3. Zeros Reais de Funções
Reais – Introdução
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
4. Zeros de funções reais - Introdução
ç
ç
Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0
Estruturas
F
Circuitos
i
R
+FV
Em cada nó
+FH :
-FH
-FV
FH = 0
FV = 0
+
v = g(i)
E
E - Ri – g(i) = 0
(Lei de Kirchhoff)
5. Zeros de funções reais - Introdução
ç
ç
é um zero da função f(x) ou raiz da equação
Zeros podem ser reais ou complexos.
Este capítulo trata de zeros reais de f(x).
f(x)
f( ) = 0 se f() = 0
0.
Abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x
p
p
f(x)
1
2
x
6. Zeros de funções reais - Introdução
ç
ç
Para uma equação de segundo grau na forma:
ax 2 bx c 0
Determinação das raízes em função de a, b e c:
x b b 2 4ac
2a
Polinômios de grau mais elevado e funções com maior
grau de complexidade
Impossibilidade de determinação exata dos zeros
Uso de soluções aproximadas
7. Zeros de funções reais - Introdução
ç
ç
Etapas para a determinação de raízes a partir de
métodos numéricos
é d
éi
FASE 1: Determinação de um inter alo (o menor possí el)
1
m intervalo
possível)
que contenha apenas uma raiz
FASE 2: Melhoramento do valor da raiz aproximada
(refinamento até que a raiz esteja dentro uma precisão ε
prefixada)
8. Zeros Reais de Funções
Reais – Isolamento de Raízes
Prof. Wellington Passos de Paula
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9. Isolamento de raízes
Realização de uma análise teórica e gráfica da função
f(x)
f( )
Precisão das análises é relevante para o sucesso da
fase posterior
Teorema 1
Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a)f(b) < 0
então existe pelo menos um ponto x = entre a e b que é
zero de f(x).
10. Isolamento de raízes – Análise Gráfica
f(x)
( )
f(x)
a
b
a
x
2
1
f(x)
a
1
2
b
x
3b
x
11. Isolamento de raízes – Tabelamento
f ( x) x 3 9 x 3
Exemplo:
f(x) é contínua para x
I1 = [-5, -3]
I2 = [0, 1]
I3 = [2, 3]
Cada um dos intervalos acima contém pelo menos um
zero de f(x).
12. Isolamento de raízes – Tabelamento
Exemplo: f ( x)
x 5e x
f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1 2]
[1,2]
Mas esse zero é único?
Análise do sinal de f’(x)
1
f ' ( x)
5e x 0, x 0
2 x
f(x) admite um único zero em todo seu domínio
de definição, localizado no intervalo [1,2]
13. Isolamento de raízes
A partir do Teorema 1, se f’(x) existir e preservar o sinal
em ( b) então esse i
(a,b),
intervalo contém um ú i zero d
l
é
único
de
f(x)
14. Isolamento de raízes
Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no
intervalo [ b]
i
l [a, b].
15. Isolamento de raízes
A análise gráfica é fundamental para se obter boas
aproximações para a raiz
i
i
Suficiente utilizar um dos seguintes passos:
Esboçar o gráfico de f(x)
Localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o
eixo x
Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) a partir da
equação f(x) = 0
Construção dos gráficos de g(x) e h(x) no mesmo sistema
cartesiano e localização dos pontos x nos quais g(x) e h(x)
se interceptam (f() = 0 g() = h() )
Uso de programas para traçar gráficos de funções
16. Isolamento de raízes
O esboço do gráfico de uma função requer um estudo
detalhado de
d lh d d seu comportamento, no qual d
l devem ser
considerados os itens abaixo:
Domínio da f nção
função
Pontos de descontinuidade
Intervalos de crescimento e decrescimento
Pontos de máximo e mínimo
Concavidade
Pontos de inflexão, etc
17. Isolamento de raízes
f ( x) x 3 9 x 3
Exemplo:
1 (4, 3)
Solução utilizando o método 1:
f ( x) x 3 9 x 3
2 (0, 1)
f(x)
3 (2, 3)
f ' ( x) 3x 2 9
f ' ( x) 0 x 3
x
f(x)
-25
-4
4
25
-3
3
- 3 13,3923
-1
11
0
3
1
-5
3 -7,3923
2
-7
3
3
1
-4
-3
2
-2
-1
1
3
2
3
4
x
18. Isolamento de raízes
f ( x) x 3 9 x 3 0
Exemplo:
y
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Dada
1 (4, 3)
x3 9 x 3 0
2 (0, 1)
Equação Equivalente:
h(x)
g(x)
3 (2, 3)
g ( x) x
3
h( x ) 9 x 3
1
-4
-3
-2
-1
2 1
2
3
3
4
x
19. Isolamento de raízes
f ( x) x 5e x 0
Exemplo:
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Dada
x 5e
x
h(x)
y
(1, 2)
Equação Equivalente:
g ( x) x
g(x)
h( x) 5e x
1
2
3
4
5
6
x
20. Isolamento de raízes
Exemplo: f ( x) x log( x) 1 0
Solução utilizando o método 2:
Dada:
Dada
y
1
log( x)
x
(2, 3)
h(x)
Equação Equivalente:
g ( x) l ( x)
log(
1
h( x )
x
g(x)
1
2
3
4
5
6
x
21. Zeros Reais de Funções
Reais – Refinamento de Raízes
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22. Refinamento de raízes
Aplicação de métodos numéricos destinados ao
refinamento d raízes
fi
de í
I.
II.
II
III.
IV.
IV
V.
Método da Bisseção
Método da Posição Falsa
Método do Ponto Fixo
Método de Newton-Raphson
Método da Secante
Diferenciação dos métodos Modo de refinamento
Método Iterativo Caracterizado por uma série de
instruções executáveis seqüencialmente, algumas das
quais repetidas em ciclos (iterações)
24. Critérios de Parada
Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata?
