Recherche opérationnelle
Michel Bierlaire
michel.bierlaire@epfl.ch
EPFL - Laboratoire Transport et Mobilit´e - ENAC
Recher...
Recherche opérationnelle
• Branche des mathématiques
• Problèmes d’aide à la décision
• Historique:
• Blaise Pascal (1623-...
Recherche opérationnelle
• Historique:
• Daniel Bernoulli (1700-1782)
• Mesure du risque, utilité
• Harris (1913)
• Gestio...
Recherche opérationnelle
• Historique:
• Patrick Blackett (1897-1974)
• Opérations militaires, organisation des convois
• ...
Concepts clés
Mod´elisation Traduction de problèmes réels en équations
mathématiques
Optimisation Identification de la meil...
Problèmes concrets dans notre laboratoire
Opérations aériennes:
• Air France, Baboo, Thomas Cook
Recherche op´erationnelle...
Problèmes concrets dans notre laboratoire
Opérations portuaires:
• Port de Gioia Tauro, Italie.
• Port de Ras-Al-Khaima, E...
Problèmes concrets dans notre laboratoire
Trafic urbain:
• Optimisation des feux de circulation
• Réduction de la congestio...
Problèmes concrets dans notre laboratoire
Tournées de véhicules :
• Bus scolaires
• Livraison rapide de colis
Recherche op...
Plan du cours
• Optimisation sans contrainte
• Optimisation linéaire avec contrainte
• Graphes et réseaux
• Optimisation e...
Support de cours
Recherche op´erationnelle – p. 11/45
Matière à connaître
• Partie I Chapitre 1 & 2
• Partie I Section 3.5
• Partie I Chapitre 4
• Partie II Chapitre 5
• Partie...
Introduction
Optimum
(du latin optimus, le meilleur) Etat, degré de développement de quelque chose
jugé le plus favorable ...
Introduction
Modèle mathématique
Représentation mathématique d’un phénomène physique, économique, hu-
main, etc., réalisée...
Projectile
• Un projectile est lancé verticalement à la vitesse de 50 mètres
par seconde, en l’absence de vent.
• Après co...
Projectile
Fonction objectif altitude
f(x) = −
g
2
x2
+ v0x + x0 = −
9.81
2
x2
+ 50x,
où g = −9.81, v0 = 50 et x0 = 0
Cont...
Swisscom
• Positionnement d’une antenne
• Connexion de 4 nouveaux clients
• Priorité aux meilleurs clients
• Antennes exis...
Swisscom
Client Coord. Heures
1 (5,10) 200
2 (10,5) 150
3 (0,12) 200
4 (12,0) 300
-
6
7
7
1
2
3
4
(x, y)
Recherche op´erat...
Swisscom
min(x1,x2) f(x1, x2) = 200 (x1 − 5)2 + (x2 − 10)2+
150 (x1 − 10)2 + (x2 − 5)2+
200 x2
1 + (x2 − 12)2+
300 (x1 − 1...
Château Laupt-Himum
Produit du vin rosé et du vin rouge en achetant le raisin à des
producteurs locaux.
• Achat : maximum ...
Château Laupt-Himum
Production Prix rosé par l. Prix rouge par l.
100 l. 13 e 22 e
200 l. 11 e 21 e
• Comment le Château d...
Château Laupt-Himum
Variables de d´ecision • x1 litres de vin rosé à produire par année,
• x2 litres de pinot noir à produ...
Château Laupt-Himum
• Chiffre d’affaire
x1(15 −
2
100
x1) + x2(23 −
1
100
x2).
• Achat du raisin : 3x3
• Vinification du ro...
Château Laupt-Himum
• Fonction objectif:
x1(15 −
2
100
x1) + x2(23 −
1
100
x2) − (2x1 + 3.5x2 + 3x3).
Contraintes • Achat ...
Château Laupt-Himum
• Contraintes triviales mais indispensables
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Recherche op´erationnelle – p. 25/...
Château Laupt-Himum
Problème d’optimisation :
maxx∈R3 f(x) = x1(15 − 2
100 x1) + x2(23 − 1
100 x2)
−(2x1 + 3.5x2 + 3x3)
so...
James Bond
• Mission : désamorcer une bombe nucléaire sur un yacht
• Yacht amarré à 50 mètres du rivage
• James Bond se tr...
