2. Зміст навчального матеріалу по темі:
1. Вектори у просторі. Рівність векторів.
2. Колінеарність векторів.
3. Компланарність векторів.
4. Координати вектора.
5. Додавання і віднімання векторів.
6. Множення вектора на число. Властивості дій над
векторами.
7. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів.
8. Розкладання вектора по ортах.
9. Сюжетна задача.
3. Вектори у просторі. Рівність векторів.
Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям
вектора позначається його початком і кінцем. На
малюнку напрям вектора позначається стрілкою.
Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то
вектор називається нульовим і позначається 0 .
4. Вектори однаково
напрямлені , якщо
однаково напрямлені
півпрямі, що містять дані
вектори.
Вектори протилежно
напрямлені, якщо
протилежно напрямлені
півпрямі, що містять дані
вектори.
6. Абсолютна величина вектора або модуль вектора – це
довжина відрізка, що зображає вектор.
Абсолютна величина позначається |а| і обчислюється за
формулою
2 2 2
a = a1 +2
a +3
a
Вектори рівні, якщо вони суміщаються паралельним
перенесенням.
Рівні вектори однаково напрямлені
і рівні за абсолютною величиною.
Рівні вектори мають рівні
відповідні координати.
1 = b1
a
a(a1,a2,a3) = b (b1,b2,b3)<=> 2 = b2
a
=b
a
3 3
8. Колінеарні вектори
Колінеарні вектори – це два ненульові вектори, які
лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
Умова колінеарності векторів:
Відношення відповідних координат векторів – рівні.
b1 b2 b3
a і b колінеарні, якщо b = λ *a ⇔ = =
a1 a2 a3
1. Чи колінеарні вектори a (2,3,8) і b (-4,6, -16)?
2. При якому значення n і m вектори a (15,m,1) і b
(18,12,n) - колінеарні?
9.
10.
11.
12. Компланарність векторів
Три вектори називаються компланарними, якщо
відповідні їм напрямлені відрізки розміщені у
паралельних площинах.
Вектори ОА, ОВ, ОС компланарні тільки за
умови, що точки О,А,В,С лежать в одній площині.
Завдання: Чи компланарні вектори a (3;2;0),
b (6;3;0), c (8;1;0)?
13.
14.
15. Координати вектора
Координатами вектора a називаються числа
а1=х2-х1, а2=у2-у1, а3=z2-z1.
Щоб знайти координати вектора, треба від
координат кінця вектора відняти координати його
початку.
Завдання:
1. А(2;3;4), В(1;1;1). Знайти координати векторів AB
та BA .
2. Які координати вектора AO , якщо А(5;1;-3), точка
О – початок координат.
16. .Додавання векторів Правило трикутника
Отже, сумою двох векторів a і b називається третій вектор c , початок
якого збігається з початком a , а кінець – з кінцем вектора b при умові,
що кінець вектора a збігався з початком вектора b .
Правило паралелограма (для неколінеарних векторів): a + b = c .
Якщо два вектори виходять з однієї точки, то вектор суми цих
b векторів є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних
векторах.
17. Додавання векторів.
Сумою векторів a (а1, а2, а3) та b (в1, в2, в3)
називається вектор с з координатами : а1+в1, а2+в2,
а3+в3.
Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї
точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих
векторах, яка виходить з цієї ж точки.
18. Якщо треба знайти суму кількох векторів, можна скористатися
правилом многокутника (див. рисунок).
19.
20. Завдання по темі “Додавання векторів”
1. Дано a ( 2;0;3), b(0;4;−1) . Знайти координати суми
даних векторів.
2. Дано вектори a(2;− 3;5), b(2;4;3), c(4;1;8) .
Чи правильно, що c = b + a .
21. Віднімання векторів
Різницею векторів a (а1,а2,а3) і b (в1,в2,в3)
називається вектор c , координати якого: а1-в1,а2-
в2,а3-в3.
Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки,
з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого
віднімаємо
22. Множення вектора на число
Добутком вектора a на число λ є вектор
a =(λа1,λа2,λа3).
Властивості:
1. (a1 , a2 , a3 ) * λ = λ * (a1 , a2 , a3 )
2. Для будь – якого вектора а і чисел λ і μ має місце рівність:
(λ + µ ) * a = λ * a + µ * a
3. Для будь – яких векторів а і в і числа λ має місце рівність.
λ * ( a + b) = λ * a + λ * b
Абсолютна величина вектора λ * a дорівнює:
λ * a = (λ * a1 ) 2 + (λ * a2 ) 2 + (λ * a3 ) 2 = λ * a1 + a2 + a3 = λ * a
2 2 2
23.
24. Скалярний добуток векторів
Скалярним добутком векторів a 1, а2, а3) і b (в1, в2, в3)
(а
є число (скаляр) а1*в1+ а2*в2+а3*в3.
Кутом між ненульовими векторами AB і AC називається
кут ВАС – кут між векторами, що дорівнюють даним і
мають спільний початок.
Теорема: Скалярний добуток векторів дорівнює
добутку модулів векторів на косинус кута між ними.
Якщо a * b 0 , то кут гострий; a * b 0 – кут тупий,
a * b = 0 – кут прямий (вектори перпендикулярні).
Умова перпендикулярності векторів – скалярний
добуток дорівнює 0.
25. Завдання по темі “Скалярний добуток векторів”
1. Чи перпендикулярні вектори a (2;3;6) і b (3;2;-1) ?
2. При якому значення m вектори a (6;0;12) і b (-
8;13; m) перпендикулярні ?
3. Який кут утворюють вектори a (-5;0;0) і b (0;3;0) ?
26. Розкладання вектора по ортах
Вектор називається одиничним, якщо модуль
вектора дорівнює 1.
Одиничні вектори, які мають напрями додатних
координатних півосей, називаються ортами.
Для будь – якого вектора a (а , а , а ) маємо:
1 2 3
a = a1 * e1 + a2 * e2 + a3 * e3
27. Сюжетна задача
Дано чотири точки А(1;2;3), В(-2;4;1), С(0;2;5), Д(1;-4;2).
Знайти:
1. Координати AB і CD .
2. Модулі AB і CD .
3. AB + CD
4. AB - CD
5. 3* AB CD
; ½*
6. 3* AB + ½*CD
7. Чи колінеарні вектори?
8. AB * CD
9. Cos φ між векторами. Чи перпендикулярні вектори?
10. Розкласти по ортах.