Como verificar tal questionamento?
Interpretações para raiz aproximada
x é raiz aproximada com precisão se:
ou f (x)
x
Como proceder se não se conhece ?
25. Critérios de Parada
Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração
Obtenção de um intervalo [a,b] tal que:
a, b
e. então x a, b , x
ba
Logo x a, b
pode ser tomado como x
27. Critérios de Parada
Métodos numéricos devem satisfazer a pelo menos um dos
critérios
Quando
Q ando da utilização de programas comp tacionais
tili ação
computacionais,
devemos utilizar:
Teste de Parada
Estipular o número máximo de iterações
Prevenção de loops por:
Erro no programa
Escolha de método inadequado
28. Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Bisseção
Prof. Wellington Passos de Paula
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29. Método da Bisseção
ç
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde
existe uma raiz ú i
i
i única, é possível d
í l determinar tal raiz
i
l i
subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a
contém pelo ponto médio de a e b
b.
Em
E outras palavras, o objetivo d
l
bj i deste método é reduzir
é d
d i
a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir
precisão requerida, bk ak ou f (x) , usando
requerida
para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio
30. Método da Bisseção
ç
Definição do intervalo inicial
Atribui-se [a,b] como intervalo inicial
a0 = a
b0 = b
Condições de Aplicação
f(a) x f(b) < 0
Sinal da derivada constante
31. Método da Bisseção
ç
Definição de novos intervalos
Calcula-se o ponto médio entre a e b, chamado de x0
Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
contém a raiz
Calcula-se o produto f(a) * f(x0)
Verifica-se f(a) * f(x0) < 0
(a, x0 )
Se verdadeiro
Caso contrario
Logo a = a e b = x0
( x0 , b)
Logo a = x0 e b = b
Repete se
Repete-se o processo até que o valor de x atenda
às condições de parada.
32. Método da Bisseção - Resumo
ç
a0 b0
2
f ( a0 ) 0
f (b0 ) 0
f ( x ) 0
0
(a0 , x0 )
a1 a0
b x
0
1
a1 b1
x1
2
f (a1 ) 0
f (b1 ) 0
f ( x ) 0
1
( x1 , b1 )
a2 x1
b b
2 1
a2 b2
x2
2
f ( a2 ) 0
f (b2 ) 0
f ( x ) 0
2
( x2 , b2 )
a3 x2
b b
2
3
x0
33. Método da Bisseção - Graficamente
ç
y
a3
||
a2
||
a
||
a1
x1
x2 x0
||
||
b3 b1=b2
b
x
34. Método da Bisseção
ç
Exemplo: f ( x) x log( x) 1 0
Utilizando o método de Equações Equivalentes para
Isolamento de Raí es
Raízes:
y
h(x)
1
log( x)
(2,3)
x
Equação Equivalente:
g ( x) log( x)
1
h( x )
x
g(x)
1
2
3
4
5
6
x
35. Método da Bisseção
ç
Exemplo: f ( x) x log( x) 1 0
(2.5, 3)
f (2) 0.3979 0
23
a x 2,5
2.5 f (3) 0.4314 0
x0
1
0
2
b b 3
f (2.5) 5.15 10 3 0
1 0
(2.5, 2.75)
f (2.5) 0
2,5 3
a a 2,5
x1
2.75 f (3) 0
2
1
2
b x 2,75
f (2,75) 0,2082 0
1
2
36. Método da Bisseção - Algoritmo
ç
g
k = 0;
a0 = a; b0 = b;
xk = (ak + bk)/2;
while bk ak and f ( xk )
hile
if f(ak)f(xk) < 0 then
/*raiz em [ak , xk] */
ak+1 = ak;
bk+1 = xk;
else /* raiz em [xk, bk] */
/
/
ak+1 = xk;
bk+1 = bk ;
k 1
end if
xk+1 = (ak+1 + bk+1)/2;
k = k +1;
end while
37. Método da Bisseção - Algoritmo
ç
g
Ao final da execução do algoritmo, teremos um intervalo
[a
[ k, bk] que contém a raiz e uma aproximação x para a
é
i
i
raiz exata (tal que bk ak ou f (x) )
A convergência do método é intuitiva
38. Método da Bisseção – Execução Algoritmo
ç
ç
g
3
Exemplo: f ( x) x 9 x 3 0
Utilizando o método de Equações Equivalentes para
Isolamento de Raí es
Raízes
1 (4, 3)
x3 9 x 3 0
2 (0, 1)
Equação Equivalente
3 (2, 3)
g ( x) x 3
h( x ) 9 x 3
39. Método da Bisseção – Execução Algoritmo
ç
ç
g
3
f ( x) x 3 9 x 3 0 I 0, 1 3 10
Exemplo:
Cálculo da 1ª aproximação
x0 = (a0+b0)/2 = (0+1)/2 = x0 = 0 5
0,5
f(x0) = 0,53 – 9x0,5 + 3 = -1,375
Teste de Parada
|b a|
|b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-1,375| = 1,375 > 10-3
| 1,375|
Escolha do Novo Intervalo
f(a0) = 03 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
f(b0) = 13 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
f(x0) = 0,53 – 9x0,5 + 3 = -1,375, logo f(x0) < 0
logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,5
40. Método da Bisseção – Execução Algoritmo
ç
ç
g
3
f ( x) x 3 9 x 3 0 I 0, 1 3 10
Exemplo:
Então x 0,337890625 em 9 iterações
f
. (x) foi atendida, enquanto bk ak , não foi
41. Método da Bisseção – Estimativa do
número de iterações
ú
d i
õ
Após n iterações, a raiz estará contida no intervalo:
bk 1 ak 1 b0 a0
bk ak
2
2k
Deve-se obter o valor de k, tal que bk ak , ou seja:
b0 a0
k
2
2
k
k
b0 a0
k log(2) log(b0 a0 ) log( )
log(b0 a0 ) log( )
log(2)
42. Método da Bisseção – Estimativa do
número de iterações
ú
d i
õ
Exemplo: Considerando um intervalo [2,3] e ε=10-2,
calcular o numero mínimo de iterações para que
tenhamos bk ak (Critério de Parada).
log(b0 a0 ) log( )
k
log(2)
log(3 2) log(10 2 )
k
log(2)
2
log(1) 2 log(10)
k
6,64
log(2)
g(
0,3010
k 7
43. Método da Bisseção
ç
Vantagens:
Facilidade de implementação;
Estabilidade e convergência para a solução procurada;
Desempenho reg lar e pre isí el
regular previsível.
