TRAVAUX DIRIGÉS
Analyse Mathématiques I
Filière Sciences Economiques et Gestion
Semestre 1
Mohamed HACHIMI
Faculté des Sci...
Chapitre III
Développements limités

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Mohamed Hachimi

formation en economie et gestion
TD d’Analyse Mathéma...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 1

Les fonctions
f (x) = x2 + 3x

et

g(x) = x2 + 1

sont-elles équiva...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 1

On a :

f (x)
x2 + 3x
= lim
=1
x→+∞ g(x)
x→+∞ x2 + 1
...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 2

Etant donné que
x ∼ x + 1,
+∞

ex

les fonctions et
sinage de +∞ ?
...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 2

Posons f (x) = ex et g(x) = ex+1 . On a :
ex
f (x)
1
...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 3

Déterminer, en utilisant les fonctions équivalentes :
1◦

1
x3 + 2x...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 3

1◦

On a : x3 + 2x2 + 1 ∼ x3 ,
∞

donc

4x2 + 3x + 2 ...
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Exercice 4

Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], on a :
x5
x2 x3 x4
+
1+x+ + +
2
...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 4
La fonction f (x) = ex est plusieurs fois dérivable su...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 4

Comme 0

1, il vient 1

c
1

ec

3

soit

ec
1 5
x
12...
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Exercice 5

Ecrire la formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, des fonctions su...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 5
1◦

f est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x v...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 5

2◦

g est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x ...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 6

Montrer que la fonction
f (x) = x + 5x2 + x3 sin x
admet un DL d’or...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 6

On peut écrire f sous la forme :
f (x) = 0 + x + 5x2 ...
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Exercice 7

En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer le DL
d’ordre 3...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 7
f est plusieurs fois dérivable sur R. En particulier f...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 8

Trouver le DL d’ordre 4, au voisinage de 0 de la fonction
√
f (x) =...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 8

On a :
f (x) = (1 + x)α avec α =

1
2

1
1
5 4
1
x + ...
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Exercice 9

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 1 de la fonction
f (x) = e...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 9

En posant t = x − 1, on est ramené au voisinage de 0 ...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 10

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = ...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 10
Au voisinage de 0, on a :
4x (4x)2
(4x)3
+
+
+ x3 ε(x...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 11

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) =
...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 11

Au voisinage de 0, on a :
ln(1 + x) = x −
cos x = 1 ...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 12

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = ...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 12
Au voisinage de 0, on a :
sin x = x −

x3
+ x3 ε(x)
6...
Formule de Taylor. Développements limités

Exercice 13

Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = ...
Formule de Taylor. Développements limités

