modelacion intrusion marina

MODELACION DE LA INTRUSION MARINA. REVISION DE METODOS
Resumen
1. Introducción
2. Teoría de las diferentes aproximaciones
2.1. Ley de Darcy y ecuación de flujo
2.1.1. Ley de Darcy
2.1.2. Ecuación del flujo
2.2. Fluidos inmisibles. Método de la interfase neta
2.2.1. Representación bifásica del flujo
2.2.2. Aproximación de Dupuit
2.2.3. Aproximación de Ghyben-Herzberg
2.2.4. Representación de la interfase mediante elementos artificiales
2.3. Fluidos miscibles. Método de la densidad variable
2.3.1. Ecuación de flujo
2.3.2. Ecuación de transporte del soluto
2.3.3. Carácter de la ecuación de transporte de soluto
2.3.4. Flujo dependiente de la densidad
3. Modelación a partir de la aproximación de la interfase neta
3.1. Métodos analíticos
3.2. Métodos numéricos
3.2.1. Aspectos generales de modelación numérica
3.2.2. Modelación numérica del flujo de la interfase
3.3. Métodos del doblete y del vértice
3.3.1. Métodos semi-analíticos
3.3.2. Métodos numéricos
3.4. Modelos de flujo adecuados para la simulación del régimen permanente de la interfase
3.5. Ejemplo de flujo de dos fases
3.5.1. Profundidad máxima de la interfase
3.5.2. Tiempo de migración
4. Modelación a partir de la aproximación de la densidad variable
4.1. Métodos de resolución numérica para la simulación del transporte de solutos
4.2. Consecuencia de la utilización de los distintos métidos de resolución numérica
4.3. Consecuencias de la modelación del flujo de densidad variable
4.3.1. Generación de velocidades artificiales
4.3.2. Soluciones
4.4. Tests y verificación
4.4.1. Flujo convectivo
4.4.2. Velocidades verticales artificiales
4.4.3. Transporte convectivo y dispersivo
4.4.4. Intrusión
4.4.5. Ascenso de la interfase
5. Ejemplo de aplicación. Estudio del caso “De Panne”
5.1. Introducción al problema
5.2. Perfiles de resistividad
5.3. Simulación de una interfase neta
5.4. Ajuste de un modelo de transporte de solutos
5.5. Verificación del modelo de transporte de soluto ajustado
5.5.1. Primer caso
5.5.2. Segundo caso
5.6. Evolución de los lentejones de agua dulce bajo las dunas y la playa
5.7. Ultimas observaciones
6. Evaluación
6.1. Rangos de aplicabilidad de los modelos de intrusión marina
Modelos de interfase neta
Modelos de densidad variable
6.2. Comparación entre los métodos de interfase neta y de densidad variable
6.3. Comparación entre modelizaciones bi y tridimensionales
6.4. Definición del grado de confianza del proceso de modelación
Comprobación y validación de los modelos
Definición del grado de confianza en la aplicación del modelo
7. Conclusiones

TIAC'88. Tecnología de l a I n t r u s i ó n en A c u i f e r o s Costeros
Almuñécar (Granada, España). 1988
MODELACION DE LA INTRUSION HARINA.
REVISION DE METODOS
G e r r i t JOUSMA y B a r t THORBORG
Centro I n t e r n a c i o n a l de Modelación de Aguas Subterráneas
I n s t i t u t o de Geociencia Aplicada. D e l f t , Holanda
Arnold VERRUIJT
Profesor de l a Universidad Tecnológica
F a c u l t a d de I n g e n i e r i a C i v i l . D e l f t , Holanda
Traducción: S. Somoza Diaz-Sarmiento y A. Alvarez Rodriguez
R. Fernández-Rubio y C. Lucena Bonny
RESUMEN
Para modelar los problemas de i n t r u s i ó n marina se u t i l i z a , en l a a c t u a l i d a d ,
una gran variedad de modelos, desde l o s r e l a t i v a m e n t e s e n c i l l o s a l o s
extremadamente complejos. Los problemas en l o s que e l f l u j o depende de l a
densidad, a l o s cuales pertenece l a i n t r u s i ó n marina, representan l o s
procesos de f l u j o f í s i c a m e n t e más complicados. Por t a n t o , es d i f í c i l de
e f c t u a r l a s e l e c c i ó n de un método de r e s o l u c i ó n y de un modelo. No s ó l o
depende d e l o b j e t i v o 0 d e l e s t u d i o y de l a s s i m p l i f i c a c i o n e s que se hagan,
s i n o también de l o s programas de ordenador, datos, conocimientos, f a c i l i d a -
des y presupuesto d i s p o n i b l e .
En e s t e t r a b a j o se describen l o s conceptos básicos de dos aproximaciones
d i f e r e n t e s , que l l e v a n a l a modelación de l a i n t r u s i ó n marina: l a considera-
c i ó n de f l u i d o s i n m i s c i b l e s con una i n t e r f a s e e n t r e ambos, y l a de f l u i d o s
229

