Aula 07 diagramas de bode e nyquist

Engenharia de ControleEngenharia de Controle
Diagramas de BodeDiagramas de Bode

IntroduçãoIntrodução
•• Diagramas de Bode:Diagramas de Bode: Representações da respostaRepresentações da resposta
em freqüênciaem freqüência
•• Magnitude e fase em função da freqüênciaMagnitude e fase em função da freqüência
•• Escalas logarítmicas aplicadas aos eixos deEscalas logarítmicas aplicadas aos eixos de
freqüência e magnitudefreqüência e magnitude
•• Exemplo de construção:Exemplo de construção: Sistema de 2Sistema de 2aa
ordemordem
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )21
3
21
3
11
1
11
1
ωω
ω
ττ
τ
ss
sK
ss
sK
sG
+⋅+
+⋅
=
+⋅+
+⋅
=
1
i
i
:ω
τ
= freqüências de quebrafreqüências de quebra

( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )21
3
21
3
11
1
11
1
ωω
ω
ττ
τ
ss
sK
ss
sK
sG
+⋅+
+⋅
=
+⋅+
+⋅
=
( )
11
1
21
3
ωωωω
ωω
ω
jj
jK
jG
+⋅+
+⋅
=
Utilizando:Utilizando: dlogclogblogalogcdlogablog
cd
ab
log −−+=−=





Definindo:Definindo: Decibel (dB) comoDecibel (dB) como alogdB 20= ganhoganho
( )
3
1 2
20 20 20 1
20 1 20 1
dB
j
G log G j log K log
j j
log log
ω
ω
ω
ω ω
ω ω
= = + + +
− + − +

•• Termo geral dependente da freqüência:Termo geral dependente da freqüência:
2
120120 





+=+=
ii
i log
j
logdB
ω
ω
ω
ω
AproximaçõesAproximações
assintóticasassintóticas
•• A magnitude na freqüência de quebra é deA magnitude na freqüência de quebra é de ≅≅ 3dB3dB
•• A magnitude na freqüência 10A magnitude na freqüência 10ωωii é deé de ≅≅ 20dB20dB

•• ωω <<<<
ωωii ::
0120 =≅ logdBi
•• ωω >>>>
ωωii ::
i
i
i logloglogdB ωω
ω
ω
202020 −=





≅
Intercepto na freqüência de quebraIntercepto na freqüência de quebra
Erro máximo deErro máximo de
3dB em3dB em ωωii
2
120120 





+=+=
ii
i log
j
logdB
ω
ω
ω
ωAproximaçõesAproximações
assintóticasassintóticas

Observação:Observação: Caso o termo geral pertença aoCaso o termo geral pertença ao
denominador, sua contribuição para a magnitudedenominador, sua contribuição para a magnitude
dada
resposta será negativaresposta será negativa
⇒⇒ Fatores das funções de transferência:Fatores das funções de transferência:
•• Ganho constanteGanho constante
•• Pólos e zeros reais que ocorrem na origemPólos e zeros reais que ocorrem na origem
•• Pólos e zeros reais que não ocorrem na origemPólos e zeros reais que não ocorrem na origem
•• Pólos e zeros complexosPólos e zeros complexos
•• Atraso de transporte idealAtraso de transporte ideal Não abordado no cursoNão abordado no curso

Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüência
i)i) Ganho constante:Ganho constante: 20 KlogdB =
ii)ii) Pólos e zeros que ocorrem na origem:Pólos e zeros que ocorrem na origem:
ωω logjlogdB 2020 ==
A representação gráfica é uma linha reta comA representação gráfica é uma linha reta com
inclinação de 20dB por década de freqüênciainclinação de 20dB por década de freqüência

