
ser verificada por el Guinness World Records . El reconocido récord para recordar de dígitos π es
Guinness 67.890 dígitos, en poder de Lu Chao , un año de edad, estudiante de tercer ciclo-24 de China .
[56]
Le llevó 24 horas y 4 minutos para recitar a los 67.890 decimales º lugar de π sin un error. [57]
En junio, 17, 2009 Andriy Slyusarchuk , un ucraniano neurocirujano , doctor en medicina y profesor afirmó
haber memorizado 30 millones dígitos de pi, que se publicaron en 20 volúmenes de texto. [58] Aunque no
recitar grupo completo de 30 millones de dígitos que que afirma haber memorizado, medios de
comunicación afirman que él era capaz de recitar las secuencias seleccionadas al azar del texto impreso
de los 30 millones de dígitos.
Hay muchas maneras de memorizar π, incluido el uso de "piems", que son poemas que representan π de
una manera tal que la longitud de cada palabra (en letras) representa una cifra. He aquí un ejemplo de
una piema, originalmente ideado por Sir James Jeans : ¿Cómo que necesito (o: quiere) de una bebida,
alcohólica en la naturaleza (o: por supuesto), después de la pesada conferencias (o: capítulos),
relacionados con la mecánica cuántica. [ 59] [60] Nótese cómo la primera palabra tiene 3 cartas, la segunda
palabra tiene 1, el tercero con 4, el cuarto tiene 1, el quinto tiene 5, y así sucesivamente. La Cadenza
Cadaeic contiene los primeros 3835 dígitos de π de esta manera. [61] Piems están relacionados con todo el
campo de estudio todavía graves humorístico que implica el uso de técnicas mnemotécnicas para
recordar los dígitos de π, conocido como piphilology . En otros idiomas hay métodos similares de
memorización. Sin embargo, este método resulta ineficaz para memorizaciones grande de π. Otros
métodos incluyen recordar patrones en los números y el método de los loci . [62] [63]
Avanzada propiedades

22. Aproximaciones numéricas
Artículo principal: Historia de las aproximaciones numéricas de π
Debido a la naturaleza trascendental de π, no hay expresiones de forma cerrada para el número en
términos de números algebraicos y funciones. [17] Las fórmulas para calcular π con la aritmética elemental
suelen incluir series o sumatorio (como "...") , lo que indica que la fórmula es en realidad una fórmula para
una secuencia infinita de aproximaciones a π. [64] Los términos más incluir en el cálculo, el más cercano a
π el resultado obtendrá.
En consecuencia, los cálculos numéricos debe utilizar aproximaciones de π. Para muchos propósitos,
3,14 o 22 7 / está lo suficientemente cerca, aunque los ingenieros a menudo usan 3.1416 (5 cifras
significativas ) o 3,14159 (6 cifras significativas) para obtener más precisión. Las aproximaciones 22 / 7 y
355/113, de 3 y 7, respectivamente, cifras significativas, se obtienen de la simple fracción continua
expansión de π. La aproximación 355/113 (3,1415929 ...) es el mejor que se puede expresar con una de
tres o cuatro dígitos, el numerador y el denominador , la buena aproximación próxima 52163/16604
(3,141592387 ...) requiere un número mucho más grande, debido al gran número 292 en la expansión
continuada de fracciones de π. [3]
La primera aproximación numérica de π es casi seguro que el valor 3 . [36] En los casos en que se
requiere poca precisión, puede ser un sustituto aceptable. Eso es una subestimación 3 se deduce del
hecho de que es la relación entre el perímetro de una inscripción regular hexagonal al diámetro del círculo
.
Preguntas abiertas
La pregunta sin respuesta más urgentes sobre π es si es un número normal -si se produce cualquier
bloque de dígitos en la expansión de π tan a menudo como uno podría esperar estadísticamente si los
dedos se habían producido completamente "al azar", y que esto es cierto en cada base entero, no sólo en
base 10. [65] El conocimiento actual sobre este punto es muy débil, por ejemplo, no es ni siquiera sabe cuál
de los dígitos del 0 ,..., 9 se producen infinitas veces en la expansión decimal de π, [ 66] aunque está claro
que al menos dos dígitos como debe ocurrir infinitas veces, pues de lo contrario π sería racional, que no
lo es.
Bailey y Crandall mostró en 2000 que la existencia de la mencionada -Borwein-Plouffe fórmula Bailey y
fórmulas similares implican que la normalidad en la base 2 de π y varias otras constantes puede reducirse
a una plausible la conjetura de la teoría del caos . [67]
Tampoco se sabe si π y e son algebraicamente independientes , aunque Yuri Nesterenko probó la
independencia algebraica de (π, π e , Γ (1 / 4)) en 1996. [68]