Desvantagens
Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo
de f(x) em um elevado número de iterações);
b0 a0 3
k 24,8 k 25
7
10
Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se
encontra a raiz de interesse (nem sempre é possível);
Complexidade da extensão do método para
problemas multivariáveis.
44. Método da Bisseção – Exercício
ç
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da
Bisseção para a f
Bi
função f ( x) x 3 x 1 , tal que
l
2 10 3
y
b) Caso a condição de
erro não tenha sido
satisfeita, calcule quantas
iterações ainda seriam
necessárias.
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
x
45. Método da Bisseção – Exercício
ç
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da
3
Bisseção para a f
Bi
função f ( x) x x 1 , tal que
l
2 10 3
Iter.
a
b
f(a)
f(b)
x
f(x )
1
1,000000
2,000000
-1,000000
5,000000
1,500000
0,875000
2
1,000000
1,500000
-1,000000
0,875000
1,250000
-0,296875
3
1,250000
1,500000
-0,296875
0,875000
1,375000
0,224609
4
1,250000
1,375000
-0,296875
0,224609
1,312500
-0,051514
5
1,312500
1,375000
-0,051514
0,224609
1,343750
0,082611
Para a iteração 5 temos:
b a 1,375 1,3125 0,0625 2 10 3 e
f ( x) 0,082611 2 10 3
46. Método da Bisseção – Exercício
ç
b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita,
calcule quantas i
l l
iterações ainda seriam necessárias.
i d
i
ái
k
log(b0 a0 ) log( )
g(
g(
log(2)
log(2 1) log(2 10 3 )
k
log(2)
log(1) (log 2 3 log 10)
log(2)
log(1) (log 2 3 log 10) 0 (0,30103 3) 2,69897
k
8,9658
log(2)
0,30103
0,30103
k
k 9
47. Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Posição Falsa
Prof. Wellington Passos de Paula
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48. Método da Posição Falsa
ç
Método da Bisseção
Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que
contém a raiz ([a, b])
Método da Posição Falsa
Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que
contém a raiz ([a, b])
49. Método da Posição Falsa
ç
Dada a função f ( x) x 3 9 x 3 0 e, sendo o intervalo
inicial a, b 0, 1 , temos que f (1) 5 0 3 f (0)
.f (0) está mais próximo de zero que f (1)
Logo é provável que a raiz esteja mais próxima d x = 0
L
á l
i
t j
i
ó i
de
que de x = 1 ( isso é sempre verdade quando f(x) é linear
em a, b )
Assim,
Assim ao invés de tomar a média aritmética o método
aritmética,
da posição falsa toma a média ponderada, com pesos
de f (a) e f (b)
x
a f (b) b f (a )
f (b) f (a )
af (b) bf (a )
f (b) f (a )
50. Método da Posição Falsa - Graficamente
ç
Graficamente x é a interseção entre o eixo x e a reta
que passa pelos pontos ( f( )) e (b f(b)):
l
(a, f(a)) (b, f(b))
51. Método da Posição Falsa - Graficamente
ç
x1 = a1f(b1) – b1f(a1)
f(x)
x0 = a0f(b0) - b0f(a0)
f(x)
f(b1) - f(a1)
f(b0) - f(a0)
a = a1
x1
a = a0
x0
b = b0
x
b1 = x1
x
52. Método da Posição Falsa
ç
Definição do intervalo inicial
Atribui-se [a,b] como intervalo inicial
a0 = a
b0 = b
Condições de Aplicação
f(a) x f(b) < 0
Sinal da derivada constante
53. Método da Posição Falsa
ç
Definição dos Subintervalos
Subdivide-se o intervalo pelo ponto de interseção da reta
que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas
Verifica-se se, através do teste de parada, se x0 é uma
aproximação da raiz da equação () pelo tamanho do
intervalo [a, b] ou o valor f(x0)
Se verdadeiro x0 é a raiz procurada
Caso contrário define-se um novo intervalo
54. Método da Posição Falsa
ç
Definição do novo intervalo
Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] –
contém a raiz
Calcula-se o produto f(a) * f(x0)
Verifica-se f(a) * f(x0) < 0
Se verdadeiro
Caso contrario
Logo a = a e b = x0
(a, x0 )
( x0 , b)
Logo a = x0 e b = b
g
Repete se
Repete-se o processo até que o valor de x atenda
às condições de parada.