Para um zero de ordemPara um zero de ordem NN na origem, a representaçãona origem, a representação
gráfica é uma reta com inclinação de 20gráfica é uma reta com inclinação de 20NN dB por décadadB por década
de freqüência. Para o caso de um pólo de ordemde freqüência. Para o caso de um pólo de ordem NN nana
origem, a curva é simétrica à anterior.origem, a curva é simétrica à anterior.
Representação exata da resposta em freqüênciaRepresentação exata da resposta em freqüência
Zero na origemZero na origem
Pólo na origemPólo na origem

iii)iii) Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:



>−
≤
=
=





+=+
ii
i
ii
loglog
log
j
log
ωωωω
ωω
ω
ω
ω
ω
,2020
,0
120120
2
Zero realZero real
Pólo realPólo real
•• Termo de primeira ordem comTermo de primeira ordem com
multiplicidademultiplicidade NN
ZeroZero

Exemplo:Exemplo: ( ) ( )
110
1
10
110
+
+
=
+
+⋅
=
s
s
s
s
sG

( )
( )
( )22
101
12
10
1200
s
s
s
s
sG
+
+⋅
=
+
+⋅
=

Diagramas de FaseDiagramas de Fase
•• Zero na origem: 90Zero na origem: 90°° 
90∠===
ωωω
js js
•• Pólo na origem: -Pólo na origem: -
9090°°

90
111
−∠==
= ωωω js js
Zero real que não ocorre na origem:Zero real que não ocorre na origem:
( ) ( ) 





=∠





+=+=





+
= iiijsi
arctg
js
ω
ω
ωθωθ
ω
ω
ω
ω
ω ω
,111
2
Termo de ganho constante:Termo de ganho constante:
Ganhos positivos: 0Ganhos positivos: 0°°
Ganhos negativos: 180Ganhos negativos: 180°°

( ) ( ) 





=∠





+=+=





+
= iiijsi
arctg
js
ω
ω
ωθωθ
ω
ω
ω
ω
ω ω
,111
2
Freqüência de quebraFreqüência de quebra
As características de fase de um pólo real que não ocorreAs características de fase de um pólo real que não ocorre
na origem são simétricas àquelas apresentadas na figurana origem são simétricas àquelas apresentadas na figura

Exemplo:Exemplo: ( )
110
1
+
+
=
s
s
sG

Diagramas de Bode – MagnitudeDiagramas de Bode – Magnitude
( )101
1
s
s
sG
+
−
=

Diagramas de Bode – FaseDiagramas de Bode – Fase
( )101
1
s
s
sG
+
−
=

Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode
A margem de ganho ocorreA margem de ganho ocorre
na freqüênciana freqüência ωω11 na qual ona qual o
ângulo de fase é -180ângulo de fase é -180°°. É. É
calculada como o recíprococalculada como o recíproco
da magnitudeda magnitude αα de G(de G(jjωω11))
Expressando a margem deExpressando a margem de
ganho em dB:ganho em dB:
dB log logα α
α
 
= = − ÷
 
1

•• A margem de fase ocorreA margem de fase ocorre
na freqüênciana freqüência ωω22 na qual ana qual a
magnitude do ganho de MAmagnitude do ganho de MA
é unitário (0 dB)é unitário (0 dB)
•• É definida como aÉ definida como a
diferença entre o ângulo dediferença entre o ângulo de
fase de G(fase de G(jjωω22) e -180) e -180°°

•• A aproximação assintótica utilizada na construção dosA aproximação assintótica utilizada na construção dos
diagramas de Bode é, geralmente, inadequada quandodiagramas de Bode é, geralmente, inadequada quando
aplicada à determinação das margens de estabilidadeaplicada à determinação das margens de estabilidade
O diagrama de Bode deve ser construído comO diagrama de Bode deve ser construído com
auxílio de uma ferramenta computacionalauxílio de uma ferramenta computacional
Regra Prática:Regra Prática:
Margem de ganho de 8 dBMargem de ganho de 8 dB
Margem de fase de 50Margem de fase de 50°°
Os erros cometidosOs erros cometidos
nas aproximaçõesnas aproximações
assintóticas podemassintóticas podem
exceder estes valoresexceder estes valores

