O documento apresenta o Teorema Fundamental do Cálculo em duas partes. A primeira parte afirma que se f for contínua em [a,b], então a função g definida pela integral de f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) com g'(x)=f(x). A segunda parte afirma que se f for contínua em [a,b], então a integral de f de a até b é igual à diferença entre qualquer primitiva de f em b e a. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação do

1. O Teorema Fundamental do C´alculo
O Teorema Fundamental do C´alculo
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a
Campus Francisco Beltr˜ao
Disciplina: C´alculo
Professor: Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a C´alculo

2. O Teorema Fundamental do C´alculo
Teorema Fundamental do C´alculo - Parte 1
Se f for cont´ınua em [a, b], ent˜ao a fun¸c˜ao g definida por
g(x) =
x
0
f (t) dt a ≤ x ≤ b
´e cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em (a, b) e g (x) = f (x).
Exemplo: Encontre a integral de f (x) = x.
Exerc´ıcio
Encontre a integral das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = x2
(b) f (x) = x3
(c) f (x) = cos(x)
(d) f (x) = ex
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a C´alculo

3. O Teorema Fundamental do C´alculo
Teorema Fundamental do C´alculo - Parte 2
Se f for cont´ınua em [a, b], ent˜ao
b
a
f (x) dx = F(b) − F(a)
onde F ´e qualquer primitiva de f , isto ´e, uma fun¸c˜ao tal que ´e
F = f .
Exemplo: Ache a ´area sob a par´abola y = x2 de 0 at´e 1.
Exerc´ıcio
Calcule:
(a)
2
0
x dx
(c)
3
1
ex
dx
(b)
3
−1
x2
dx
(d)
π
2
0
cos(x) dx
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a C´alculo