55. Método da Posição Falsa
ç
Exemplo: f ( x) x log( x) 1, I [2, 3]
f (a0 ) 0,3979 0
logo, existe ao menos 1 raiz no
f (b0 ) 0,4314 0 intervalo dado
af (b) bf (a) 2 0,4314 3 (0,3979) 2,0565
x0
2,4798
f (b) f (a)
0,4314 (0,3979)
0,8293
f ( x0 ) 0,0219 0 . Como f (a0 ) e f ( x0 ) têm o mesmo sinal,
a1 x0 2,4798 f (a1 ) 0
f (b1 ) 0
b1 b0 3
56. Método da Posição Falsa
ç
Exemplo: f ( x) x log( x) 1, I [2, 3]
a1 x0 2,4798
b1 3
f (a1 ) 0
f (b1 ) 0
af (b) bf (a) 2,4798 0,4314 3 (0,0219) 1,1354
x1
f (b) f (a)
0,4314 (0,0219)
0,4533
x1 2,5049
Como f ( x1 ) 0,0011 0 , temos:
a2 x1 2,5049
b2 b1 3
f (a1 ) 0
f (b1 ) 0
57. Método da Posição Falsa - Algoritmo
ç
g
k = 0;
a0 = a; b0 = b
b;
FA0 = f(a0); GB0 = f(b0);
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk);
while bk ak and f ( xk )
if f(ak)f(xk) ≤ 0 then
/
/* raiz em [ak , xk] */
/
ak+1 = ak;
bk+1 = xk;
else
/* raiz em [xk, bk] */
ak+1 = xk;
bk+1 = bk ;
end if
xk+1 = (ak+1GBk+1 - bk+1FAk+1) / (GBk+1 - FAk+1);
k = k +1;
end while
hile
58. Método da Posição Falsa – Exec. Algoritmo
ç
g
3
f ( x) x 3 9 x 3 0 I 0, 1 2 10
Exemplo:
Cálculo da
Cál l d 1ª aproximação
i
af (b) bf (a )
x0
f (b) f (a )
0 (5) 1 (3)
3
0,375
5 (3)
8
f ( x0 ) (0,375) 3 9 (0,375) 3 -0,322265625
Teste de Parada
|b a|
|b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-0,322265625| > 10-3
| 0,322265625|
Escolha do Novo Intervalo
f(a0) = 03 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0
f(b0) = 13 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0
f(x0) = 0,3753 – 9x0,375 + 3 = -0,32..., logo f(x0) < 0
logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,375
59. Método da Posição Falsa – Exec. Algoritmo
ç
g
3
f ( x) x 3 9 x 3 0 I 0, 1 3 10
Exemplo:
Então x 0,337635046 em 3 iterações
.f (x) foi atendida, enquanto bk ak , não foi
No Método da Bisseção, o valor x 0,337890625 foi
encontrado depois de 9 iterações
60. Método da Posição Falsa
ç
Vantagens:
Estabilidade e convergência para a solução procurada;
Desempenho regular e previsível;
Cálculos
Cálc los mais simples q e o método de Ne ton
que
Newton.
Desvantagens:
Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo
de f(x) em um elevado número de iterações);
Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é
possível).
61. Zeros Reais de Funções
Reais – Método do Ponto Fixo
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
62. Método do Ponto Fixo
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde
existe uma raiz ú i
i
i única, f( ) = 0, é possível transformar tal
f(x) 0
í l
f
l
equação em uma equação equivalente x = φ(x) e, a
partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma
sequência {xk} de aproximações para pela relação xk+1
= φ(xk) uma vez que φ(x) é tal que f() = 0 se e
),
somente se φ() = .
Transformamos o problema de encontrar zero de f(x) no
problema de encontrar um ponto fixo de φ(x)
Af
função φ(x) é chamada d f
ã
( )
h
d de função d it
ã de iteração
ã
63. Método do Ponto Fixo
2
Exemplo: Dada a função f ( x) x x 6 0
São funções de iteração possíveis:
1 ( x) 6 x 2
2 ( x) 6 x
6
3 ( x) 1
x
6
4 ( x)
x 1
A forma geral das funções de iteração φ(x) é dada por
( x) x A( x) f ( x) com a condição de que
A() 0 em , ponto fixo de φ(x)
64. Método do Ponto Fixo
A partir da definição da forma de φ(x), ( x) x A( x) f ( x) ,
podemos então mostrar que f ( ) 0 ( )
d
seja tal que f ( ) 0
( ) A( ) f ( ) ( ) ( porque f ( ) 0)
se ( )
A( ) f ( ) A( ) f ( ) 0
f ( ) 0 ( porque A( ) 0)
Existem
E istem infinitas eq ações de iteração φ( ) para a
equações
φ(x)
equação f(x) = 0
65. Método do Ponto Fixo - Graficamente
Uma raiz da equação φ(x)=x é a abscissa do ponto de
interseção d reta y=x com a curva y=φ(x)
i
da
( )
66. Método do Ponto Fixo - Graficamente
Todavia, para algumas escolhas de φ(x) o Método do
Ponto Fi pode di
P
Fixo d divergir d valor procurado
i do l
d
67. Método do Ponto Fixo
Exemplo: Dada a equação f ( x) x x 6 0 :
As raízes são 1 = -3 e 2 = 2 (Não há necessidade de uso
2
de métodos numéricos para o calculo)
Objetivo: Mostrar a convergência ou divergência do processo
iterativo
Seja a raiz 2 = 2 e φ1 (x) = 6 - x2,Tomando x0= 1,5 e φ (x)
= φ1 (x)
Seja a raiz 2 = 2 e 2 ( x) 6 x ,Tomando x0= 1,5 e φ (x)
= φ2 (x)
68. Método do Ponto Fixo
2
Exemplo: Dada a equação f ( x) x x 6 0 , com raiz
2 = 2 , φ1 ( ) = 6 - x2 e x0 = 1
(x)
1,5
x1 = φ(x0) = 6 – 1,52 = 3,75
x2 = φ(x1) = 6 – 3,752 = -8,0625
x3 = φ(x2) = 6 – (-8,0625)2 = -59,003906
x4 = φ(x3) = 6 – (-59,003906)2 = -3475,4609
Conclui-se que {xk} não convergirá p
q {
g para 2 = 2
69. Método do Ponto Fixo
2
Exemplo: Dada a equação f ( x) x x 6 0 , com raiz
2 = 2 , φ1 ( ) = 6 - x2 e x0 = 1
(x)
1,5
y
Análise Gráfica:
y=x
x2
x1
1
x0
x
2
{xk}
φ(x)
70. Método do Ponto Fixo
2
Exemplo: Dada a equação f ( x) x x 6 0 , com raiz
2 = 2 , 2 ( x) 6 x e x0 = 1
1,5
x1 = φ(x0) = 6 1,5 2,121320343
x2 = φ(x1) = 6 2,121320343 1,969436380
x3 = φ(x2) = 6 1,969436380 2,007626364
x = φ(x ) = 6 2,007626364 1,998092499
4
3
x5 = φ(x4) = 6 1,998092499 2,000476818
Conclui-se que {xk} tende a convergir para 2 = 2
71. Método do Ponto Fixo
2
Exemplo: Dada a equação f ( x) x x 6 0 , com raiz
2 = 2 , 2 ( x) 6 x e x0 = 1
1,5
y
Análise Gráfica:
y=x
φ(x)
{xk} 2 quando k inf
2
x0
x2
x
x1
72. Método do Ponto Fixo
Teorema 2:
Sendo uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I
centrado em e φ(x) uma função de iteração para
f(x) = 0. Se
1. φ(x) e φ’(x) são contínuas em I
2. |φ’(x)| < 1, x I e
3. x0 I
então a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1
= φ(xk) convergirá p
φ(
g para . Além disso quanto menor for
q
o valor de |φ’(x)|, mais rápido o Método do Ponto Fixo
convergirá.
