1. Conjuntos Numéricos y Propiedades
Los números naturales son los números que utilizamos para contar,
estos son: {1,2,3,4,5,6,7,8, … }. Los puntos suspensivos indican que los
números continúan de esa forma, sin terminar nunca.
Si sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, por
ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si restamos 5 – 5 , necesitamos otro número
que represente el resultado. Ese número es cero. Entonces tenemos
otro conjunto numérico que en adición a incluir los números naturales
incluye el
cero. Este conjunto es el conjunto de los números cardinales {0,1,2,3,4
,5,6,7,8,…}.
En el diario vivir se escuchan expresiones como: “ 10 grado bajo cero”,
647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas tres expresiones se
refieren a números menores que cero. Con estas situaciones surgen los
enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los números
naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto
de los números enteros, estos son {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}.
Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro
número entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos
otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un
entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un
entero. Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por
los números racionales. Los números racionales son todos aquellos
números que se pueden escribir de la forma donde b es diferente de
cero. Los números naturales, los cardinales y los enteros son
números racionales. Otros ejemplos de números racionales son:
Existe otro conjunto de números que que son los números irracionales,
estos son números que no son racionales, esto es, que no se pueden
expresar de la forma donde b es diferente de cero. Ejemplos: √2 =
1.414213562… es un número irracional y π = 3.14157…

2. Luego el conjunto de números que consiste de todos los números
racionales y todos los números irracionales se conoce como el conjunto
de los números reales.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Para todo número real a, b y c:
Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
a·b=b·a
Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5
2x4=4x2
Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4
5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a
Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4
Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a
Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3
Inverso Aditivo: a + (-a) = 0
Ejemplo: 6 + (-6) = 0
Inverso Multiplicativo:

3. De r es un número r-1 tales que r·r-1 = 1. El número 1 se utiliza aquí
porque es la elemento neutro de la multiplicación.
El exponente negativo se utiliza para indicar la división. Tan r-1 = 1/r.
Ejemplos de lo contrario multiplicativos:
• 5 · 1/5 = 1
• 8 · 0.125 = 1
• 3/5 · 5/3 = 1
• 1/10 · 10 = 1
• a/b · b/a = 1
• a3b-2 · a-3b2 = 1
Ejemplos:
Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4
Ejercicios:
Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los
números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:
Número/Conjunto
numérico Natural Cardinal Entero Racional Irracional Real
11
-7
0
¾
0.272727…
7.25
2.7985413…
1½

4. Identifica la propiedad en cada enunciado:
1. 7 + 5 = 5 + 7 ____________________________________________
2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ____________________________________
3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) _____________________________________
4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ______________________________________
5. 7 x 1 = 7 __________________________________________________
6. 11 + 0 = 11 ________________________________________________
7. 9 + -9 = 0 _________________________________________________
8. 2 x ½ = 1 __________________________________________________