James Bond
007 x
50m
100m
Recherche op´erationnelle – p. 28/45
James Bond
min
x
f(x) =
x
5
+ 0.36 502 + (100 − x)2.
sous contrainte
x ≥ 0
x ≤ 100.
Note: f(0) = 40.25, f(100) = 38.
Reche...
• Indiana Jones est bloqué face à une immense salle remplie de
Pseudechis Porphyriacus, des serpents venimeux.
• La salle ...
• Il place l’extrémité d’une échelle sur le sol, bloquée par un
rocher, l’appuie sur le mur, et l’utilise pour atteindre l...
x1
x2
-
ℓ = 10m
6
?
h = 5m
Recherche op´erationnelle – p. 32/45
La démarche de modélisation procède en trois étapes.
Variables de d´ecision
• x1 est la position de l’extrémité de l’échel...
Contraintes L’échelle s’appuie exactement sur le bord du mur de la
salle. En utilisant des triangles semblables, cette con...
Problème d’optimisation :
min
x∈R2
x2
1 + x2
2
sous contraintes
x1x2 − hx1 − ℓx2 = 0
x1 ≥ ℓ
x2 ≥ h.
Recherche op´erationne...
Geppetto
Fabricants de jouets en bois : soldats et trains
• Prix de vente : soldats 27 e, trains 21 e
• Matériel brut : so...
Geppetto
max
x
f(x) = 3x1 + 2x2,
sous contraintes
2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x1 ∈ N
x2 ∈ N
Recherch...
Transformations du problème
Equivalence
Deux problèmes d’optimisation P1 et P2 sont dits équivalents si l’on peut con-
str...
Transformations du problème
• Constante
argminx∈X⊆Rn f(x) = argminx∈X⊆Rn (f(x) + c) ∀c ∈ R,
et
min
x∈X⊆Rn
(f(x) + c) = c +...
Transformations du problème
• Inégalités
g(x) ≤ 0 ⇐⇒ −g(x) ≥ 0.
• Egalité - Inégalités
g(x) = 0 ⇐⇒
g(x) ≤ 0
g(x) ≥ 0
• Var...
Transformations du problème
• Changement de variable
x = ˜x + a
transforme la contrainte x ≥ a en
˜x ≥ 0.
Recherche op´era...
Transformation du problème
max
x,y
−x2
+ sin y
sous contraintes
6x − y2
≥ 1
x2
+ y2
= 3
x ≥ 2
y ∈ R
Exigences :
• Minimisa...
Transformations du problème
− min
˜x,y+,y−
(˜x + 2)2
− sin(y+
− y−
)
sous contraintes
−6(˜x + 2) + (y+
− y−
)2
+ 1 ≤ 0
(˜x...
Variables d’écart
Variable d’écart
Une variable d’écart est une variable de décision introduite dans un problème
d’optimis...
Hypothèses de travail
Trois hypothèses dans le cadre de ce cours
• continuité
• différentiabilité
• déterminisme
Si elles ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

01 introduction

376 vues

Publié le

0 commentaire
0 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
376
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
3
Actions
Partages
0
Téléchargements
22
Commentaires
0
J’aime
0
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

01 introduction

  1. 1. Recherche opérationnelle Michel Bierlaire michel.bierlaire@epfl.ch EPFL - Laboratoire Transport et Mobilit´e - ENAC Recherche op´erationnelle – p. 1/45
  2. 2. Recherche opérationnelle • Branche des mathématiques • Problèmes d’aide à la décision • Historique: • Blaise Pascal (1623-1662) • Combinatoire, espérance mathématique • Isaac Newton (1642-1727) • Calcul infinitésimal, équations non linéaires Recherche op´erationnelle – p. 2/45
  3. 3. Recherche opérationnelle • Historique: • Daniel Bernoulli (1700-1782) • Mesure du risque, utilité • Harris (1913) • Gestion de stock, solution optimale Recherche op´erationnelle – p. 3/45
  4. 4. Recherche opérationnelle • Historique: • Patrick Blackett (1897-1974) • Opérations militaires, organisation des convois • George Dantzig (1914–2005) • Algorithme du simplexe (1947) Recherche op´erationnelle – p. 4/45