73. Método do Ponto Fixo
Resgatando os exemplos anteriores, para a função
f ( x) x 2 x 6 0 temos que:
φ1( ) ( 1 ( x) 6 x ) geração de uma sequencia
(x)
ma seq encia
divergente de 2 = 2
2
φ2(x) ( 2 ( x) 6 x ) geração de uma sequencia
convergente para 2 = 2
74. Método do Ponto Fixo
Avaliando a divergência de φ1(x)
φ1(x) = 6 - x2 e φ’1(x) = - 2x contínuas em I
|φ’1 (x)| < 1 |-2x| < 1 -½ < x < ½
Não existe um intervalo I centrado em 2=2, tal que
|φ (x)|
|φ’(x)| < 1, x I φ1 (x) não satisfaz a
condição 2 do Teorema 2 com relação a 2=2.
75. Método do Ponto Fixo
Avaliando a convergência de φ2(x)
e 2 ' ( x) (1 / 2 6 x )
φ2 ( ) é contínua em S = {x R | x 6}
(x)
tí
{
2 ( x) 6 x
φ
φ’2 (x) é contínua em S’ = {x R | x < 6}
S
. ' ( x) 1 1 / 2 6 x 1 x 5,75
2
É possível obter um intervalo I centrado em 2=2, tal que
todas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas.
76. Método do Ponto Fixo - Algoritmo
g
Critérios de Parada
|f(xk)|
|xk – xk-1|
k = 0;
x0 = x;
while xk xk 1 and
k = k +1;
xk+1 = φ(xk);
end while
f ( xk )
77. Método do Ponto Fixo – Verificando a
Convergência
C
ê i
Exemplo: Dada a função f ( x) x 2 x 6 0 , cujas raízes
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência d f
3
li
ê i da função
equivalente 3 ( x) 6 1 , dados 1 = -3 e x0= -2,5
x
6
( x) 1, x , x 0
x
6
' ( x) 2 0, x , x 0
x
6
6
' ( x) 2 2 , x , x 0
x
x
6
' ( x) 1 2 1 x 2 6 x 6
x
ou
x 6
78. Método do Ponto Fixo – Verificando a
Convergência
C
ê i
Exemplo: Dada a função f ( x) x 2 x 6 0 , cujas raízes
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência d f
3
li
ê i da função
equivalente 3 ( x) 6 1 , dados 1 = -3 e x0= -2,5
x
Como o objetivo é obter a raiz negativa, temos:
I1 tal que ' ( x) 1, x I1 , será : I1 (; 6 )
( 6 2,4497897)
Podemos então definir o intervalo I (3.5, 2.5) que o
processo convergirá visto que o intervalo I I1 está
centrado na raiz = -3
79. Método do Ponto Fixo – Verificando a
Convergência
C
ê i
Exemplo: Dada a função f ( x) x 2 x 6 0 , cujas raízes
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência d f
3
li
ê i da função
equivalente 3 ( x) 6 1 , dados 1 = -3 e x0= -2,5
x
Tomando x0= -2,5, temos:
x1 2,5
x2 2,764706
x3 3,170213
x4 2,892617
Quando não se conhece a raiz, escolhe-se o intervalo I
escolhe se
aproximadamente centrado em
Quanto mais preciso isolamento de , maior exatidão na
Q
p
escolha de I
80. Método do Ponto Fixo
x3 1
Exemplo: Dados: f ( x ) x 9 x 3 0; ( x )
;
9 3
2
x0 0,5; 5 10 ; (0, 1) , calcule a raiz de f(x)
3
utilizando o MPF:
Assim, x 0,3376233 e f ( x) 0,12 10 3 , com o mesmo
,
número de iterações que o Método da Posição Falsa.
Importante lembrar: Iteramos de modo que xk 1 ( xk ) ,
todavia avaliamos, a cada iteração, se f ( xk )
Desafio: Provar que (x) satisfaz a condição 2 do
Teorema 2 no intervalo (0, 1)
81. Método do Ponto Fixo
Vantagens
Rapidez processo de convergência;
Desempenho regular e previsível.
Desvantagens
g
Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma
função de iteração φ(x);
( )
Difícil sua implementação.