rniscibles con f l u j o dependiente de l a densidad. A continuación se incluyen
l o s d i s t i n t o s métodos de resolución y los tipos de modelos, basados en cada
una de e s t a s aproximaciones, así como sus principales limitaciones. Se
incluyen, también, ensayos realizados con el f i n de probar l a fiabilidad de
l o s programas de ordenador. Se presenta un ejemplo de aplicación, cuyo
resultado fue positivo. Por Último, se recalcan, los rangos de aplicabilidad
de l o s métodos y el grado de confianza de l o s procesos de modelación.
1. INTRODUCCION
El abastecimiento de agua, en muchas áreas costeras, con gran densidad de
población, depende, en gran medida, de l a s aguas subterráneas. Ahora bien, a
menudo, l o s acuiferos costeros no sólo se encuentran sobreexplotados, sino
que presentan el problema de contaminación, tanto industrial como de otras
procedencias, e l de l a disminución de l a recarga, debido a l a urbanización,
y el de l a intrusión marina, debido a su proximidad al mar.
La gestión de estos recursos e s , por tanto, una t a r e a delicada, l o cual hace
recomendable u t i l i z a r herramientas t a l e s como l a s redes de control y los
métodos de simulación.
En e s t o s casos adquiere gran importancia el control preciso y l a modelación.
Estas herramientas pueden ser utilizadas para d i s t i n t o s propósitos, por
ejemplo, para planificar y controlar l a explotación y l a s medidas protecto-
r a s , para desarrollar p o l í t i c a s y normas, y para analizar l o s efectos de
acciones correctoras, en caso de accidentes. Excepto para l a última catego-
ría de problemas, que requieren soluciones específicas de alguna extensión,
l a gestióh de los recursos debería basarse en medidas a largo plazo, de toma
de datos y estudios con modelos. Los estudios de l a intrusión marina
requieren, en general, t a l e s evaluaciones a largo plazo.
Este trabajo pretende presentar una revisión, concisa, de l a s técnicas de
modelación empleadas, usualmente, en l a simulación de l a intrusión marina,
tanto a escala regional como local. La comunicación describe, brevemente,
los conceptos básicos y los aspectos teóricos de l a s dos aproximaciones
principales u t i l i z a d a s en l a modelación de l a intrusión marina. Por una
230

p a r t e l a que considera f l u i d o s i n m i s c i b l e s , con una i n t e r f a s e o aproximación
de l a i n t e r f a s e n e t a y, p o r o t r a parte, l a que considera f l u i d o s miscibles,
con f l u j o dependiente de l a densidad, o aproximación de l a densidad v a r i a b l e
(apartado 2 ) .
Los métodos de r e s o l u c i ó n numérica, relacionados con estas aproximaciones, y
algunos de l o s problemas numéricos más importantes, que conllevan, se
d i s c u t e n en l o s apartados 3 y 4. En e l apartado 5 se describe un ejemplo de
a p l i c a c i ó n de l a s dos aproximaciones, en un caso p r á c t i c o , a l o l a r g o de l a
c o s t a belga. En e l apartado 6 se da una idea global de l o s rangos de a p l i c a -
b i l i d a d de l o s d i s t i n t o s métodos.
Las simulaciones complicadas s ó l o dan r e s u l t a d o s aceptables s i se consigue
l a v a l i d a c i ó n de l a c a l i d a d d e l modelo. Debido a que no se han adoptado
normas y c r i t e r i o s para l o s procesos de modelación, l a v a l o r a c i ó n de l a
c a l i d a d d e l modelo se d e j a en manos de l o s modelistas. No obstante, no debe
ser sobrevalorada l a importancia de v e r i f i c a r y dar v a l i d e z a los programas.
A e s t a c u e s t i ó n se l e p r e s t a mucha atención en l o s apartados 4 y 6.
Los autores desean r e s a l t a r que l a mención de determinados programas de
ordenador, en e s t e a r t í c u l o , no i m p l i c a automáticamente una recomendación
con respecto a su uso. Tampoco pretenden que l a s r e v i s i o n e s sean completas.
Igualmente l o s autores agradecen l a buena d i s p o s i c i ó n de muchos colegas, de
I n s t i t u t o s de I n v e s t i g a c i ó n y de f i r m a s Consultoras, a l a n t i c i p a r informa-
c i ó n y dar sus consejos. Agradecimientos especial a l D r . W. KINZELBACH, a l
Dr. L. LEBBE, y a l Dr. J.W. MERCE, cuyo t r a b a j o f u e de gran ayuda para e s t e
a r t i c u l o .
2. TEORIA DE LAS DIFERENTES APROXIMACIONES
Los métodos aplicados, para e s t u d i a r l o s movimientos de agua d u l c e y salada,
pueden d i v i d i r s e en dos categorías p r i n c i p a l e s : aquél l o s que consideran a
ambos f l u i d o s i n m i s c i b l e s , y a q u é l l o s que admiten su m i s c i b i l i d a d . En e s t e
apartado se ponen de m a n i f i e s t o l a s d i f e r e n c i a s e n t r e l o s conceptos básicos
y los supuestos, r e l a t i v o s a ambas aproximaciones, así como l a s i m p l i c a c i o -
231

nes que tienen para l a resolución de l o s problemas. Para una descripción más
detallada de l a t e o r í a , el lector puede consultar- un gran número de publica-
ciones, que t r a t a n temas de modelación.
Primero, se presenta l a ley de Darcy y l a ecuación del f l u j o , para fluidos
dependientes de l a densidad y , posteriormente, se demuestra cómo adaptar l a
ecuación del f l u j o para a p l i c a r l a en l a t e o r í a de l a i n t e r f a s e neta y en l a
de densidad variable. La figura 2.1 muestra el esquema de los d i s t i n t o s
métodos aplicados en l a modelación de l a intrusión.
f i g u r a 2.1
1MODELOS DE AGUA CULCE - AGUA :.ALADA 1
Modelos de i n t e r f a s e neta Modelos de densidad variable
Modelos de dos fases y
iiililtifase (FE, FD, e t c )
Modelos de transporte
Modelos de elementos
a r t i f i c i a l es
Modelos de desplazamiento
de p a r t i c u l a s
2.1. Ley de Darcy y ecuación de f l u j o
2.1.1. Ley de Darcy
Cuando l a ecuación experimental de Darcy, del movimiento de un fluido, se
generaliza para el caso de un fluido de densidad variable en t r e s dimensio-
nes ( z = dirección v e r t i c a l ) , se llega a una ecuación de l a forma:
-
9 = - ;* (Vp + pgVz) 2.1.1
donde:
-
q
P
caudal específico, con componentes qx’ qy y qz en l a s direccio-
nes x, y , z, respectivamente ( L T - ~ ) ,
viscosidad dinámica (ML-l T - l ) ,
232