23. Uso en matemáticas y ciencias
Artículo principal: Lista de fórmulas que π
π es ubicuo en la matemática, que aparece incluso en lugares que carecen de una conexión obvia con
los círculos de la geometría euclidiana. [69]
Geometría y trigonometría
Véase también: Área de un disco
Para cualquier círculo con radio r y diámetro d = r 2, la circunferencia es π d y la zona es π r 2. Además,
π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de muchas otras formas geométricas basadas en círculos,
como elipses , esferas , conos y toros . [70] En consecuencia, π aparece en integrales definidas que
describen la circunferencia, área o volumen de figuras generadas por círculos. En el caso de base, mitad
de la superficie de la unidad de disco es igual a: [71] y
vale la mitad de la circunferencia del círculo unitario . [70] Más complicadas formas se puede integrar como
sólidos de revolución . [72]
Desde el círculo de la definición de unidad funciones trigonométricas también se deduce que el seno y el
coseno tienen 2π período. Es decir, para todo x y n enteros, sin (x) = sen (x + 2π n) y cos (x) = cos (x +
2π n). Porque el pecado (0) = 0, sin (2π n) = 0 para todo n enteros. Además, la medida del ángulo de
180 ° es igual a π radianes. En otras palabras, 1 ° = (π/180) radianes.
En las matemáticas modernas, π se define a menudo el uso de funciones trigonométricas, por ejemplo
como el más pequeño x positivo para los que sen x = 0, para evitar la dependencia innecesaria en las
sutilezas de la geometría euclidiana y la integración. De manera equivalente, π se puede definir mediante
la funciones trigonométricas inversas , por ejemplo como π = 2 arccos (0) o π = 4 arctan (1). Ampliación
de las funciones trigonométricas inversas como series de potencias es la forma más fácil de obtener serie
infinita de π.
Los números complejos y cálculo

24. la fórmula de Euler representado en el plano complejo. Aumentar el ángulo φ π radianes a
(180 °) se obtiene la identidad de Euler.
Un número complejo z se puede expresar en coordenadas polares de la siguiente manera:
La frecuente aparición de π en el análisis complejo puede estar relacionado con el comportamiento de la
función exponencial de una variable compleja, descrita por la fórmula de Euler
donde i es la unidad imaginaria i satisfacer 2 = -1 y e ≈ 2.71828 es el número de Euler . Esta fórmula
implica que las potencias imaginarias de e describen rotaciones en el círculo unitario en el plano
complejo; estas rotaciones tienen un período de 360 º = 2π. En particular, el 180 ° de rotación φ = π
resultados notables en la identidad de Euler
la identidad de Euler es famoso por unir varios conceptos matemáticos básicos en un conciso,
elegante expresión.
Hay n diferentes-n º raíces de la unidad
La Integral de Gauss

25. Una consecuencia es que la función gamma de un medio-entero es un múltiplo racional de √ π.
Física
Aunque no es una constante física , π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios
fundamentales del Universo, debido en parte a su relación con la naturaleza del círculo y, en
consecuencia, los sistemas de coordenadas esféricas . Uso de unidades como unidades de Planck a
veces puede eliminar π a partir de fórmulas.
• La constante cosmológica : [73]
• de incertidumbre de Heisenberg , que muestra que la incertidumbre en la medición
de la posición de una partícula (Δ x) y el impulso (Δ p) no pueden ser arbitrariamente
pequeños al mismo tiempo: [74]
• sobre el terreno de la ecuación de Einstein de la relatividad general : [75]
• La ley de Coulomb para la fuerza eléctrica , que describe la fuerza entre dos cargas
eléctricas (q 1 y q 2) separados por la distancia r: [76]
• La permeabilidad magnética del espacio libre : [77]
• tercera ley de Kepler constante , sobre el período orbital (P) y el semieje mayor (a) a la
masa (M y m) de dos cuerpos en órbita alrededor de la cooperación:
Probabilidad y estadística