82. Método do Ponto Fixo – Exercício
3
1) Tente encontrar a raiz da função f ( x) x x 1
1 1
utilizando a função de iteração ( x) 2 e x0 1 , sendo
x x
2 10 3 .Justifique sua resposta.
y
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
x
83. Método do Ponto Fixo – Exercício
3
1) Tente encontrar a raiz da função f ( x) x x 1
1 1
utilizando a função de iteração ( x) 2 e x0 1 , sendo
x x
2 10 3
1 1
x1 = φ(x0) = 2 2
1 1
1 1
x2 = φ(x1) = 2 0,75
2 2
1
1
3,1111...
x3 = φ(x2) =
(
2
0,75 0,75
1
1
0,4247...
x4 = φ(x3) =
2
3,1111 3,1111
1
1
7,8973...
x5 = φ(x4) =
2
0,4247 0,4247
84. Método do Ponto Fixo – Exercício
3
1) Tente encontrar a raiz da função f ( x) x x 1
1 1
utilizando a função de iteração ( x) 2 e x0 1 , sendo
x x
2 10 3
1
1
0,1427...
x6 = φ(x5) =
2
7,8973 7,8973
1
1
56,1461...
x7 = φ(x6) =
(
2
0,1427 0,1427
Conclui-se que {xk} tende a divergir da raiz da equação f(x).
85. Método do Ponto Fixo – Exercício
3
1) Tente encontrar a raiz da função f ( x) x x 1
1 1
utilizando a função de iteração ( x) 2 e x0 1 , sendo
x x
2 10 3
Justificando a resposta:
1 2
x , x 0 ' ( x) 2 3 x , x 0
x
x
1 2
x 2
x2
' ( x) 1 2 3 1 3 3 1
1
3
x
x
x
x
x
1 1
( x) 2
x x
Como a condição ' ( x) 1 x I deve ser satisfeita, onde I
é o intervalo centrado em , é fácil perceber que isso
não acontece, uma vez que x0 I e ' ( x0 ) ' (1) 3 0
86. Zeros Reais de Funções
Reais – Método de Newton-Raphson
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
87. Método de Newton-Raphson
p
Método do Ponto Fixo (MPF)
Uma das condições de convergência é que |φ’(x)| < 1,
x I , onde I é um intervalo centrado na raiz
A convergência será tanto mais rápida quanto menor for
|φ’(x)|
O método de Newton busca garantir e acelerar a
convergência do MPF
Escolha de φ(x), tal que φ’() = 0, como função de
iteração
88. Método de Newton-Raphson
p
Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para
φ(x)
( )
φ(x) = x + A(x)f(x)
Busca-se obter a função A(x) tal que φ’() = 0
φ( )
φ(x) = x + A(x)f(x)
( )( )
φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x)
φ(
φ’() = 1 + A’()f() + A()f’()
( )(
( ) (
φ’() = 1 + A()f’()
89. Método de Newton-Raphson
p
Assim
1
' ( ) 0 1 A( ) f ' ( ) 0 A( )
f ' ( )
1
donde se toma A( x )
f ' ( x)
Como φ(x) = x + A(x)f(x)
Logo:
1
( x) x
f ' ( x) f ( x)
f ( x)
( x) x
f ' ( x)
90. Método de Newton-Raphson
p
Então, dada f(x), a função de iteração φ(x) = x - f(x)/f’(x)
será tal que φ’() = 0, posto que
á l
’(
0
[ f ' ( x)]2 f ( x) f ' ' ( x)
' ( x) 1
2
[ f ' ( x)]
[ f ' ( x)]2 [ f ' ( x)]2 f ( x) f ' ' ( x)
' ( x)
2
[ f ' ( x)]
[ f ' ( x)]2
f ( x) f ' ' ( x)
' ( x)
[ f ' ( x)]2
e,
e como f() = 0 φ’() = 0 ( desde q e f’() 0 )
0,
que
91. Método de Newton-Raphson
p
Deste modo, escolhido x0, a sequência {xk} será
determinada por
d
i d
f ( xk )
xk 1 xk
f ' ( xk )
onde k = 0, 1, 2, ...
92. Método de Newton-Raphson –
Graficamente
G fi
Dado o ponto ( xk , f(xk) )
p
(
Traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto:
Lk(x) = f(xk) + f’(xk)(x-xk)
Determinanos o zero de Lk(x), que é um modelo linear
que aproxima f(x) em uma vizinhança xk
f (xk )
(x
Lk ( x) 0 x xk
f ' ( xk )
Faz-se xk +1 = x
93. Método de Newton-Raphson –
Graficamente
G fi
Análise Gráfica
f(x)
1a iteração
2a iteração
3a iteração
x0
x3
x2
x1
Repete-se o processo até que o valor de x
atenda às condições de parada.
x
94. Método de Newton-Raphson - Convergência
p
g
Teorema 3:
Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que
contém uma raiz x = de f(x) = 0 e supondo f’() 0,
existirá um intervalo Ī I contendo a raiz , tal que se
x0 Ī a sequencia { k} gerada pela fó
Ī,
i {x
d
l fórmula recursiva
l
i
f ( xk )
xk 1 xk
f ' ( xk )
convergirá para a raiz.