--
K tensor de l a permeabilidad i n t r í n s e c a del medio poroso (L2 )
gradiente de presión, con componentes a p / d x, a p/ a y .
VP
dp/ J Z (ML-‘ T - ~ ) ,
P densidad del f l u i d o (ML-3),
9 aceleración de l a gravedad (LT-‘).
2.1.2. Ecuación del f l u j o
La expresión general de l a conservación de l a masa, en un f l u i d o , es:
donde:
2.1.2
Q caudal de recarga (T-’),
P*
E
densidad del f l u i d o inyectado (ML-3), y
porosidad ( - 1 .
E l primer miembro representa l a variación de l a masa con e l tiempo, en un
volumen i n f i n i t e s i m a l . E l término V ( p 9) representa l a variación de masa
debida a l o s f l u j o s entrantes y salientes del volumen i n f i n i t e s i m a l . E l
caudal de recarga, Q. t i e n e en cuenta l a s adiciones externas de f l u i d o , por
unidad de volumen del medio poroso.
Introduciendo l a ecuación 2.1.1 en l a 2.1.2, y reordenando e l primer miembro
en términos de presión, l a ecuación de l a conservación r e s u l t a :
=
pS 3 + E ?.!? ac = v-(E-(Vp + pgvz)) + p*Q 2.1.3
a t ac a t 1i
donde:
S almacenamiento e l á s t i c o debido a l a variación de l a presión
C concentración de solutos (ML ).
(LT’M-’), y
-3
Se supone que existen condiciones isotermas. En l a ecuación a n t e r i o r desapa-
233

r e c e e l t é r m i n o ( d p /dC) cuando l a concentración de solutos, C, no i n f l u y a
s i g n i f i c a t i v a m e n t e en l a densidad.
E s t a expresión de l a ecuación de conservación de un f l u i d o , en función de l a
presión, se puede e n c o n t r a r con d ' i s t i n t a s notaciones. Algunos autores
p r e f i e r e n s u s t i t u i r l a presión, p, por l a carga piezométrica, $ , l o cual
l l e v a a una ecuación ligeramente d i f e r e n t e .
2.2. Fluidos inmisibles. Método de l a interfase neta
Se a p l i c a l a aproximación de l a i n t e r f a s e neta, y se suponen e l agua dulce y
l a salada como dos ( o más) f l u i d o s i n m i s c i b l e s .
2.2.1. Representación b i f á s i c a d e l f l u j o
En l a mayoría de l a s a p l i c a c i o n e s , e l f l u j o se d e s c r i b e mediante dos ecua-
ciones separadas, para l a s fases d u l c e y salada. Para unas densidades
e s p e c i f i c a s
p f y
o s , l o s n i v e l e s piezométricos se pueden d e f i n i r como:
2.2.1
P P
salada: 4 = -+ -2
s P g P f
Estos n i v e l e s , $ f y b S , t i e n e n dimensiones de l o n g i t u d . Con e l f i n de
obtener u n i f o r m i d a d en l a s fórmulas se e l i g e pf como densidad de r e f e r e n c i a
para l a s dos fases. Sustituyendo l a s ecuaciones en l a l e y de Darcy (2.1.1) y
d e f i n i e n d o e l t e n s o r de c o n d u c t i v i d a d h i d r á u l i c a como K = K P ~g / p podemos
obtener l a s s i g u i e n t e s expresiones para l o s caudales e s p e c í f i c o s :
-
salada: qs = - kV$s
234

Las ecuaciones de f l u j o r e s u l t a n t e s son:
a@fdulce: S ' -a t = V-(kV@f) + Qf
donde :
S ' es e l almacenamiento e l á s t i c o debido a l a s variaciones en e l
n i v e l piezométrico ( L - ~1.
A l r e s o l v e r e s t a s ecuaciones surge una complicación, debido a l hecho de que
no se conoce l a p o s i c i ó n de l a i n t e r f a s e , e n t r e e l agua d u l c e y l a salada.
Un desplazamiento de l a i n t e r f a s e da l u g a r a un cambio de volumen en ambos
subdominios y, como consecuencia, a v a r i a c i o n e s en los volúmenes de agua
almacenados. Las condiciones de contorno, de l a i n t e r f a s e , exigen que:
* l a p r e s i ó n sea c o n t i n u a a t r a v é s de l a i n t e r f a s e ( c o n d i c i ó n de i n t e r -
fase dinámica),
* l a s v a r i a c i o n e s de volumen para ambos subdominios sean complementarias
( c o n d i c i ó n de i n t e r f a s e cinemática).
Estas condiciones o b l i g a n a u t i l i z a r unas ecuaciones no l i n e a l e s , en
derivadas p a r c i a l e s , que son prácticamente imposibles de r e s o l v e r (BEAR y
VERRUIJT, 1987).
2.2.2. Aproximación de Dupuit
En muchos problemas de f l u j o l a dimensión h o r i z o n t a l es mucho mayor que l a
v e r t i c a l , de forma que se puede c o n s i d e r a r que e l f l u j o es h o r i z o n t a l . E s t a
es l a j u s t i f i c a c i ó n de l a h i p ó t e s i s de Dupuit, según l a cual l a d i s t r i b u c i ó n
de l a presión, en una v e r t i c a l , es h i d r o s t á t i c a en c u a l q u i e r punto. La
f o r m u l a c i ó n matemática de l a h i p ó t e s i s de Dupuit viene dada por:
235

Como consecuencia de esta hipótesis, l a s ecuaciones anteriores se pueden
i n t e g r a r con respecto a l a s a l t u r a s de l o s respectivos subdominios, apare-
ciendo, entonces, términos de recarga adicional, debidos a l a variación de
volúmenes en l a s ecuaciones de f l u j o :
salada:
siendo Zt, Zb y Zi l a s a l t u r a s de l a s caras superior e i n f e r i o r del dominio
y de l a interfase, respectivamente. En estas ecuaciones V es e l operador
nabla. Q f y Q s son los volúmenes de recarga por unidad de área del acuífe-
r o (LT-’J y E es l a porosidad. E l almacenamiento e l á s t i c o es muy pequeño, en
comparación con e l almacenamiento causado por e l desplazamiento de l a i n t e r -
fase, debido a l o cual podemos despreciarlo. La condición de continuidad de
l a presión, a través de l a interfase, puede u t i l i z a r s e para eliminar @ de
l a s fórmulas.
* *
2.2.3. Aproximación de Ghyben-Herzberg
La aproximación de Ghyben-Herzberg implica que l a r e s i s t e n c i a a l f l u j o , en
e l subdominio salado, se puede considerar despreciable. Por tanto, esta
aproximación sólo puede j u s t i f i c a r s e cuando e l f l u j o , en e l dominio de agua
salada, es t a n pequeño que se puede ignorar (ESSAID, 1986). La consecuencia
de esta aproximación es que, e l n i v e l piezométrico $ s , es constante. La
continuidad de l a presión puede, entonces, u t i l i z a r s e para expresar para
una posición zi de l a i n t e r f a s e :
2.2.6
Combinando l a s ecuaciones 2.2.5 y 2.2.6 se puede obtener una Única ecuación
de f l u j o para e l dominio de agua dulce:
236

