1. Ejemplos de Distribuciones de Probabilidad
*Bernoulli
*Binomial
*Poisson
*Normal
*Gamma
*T de student
Laura Anguiano Acosta
2 “A”

2. Distribución Bernoulli
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la
probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder
darles un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos
cerrados, ¿Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero
16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =
0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al
momento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que
pueda salir premiado el boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 =
0.00292

3. ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 =
0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el
éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que
saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna
cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple
todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

4. Distribución Binomial
1) Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de
que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la
probabilidad sería P(X=20):
2) La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el
80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la
lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
B (4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
2. ¿Y cómo máximo 2?
3) Un agente de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es
2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2. Al menos tres personas.

5. 3. Exactamente dos personas.
4) Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan
más caras que cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
5) La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10
veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?
¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = ¾

6. Distribución Poisson
1) Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy
inteligentes ¿Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5
de ellos sean muy inteligentes
n= 100
P=0.03
=100*0.03=3
x=5
2) La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de
defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la
probabilidad que existan 4 televisores con defectos.
n=85
P=0.02
P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
X=4
=1.7
3) Una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de
que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso
n=20
P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418
X=3
=3

7. 4) El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema,
si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que
existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793
=3.2
X=5
5) Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si
tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que
existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
=10

8. Distribución Normal
1) Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0
µ = 80
σ = 14 z
a) Calcule la probabilidad de un valor
localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90
Probabilidad μ
acumulada.
z = 0.7611
z = 0.3594
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
z 0.3594
p(x ≤ 75) = 0.3594
75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.2389
z = 0.0367
55 70 80
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= μ
0.2022

9. 2) Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down
River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y
una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de
préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
acumulada.
–
z = 0.6915
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
70000 80000
μ
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
–
acumulada.
z = 0.6915
–
z =
0.4013
65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
acumulada.
–
z = 0.4013

10. p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
65000 70000
μ
3) Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000
habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos.
El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el
tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de
viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal
y la desviación estándar es de 7.5 minutos.
µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x ≤ 30)
Probabilidad
acumulada.
–
z = 0.1335
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3
μ
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
acumulada.
–
z = 0.3300
–
z =
0.1335
30 35 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

11. c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
Probabilidad
acumulada.
–
z 0.5910 =
– µ = 1,200
z σ = 225 =
0.1335
Probabilidad 30 38.3
acumulada.
z μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 –
5% = .0500
0.1335 = 0.4575 =
45.75%
4) Las ventas mensuales de silenciadores en
el área de Richmond, Virginia, tiene una
distribución normal, con una media de
$1,200 y una desviación estándar de $225.
Al fabricante le gustaría establecer niveles
de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las
existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
– 5% ó 0.0500
z 1.65
X=
x = 1,571.25 1,571.25
5) En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada
en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos
anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación

12. estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas
paga menos de ¿Qué cantidad?
–
z 1.64 95% ó 0.9500
x = 27,462. X=
27,462
75
µ = 20,082
z
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =

13. Distribución Gamma
1) El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad
de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta
la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a
p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el
segundo paciente es 0,98.
2) Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son
sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una
distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que
0,1.

14. Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

15. Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

17. T de student
1) Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500
horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos
cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra
satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una
muestra de 25 focos cuya duración fue?:
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig:

18. 2) El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además,
ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador acaba
no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10
días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera
clase.
(a) Idéntica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su
primera clase?
En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos
realizando. Este consiste en tomar un día al azar en la vida del profesor Pérez
y analizarlo en base a los siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos.
A continuación traducimos en términos de probabilidad de los sucesos
anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso “llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto
nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de
sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total, de donde
tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha
proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el valor
de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que

19. P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se
puede escribir como: P(T¯) = + =0.69
3) La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm
y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño
n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de
libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior
a 20.5 mm es del 99.02%
4) Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:

20. - ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:
0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta
cruzarnos en el punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será
el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la
primera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos
verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad
acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas
probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil
w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso
anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:

21. w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
5) Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de
tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840