96. Método de Newton-Raphson
p
Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 2 = 2 e x0 = 1,5
Comentários:
A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 2,000000116)
caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais for
satisfatória para o contexto do trabalho
Observe que, no Método do Ponto Fixo, com
( x) 6 x o valor x = 2,000476818 foi encontrado
somente na 5a iteração
97. Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g
Teste de parada:
|f(xk)| ε
|xk – xk-1| ε
Algoritmo:
g
x0 := x;
;
k := 0;
while |f(xk)| > ε and |xk – xk-1| > ε
|(
|
xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk)
k := k +1;
;
end while
98. Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g
Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i
0,002 j
intervalos:
l
1 I1 = (-1, 0), 2 I2 = (1, 2)
Seja:
x0 = 1
f ( xk )
xk 1 xk
f ' ( xk )
x3 x 1
( x) x
3x 2 1
99. Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g
Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i
0,002 j
intervalos:
l
1 I1 = (-1, 0), 2 I2 = (1, 2)
Cálculo da 1ª aproximação
1
φ(x0) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,5 = x1
[ 3x(1)² – 1 ]
3 (1)²
Teste de Parada
|f(x1)| = | (1,5)³ – 1,5 – 1 | = 0,875 >
|x1-x0| =| 1,5 - 1 | = 0,5 >
100. Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g
Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i
0,002 j
intervalos:
l
1 I1 = (-1, 0), 2 I2 = (1, 2)
Cálculo da 2ª aproximação
p
ç
φ(x1) = 1,5 – [ (1,5)³ – 1,5 – 1 ] = 1,3478261 = x2
[ 3x(1,5)² – 1 ]
3x(1 5)²
Teste de Parada
|f(x2)| = | 0,100682 | = 0,100682 >
|
|x2-x1| =| 1,3478261 - 1,5 | = 0,1521739 >
| ,
,
,
101. Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g
Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i
0,002 j
intervalos:
l
1 I1 = (-1, 0), 2 I2 = (1, 2)
Cálculo da 3ª aproximação
p
ç
φ(x2) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ]
[ 3x(1,3478261)² - 1 ]
3 (1 3478261)²
φ(x2) = 1,3252004 = x3
Teste de Parada
|(
|f(x3)| =| 0,0020584 | = 0,0020584 >
|
|x3-x2| =| 1,3252004 – 1,3478261 | = 0,0226257 >
102. Método de Newton-Raphson - Algoritmo
p
g
Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e
ε = 0 002 cujos zeros encontram-se nos i
0,002 j
intervalos:
l
1 I1 = (-1, 0), 2 I2 = (1, 2)
A sequência {xk} gerada pelo método de Newton
será:
Iteração
x
|xk-xk-1|
1
1,5
0,5
2
1,3478261
0,1521739
0,1006822
3
1,3252004
1 3252004
0,0226257
0 0226257
0,0020584
0 0020584
4
1,3247182
0,0004822
= 0,002
F(x)
0,875
1,0352x10-6
103. Método de Newton-Raphson
p
Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que
possui três zeros: 1 I1 = (-4, -3), 2 I2 = (0, 1) e
3 I3 = (2 3) Seja x0 = 1,5:
(2, 3).
104. Método de Newton-Raphson
p
Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0
Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que
possui três zeros: 1 I1 = (-4, -3), 2 I2 = (0, 1) e
3 I3 = (2 3) Seja x0 = 1,5:
(2, 3).
No início há um divergência da região onde estão as
raízes, mas depois de x7 os valores se aproximam cada
vez mais d 3
i de
Causa:
x0 (1,5) é próximo de
Da mesma forma, x1 (-1,6666667) está próximo
de
3
3 , outra raiz de f’(x)
, que é raiz de f´(x)
105. Método de Newton-Raphson
p
Vantagens:
Rapidez processo de convergência
Desempenho elevado
Desvantagens:
Necessidade d obtenção d f’( ) , o que pode ser
N
id d da bt
ã de f’(x)
d
impossível em determinados casos
O cálculo do valor numérico de f’(x) a cada iteração
f (x)
106. Zeros Reais de Funções
Reais – Método da Secante
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
107. Método da Secante
Método de Newton-Raphson
Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de
f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração
Forma de desvio do inconveniente
Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das
diferenças
f ( xk ) f ( xk 1 )
f ' ( xk )
xk xk 1
108. Método da Secante
A função de iteração será:
f ( xk )
( x ) xk
f ( xk ) f ( xk 1 )
xk xk 1
f ( xk )
xk xk 1
( x ) xk
f ( xk ) f ( xk 1 )
xk f ( xk ) xk f ( xk 1 ) xk f ( xk ) xk 1 f ( xk )
( x)
f ( xk ) f ( xk 1 )
f ( xk ) f ( xk 1 )
xk 1 f ( xk ) xk f ( xk 1 )
( x)
f ( xk ) f ( xk 1 )
109. Método da Secante - Geometricamente
A partir de duas aproximações xk-1 e xk obtém-se o
ponto xk+1 como sendo a abscissa d ponto d
d
b i
do
de
intersecção do eixo x e da reta que passa pelos pontos
( xk-1 , f(xk-1) ) e ( xk , f(xk) ) (secante à curva da função)
f(x)
1a
2a
3a
4a
x0
x1
x3 x4
x5
x2
iteração
iteração
iteração
iteração
x
Repete-se
Repete se o processo até
que o valor de x atenda às
condições de parada.