Termos Adicionais da Resposta em Freqüência:Termos Adicionais da Resposta em Freqüência:
•• Pólos e zeros complexos da formaPólos e zeros complexos da forma
10,2 22
<≤++ ζωζω nnss
A magnitude e a fase da resposta emA magnitude e a fase da resposta em
freqüência dependem da relação defreqüência dependem da relação de
amortecimentoamortecimento ζζ
Normalizando para ganho DC unitário:Normalizando para ganho DC unitário:
2
21 





++
nn
ss
ωω
ζ

AproximaçãoAproximação
AssintóticaAssintótica ζζ = 1= 1
O erro máximo cometidoO erro máximo cometido
na magnitude ocorre nana magnitude ocorre na
freqüência de quebra efreqüência de quebra e
valevale ≅≅ 6dB6dB
ζζ = 1= 1
2
21 





++
nn
ss
ωω
ζ
2
1
2
121 





+=





++
=
nnn
sss
ωωω
ζ
ζ

As aproximaçõesAs aproximações
assintóticas seassintóticas se
mostrammostram
adequadas paraadequadas para
130 <≤ ζ, Erros relativamenteErros relativamente
elevados para a faseelevados para a fase
O erro máximoO erro máximo
cometidocometido
nestas aproximaçõesnestas aproximações
é deé de 6dB6dB para apara a
característica decaracterística de
magnitudemagnitude

QuandoQuando ζζ < 0,3 as< 0,3 as
aproximaçõesaproximações
assintóticas não sãoassintóticas não são
adequadasadequadas
ErrosErros
elevadoselevados
QuandoQuando ζζ = 0:= 0:
•• ωω == ωωnn: Magnitude: Magnitude
tende a -tende a -∞∞ dBdB
•• A fase apresentaA fase apresenta
descontinuidade dedescontinuidade de
180180°° emem ωω == ωωnn

Neste sistema,Neste sistema, ζζ = 0,2= 0,2
Espera-se que aEspera-se que a
aproximaçãoaproximação
assintóticaassintótica
apresente erroapresente erro
elevado naselevado nas
vizinhançasvizinhanças
dede ωωnn = 10 rad/s= 10 rad/s
Exemplo:Exemplo: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 11020210
12
1004
1200
22
+⋅⋅+
+⋅
=
++
+⋅
=
s,s
s
ss
s
sG
Erro máximo deErro máximo de ≅≅ 8 dB8 dB

Exemplo:Exemplo: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 11020210
12
1004
1200
22
+⋅⋅+
+⋅
=
++
+⋅
=
s,s
s
ss
s
sG
Erros elevadosErros elevados
cometidos nacometidos na
representação darepresentação da
fase do sistemafase do sistema

Critério de NyquistCritério de Nyquist
•• Aplicável a sistemas em malha fechada comAplicável a sistemas em malha fechada com
equação característica 1 + G(S)H(S) = 0equação característica 1 + G(S)H(S) = 0
•• O objetivo é analisar a estabilidade de um sistemaO objetivo é analisar a estabilidade de um sistema
em malha fechada a partir da resposta em freqüênciaem malha fechada a partir da resposta em freqüência
da função de malha aberta G(jda função de malha aberta G(jωω)H(j)H(jωω))
Fundamento matemático:Fundamento matemático:
Mapeamento de funções complexasMapeamento de funções complexas

MapeamentoMapeamento
no plano F(s)no plano F(s)
A curvaA curva CC envolve o zeroenvolve o zero
de F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horário
A curvaA curva ΓΓ envolve a origemenvolve a origem
do plano F(s) no sentido horáriodo plano F(s) no sentido horário
Exemplo:Exemplo: Deseja-se mapear no planoDeseja-se mapear no plano
F(s) uma circunferência doF(s) uma circunferência do
planoplano ss com centro emcom centro em ss00
( ) 0sssF −=