  5. 5. Concepts clés Mod´elisation Traduction de problèmes réels en équations mathématiques Optimisation Identification de la meilleure configuration possible d’un système Simulation Reproduction du fonctionnement d’un système complexe par un ordinateur Recherche op´erationnelle – p. 5/45
  6. 6. Problèmes concrets dans notre laboratoire Opérations aériennes: • Air France, Baboo, Thomas Cook Recherche op´erationnelle – p. 6/45
  7. 7. Problèmes concrets dans notre laboratoire Opérations portuaires: • Port de Gioia Tauro, Italie. • Port de Ras-Al-Khaima, Emirats Arabes Unis. Recherche op´erationnelle – p. 7/45
  8. 8. Problèmes concrets dans notre laboratoire Trafic urbain: • Optimisation des feux de circulation • Réduction de la congestion Recherche op´erationnelle – p. 8/45
  9. 9. Problèmes concrets dans notre laboratoire Tournées de véhicules : • Bus scolaires • Livraison rapide de colis Recherche op´erationnelle – p. 9/45
  10. 10. Plan du cours • Optimisation sans contrainte • Optimisation linéaire avec contrainte • Graphes et réseaux • Optimisation en nombres entiers Recherche op´erationnelle – p. 10/45
  11. 11. Support de cours Recherche op´erationnelle – p. 11/45
  12. 12. Matière à connaître • Partie I Chapitre 1 & 2 • Partie I Section 3.5 • Partie I Chapitre 4 • Partie II Chapitre 5 • Partie II Section 6.5 • Partie III Chapitre 7 & 8 • Partie IV Chapitre 9, 10, 11, 13, 14 & 15 • Partie V Chapitre 17 + graphes et réseaux Recherche op´erationnelle – p. 12/45
  13. 13. Introduction Optimum (du latin optimus, le meilleur) Etat, degré de développement de quelque chose jugé le plus favorable au regard de circonstances données • Pour obtenir une définition plus formelle : Modélisation mathématique Recherche op´erationnelle – p. 13/45
  14. 14. Introduction Modèle mathématique Représentation mathématique d’un phénomène physique, économique, hu- main, etc., réalisée afin de pouvoir mieux étudier celui-ci. 1. Variables de décision : x ∈ Rn , x = (x1, x2, . . . , xn)T 2. Fonction objectif : f(x) ∈ R 3. Contraintes: x ∈ X ⊆ Rn Recherche op´erationnelle – p. 14/45
  15. 15. Projectile • Un projectile est lancé verticalement à la vitesse de 50 mètres par seconde, en l’absence de vent. • Après combien de temps et à quelle altitude commencera-t-il à retomber ? Variables de d´ecision x = nombre de secondes écoulées depuis le départ du projectile. Recherche op´erationnelle – p. 15/45
  16. 16. Projectile Fonction objectif altitude f(x) = − g 2 x2 + v0x + x0 = − 9.81 2 x2 + 50x, où g = −9.81, v0 = 50 et x0 = 0 Contraintes Aucune. Problème d’optimisation max x∈R − 9.81 2 x2 + 50x. Recherche op´erationnelle – p. 16/45
  17. 17. Swisscom • Positionnement d’une antenne • Connexion de 4 nouveaux clients • Priorité aux meilleurs clients • Antennes existantes : (-5,10) et (5,0) • Interdiction de placer la nouvelle à moins de 10 km des antennes existantes Recherche op´erationnelle – p. 17/45
  18. 18. Swisscom Client Coord. Heures 1 (5,10) 200 2 (10,5) 150 3 (0,12) 200 4 (12,0) 300 - 6 7 7 1 2 3 4 (x, y) Recherche op´erationnelle – p. 18/45
  19. 19. Swisscom min(x1,x2) f(x1, x2) = 200 (x1 − 5)2 + (x2 − 10)2+ 150 (x1 − 10)2 + (x2 − 5)2+ 200 x2 1 + (x2 − 12)2+ 300 (x1 − 12)2 + x2 2 sous contraintes (x1 + 5)2 + (x2 − 10)2 ≥ 10 (x1 − 5)2 + (x2 − 10)2 ≥ 10. Recherche op´erationnelle – p. 19/45