26. En probabilidad y estadísticas , hay muchas distribuciones cuyas fórmulas contienen π, incluyendo:
• la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y
desviación estándar σ, debido a la Integral de Gauss : [78]
• la función de densidad de probabilidad para el estándar () la distribución de Cauchy :
[79]
Tenga en cuenta que desde para cualquier función de densidad de
probabilidad f (x), las fórmulas mencionadas anteriormente pueden ser utilizadas para producir otras
fórmulas integrales para π. [80]
La aguja de Buffon problema es a veces citado como una aproximación empírica de π en "matemáticas
popular" obras. Considere la posibilidad de dejar caer una aguja de longitud L varias veces sobre una
superficie que contiene líneas paralelas separadas las unidades S (con S> L). Si la aguja se cae n veces
y x de la época que se detiene cruzando una línea (x> 0), entonces se puede aproximar π usando el
método de Monte Carlo : [81] [82] [83] [84] Aunque este resultado es matemáticamente
impecable, no puede ser usado para determinar más de unos pocos dígitos de π muy por el experimento.
Fiable, consiguiendo sólo tres dígitos (incluido el inicial "3" requiere a la derecha) millones de tiros, [81] y el
número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados. Por otra parte,
cualquier error en la medición de la longitud L y S se transferirá directamente a un error en la
aproximación de π. Por ejemplo, una diferencia de un solo átomo en la longitud de una aguja de 10
centímetros se presentaba alrededor del 9 dígitos del resultado. En la práctica, las incertidumbres en la
determinación de si la aguja en realidad cruza una línea cuando parece tocar exactamente lo que limitará
la precisión alcanzable a mucho menos de 9 dígitos.
Geomorfología y la teoría del caos
En condiciones ideales (suave pendiente uniforme sobre un sustrato erosionable homogéneamente), la
relación entre la longitud real de un río y su línea recta desde la fuente hasta la boca de longitud tiende a
acercarse π. [85] Albert Einstein fue el primero en sugerir que los ríos tienen una tendencia hacia un
camino cada vez más descabellado ya que la menor curva dará lugar a las corrientes más rápido en la
parte externa, que a su vez dará lugar a más erosión y una curva más nítida. El más agudo de la curva,
más rápida es la corriente en el borde exterior, más la erosión, más el río de girar y así sucesivamente.

27. Sin embargo, loopiness aumento se traducirá en ríos doblar sobre sí mismos y eficaz-cortocircuitos,
creando un arco lago buey . El equilibrio entre estos dos factores opuestos conduce a una relación
promedio de π entre la longitud real y la distancia directa entre la fuente y la boca. [86]
En la cultura popular
Una placa de "Pi"
Probablemente debido a la simplicidad de su definición, el concepto de pi y, sobre todo su expresión
decimal, se han afianzado en la cultura popular en un grado mucho mayor que casi cualquier otra
construcción matemática. [87] Es, quizás, la razón más común entre los matemáticos y no matemáticos. [88]
Los informes sobre la última, con precisión de cálculo de la mayoría de π (y trucos relacionados) son los
elementos comunes de noticias. [89] [90] [91]
Día Pi (14 de marzo, de 3.14) se observa en muchas escuelas. [92] Por lo menos una alegría en el
Massachusetts Institute of Technology incluye "3,14159!" [93]
El 7 de noviembre de 2005, alternativa músico Kate Bush lanzó el álbum aérea . El álbum contiene la
canción "π", cuya letra está formada principalmente por Bush cantando los dígitos de π a la música,
empezando por "3,14" [94]
En Carl Sagan 's novela Contacto , pi desempeñado un papel clave en la historia. La novela sugiere que
había un mensaje enterrado profundamente dentro de los dígitos de pi puesto allí por quien creó el
universo. Esta parte de la historia ha quedado fuera de la película de la adaptación de la novela.
Darren Aronofsky s 'película Pi se ocupa de un número teórico .
e (constante matemática)
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación , búsqueda