2.2.4. Representación de la interfase mediante elementos artificiales
Una aproximación alternativa, que puede utilizarse en l a modelación de l a
intrusión como fluidos inmiscibles, consiste en representar el campo de
flujos multifase por una única ecuación de flujo en el dominio completo.
Como l a densidad puede considerarse constante, en el interior de cada
subdominio, es posible reescribir la ecuación 2.1.3, incluyendo, en un
término aparte, el efecto de l a diferencia de densidades:
2.2.8
El segundo miembro de esta ecuación es nulo para cualquier punto, excepto en
l a interfase. La ecuación anterior se puede resolver como una ecuación de
flujo convencional, mientras que el efecto de las diferencias de densidad se
cuantifica separadamente. Esto se realiza introduciendo unos elementos
artificia l e s en l a interfase ( s ) . Dependiendo de si la ecuación de flujo
original está expresada en términos de presión, función de corriente o
potencial, estos elementos toman l a forma de fuentes de distribución, vórti-
ces (rotación del fl ujo) o dobletes (saltos de potencial), respectivamente.
Aunque en teoría, estos métodos son muy vistosos, l a localización exacta de
l a interfase móvil puede llegar a ser muy complicada.
2.3. Fluidos miscibles. Método de l a densidad variable
2.3.1. Ecuación de flujo
En el caso de que los movimientos del agua dulce y salada no se estudien
como dos fases separadas, con densidad constante, sino como un Único fluido
con densidad variable, obtenemos una Única ecuación de continuidad (ecuación
2.1.3) para l a mezcla dulce-salada:
237

2.3.1
a p acPS 2+ E E E = V-(E(Vp + pgVz)) + P*Q
Fi
Como ahora l a densidad está considerada como variable, dentro del dominio,
es necesario obtener una nueva ecuación, que permita calcular la distribu-
ción de densidades. Podemos encontrar esta ecuación, si consideramos l a
densidad del agua como una función de l a concentración en sa l, e introdu-
cimos una nueva ecuación de balance de masas para l a sal disuelta.
2.3.2. Ecuación de transporte del soluto
En condiciones isotérmicas, l a relación entre l a densidad del agua y l a
concentración de sal es, generalmente, lineal:
P = Pf + (P, - Pf)C/CS 2.3.2
donde Cs y C son, respectivamente, las concentraciones de sa l, en el
salada y en el agua considerada.
agua
La ecuación de transporte del soluto, para sal disuelta, se puede expresar
LUIIIU .
- = _ ;*VC + V-(E.VC) + QC*
a t
2.3.3
donde :
-
v
o tensor de dispersividad (L’T-’),
C
C*
velocidad media del fluido (LT-l),
concentración de soluto expresada como relación de masas (MM-l),
Y
concentración de soluto en los aportes exteriores del fluido
( M M - ~ ) .
La derivada parcial, con respecto al tiempo, del primer miembro, representa
el cambio total de l a masa de soluto con el tiempo, en un volumen dado. El
término en V representa l a advección media de l a masa de soluto, dentro o
fuera del mismo volumen. El término que incluye al tensor 6 expresa l a
238

contribución de l a difusión y dispersión del soluto a los cambios en l a masa
del soluto. La contribución de l a difusión, a escala real de campo, basada
en un proceso físico, se puede despreciar, permaneciendo, entonces, la
dispersión. El último término de l a ecuación evalúa l a sal disuelta, aporta-
da por el fluido origen de Concentración C .
*
2.3.3. Carácter de la ecuación de transporte del soluto
Si se ignora el término advectivo, l a ecuación de transporte difusiva-dis-
persiva resultante, es de tipo parabólico, comparable a l a ecuación del
flujo. Esta ecuación de transporte describe la propagación de las ondas de
concentración, en el espacio comprendido entre los limites, y se puede
resolver mediante métodos de diferencias finitas y elementos finitos.
Si, por el contrario, se ignora el término difusivo-dispersivo, l a ecuación
de transporte resultante es de tipo hi perból ico, comparable a 1a ecuaci Ó n de
onda. Describe l a propagación de las ondas de concentración, a lo l a r g o de
las curvas características. Parece que es mucho más d ifíc il resolver numéri-
camente esta ecuación de tipo hiperbólico.
En función del peso relativo de los flujos advectivo y dispersivo, l a ecua-
ción de transporte tendrá uno u otro carácter.
Este carácter puede expresarse por medio del número de Peclet:
u
aL
Pe = 2.3.4
donde:
dispersividad longitudinal (L), y
a L
a t paso de tiempo representativo de l a escala de tiempos del
proceso ( T I .
Para números de Peclet pequeños (Pe .= 1 ) predomina el carácter parabólico.
Para números de Peclet grandes ( P e z 2 ) predomina el carácter hiperbólico.
239