  20. 20. Château Laupt-Himum Produit du vin rosé et du vin rouge en achetant le raisin à des producteurs locaux. • Achat : maximum 1 tonne de pinot à 3 e/kilo. • Vinification rosé : coût 2 e par kilo de raisin • Vinification rouge (pinot noir) : coût 3.50 e par kilo de raisin. • Prix de vente rosé : 15 e/litre moins 2 e par centaine de litres produits. • Prix de vente rouge : 23 e/litre moins 1 e par centaine de litres produits. Recherche op´erationnelle – p. 20/45
  21. 21. Château Laupt-Himum Production Prix rosé par l. Prix rouge par l. 100 l. 13 e 22 e 200 l. 11 e 21 e • Comment le Château doit-il s’organiser pour optimiser son gain, en sachant qu’un kilo de raisin produit 1 litre de vin ? La démarche de modélisation se passe en trois étapes. Recherche op´erationnelle – p. 21/45
  22. 22. Château Laupt-Himum Variables de d´ecision • x1 litres de vin rosé à produire par année, • x2 litres de pinot noir à produire, • x3 nombre de kilos de raisins à acheter. Fonction objectif optimisation du gain • Gain sur le litre de rosé (en e): 15 − 2 100 x1 • Gain sur le litre de rouge (en e): 23 − 1 100 x2. Recherche op´erationnelle – p. 22/45
  23. 23. Château Laupt-Himum • Chiffre d’affaire x1(15 − 2 100 x1) + x2(23 − 1 100 x2). • Achat du raisin : 3x3 • Vinification du rosé : 2x1 • Vinification du rouge : 3.5x2 • Frais totaux: 2x1 + 3.5x2 + 3x3. Recherche op´erationnelle – p. 23/45
  24. 24. Château Laupt-Himum • Fonction objectif: x1(15 − 2 100 x1) + x2(23 − 1 100 x2) − (2x1 + 3.5x2 + 3x3). Contraintes • Achat de maximum 1 tonne de raisin au vigneron, x3 ≤ 1000. • Limite de production x1 + x2 ≤ x3. Recherche op´erationnelle – p. 24/45
  25. 25. Château Laupt-Himum • Contraintes triviales mais indispensables x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0. Recherche op´erationnelle – p. 25/45
  26. 26. Château Laupt-Himum Problème d’optimisation : maxx∈R3 f(x) = x1(15 − 2 100 x1) + x2(23 − 1 100 x2) −(2x1 + 3.5x2 + 3x3) sous contraintes x1 + x2 ≤ x3 x3 ≤ 1000 x1, x2, x3 ≥ 0. Recherche op´erationnelle – p. 26/45
  27. 27. James Bond • Mission : désamorcer une bombe nucléaire sur un yacht • Yacht amarré à 50 mètres du rivage • James Bond se trouve à 100 mètres du point le plus proche du yacht sur la plage • Course : 18km/h. Nage : 10km/h • Temps de désamorçage : 30 secondes • Explosion dans 65 secondes • James Bond pourra-t-il sauver le monde libre ? Recherche op´erationnelle – p. 27/45
  28. 28. James Bond 007 x 50m 100m Recherche op´erationnelle – p. 28/45
  29. 29. James Bond min x f(x) = x 5 + 0.36 502 + (100 − x)2. sous contrainte x ≥ 0 x ≤ 100. Note: f(0) = 40.25, f(100) = 38. Recherche op´erationnelle – p. 29/45
  30. 30. • Indiana Jones est bloqué face à une immense salle remplie de Pseudechis Porphyriacus, des serpents venimeux. • La salle est longue de 10 mètres et haute de 5 mètres. • Il doit passer par-dessus, mais le toit est fragile. Recherche op´erationnelle – p. 30/45
  31. 31. • Il place l’extrémité d’une échelle sur le sol, bloquée par un rocher, l’appuie sur le mur, et l’utilise pour atteindre l’autre extrémité de la salle. Arrivé là, il utilise son fouet pour redescendre sur le sol, de l’autre côté de la salle. • Où doit-il placer l’extrémité de l’échelle sur le sol, pour que la longueur de l’échelle utilisée soit la plus petite possible, et que celle-ci risque moins de rompre sous son poids ? Recherche op´erationnelle – p. 31/45
  32. 32. x1 x2 - ℓ = 10m 6 ? h = 5m Recherche op´erationnelle – p. 32/45