110. Método da Secante - Convergência
g
Como o Método da Secante é uma aproximação do
método d N
é d de Newton, as condições d convergência são
di
de
ê i
praticamente as mesmas, ou seja basta que o
Teorema 3 seja satisfeito
Todavia, o Método da Secante pode divergir para o
seguinte caso f ( xk ) f ( xk 1 )
xk 1 f ( xk ) xk f ( xk 1 )
( x)
f ( xk ) f ( xk 1 )
111. Método da Secante
Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0,
x0 = 1 e x1 = 1
1,5
1,7:
Solução:
x0 f ( x1 ) x1 f ( x0 ) 1,5 (1,41) 1,7 2,25
x2
1,41 2,25
f ( x1 ) f ( x0 )
x2 2 03571
2,03571
x1 f ( x2 ) x2 f ( x1 )
1 99774
1,99774
x3
f ( x2 ) f ( x1 )
x2 f ( x3 ) x3 f ( x2 )
x4
1,99999
f ( x3 ) f ( x2 )
112. Método da Secante
Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0,
x0 = 1 e x1 = 1
1,5
1,7:
Comentários:
A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 1,99999 ),
caso a precisão do cálculo com 5 casas decimais for
satisfatória para o contexto do trabalho
No método de Newton-Raphson o valor
x = 2,000000116, foi encontrado também na 3a
iteração
113. Método da Secante - Algoritmo
g
Testes de Parada
|f(xk)| ε
|xk – xk-1| ε
Algoritmo
g
x0 := x;
x1 := x1;
k := 1;
while |f(xk)| > ε and |xk – xk-1| > ε
|(
|
xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1)) / (f(xk) - f(xk-1));
k := k +1;
;
end while
114. Método da Secante – Execução Algoritmo
ç
g
Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,
= 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
xk 1 f ( xk ) xk f ( xk 1 )
( x)
f ( xk ) f ( xk 1 )
115. Método da Secante – Execução Algoritmo
ç
g
Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,
= 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
Cálculo da 1ª aproximação x0 = 1,5 e x1 = 1,7
f(x0) = 0,875 > 0
f(x1) = 2,213 > 0
x2 = [1,5 x (2,213) – 1,7 x (0,875)] = 1,36921
[ ,
( ,
)
,
( ,
)]
,
[2,213 – (0,875)]
Teste de Parada
|f(x2)| = | (1,36921)³ – 1,36921 – 1 | = 0,19769 >
|x2 - x1| =|1,36921 – 1 7| = 0 33079 >
=|1 36921 1,7| 0,33079
Novo Intervalo: x1 = 1,7 e x2 = 1,36921
116. Método da Secante – Execução Algoritmo
ç
g
Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,
= 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
Cálculo da 2ª aproximação x1 = 1,7 e x2 = 1,36921
f(x1) = 2,213 > 0
f(x2) = 0,19769 > 0
x3 = [1,7 x (0,19769) - 1,36921x (2,213)] = 1,33676
[0,19769 - 2,213]
Teste de Parada
|f(x3)| = |0,05193| = 0,05193 >
|
|x3 - x2| =|1,33676 – 1,36921| = 0,03245 >
| ,
,
|
,
Novo Intervalo: x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676
117. Método da Secante – Execução Algoritmo
ç
g
Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,
= 0,003, x0 = 1,5 e x1 = 1,7:
Cálculo da 3ª aproximação x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676
f(x2) = 0,19769 > 0
f(x3) = 0,05193 > 0
x4 = [1,36921 x (0,05193) - 1,33676 x (0,19769)] =
[(0,05193) - 0,19769]
x4 = 1,3252
Teste de Parada
|f(x4)| = |0,00206| = 0,00206 < cond. atendida
|x4 – x3| =|1,3252 – 1,33676| = 0,01156 >
118. Método da Secante
Vantagens
Cálculos mais convenientes que do método de Newton
Rapidez processo de convergência
Desempenho elevado
Desvantagens
Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o método logo será
( )
g
substituído pelo de Newton-Raphson
Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou
tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos,
logo não se deve usar o Método da Secante
119. Zeros Reais de Funções
Reais – Comparação entre os
métodos
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
120. Comparação entre os métodos
p
ç
Critérios de Comparação
Garantias de Convergência
Rapidez de Convergência
Esforço Computacional
Critério de Parada
121. Comparação entre os métodos
p
ç
Garantias de Convergência
Bisseção e Posição Falsa
Convergência garantida, desde que a função seja contínua
num intervalo [a,b] , tal que f(a)f(b) < 0
Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante
Condições mais restritivas de convergência
Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois
últimos métodos são mais rápidos do que os demais
estudados
122. Comparação entre os métodos
p
ç
Rapidez de Convergência
Número de Iterações Medida usualmente adotada
para a determinação da rapidez de convergência de um
método
Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de
execução do programa
Tempo gasto na execução de uma iteração Variável
de método para método
123. Comparação entre os métodos
p
ç
Esforço Computacional
Indicadores
Número de operações efetuadas a cada iteração
Complexidade das operações
Número de decisões lógicas
Número de avaliações de função a cada iteração
124. Comparação entre os métodos
p
ç
Esforço Computacional
Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de
um método.
Bisseção Cálculos mais simples por iteração
Newton Cálculos mais elaborados
Número de iterações da Bisseção é, na grande maioria
das vezes, muito maior do que o número de iterações
efetuadas por Newton
125. Comparação entre os métodos
p
ç
Critério de Parada
Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a
raiz Bisseção (não usar o Método da Posição Falsa)
Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz
Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com
aproximações xk para a raiz exata)
126. Comparação entre os métodos
p
ç
Conclusão:
Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal
Convergência assegurada
Ordem de convergência alta
Cálculos por iteração simples
Atender aos objetivos quanto ao critério de parada
Não existe método perfeito para todos os casos
A escolha está diretamente relacionada com a equação
cuja solução é desejada
Critérios vistos anteriormente
Comportamento da função na região da raiz exata, etc
127. Comparação entre os métodos
p
ç
Conclusão:
Exemplo:
Caso seja fácil a verificação das condições de
convergência e o cálculo de f’(x) Newton-Raphson
Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f’(x), uma vez que
não é necessária a obtenção de f’(x) Secante
Todavia, mesmo os métodos acima possuem restrições:
Tendência da curva ao paralelismo a qualquer um dos eixos
dificulta o uso do Método de Newton ( f’(x) 0 )
Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas em
um ou mais pontos difi lt o uso d Mét d d S
i
t
dificulta
do Método da Secante
t
( f (xk-1) ≈ f (xk) )
128. Comparação entre os métodos
p
ç
Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
y
4
3
2
1
-4
4
-3
3
-2
2
-1
1
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
[1, 2 ], = 10 -6
129. Comparação entre os métodos
p
ç
Exemplo: f(x) = x3 – x – 1
Observações:
Melhor desempenho: Método do Ponto Fixo
Métodos de Newton e Secante: muitas iterações pois
houve divergência no inicio da execução
( denominador 0 )
130. Comparação entre os métodos
p
ç
Exemplo: f(x) = 4 sen(x) – e2 [0, 1 ], = 10 -5
Observações:
Melhor desempenho: Método de Newton, devido à boa
escolha de x0
131. Exercícios
f ( x) x 2 x 6, encontre
1) A partir do gráfico da função
a raiz [1, 3] , d d a tolerância 10 4 .
i
dada
l â i
Utilize x0 1,5 e x1 1,7.
y
4
Resposta: 3 iterações
para cada método.
3
f(x)
2
1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
4
-5
-6
1
2
3
4
5
x