2.3.4. F l u j o dependiente de l a densidad
Las ecuaciones de balance de f l u i d o y de balance de masa de s o l u t o , c o n s t i -
tuyen dos sistemas de ecuaciones no l i n e a l e s , en derivadas p a r c i a l e s . Para
concentraciones de s a l muy bajas l a densidad d e l agua es s i m i l a r a l a d e l
agua dulce. En e s t a s i t u a c i ó n , l o s g r a d i e n t e s de p r e s i ó n no están muy
i n f l u e n c i a d o s por l o s cambios de concentración, y l a s ecuaciones a n t e r i o r e s
pueden r e s o l v e r s e independientemente.
Sin embargo, en l a mayoría de l o s a c u i f e r o s costeros, son t a n a l t o s l o s
g r a d i e n t e s h o r i z o n t a l e s de l a concentración d e l agua salada, que l a s d i f e -
r e n c i a s de p r e s i ó n obtenidas, p o r e l movimiento d e l agua salada, t i e n e n
i n f l u e n c i a d i r e c t a sobre l o s procesos de f l u j o y t r a n s p o r t e . En d i c h a s i t u a -
c i ó n 1as ecuaciones son interdependientes, y deben ser r e s u e l t a s simultánea-
mente. Esta compiicación es t í p i c a del f i u j o dependiente de l a densidad, y
de l o s procesos de t r a n s p o r t e de s o l u t o .
Los modelos numéricos, capaces de r e s o l v e r e s t a s ecuaciones, se exponen en
e l apartado 4.
3. MODELACION A PARTIR DE LA APROXIMACION DE LA INTERFASE NETA
3.1. Métodos a n a l i t i c o s
Como se puede ver, en e l apartado 2.2, es complicada l a formulación matemá-
t i c a de l a aproximación de l a i n t e r f a s e neta. En general, l a s ecuaciones
d i f e r e n c i a l es acopl adas no son f á c i l e s de r e s o l ver, medi ante t e c n i c a s anal i-
t i c a s . Por l o t a n t o , l a mayoria de l a s soluciones a n a l í t i c a s , de l o s p r o b l e -
mas de i n t e r f a s e neta, se encuentran para representaciones de ecuaciones de
f l u j o senci 11as.
Estas representaciones se basan, b i e n en 1a aproximación de Ghyben-Herzberg,
donde l a ecuación de f l u j o se r e s u e l v e sólo p a r a e l agua dulce, considerando
constante e l p o t e n c i a l en e l agua salada, o b i e n en l a aproximación de
elementos a r t i f i c i a l e s , donde todo e l dominio d e l f l u j o se considera
simultáneamente, y donde l a simulación de l a i n t e r f a s e se r e a l i z a i n t r o d u -
240

ciendo funciones especiales. Además, sólo se encuentran soluciones para
condiciones de contorno, determinadas geometrías especiales y variaciones
temporales limitadas.
Con 1a aproximación de Ghyben-Herzberg se pueden encontrar varias solucio-
nes, para acuíferos horizontales sencillos y para condiciones de régimen
permanente. En e l caso de condiciones t r a n s i t o r i a s se pueden encontrar solu-
ciones aproximadas (VERRUIJT, 1987a). Por su parte, SIKKEMA y VAN DAM (1982)
obtuvieron una solución a n a l í t i c a para e l caso de régimen permanente u n i d i -
mensional, en acuíferos semiconfinados. STRACK (1987) describe l a inclusión,
en su método a n a l í t i c o , de elementos de cálculo de l a i n t e r f a s e para acuife-
ros confinados, 1ibres y multicapa, empleando 1a h i pótesi s de Ghyben-
-Herzberg y l a aproximación de Dupuit. GLOVER (1959) y VAN DER VEER (1977)
han presentado soluciones para e l caso de régimen permanente, en un plano
v e r t i c a l , con niveles de agua salada aislados del mar.
Un método de resolución semianalítica, aplicable generalmente para e l f l u j o
en e l dominio de agua salada, ha sido desarrollado por STRACK (1987) (ver
también apartado 3.4).
Soluciones para casos especiales, de f l u j o de dos fases, han sido
presentadas por BEAR y DAGAN (1964) y DE JOSSELIN DE JONG (19651, u t i l i z a n d o
e l método de l a hodógrafa, l a t e o r í a del vórtice, y una aproximación
unidimensional para l a evolución de una i n t e r f a s e inicialmente v e r t i c a l , por
DE JOSSELIN DE JONG (1960) y por WILSON y SA DA COSTA (1982).
Excepto l a aproximación de STRACK, todas estas técnicas a n a l í t i c a s son de
escaso i n t e r é s p r á c t i c o inmediato. Sin embargo, son de gran importancia,
como referencia para l a v e r i f i c a c i ó n de l o s métodos numéricos, para e l
a n á l i s i s de l a s e n s i b i l i d a d del sistema hidrológico, con respecto a los
d i s t i n t o s parámetros, y para e l a n á l i s i s preliminar de l o s problemas prác-
ticos.
En muchas situaciones prácticas, tienen que u t i l i z a r s e métodos semianaliti-
cos ( t a l e s como l a aproximación de STRACK o l o s métodos numéricos para
simular l o s problemas de f l u j o de l a i n t e r f a s e ) .
241