F(s) é o recíprocoF(s) é o recíproco
deste vetordeste vetor
Exemplo:Exemplo: Recíproca deRecíproca de( )
0
1
ss
sF
−
= ( ) 0sssF −=
A curvaA curva CC envolve o póloenvolve o pólo
A curvaA curva ΓΓ envolve a origemenvolve a origem
do plano F(s) no sentido anti-horáriodo plano F(s) no sentido anti-horário
A magnitude é recíproca de (b) eA magnitude é recíproca de (b) e
a fase é o negativo de (b)a fase é o negativo de (b)

Exemplo:Exemplo: ( ) ( ) ( )10 sssssF −⋅−=
O ângulo de cada vetor giraO ângulo de cada vetor gira
de - 360de - 360°° à medida que oà medida que o
pontoponto ss percorre a curvapercorre a curva CC
A curvaA curva CC envolve os zerosenvolve os zeros
A fase de F(s) gira de - 720A fase de F(s) gira de - 720°° e ae a
curvacurva
ΓΓ envolve a origem do plano F(s)envolve a origem do plano F(s)
duas vezes no sentido horárioduas vezes no sentido horário

⇒⇒ A magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A faseA magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A fase
seráserá
o oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curvao oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curva ΓΓ
envolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti-envolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti-
horáriohorário
Existe uma relação entre o número de pólos eExiste uma relação entre o número de pólos e
zeros envolvidos por uma curvazeros envolvidos por uma curva CC no planono plano ss ee
a quantidade e o sentido dos envolvimentos daa quantidade e o sentido dos envolvimentos da
origem do plano F(s)origem do plano F(s)
( ) ( )10
1
ssss
sF
−⋅−
=
Recíproca deRecíproca de
( ) ( ) ( )10 sssssF −⋅−=
Princípio do argumento de CauchyPrincípio do argumento de Cauchy

Teorema:Teorema: Seja F(s) a razão de dois polinômios emSeja F(s) a razão de dois polinômios em ss
e a curvae a curva CC do planodo plano ss mapeada por F(s). Se F(s) formapeada por F(s). Se F(s) for
analítica no interior e na borda deanalítica no interior e na borda de CC, exceto em um, exceto em um
número finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos enúmero finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos e
zeros emzeros em CC, então, então N = Z – PN = Z – P..
⇒⇒ ZZ é o número de zeros de F(s) emé o número de zeros de F(s) em CC,, PP é oé o
número de pólos de F(s) emnúmero de pólos de F(s) em CC ee NN é o número deé o número de
envolvimentos da origem do planoenvolvimentos da origem do plano ss

( ) ( ) ( )1F s G s H s= +
ZZ é o número de zeros da equação característica que ocorremé o número de zeros da equação característica que ocorrem
no semi-plano direitono semi-plano direito →→ Z = 0 para sistemas estáveisZ = 0 para sistemas estáveis
PP é o número de pólos da malha abertaé o número de pólos da malha aberta
G(s)H(s) no semi-plano direitoG(s)H(s) no semi-plano direito
N = 2 = Z – PN = 2 = Z – P
Z = 2 + P > 2Z = 2 + P > 2
SistemaSistema
InstávelInstável

Modificação:Modificação: Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)
O diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerdaO diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerda
Ao invés de contar osAo invés de contar os
envolvimentos da origem,envolvimentos da origem,
são contados ossão contados os
envolvimentos do ponto -1envolvimentos do ponto -1
e a representação obtida ée a representação obtida é
chamada dechamada de Diagrama deDiagrama de
NyquistNyquist

