O documento apresenta definições e propriedades relacionadas a produto escalar, módulo, ângulo e ortogonalidade de vetores no espaço vetorial Rn. Inclui exemplos numéricos de cálculo de produto escalar, módulo, ângulo entre vetores, projeção de vetor e verificação de ortogonalidade.

1. PRODUTO ESCALAR
Chama-se produto escalar(ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado
por
u . v ou < u , v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.
Se u = (x1, y1) 2
 e v = ( x2, y2 ) 2
 então u.v = x1.x2 + y1.y2 .
Se u = (x1, y1 , z1) 3
 e v = ( x2, y2 , z2) 3
 então u.v = x1.x2 + y1.y2 +z1.z2.
E1) Determinar u . v ,sabendo que u =(1,-2) e v =(4,2).
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular

BC.AB
. MÓDULO DE UM VETOR
Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por v.v .
No 2
 , se v =(x,y ) então 22
yx|v| 
No 3
 , se v =(x,y,z ) então 222
zyx|v| 
E3) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,3), calcular | u | e | v | .
E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que |

AB | = 7.
PROPRIEDADES DO MÓDULO:
a) | u |  0 e | u | = 0  u = 0
b) | -u | = | u |
c) | u | = | |.| u |
d) | u + v |  | u | + | v |
VETOR UNITÁRIO
Chama-se vetor unitário qualquer vetorv de comprimento igual a 1(um), isto é | v | =1.
E5) Determinar o valor de n para que o vetor )
5
4
,n(w  seja unitário.
. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
A distância d entre dois pontos A(x1, y1 ,z1) e B( x2, y2 , z2) é o comprimento do vetor

2. No 2
 , se A(x1, y1 ) e B( x2, y2 ) então

AB =(x2 -x1 , y2 -y1 )e dAB = 2
12
2
12 )yy()xx(  .
No 3
 , se A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) então

AB =(x2 -x1 , y2 -y1 ,z2 - z1) e
dAB = 2
12
2
12
2
12 )zz()yy()xx(  .
E6) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,7) e B(5,7,-5).
E7) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2).
VERSOR DE UM VETOR
Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v .
versor de v =
|v|
v
E8) Determinar os versores dos vetores u = (0,-3,4) e v = (-1,1).
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
a) u . v = v . u
b) u .( v + w ) = u . v + u . w
c)  ( u . v ) = ( u ). v = u .( v ), com 
. ÂNGULO DE DOIS VETORES
Se u 0 , v 0 e  é o ângulo dos vetores u e v , com  1800  .
v v – u Da lei dos co-senos:|u – v|2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cos (1)

u Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u –2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2)
Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cos  ou cos  =
|v|.|u|
v.u
.
E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se  900  .
E10) O que se pode afirmar sobre u.v, se  18090  .
E11) O que se pode afirmar sobre u.v, se 90 .
E12) O que se pode afirmar sobre u e v, se  0 .
E13) O que se pode afirmar sobre u e v, se 180 .
E14) Calcular os ângulos entre os vetores u e v , sendo:

3. a) u =(1,2) e v =(-1,2) b) u =(2,-1) e v =(1,2) c) u =(0,2) e v =(0,1)
d) u =(1,1,4) e v =(-1,2,2) e) u =(2,-1,2) e v =(-1,2,2) f) u =(0,2,4) e v =(0,1,2)
E15) Sabendo que o ângulo entre os vetores u =(2,1,-1) e v =(1,-1,m+2) é
3

, calcular m.
VETORES ORTOGONAIS
Se u é ortogonal a v , o ângulo  entre os vetores u e v é 90o e cos  = 0, logo de 4.4. u .v = 0.
u  v  u . v = 0
E16) Dados os vetores u =(1,-2,2) e v =(4,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais.
E17) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo ?
E18) Determinar um vetorortogonal ao vetor )2,1,3(w  .
E19) Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar:
a) as componentes de

 CA5BC2AB3 b) o módulo de

BC c) o versorde

CA
E20) Dados os vetores j3i3u  , k2ji2v  e k5j4i3w  , determinar:
a) w.u b) )wv.(u  c)o ângulo entre u e v d) o versorde u
e) o valor de m para que o vetor k4j5mip  seja ortogonal a u - v
. PROJEÇÃO DE UM VETOR
w é a projeção de u sobre v . Como ( u - w ). v = 0 (1) e w = . v (2),
u u - w
substituindo a (2) em (1) e isolando  ,vem:  =
v.v
v.u
v w
Substituindo o  encontrado em (2), conclui-se que w = v.
v.v
v.u
uprojv 






E21) Encontre a projeção do vetoru sobre o vetorv, sendo:
a) u = (1,1) e v = (2,0) b) u = (1,1,1) e v = (3,3,0)
RESPOSTAS
E1) 0
E2) -1
E3) 3 e 5
E4) m = -3 ou m = 9

4. E5) n =
5
3

E6) (0,2,0)
E7) (1,-2)
E8) )
5
4
,
5
3
,0(  ; )
2
1
,
2
1
(
E9) u.v > 0
E10) u.v < 0
E11) u.v = 0
E12) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido.
E13) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários.
E14) a)  = arc sen(3/5) b) 90o c) 0o d) 45o e) 90o f) 0o
E15) m = -4
E16) m = -3
E17) SIM
E18) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c
E19) a) (-9,1,3) b) 3 c) )
3
1
,
3
2
,
3
2
( 
E20) a) 21 b) 30 c) 45o d) )0,
2
2
,
2
2
( e) m = -18
E21) a) (1,0) b) (1,1,0)