3.2. Métodos numéricos
3.2.1. Aspectos generales de l a modelación numérica
Los t é c n i c a s numéricas aplicadas, más frecuentemente, t i e n e n en común l a
búsqueda de una s o l u c i ó n aproximada de l a s v a r i a b l e s p r i n c i p a l e s , t a n t o en
puntos d i s c r e t o s d e l espacio (nodos) como en e l tiempo. Los v a l o r e s interme-
d i o s y derivados se obtienen por i n t e r p o l a c i ó n . U t i l i z a n d o l a s t é c n i c a s de
d i s c r e t i z a c i ó n e i n t e r p o l a c i ó n , l a s ecuaciones d i f e r e n c i a l e s pueden s u s t i -
t u i r s e por sistemas de ecuaciones algebraicas, cuyas i n c ó g n i t a s son l o s
v a l o r e s nodales de l a s v a r i a b l e s p r i n c i p a l e s . Para l a r e s o l u c i ó n de estos
sistemas se han d e s a r r o l l a d o d i s t i n t a s t é c n i c a s s o f i s t i c a d a s .
La escala de l a d i s c r e t i z a c i ó n determina l a r e s o l u c i ó n y, j u n t o con l a
i a >UIULIUII i r b u i LaiiLe.
I I luau de 1 - - - 1 . . - 1 : - I s - - L -+ z - - : - - A - ili_;-Ii 1 - , ? 2 - I . : , : A - A
L c L i i i L a uc i i i ~ r i p ~ i a ~ i u i ir i r y i u a , i a
S i n embargo, una d i s c r e t i z a c i ó n demasiado f i n a da l u g a r a un número excesi-
vamente grande de i n c ó g n i t a s . Por o t r a p a r t e , l a e s t a b i l i d a d del proceso de
r e s o l u c i ó n numérico puede r e s t r i n g i r l a l i b r e e l e c c i ó n de l a escala de
d i s c r e t i zación e s p a c i a l o temporal.
Los métodos numéricos se d i f e r e n c i a n en l a forma de obtener l a s ecuaciones
a l gebrai cas :
En l o s métodos de d i f e r e n c i a s f i n i t a s , se e l i g e una m a l l a de
d i s c r e t i z a c i ó n r e g u l a r , y l a s derivadas se determinan a t r a v é s de l a s
s e r i e s de T a y l o r truncadas. La s u s t i t u c i ó n de éstas, en l a s ecuaciones
d i f e r e n c i a l e s , p a r a todos l o s nodos, da l u g a r a un sistema de
ecuaciones a l g e b r a i c a s .
* En l o s métodos de elementos f i n i t o s , e l dominio se subdivide en
pequeños elementos, de geometría s e n c i l l a . Las v a r i a b l e s p r i n c i p a l e s
se determinan, en cada elemento, mediante funciones de i n t e r p o l a c i ó n ,
siendo l a s i n c ó g n i t a s l o s v a l o r e s nodales. La s u s t i t u c i ó n de e s t a s
funciones i n t e r p o l a d a s , en l a s ecuaciones d i f e r e n c i a l e s , l l e v a a una
desviación de l a s o l u c i ó n exacta. Minimizando e s t a desviación, en
todos l o s nodos, obtenemos e l sistema de ecuaciones algebraicas.
242

Los métodos de elementos f i n i t o s permiten mayor f l e x i b i l i d a d , en l a d i s c r e -
t i z a c i ó n , que l o s métodos de d i f e r e n c i a s f i n i t a s , pero su formulación, en un
programa de ordenador, es más complicada. Además, e l sistema de ecuaciones
a l g e b r a i c a s puede ser algo más d i f í c i l de r e s o l v e r . Se pueden encontrar
amplios estudios, de l o s métodos numéricos para l a modelación d e l f l u j o
subterráneo, en l o s s i g u i e n t e s t r a b a j o s : HUYAKARN y PINDER (1983),
KINZELBACH (1986) y BEAR y VERRUIJT (1987).
3.2.2. Modelación numérica d e l f l u j o de l a i n t e r f a s e
En e l apartado 2.2 se han expuesto l a s ecuaciones para e l f l u j o d e l agua
dulce-salada. Las i n c ó g n i t a s son: e l n i v e l piezométrico d e l agua d u l c e
O f y
l a a l t u r a de l a i n t e r f a s e Zi. E l n i v e l piezométrico d e l agua salada, 0 5 , se
puede e l i m i n a r , considerando l a condición de c o n t i n u i d a d de l a p r e s i ó n a
t r a v é s de l a i n t e r f a s e ( c o n d i c i ó n de i n t e r f a s e dinámica).
La forma de l a s ecuaciones es matemáticamente i d é n t i c a a l a ecuación que
describe e l f l u j o monofásico no l i n e a l . Esto q u i e r e d e c i r que no es necesa-
r i o a p l i c a r métodos especiales de r e s o l u c i ó n . La complicación de que l a s
ecuaciones sean dependientes r e q u i e r e a p l i c a r un doble proceso i t e r a t i v o ,
para cada paso de tiempo, tn.
La ecuación de 0 (x, y, t n ) debe r e s o l v e r s e u t i l i z a n d o v a l o r e s estimados de
l a i n c ó g n i t a Zi(x, y, t n ) . A continuación, l o s v a l o r e s de @ (x, y, t n ) se
u t i l i z a n en l a o t r a ecuación, para obtener una mejor estimación de Z.(x, y,
t 1. Este procedimiento debe r e p e t i r s e hasta obtener una buena aproximación.
1
n
La simulación numérica d e l f l u j o de dos fases presenta una d i f i c u l t a d , que
r a d i c a en l a p o s i b i l i d a d de l a i n t e r f a s e de alcanzar e l techo o e l muro d e l
a c u i f e r o . Cuando e s t o ocurre, s ó l o es necesario r e s o l v e r una ecuación en l o s
l u g a r e s donde sucede, mientras que en e l r e s t o del a c u í f e r o siguen siendo
v á l i d a s ambas ecuaciones. La determinación de l a p o s i c i ó n exacta d e l l í m i t e ,
e n t r e ambas zonas, denominada t a l ó n o p i e de l a i n t e r f a s e , i m p l i c a complica-
ciones de orden numérico. Algunos autores han publicado a l g o r i t m o s para
determinar e l movimiento d e l p i e de l a i n t e r f a s e (SHAMIR y DAGAN, 1971;
NEUER e t a l . , 1980; WILSDN y SA DA COSTA, 1982).
243

3.3. Métodos del doblete y del vórtice
Una aproximación diferente, para el flujo de l a interfase neta, ha sido
propuesta por DE JOSSELiN DE JONG (1981). En e l l a , el fluido se considera
continuo y con propiedades constantes, en todo el dominio. El efecto de l a
diferencia de densidades, a través de l a interfase, se tiene en cuenta
introduciendo elementos hipotéticos a lo largo de ella, que generan la misma
discontinuidad, en la velocidad del flujo o en el potencial, que generaría
la diferencia de densidades. Existen dos métodos ligeramente diferentes:
* Si las ecuaciones se resuelven en términos de función de corriente,
estos elementos toman la forma de vórtices, causando un flujo laminar
a lo largo de l a interfase (figura 3.1). La potencia de estos vórtices
depende de l a diferencia de densidades, a ambos lados de l a interfase,
y de! h g ~ ! ! o que Psta forma c o ~!a horjzontal. Aplicaciones dz a t a
aproximación han sido presentadas por PETERS (1983a) y KOOIMAN y
UFFINK (1986).
Figura 3.1. F l u j o laminar generado por una línea de vórtices.
* Si l a s ecuaciones se resuelven en términos de potencial, estos elemen-
tos toman l a forma de doblete, causando un salto en el potencial a
través de l a interfase. La potencia de estos dobletes depende de l a
diferencia de densidades y del ángulo de l a interfase. Esta aproxima-
ción ha sido desarrollada por MAITJEMA (1982) y por STRACK (19871, e
incorporada en el método analítico de elementos.
244