O percurso de Nyquist é mapeado por meio da funçãoO percurso de Nyquist é mapeado por meio da função
de malha aberta G(s)H(s). Assim,de malha aberta G(s)H(s). Assim, ZZ == NN ++ PP ::
ZZ = n= noo
de pólos de MF que ocorrem no semi-plano direitode pólos de MF que ocorrem no semi-plano direito
NN = n= noo
de envolvimentos do ponto -1 no sentido horáriode envolvimentos do ponto -1 no sentido horário
PP = n= noo
de pólos de MA que ocorrem no semi-plano direitode pólos de MA que ocorrem no semi-plano direito

( )3
5
1
G s H s
s
=
+
( ) ( )
( )3
5
1
G j H j
j
ω ω
ω
=
+
(I): G(0)H(0) = 5(I): G(0)H(0) = 5
( ) ( ) 0
s
lim G s H s
→∞
=
(III): G(s)H(s) = 0(III): G(s)H(s) = 0
O trecho (IV) é oO trecho (IV) é o
complexocomplexo
conjugado doconjugado do
trecho (II)trecho (II)
ZZ == NN ++ PP = 0 + 0 = 0= 0 + 0 = 0 →→ Sistema em MF estávelSistema em MF estável
Resposta em freqüênciaResposta em freqüência

05133 23
=++++ Ksss
( )
2051
58358
513
31
0
1
2
3
,KK
KK
K
s
s
s
s
−>⇒+
<⇒−
+
•• Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz:Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz:
⇒⇒ Adição de um ganhoAdição de um ganho KK na função de MAna função de MA
( ) ( )
( )3 3 2
5 5
1 1 1 0
3 3 11
K K
K G s H s
s s ss
+ = + = + =
+ + ++
KK = 1 (Nyquist)= 1 (Nyquist)
→→ Sistema estávelSistema estável
Sistema em MF estável para:Sistema em MF estável para:
5820 <<− K,

O sistema possui um pólo emO sistema possui um pólo em ss == jjωω11 (marginalmente(marginalmente
estável) e oscila com freqüênciaestável) e oscila com freqüência ωω11, desde que os, desde que os
demais pólos localizem-se no semi-plano esquerdodemais pólos localizem-se no semi-plano esquerdo
Admitindo que o diagrama de Nyquist intercepta oAdmitindo que o diagrama de Nyquist intercepta o
ponto -1 para algum valorponto -1 para algum valor ωω == ωω11::
ouou( ) ( )1 1 1G j H jω ω = − ( ) ( )1 11 0G j H jω ω+ =
No exemplo anterior:No exemplo anterior: ( ) ( )
( )3
5
1
K
G s H s
s
=
+
O sistema é marginalmente estável paraO sistema é marginalmente estável para KK = 8/5= 8/5

Polinômio auxiliarPolinômio auxiliar
( ) 03393513 22
58
2
=+⋅=+=++
=
ssKs
K
Raízes puramente imaginárias:Raízes puramente imaginárias: 3js ±=
( ) ( )
( ) ( ) 8
5
602
5
31
5
33
−=
∠
=
+
=⋅ = 
j
jHjG ω
ωω
O diagrama de Nyquist intercepta o eixo realO diagrama de Nyquist intercepta o eixo real
negativo em -5/8negativo em -5/8
Linha nula paraLinha nula para KK = 8/5= 8/5
( )
K
K
K
s
s
s
s
51
358
513
31
0
1
2
3
+
−
+

Um aumento de 8/5 no ganhoUm aumento de 8/5 no ganho KK fará com que ofará com que o
diagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o quediagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o que
torna o sistema marginalmente estáveltorna o sistema marginalmente estável
Conclusão:Conclusão:
Margem de ganho:Margem de ganho: fator pelo qual o ganho defator pelo qual o ganho de
malha aberta deve ser alterado de forma amalha aberta deve ser alterado de forma a
estabelecer um sistema marginalmente estávelestabelecer um sistema marginalmente estável
Medida daMedida da Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa do sistemado sistema
Margem de ganhoMargem de ganho

Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de Nyquist
ZZ :: Pólos de MF no semi-Pólos de MF no semi-
plano direito. Sistemasplano direito. Sistemas
estáveis em MFestáveis em MF ⇒⇒ Z = 0Z = 0
PNZ +=
NN :: Envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioEnvolvimentos do ponto -1 no sentido horário
•• NN < 0 para envolvimentos no sentido anti-horário< 0 para envolvimentos no sentido anti-horário
•• Sistema marginalmente estável para intercepto em -1Sistema marginalmente estável para intercepto em -1
PP :: Pólos de MA no semi-plano direitoPólos de MA no semi-plano direito

( ) ( )101
50
2
+⋅+
=
ss
sG
( )
( ) ( )2
50
1 1 0
1 10
K
K G s
s s
+ = + =
+ × +
050102112 23
=++++ Ksss
Onde ocorre o cruzamento?Onde ocorre o cruzamento?
Critério de Routh-Hurwitz:Critério de Routh-Hurwitz:
adicionar um ganhoadicionar um ganho KK
na malha abertana malha aberta

( ) ( )101
50
2
+⋅+
=
ss
sG
Sistema em MF estávelSistema em MF estável
parapara 84420 ,K, <<−
050102112 23
=++++ Ksss
( )
205010
8441250242
501012
211
0
1
2
3
,KK
,KK-
K
s
s
s
s
−>⇒+
<⇒
+
•• SeSe KK = 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1= 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1
( ) 1844 1 −=⋅ ωjG, ( ) 2066084411 ,,jG −=−=ω

( ) ( )101
50
2
+⋅+
=
ss
sG
Não há envolvimentos do ponto -1Não há envolvimentos do ponto -1 ⇒⇒ NN = 0= 0
DaíDaí ZZ == NN ++ PP = 0 + 0 = 0= 0 + 0 = 0 →→ Sistema estável emSistema estável em
MF (comMF (com K =K = 1)1)
( ) 2066084411 ,,jG −=−=ω
•• SeSe KK = 4,84 o sistema oscilará com a freqüência= 4,84 o sistema oscilará com a freqüência ωω11::
( ) 0211225212501012 22
844
2
=+⋅=+=++
=
ssKs
,K
LinhaLinha ss22
do arranjo de Routhdo arranjo de Routh
Raízes:Raízes: 1583421 ωj,jjs ±=±=±=

Genericamente:Genericamente:
•• A partir de 1 +A partir de 1 + KKG(s) = 0, aplica-se o critério deG(s) = 0, aplica-se o critério de
Routh-Routh-
Hurwitz de forma a encontrar o valorHurwitz de forma a encontrar o valor KK11 que torna oque torna o
sistema marginalmente estávelsistema marginalmente estável
•• Com base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüênciaCom base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüência
na qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustadona qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustado
para o valorpara o valor KK11
•• Daí:Daí: ( )1 11 0K G jω+ =
E o diagrama de Nyquist cruza o eixo realE o diagrama de Nyquist cruza o eixo real
negativo no pontonegativo no ponto
( )
1
1
1
K
jG −=ω

Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origem
•• O princípio do argumento de Cauchy exige que aO princípio do argumento de Cauchy exige que a
função de malha aberta não possua pólos ou zerosfunção de malha aberta não possua pólos ou zeros
no percurso de Nyquistno percurso de Nyquist
Quando ocorrem pólos na origem, o percursoQuando ocorrem pólos na origem, o percurso
de Nyquist deve ser alteradode Nyquist deve ser alterado
0
com 90 90
j
s lim e θ
ρ
ρ
θ
→
=
− ≤ ≤o o
A magnitude de G(s) seráA magnitude de G(s) será
muito elevada nos pontosmuito elevada nos pontos
do desviodo desvio ⇒⇒ representaçãorepresentação
sem escalassem escalas

Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origem
( )12
+⋅
=
ss
K
sG
→→ Ocorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioOcorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horário
Logo:Logo: ZZ == NN ++ PP = 2 + 0 = 2= 2 + 0 = 2 ⇒⇒ o sistema em malha fechadao sistema em malha fechada
é instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)é instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)
Representação semRepresentação sem
escalaescala