28. "El número de Euler" vuelve a dirigir aquí. Para γ, una constante en la teoría de números,
consulte la constante de Euler . Para otras aplicaciones, vea la lista de temas el nombre de
Leonhard Euler # Euler-números .
e es el número único de una, de manera que el valor de la derivada (la pendiente de la recta
tangente) de la función exponencial f (x) = a x (curva azul) en el punto x = 0 es igual a 1. Para la
comparación, las funciones x 2 (curva de puntos) y 4 x (curva punteada) se muestran, no son
tangente a la línea de pendiente 1 (roja).
La constante matemática e es el único número real tal que el valor de la derivada (pendiente de la
tangente de línea) de la función f (x) = e x en el punto x = 0 es igual a 1. [1] La función de correo x define así
se llama la función exponencial , y su inversa es el logaritmo natural o logaritmo en base e. El número e
es también comúnmente definida como la base del logaritmo natural (mediante una integral para definir el
segundo), ya que el límite de una cierta secuencia , o como la suma de una determinada serie (ver las
caracterizaciones alternativas , más adelante).
El número e es a veces llamado número de Euler después de la suiza matemático Leonhard Euler . (E
no debe ser confundida con γ - la constante de Euler-Mascheroni , a veces llamada simplemente la
constante de Euler.)
El número e es de importancia eminente en matemáticas, [2] junto con 0 , 1 , π y yo . Además de ser
objetos abstractos , los cinco de estas cifras juegan roles importantes y recurrentes a través de las
matemáticas, y, casualmente son las cinco constantes que aparecen en una formulación de la identidad
de Euler .
El número e es irracional , no es una relación de números enteros . Además, es trascendental , no es
una raíz de un no-cero polinómica con coeficientes racionales. El valor numérico de correo trunca a 20
decimales es
2,71828 18284 59045 23536 ....

29. Parte de una serie de artículos sobre
La constante
matemática e
Logaritmo natural · Función
exponencial
Aplicaciones en: interés compuesto
· la identidad de Euler y la fórmula de
Euler · vidas medias y exponencial
crecimiento / desintegración
Definir e: la prueba de que e es
irracional · representaciones de e ·
Teorema de Lindemann-Weierstrass
La gente John Napier · Leonhard
Euler
la conjetura de Schanuel

30. Contenido
[hide]
• 1 Historia
• 2 Aplicaciones
o 2.1 El problema del interés compuesto
o 2,2 ensayos de Bernoulli
o 2.3 Alteraciones
o 2,4 asíntotas
• 3 en el cálculo e
o 3,1 caracterizaciones alternativas
• 4 Inmuebles
o 4.1 Cálculo
o 4.2-como las funciones exponenciales
o 4.3 Teoría de los números
o 4.4 Los números complejos
o 4.5 Ecuaciones diferenciales
• 5 Representaciones
o 5,1 representaciones estocástico
o 5,2 dígitos conocidos
• 6 En la cultura informática
• 7 Notas
• 8 Referencias
• 9 Enlaces externos
[ editar ] Historia
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la mesa de un apéndice de una
obra sobre los logaritmos por John Napier . [3] Sin embargo, este no contiene la misma constante, sino
simplemente una lista de los logaritmos naturales a partir de la constante. Se supone que el cuadro fue
elaborado por William Oughtred . El "descubrimiento" de la constante de sí mismo es acreditado a Jacob
Bernoulli , quien intentó encontrar el valor de la siguiente expresión (que de hecho es e):
El primer uso conocido de la, representada constante por la letra b, fue en la correspondencia de
Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para
la constante en 1727, [4] y el primer uso de e en una publicación fue la mecánica de Euler (1736).
Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e era más común y con
el tiempo se convirtió en el estándar.
[ editar ] Aplicaciones