En ambas aproximaciones, se puede modelar una franja de transición, introdu-
ciendo varias interfases, que representen escalones en las variaciones de
densidad. Debe resaltarse que se supone que no hay mezcla de fluidos, a
través de las interfases y que, por tanto, se mantiene la conservación de
masa de las distintas fases.
3.3.1. Métodos semi-analíticos
Es interesante destacar que, con l a ecuación de flujo Único, el problema
puede resolverse mediante técnicas semi-analíticas.
Las posibilidades potenciales de estos métodos están mejor ilustradas en el
método analítico de elementos, desarrollado por STRACK (STRACK, 1987). Una
gran variedad de funciones analíticas fue desarrollada para representar las
inf!uencias s o h ~ ee! f l u j o , t ~ l e scomo pozos y sumideros aciiicludos, hetero-
geneidades e interfases. La superposición de estas funciones lleva a una
solución, para un cierto potencial de referencia (el cual está relacionado
con el potencial realmente existente).
Las ventajas de emplear este método en l a modelación del flujo agua dulce-
agua salada son que, en principio, no hay limitaciones de escala, y que
puede ser alcanzado cualquier grado de resolución. La discretización es
necesaria sólo para describir l a forma de l a interfase, y para evaluar los
potenciales a l o largo del tiempo. Del mismo modo, los parámetros de las
funciones que describen l a interfase se tienen que calcular iterativamente.
Una desventaja del método es que l a representación de l a interfase, exten-
dida sobre un área extensa, requiere l a evaluación de muchas funciones con
parámetros desconocidos, y esto implica una disminución de l a eficiencia. La
modelación de un dominio con muchas heterogeneidades puede, también, hacer
disminuir l a eficiencia.
El método analítico de elementos, concebido recientemente, está aún en desa-
rrollo. Por l o tanto, no es posible tener aún idea completa de sus posibili-
dades.
245

3.3.2. Métodos numéricos
E l mismo a n á l i s i s , puede ser u t i l i z a d o en l o s métodos numéricos. BEAR y
VERRUIJT (1987) han d e s a r r o l l a d o un método de elementos f i n i t o s , en e l que
se c a l c u l a e l f l u j o en un plano v e r t i c a l . Se e l i g e l a p r e s i ó n como v a r i a b l e
p r i n c i p a l , l o que da l u g a r a l a ecuación d e l f l u j o presentada en e l apartado
2.2. Se considera que l a i n t e r f a s e c o i n c i d e con una s e r i e de elementos
f r o n t e r a , de t a l forma que, e l comportamiento t r a n s i t o r i o de l a i n t e r f a s e ,
puede modelarse mediante e l desplazamiento de l o s nodos, de manera que l a
c o n f i g u r a c i ó n d e l mallado sea f u n c i ó n del tiempo.
E l e f e c t o de l a d i f e r e n c i a de densidades, a t r a v é s de l a i n t e r f a s e , se
simula i n t r o d u c i e n d o inyecciones puntuales en l o s nodos de l a i n t e r f a s e . La
c o n t r i b u c i ó n de un segmento de i n t e r f a s e , a l caudal de l a inyección puntual
en ur! nodo, a! fin.! de! segmcnt=, es:
3.4.1
donde:
L . . d i s t a n c i a h o r i z o n t a l e n t r e l o s nodos de l o s extremos de l o s
' 2
segmentos ( L ) .
E x i s t e una l i m i t a c i ó n numérica a l a a p l i c a b i l i d a d de e s t e método: debido a
que l a s m a l l a s son generalmente bastante pequeñas, en l a d i r e c c i ó n v e r t i c a l ,
se r e q u i e r e un paso de tiempo pequeño, para l o g r a r l a e s t a b i l i d a d numérica.
Para problemas l o c a l e s , relacionados con procesos t a l e s como e l ascenso de
l a i n t e r f a s e p o r bombeos, puede s e r aceptable. Para problemas regionales, es
más e f i c a z u t i l i z a r un método,basado en l a aproximación de Dupuit.
3.4. Modelos de flujo adecuados para la simulación del régimen permanente de
la interfase
Según MAAS e t a l . (1988) e l régimen permanente de l a i n t e r f a s e puede simu-
l a r s e mediante modelos de f l u j o multicapa convencionales. E l método puede
u t i l i z a r s e p a r a c a l c u l a r l o s n i v e l e s de agua dulce, p o r ejemplo, en un área
246