Contagem dos envolvimentosContagem dos envolvimentos
Procedimento prático:Procedimento prático:
Quantos envolvimentos doQuantos envolvimentos do
ponto -1 ocorrem no diagramaponto -1 ocorrem no diagrama
de Nyquist?de Nyquist?
•• Traçar uma linha partindo doTraçar uma linha partindo do
ponto -1 em qualquer direçãoponto -1 em qualquer direção
convenienteconveniente
•• O nO noo
de envolvimentos do ponto -1 no sentido horário éde envolvimentos do ponto -1 no sentido horário é
igual ao nigual ao noo
de cruzamentos desta linha com o diagrama node cruzamentos desta linha com o diagrama no
sentido horário menos o nsentido horário menos o noo
de cruzamentos que ocorrem node cruzamentos que ocorrem no
sentido anti-horáriosentido anti-horário
NN == 11 –– 11 = 0 envolvimentos= 0 envolvimentos

Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa
⇒⇒ AA estabilidadeestabilidade não é a única preocupação presente nonão é a única preocupação presente no
projeto de sistemas de controle:projeto de sistemas de controle:
Não é suficiente que um sistema seja estável. Deve-seNão é suficiente que um sistema seja estável. Deve-se
garantir permanência da estabilidade por umagarantir permanência da estabilidade por uma
margem de segurançamargem de segurança
•• O sistema estável deve possuir uma respostaO sistema estável deve possuir uma resposta
transitória satisfatóriatransitória satisfatória
•• O modelo matemático utilizado na representaçãoO modelo matemático utilizado na representação
do sistemado sistema nuncanunca é exatoé exato
O modelo pode indicar estabilidade e oO modelo pode indicar estabilidade e o
sistema físico apresentar instabilidadesistema físico apresentar instabilidade

•• Define-se aDefine-se a estabilidade relativaestabilidade relativa de um sistema linearde um sistema linear
em termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquistem termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquist
em relação ao ponto -1 do plano complexoem relação ao ponto -1 do plano complexo
Margem de ganho:Margem de ganho:
Definida como o fatorDefinida como o fator
1/1/αα pelo qual o ganhopelo qual o ganho
de MA deve serde MA deve ser
alterado de modo aalterado de modo a
tornar o sistema emtornar o sistema em
MF marginalmenteMF marginalmente
estávelestávelA margem de ganho é geralmenteA margem de ganho é geralmente
expressa em dBexpressa em dB
Cruzamento emCruzamento em αα

Margem de fase:Margem de fase:
É a magnitude doÉ a magnitude do
ângulo mínimoângulo mínimo
segundo o qual osegundo o qual o
diagrama de Nyquistdiagrama de Nyquist
deve ser rotacionadodeve ser rotacionado
para que ocorra opara que ocorra o
cruzamento com ocruzamento com o
eixo real negativoeixo real negativo
no ponto -1no ponto -1
( ) 12 =ωjG
Daí:Daí: ( ) o
1802 −∠= ωφ jGm

Exercícios:Exercícios:
Exercício 1:Exercício 1: ( )
( ) ( )1
100
1 3
G s
s s
=
+ +
-5 0 5 10 15 20 25 30 35
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis ( )1 1H s =

( )2 2
50
1
G s
s s
=
+
( )2
4
3
s
H s
s
+
=
+
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
x 10
4
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
( )3
20
1
G s
s s
=
+
( )3
1
4
H s
s
=
+
-1.006 -1.004 -1.002 -1 -0.998 -0.996 -0.994 -0.992 -0.99
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis

Aula 07 diagramas de bode e nyquist

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (9)

Similaire à Aula 07 diagramas de bode e nyquist

Similaire à Aula 07 diagramas de bode e nyquist (9)

Aula 07 diagramas de bode e nyquist