31. [ editar ] El problema del interés compuesto
Jacob Bernoulli descubrió esta constante mediante el estudio de una pregunta sobre el interés
compuesto .
Un ejemplo es un relato que comienza con $ 1,00 y paga el 100% de interés anual. Si el interés se
acredita una vez, al final del año, el valor es de $ 2.00, pero si el interés se calcula y se agrega dos veces
en el año, de $ 1 se multiplica por 1,5 veces, cediendo 1,00 dólares × 1,5 ² = 2,25 dólares. Para agravar
los rendimientos trimestrales $ 1.00 × 1.25 4 = $ 2.4414 ..., y de añadir los rendimientos mensuales de $
1.00 × (1,0833 ...) 12 = $ 2.613035 ....
Bernoulli notó que esta secuencia se aproxima a un límite (la fuerza de interés ) para los pequeños
intervalos de composición y mucho más. Para agravar los rendimientos semanales $ 2.692597 ...,
mientras que los rendimientos diarios composición $ 2.714567 ..., más dos centavos. Usando n como el
número de intervalos de composición, con un interés del 100% / n en cada intervalo, el límite para n
grande es el número que llegó a ser conocido como el correo, con capitalización continua, el valor de la
cuenta llegará a $ 2.7182818 .... De manera más general, una cuenta que comienza en $ 1, y los
rendimientos (1 + R) de dólares a interés simple, producirá e R dólares con capitalización continua.
[ editar ] Los ensayos de Bernoulli
El número e sí mismo tiene también aplicaciones en la teoría de probabilidades , donde se plantea de
una manera, obviamente, no relacionados con el crecimiento exponencial. Supongamos que un jugador
juega una máquina tragamonedas que paga con una probabilidad de uno en n y lo reproduce n veces.
Entonces, para n grande (como un millón) la probabilidad de que el jugador va a ganar nada en absoluto
es (aproximadamente) 1 / e.
Este es un ejemplo de un ensayos de Bernoulli proceso. Cada vez que el jugador juega las ranuras, hay
una en un millón de posibilidades de ganar. Reproducción de un millón de veces está modelado por la
distribución binomial , que está estrechamente relacionado con el teorema del binomio . La probabilidad
de ganar k veces en un millón de ensayos es;
En particular, la probabilidad de ganar cero veces (k = 0) se
Esto es muy cerca del límite siguientes por 1 / e:

32. [ editar ] Alteraciones
Otra aplicación de correo, descubrió también en parte por Jacob Bernoulli, junto con Pierre Raymond de
Montmort está en el problema de los trastornos , también conocido como el problema de verificación
sombrero. [5] Aquí los huéspedes n son invitados a una fiesta, y en la puerta de cada controles de
evaluación el sombrero con el mayordomo, que se los coloca en cajas etiquetadas. Pero el mayordomo
no sabe el nombre de los invitados, por lo que debe ponerlos en las cajas seleccionadas al azar. El
problema de la de Montmort es: ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los sombreros se pone en el
cuadro de la derecha. La respuesta es:
A medida que el número n de los clientes tiende a infinito, p n tiende a 1 / e. Por otra parte, el número de
formas en que los sombreros se pueden colocar en las cajas de manera que ninguno de los sombreros se
encuentra en el cuadro de la derecha es n! / E redondeado al entero más cercano, para todo n positiva. [6]
[ editar ] asíntotas
El número e se produce de forma natural en relación con muchos problemas que implican asíntotas . Un
ejemplo destacado es la fórmula de Stirling para el comportamiento asintótico de la función factorial , en el
que tanto los números e y π escriba:
Una consecuencia de este particular, es
.
[ editar ] e en el cálculo