Solution de l’exercice 13
Puisque cos 0 = 1 = 0, on écrit ecos x sous la forme ...
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  1. 1. TRAVAUX DIRIGÉS Analyse Mathématiques I Filière Sciences Economiques et Gestion Semestre 1 Mohamed HACHIMI Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales d’Agadir www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 1 / 30
  2. 2. Chapitre III Développements limités www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 2 / 30
  3. 3. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 1 Les fonctions f (x) = x2 + 3x et g(x) = x2 + 1 sont-elles équivalentes au voisinage de +∞ ? au voisinage de 0 ? www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 3 / 30
  4. 4. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 1 On a : f (x) x2 + 3x = lim =1 x→+∞ g(x) x→+∞ x2 + 1 lim les fonctions f et g sont donc équivalentes en +∞. x2 + 3x f (x) = lim 2 =0 x→0 x + 1 x→0 g(x) lim les fonctions f et g ne sont donc pas équivalentes en 0. www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 4 / 30
  5. 5. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 2 Etant donné que x ∼ x + 1, +∞ ex les fonctions et sinage de +∞ ? www.tifawt.com Mohamed Hachimi ex+1 sont-elles aussi équivalentes au voi- formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 5 / 30
  6. 6. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 2 Posons f (x) = ex et g(x) = ex+1 . On a : ex f (x) 1 = lim x+1 = = 1 x→+∞ g(x) x→+∞ e e lim les fonctions f et g ne sont donc pas équivalentes en +∞, malgré que x ∼ x + 1. +∞ www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 6 / 30
  7. 7. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 3 Déterminer, en utilisant les fonctions équivalentes : 1◦ 1 x3 + 2x2 + 1 sin x→∞ 4x2 + 3x + 2 x 2◦ lim lim (x2 + x) ln(1 + x) x→0 x3 + 3x2 www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 7 / 30
  8. 8. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 3 1◦ On a : x3 + 2x2 + 1 ∼ x3 , ∞ donc 4x2 + 3x + 2 ∼ 4x2 , sin ∞ 1 1 ∼ x∞x x3 + 2x2 + 1 1 x3 1 1 sin = lim 2 = x→∞ 4x2 + 3x + 2 x→∞ 4x x x 4 lim 2◦ On a : x2 + x ∼ x, 0 donc x3 + 3x2 ∼ 3x2 , 0 ln(1 + x) ∼ x 0 (x2 + x) ln(1 + x) x2 1 = lim 2 = 3 + 3x2 x→0 x→0 3x x 3 lim www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 8 / 30
  9. 9. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 4 Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], on a : x5 x2 x3 x4 + 1+x+ + + 2 6 24 120 www.tifawt.com Mohamed Hachimi ex x2 x3 x4 3x5 1+x+ + + + 2 6 24 120 formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 9 / 30
  10. 10. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 4 La fonction f (x) = ex est plusieurs fois dérivable sur R. On peut lui appliquer la formule de Mac-Laurin à l’ordre 5 sur [0, 1]. Il existe c ∈]0, 1[ tel que : f (x) = f (0) + f ′ (0) f ′′ (0) 2 f (3) (0) 3 f (4) (0) 4 f (5) (c) 5 x+ x + x + x + x 1! 2! 3! 4! 5! On a : f (x) = f ′ (x) = f ′′ (x) = f (3) (x) = f (4) (x) = f (5) (x) = ex donc : f (0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = f (3) (0) = f (4) (0) = 1 et f (5) (c) = ec D’où : ex = 1 + x + www.tifawt.com Mohamed Hachimi ec 5 x2 x3 x4 + + + x 2 6 24 120 formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 10 / 30
  11. 11. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 4 Comme 0 1, il vient 1 c 1 ec 3 soit ec 1 5 x 120 e. D’où : ec 5 x 120 3 5 x 120 On en déduit : 1+x+ x4 x5 x2 x3 + + + 2 6 24 120 www.tifawt.com Mohamed Hachimi ex 1+x+ x2 x3 x4 3x5 + + + 2 6 24 120 formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 11 / 30
  12. 12. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 5 Ecrire la formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, des fonctions suivantes : 1 , pour a = 1 ; 1◦ f (x) = 1+x 2◦ g(x) = ln x, pour a = 1 www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 12 / 30
  13. 13. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 5 1◦ f est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x voisin de 1. On a : 1 2 f ′′ (x) = (1 + x)2 (1 + x)3 6 24 f (3) (x) = − f (4) (x) = (1 + x)4 (1 + x)5 f ′ (x) =− La formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, est (x−1)2 ′′ (x−1)3 (3) (x−1)4 (4) f (1)+ f (1)+ f (c) 2 6 24 1 1 1 1 (x − 1)4 = − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 + 2 2 8 16 (1 + c)5 f (x) = f (1)+(x−1)f ′ (1)+ avec c dans l’intervalle ]1, x[. www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 13 / 30
  14. 14. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 5 2◦ g est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x voisin de 1. On a : f ′ (x) = 1 , x f ′′ (x) = − 1 , x2 f (3) (x) = 2 , x3 f (4) (x) = − 6 x4 La formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, est (x−1)2 ′′ (x−1)3 (3) (x−1)4 (4) f (1)+ f (1)+ f (c) 2 6 24 1 1 (x − 1)4 = x − 1 − (x − 1)2 + (x − 1)3 − 2 3 4(1 − c)4 g(x) = f (1)+(x−1)f ′ (1)+ avec c dans l’intervalle ]1, x[. www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 14 / 30