  33. 33. La démarche de modélisation procède en trois étapes. Variables de d´ecision • x1 est la position de l’extrémité de l’échelle sur le sol, • x2 est la hauteur de l’autre extrémité de l’échelle, à l’autre bout de la salle. Fonction objectif f(x) = x2 1 + x2 2. Recherche op´erationnelle – p. 33/45
  34. 34. Contraintes L’échelle s’appuie exactement sur le bord du mur de la salle. En utilisant des triangles semblables, cette contrainte peut s’écrire x2 x1 = h x1 − ℓ = x2 − h ℓ ou encore x1x2 − hx1 − ℓx2 = 0. Les extrémités de l’échelle doivent se trouver hors de la salle x1 ≥ ℓ et x2 ≥ h. Recherche op´erationnelle – p. 34/45
  35. 35. Problème d’optimisation : min x∈R2 x2 1 + x2 2 sous contraintes x1x2 − hx1 − ℓx2 = 0 x1 ≥ ℓ x2 ≥ h. Recherche op´erationnelle – p. 35/45
  36. 36. Geppetto Fabricants de jouets en bois : soldats et trains • Prix de vente : soldats 27 e, trains 21 e • Matériel brut : soldats 10 e, trains 9 e • Coûts généraux : soldats 14 e, trains 10 e • Menuiserie : soldats 1h, trains 1h • Finissage : soldats 2h, trains 1h • Main d’oeuvre disponible : menuiserie 80h, finissage 100h • Maximum de 40 soldats Recherche op´erationnelle – p. 36/45
  37. 37. Geppetto max x f(x) = 3x1 + 2x2, sous contraintes 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x1 ∈ N x2 ∈ N Recherche op´erationnelle – p. 37/45
  38. 38. Transformations du problème Equivalence Deux problèmes d’optimisation P1 et P2 sont dits équivalents si l’on peut con- struire un point admissible de P2 à partir d’un point admissible de P1 (et réciproquement), avec la même valeur pour la fonction objectif. En particulier, les deux problèmes ont le même coût optimal, et on peut construire une solu- tion optimale de P2 à partir d’une solution optimale de P1 (et réciproquement). Recherche op´erationnelle – p. 38/45
  39. 39. Transformations du problème • Constante argminx∈X⊆Rn f(x) = argminx∈X⊆Rn (f(x) + c) ∀c ∈ R, et min x∈X⊆Rn (f(x) + c) = c + min x∈X⊆Rn f(x) ∀c ∈ R. • Minimum - Maximum max x f(x) ⇐⇒ − min x −f(x). min x f(x) ⇐⇒ − max x −f(x). Recherche op´erationnelle – p. 39/45
  40. 40. Transformations du problème • Inégalités g(x) ≤ 0 ⇐⇒ −g(x) ≥ 0. • Egalité - Inégalités g(x) = 0 ⇐⇒ g(x) ≤ 0 g(x) ≥ 0 • Variables non négatives x = x+ − x− , avec x+ ≥ 0 et x− ≥ 0. Recherche op´erationnelle – p. 40/45
  41. 41. Transformations du problème • Changement de variable x = ˜x + a transforme la contrainte x ≥ a en ˜x ≥ 0. Recherche op´erationnelle – p. 41/45
  42. 42. Transformation du problème max x,y −x2 + sin y sous contraintes 6x − y2 ≥ 1 x2 + y2 = 3 x ≥ 2 y ∈ R Exigences : • Minimisation • Variables non négatives • Contraintes d’inégalité inférieure Recherche op´erationnelle – p. 42/45
  43. 43. Transformations du problème − min ˜x,y+,y− (˜x + 2)2 − sin(y+ − y− ) sous contraintes −6(˜x + 2) + (y+ − y− )2 + 1 ≤ 0 (˜x + 2)2 + (y+ − y− )2 − 3 ≤ 0 −(˜x + 2)2 − (y+ − y− )2 + 3 ≤ 0 ˜x ≥ 0 y+ ≥ 0 y− ≥ 0 Recherche op´erationnelle – p. 43/45
  44. 44. Variables d’écart Variable d’écart Une variable d’écart est une variable de décision introduite dans un problème d’optimisation afin de transformer une contrainte d’inégalité en une contrainte d’égalité. g(x) ≤ 0 ⇐⇒ g(x) + z2 = 0 ⇐⇒ g(x) + y = 0 y ≥ 0. Recherche op´erationnelle – p. 44/45
  45. 45. Hypothèses de travail Trois hypothèses dans le cadre de ce cours • continuité • différentiabilité • déterminisme Si elles ne sont pas vérifiées : • continuité opt. combinatoire • différentiabilité opt. non différentiable • déterminisme opt. stochastique Recherche op´erationnelle – p. 45/45

×