33. El logaritmo natural en e, ln (e), es igual a 1
La principal motivación para crear el número e, en particular en el cálculo , es llevar a cabo diferencial y
cálculo integral con funciones exponenciales y logarítmicas . [7] Una exponencial y función general = x tiene
una derivada da como el límite :
El límite en la mano derecha es independiente de la variable x: depende sólo de la base. Cuando la base
es el correo, este límite es igual a uno, por lo que e es simbólicamente definido por la ecuación:
En consecuencia, la función exponencial con base e es especialmente adecuado para hacer el cálculo.
Elección de correo, en lugar de algún otro número, como la base de la función exponencial hace que los
cálculos relativos a la derivada mucho más simple.
Otra motivación proviene de la consideración de la base-un logaritmo . [8] Teniendo en cuenta la definición
de la derivada de un registro de x es el límite:
cuando la sustitución u = h / x se presentó en el último paso. El último límite que figuran en este cálculo
es de nuevo un plazo indeterminado, que depende sólo de la base de una, y si esa base es el correo, el
límite es uno. Así que simbólicamente,
El logaritmo en este fondo especial se llama el logaritmo natural (a menudo representado como "En" o
simplemente "log" si no hay peligro de confusión), y también se comporta bien en la diferenciación ya que
no hay límite indeterminado de llevar a cabo los cálculos .
Así pues, hay dos maneras en que para seleccionar un número especial a = e. Una forma es establecer
la derivada de la función exponencial a x para un x. La otra forma consiste en establecer la derivada de la
base de un logaritmo de 1 / x. En cada caso, se llega a una opción conveniente de la base para hacer el
cálculo. De hecho, estas dos bases son realmente la misma, el número de correo.
[ editar ] caracterizaciones alternativas

34. El área entre el eje-x y la gráfica y = 1 / x, para el rango de 1 ≤ x ≤ e, es igual a 1.
Ver también: Representaciones de e
Otras caracterizaciones de correo también son posibles: una es como el límite de una sucesión , otra es
como la suma de una serie infinita , y aún otros se basan en el cálculo integral . Hasta ahora, las dos
siguientes (equivalente) las propiedades se han introducido:
1. El número e es la única positiva número real tal que
2. El número e es el único número real positivo tal que
Los siguientes tres caracterizaciones pueden ser probadas equivalentes :
3. El número e es el límite
Del mismo modo:
4. El número e es la suma de las series infinitas

35. donde n! es el factorial de n.
5. El número e es el único número real positivo tal que
.
[ editar ] Propiedades
[ editar ] Cálculo
Al igual que en la motivación, la función exponencial e x es importante en parte porque es la única función
no trivial (hasta la multiplicación por una constante), que es su propia derivada
y por tanto su propia primitiva , así:
[ editar exponencial como funciones]
El máximo global de se produce en x = e.

36. El máximo global para la función
se produce en x = e. Del mismo modo, x = 1 / e es donde el mínimo global se produce para la función
definida para x positivo. En términos más generales, x = e - 1 / n es donde se produce el mínimo
global para la función
para cualquier n> 0. El infinito tetration
o∞x
converge si y sólo si e - e ≤ x ≤ 1 e / e (aproximadamente entre 0,0660 y 1,4447), debido a un teorema de
Leonhard Euler .
[ editar ] La teoría de números
El número real e es irracional (véase la prueba de que e es irracional ), y, además, es trascendental (
Teorema de Lindemann-Weierstrass ). Fue el primer número que deben probarse trascendente sin haber
sido fabricadas específicamente para este fin (compárese con el número de Liouville ), la prueba fue dada
por Charles Hermite en 1873. e se conjetura que el normal .
[ editar ] Los números complejos
La función exponencial e x puede ser escrito como una serie de Taylor
Debido a esta serie mantiene muchas propiedades importantes para e x aun cuando x es complejo , es
comúnmente utilizado para ampliar la definición de e x a los números complejos. Esto, con la serie de
Taylor para el pecado y cos x , permite obtener la fórmula de Euler :
que vale para todo x. El caso especial con x = π es la identidad de Euler :

37. de donde se sigue que, en la rama principal del logaritmo,
Por otra parte, usando las leyes de la exponenciación,
que es la fórmula de De Moivre .
El caso,
que comúnmente se conoce como entidades de crédito (x).
[ editar ] Ecuaciones diferenciales
La función general
es la solución a la ecuación diferencial:
[ editar Representaciones]
Artículo principal: Representaciones de e
El número e puede ser representado como un número real en una variedad de maneras: como una serie
infinita , un producto infinito , una fracción continua , o un límite de una sucesión . La principal entre estas
representaciones, particularmente en introductoria cálculo cursos es el límite
dado anteriormente, así como la serie