  15. 15. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 6 Montrer que la fonction f (x) = x + 5x2 + x3 sin x admet un DL d’ordre 3, au voisinage de 0. www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 15 / 30
  16. 16. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 6 On peut écrire f sous la forme : f (x) = 0 + x + 5x2 + 0x3 + x3 (sin x) avec lim sin x = 0 x→0 donc f admet un DL d’ordre 3, au voisinage de 0 www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 16 / 30
  17. 17. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 7 En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de f (x) = ln(1 + ex ) www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 17 / 30
  18. 18. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 7 f est plusieurs fois dérivable sur R. En particulier f (3) (0) existe, on peut appliquer la formule de Taylor-Young à l’ordre 3 : f (x) = f (0) + On a : f ′ (x) = f ′ (0) f ′′ (0) 2 f (3) (0) 3 x+ x + x + x3 ε(x) 1! 2! 3! ex , 1 + ex d’où : f (0) = ln 2, f ′′ (x) = f ′ (0) = 1 , 2 ex , (1 + ex )2 f ′′ (0) = 1 , 4 f (3) (x) = ex (1 + ex ) (1 + ex )3 f (3) (0) = 0 Ainsi, ln(1 + ex ) = ln 2 + www.tifawt.com Mohamed Hachimi x x2 + + x3 ε(x) 2 8 formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 18 / 30
  19. 19. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 8 Trouver le DL d’ordre 4, au voisinage de 0 de la fonction √ f (x) = 1 + x www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 19 / 30
  20. 20. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 8 On a : f (x) = (1 + x)α avec α = 1 2 1 1 5 4 1 x + x4 ε(x) = 1 + x − x2 + x3 − 2 8 16 128 www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 20 / 30
  21. 21. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 9 Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 1 de la fonction f (x) = ex www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 21 / 30
  22. 22. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 9 En posant t = x − 1, on est ramené au voisinage de 0 : ex = e1+t = e · et =e 1+t+ t2 t3 + + t3 ε(t) 2 6 ainsi, au voisinage de 1, on a : ex = e 1 + (x − 1) + www.tifawt.com Mohamed Hachimi (x − 1)2 (x − 1)3 + + (x − 1)3 ε(x − 1) 2 6 formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 22 / 30
  23. 23. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 10 Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f (x) = e4x sin 3x www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 23 / 30
  24. 24. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 10 Au voisinage de 0, on a : 4x (4x)2 (4x)3 + + + x3 ε(x) 1! 2! 3! 32 = 1 + 4x + 8x2 + x3 + x3 ε(x) 3 3 9 (3x) + x3 ε(x) = 3x − x3 + x3 ε(x) sin 3x = 3x − 3! 2 e4x = 1 + D’où : e4x sin 3x = 1 + 4x + 8x2 + = 3x + 12x2 + www.tifawt.com Mohamed Hachimi 32 3 x 3 9 3x − x3 2 + x3 ε(x) 39 3 x + x3 ε(x) 2 formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 24 / 30
  25. 25. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 11 Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f (x) = www.tifawt.com Mohamed Hachimi ln(1 + x) cos x formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 25 / 30
  26. 26. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 11 Au voisinage de 0, on a : ln(1 + x) = x − cos x = 1 − x2 x3 + + x3 ε(x) 2 3 x2 + x3 ε(x) 2 Donc x2 5x3 3 ln(1 + x) = x− + +x ε(x) cos x 2 6 www.tifawt.com Mohamed Hachimi x2 x3 + 2 3 x3 −x + 2 5x3 x2 + − 2 6 x2 2 5x3 + 6 x− x2 2 x2 5x3 x− + 2 6 1− formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 26 / 30
  27. 27. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 12 Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f (x) = esin x www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 27 / 30
  28. 28. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 12 Au voisinage de 0, on a : sin x = x − x3 + x3 ε(x) 6 et eu = 1 + u + u2 u3 + + u3 ε(u) 2 6 Comme sin 0 = 0, on peut donc remplacer u, dans l’expression x3 : de eu , par le terme x − 6 esin x = 1 + x − =1+x+ x3 6 + 1 2 x− x3 6 2 + Mohamed Hachimi x− x3 6 3 + x3 ε(x) x2 + x3 ε(x) 2 (On ne garde que les termes de degré www.tifawt.com 1 6 3). formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 28 / 30
  29. 29. Formule de Taylor. Développements limités Exercice 13 Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction f (x) = ecos x www.tifawt.com Mohamed Hachimi formation en economie et gestion TD d’Analyse Mathématiques I 29 / 30
  30. 30. Formule de Taylor. Développements limités Solution de l’exercice 13 Puisque cos 0 = 1 = 0, on écrit ecos x sous la forme : ecos x = e1+(cos x)−1 = e e(cos x)−1 Au voisinage de 0, on a : (cos x) − 1 = − x2 + x3 ε(x) 2 et eu = 1 + u + En remplaçant u, dans eu , par le terme − ecos x = e 1 − x2 + x3 ε(x) 2 u2 u3 + + u3 ε(u) 2 6 x2 , on a : 2 = e− e2 2 x + x3 ε(x) 2 (On ne garde que les termes de degré 3). economie et gestion www.tifawt.com formation en Mohamed Hachimi TD d’Analyse Mathématiques I 30 / 30

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