38. dada por la evaluación de la anterior serie de potencias de e x en x = 1.
Sin embargo otras representaciones menos comunes están también disponibles. Por ejemplo, el correo
puede ser representada como una infinita simple fracción continua :
O, en una forma más compacta (secuencia A003417 en OEIS ):
que se puede escribir de manera más armónica, al permitir cero: [9]
Muchas otras series, la secuencia, fracción continua, y el producto infinito de representaciones e también
se han desarrollado.
[ editar ] representaciones estocástico
Además de las expresiones analíticas para la representación determinista de e, como se describe más
arriba, hay algunos protocolos estocástico para la estimación de correo. En un dicho protocolo, muestras
aleatorias X 1, X 2 ,..., X n de tamaño n de la distribución uniforme en (0, 1) se utiliza para
aproximar e. Si
El valor esperado de U es e: E (U) = e. [10] [11]
Así promedios de las muestras de las variables U se
aproximará correo.
[ editar ] Conocido dígitos

39. El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto se
debe tanto al aumento de rendimiento de los ordenadores, así como a mejoras algorítmicas. [12] [13]
Número de dígitos decimales conocidos de e
Fecha Decimal dígitos Cálculo realizado por
1748 18 Leonhard Euler [14]
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 Marcus J. Boorman
1946 808 Desconocido
1949 2.010 John von Neumann (en la ENIAC )
1961 100.265 Daniel Shanks & John Llave
1978 116.000 Gary Stephen Wozniak (en el Apple II [15] )
1994 10.000.000 Nemiroff Robert y Jerry Bonnell
De mayo de 1997 18.199.978 Patrick Demichel
De agosto de 1997 20.000.000 Birger Seifert
De septiembre de 1997 50.000.817 Patrick Demichel
De febrero de 1999 200.000.579 Sebastián Wedeniwski

40. De octubre de 1999 869.894.101 Sebastián Wedeniwski
1999 21 de noviembre 1250000000 Xavier Gourdon
2000 10 de julio 2147483648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
2000 16 de julio 3221225472 Colin Martin y Xavier Gourdon
2000 2 de agosto 6442450944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
2000 16 de agosto 12884901000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
2003 21 de agosto 25100000000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
2003 18 de septiembre 50100000000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
2007 27 de abril 100000000000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo [16]
2009 6 de mayo 200000000000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo [16]
2010 21 de febrero 500000000000 Alexander J. Yee [17]
[ editar ] En la cultura informática
En contemporánea cultura de Internet , los individuos y las organizaciones suelen rendir homenaje al
número e.
Por ejemplo, en la salida a bolsa de presentación de Google , en 2004, en lugar de un número redondo
cantidad típica de dinero, la compañía anunció su intención de subir $ 2718281828, que es el correo mil
millones de dólares al dólar más cercano. Google también fue responsable de una valla publicitaria [18]
que apareció en el corazón de Silicon Valley , y más tarde en Cambridge, Massachusetts , Seattle,
Washington y Austin, Texas . Decía (10 primeros dígitos principales se encuentran en dígitos
consecutivos de e). Com (ahora difunto). La solución de este problema y de visitar el sitio web de
publicidad llevado a un problema aún más difícil de resolver, que a su vez condujo a Google Labs , donde

41. se invita al visitante a presentar un curriculum vitae. [19] El 10-dígitos por primera vez en primer e es
7427466391, que comienza tan tarde como en la 99 dígitos. [20] (Un río de dígitos al azar tiene un 98,4%
de probabilidades de iniciar un primer 10 dígitos antes.) [ cita requerida ]
En otro ejemplo, el científico de la computación Donald Knuth dejar que los números de versión de su
programa METAFONT enfoque e. Las versiones son de 2, 2,7, 2,71, 2,718, y así sucesivamente.
En Vineland de Thomas Pynchon , cuyas novelas a menudo invocan conceptos matemáticos y
científicos, un personaje que buscan un reparto de la película pide "un millón de frente, más la mitad de
los ingresos brutos bruta es igual a 2,71828 veces el costo negativo", que es una extraña múltiples " a un
productor que está negociando con, pero "parece real natural" a otra. [21]