costera, donde l a i n t e r f a s e agua dulce-agua salada ocupe s ó l o una p a r t e del
acuífero, y su l o c a l i z a c i ó n sea conocida.
S i e l desplazamiento de l a i n t e r f a s e , con e l tiempo, pudiera suponerse de
poca importancia, l o cual es c i e r t o en muchos casos, l a profundidad de l a
i n t e r f a s e puede considerarse constante durante un periodo. Entonces, no hay
necesidad de un a l g o r i t m o para determinar l a p o s i c i ó n de l a i n t e r f a s e , y
puede c a l c u l a r s e e l movimiento, t a n t o d e l agua d u l c e como de l a salada,
d e f i n i e n d o f u e n t e s a r t i f i c i a l e s en l a i n t e r f a s e . E l a n á l i s i s es s i m i l a r a l
e x p l i c a d o en l o s apartados 2.3 y 3.3.
Integrando l a ecuación de f l u j o , con respecto a l a s a l t u r a s de l o s dos
subdominios (aproximación de Dupuit), obtenemos fórmulas matemáticamente
i d é n t i c a s a l a s r e s u e l t a s p o r ordenador para a c u í f e r o s e s t r a t i f i c a d o s . Hay
que r e s a l t a r que l a c o n t i n u i d a d de l a presión, a t r a v é s de l a i n t e r f a s e ,
permite e l i n t e r c a m b i o de f l u i d o s . S i n embargo, se supone que e s t e intercam-
b i o es pequeño, y no i n f l u y e en l a s concentraciones, l o que es un supuesto
razonable en e l caso de i n t e r f a s e e s t a c i o n a r i a . En su a r t í c u l o , MAAS presen-
t a un método para m o d i f i c a r l a s entradas y s a l i d a s necesarias para completar
l a analogía.
La importancia de e s t a aproximación es de n a t u r a l e z a p r á c t i c a . Modelos
m u l t i p r o p ó s i t o ( y m u l t i c a p a ) t a l e s como e l programa MODFLOW d e l USGS
(McDONALD y HARBAUGH, 19841, pueden u t i l i z a r s e de e s t a forma ajustando,
simplemente, l o s f i c h e r o s de entrada y s a l i d a . E l modelo f u e probado en l a
zona c o s t e r a de Holanda. Los parámetros obtenidos d e l modelo con l a s cargas
de agua d u l c e correctamente calculadas, demostraron ser, s i n ninguna duda,
más r e a l iStas.
3.5. Ejemplo de flujo de dos fases
Los modelos de i n t e r f a s e n e t a son, generalmente, más s e n c i l l o s que l o s de
densidad v a r i a b l e y r e q u i e r e n menos datos y menos tiempo de c á l c u l o . Por
estas razones se u t i l i z a n , a menudo, para e s t u d i a r s i t u a c i o n e s g l o b a l e s y
p a r a a n á l i s i s de s e n s i b i l i d a d . Esto puede c o n l l e v a r l a determinación d e l
e f e c t o de l a s d i s t i n t a s medidas, sobre l a s i t u a c i ó n d e l agua subterránea, o
247

de la influencia de los parámetros sobre el comportamiento del proceso de
flujo. En la literatura se pueden encontrar distintos ejemplos (tales como
los informes SWIM).
El ejemplo siguiente, tomado de un problema real, se refiere al estudio del
efecto de la estratificación en el desarrollo de un lentejón de agua dulce.
El acuífero considerado tiene un nivel superior de permeabilidad normal y un
nivel inferior de menor permeabilidad, que se expresa como una fracción de
la del nivel superior.
Para este ejemplo se supusieron las siguientes condiciones (figura 3.2):
potencia del nivel superior: 10m,
potencia del nivel inferior: 30 m,
* profundidd tot;l dcl xuifero: 40 m,
* conductividad hidráulica o permeabilidad de Darcy del nivel superior:
10 m/día,
* permeabilidad del nivel inferior: variable.
Figura 3.2. Acuífero homogéneo. Lentejones de agua dulce en un acuífero no
homogéneo.
Los límites del acuífero forman un cuadrado de 1.000 m de lado, con infil-
248

t r a c i ó n uniforme de 1 mm/dia en e l agua dulce. El c o e f i c i e n t e de almacena-
miento es de 0,4. En e l i n s t a n t e t = O l a profundidad de l a i n t e r f a s e es de
5 m, en todos l o s puntos, y este valor permanece constante a l o largo de
todo e l l i m i t e e x t e r i o r . Los cálculos se h i c i e r o n con una versión modificada
del programa BADONZ (VERRUIJT, 1987b; BEAR y VERRUIJT, 1987). La modifica-
ción hace posible tener en cuenta l a no homogeneidad v e r t i c a l de l a permea-
b i 1idad.
3.5.1. Profundidad máxima de l a i n t e r f a s e
La f i g u r a 3.3 muestra l a profundidad máxima de l a i n t e r f a s e (en e l centro
del acuifero cuadrado) en función del tiempo, para d i s t i n t o s valores de l a
conductividad h i d r á u l i c a del n i v e l i n f e r i o r . En l a f i g u r a se observa que l a
profundidad f i n a l de l a i n t e r f a s e es mayor para valores más bajos. Esto es
lógico, ya que l a capacidad de drenaje es entonces menor y, por tanto, se
genera una fuerza conductora mayor. Se entiende pues, que e l paso del r a t i o
de permeabilidad desde un v a l o r 0,Ol a o t r o 0,001 i n f l u y a de manera muy
notable en l a profundidad f i n a l de l a interfase, y a que l a capacidad de
drenaje del n i v e l i n f e r i o r es prácticamente nula, en cualquier punto.
Figura 3.3. Máxima profundidad de l a interfase, en función del tiempo, para
varios valores del r a t i o de permeabilidad K2, K1.
249

3.5.2. Tiempo de migración de l a i n t e r f a s e
La v e l o c i d a d de migración de l a i n t e r f a s e es menor para permeabilidades
b a j a s d e l n i v e l i n f e r i o r , l o cual parece razonable. También, puede verse
que, p a r a v a l o r e s muy bajos de l a permeabilidad en e l n i v e l i n f e r i o r , l a
i n t e r f a s e alcanza l a d i s c o n t i n u i d a d a 10 m de profundidad r e l a t i v a m e n t e
pronto, pero e l d e s a r r o l l o p o s t e r i o r de l a i n t e r f a s e se r e t r a s a considera-
blemente. Por ú l t i m o , puede observarse que e l d e s a r r o l l o de l o s l e n t e j o n e s
de agua dulce, de l a p a r t e s u p e r i o r d e l acuífero, e s t á i n f l u i d o p o r l a
permeabilidad de l a p a r t e i n f e r i o r . La i n t e r f a s e alcanza l a segunda capa más
t a r d e cuando l a zona i n f e r i o r es menos permeable. Esto puede e x p l i c a r s e por
l a mayor r e s i s t e n c i a a l f l u j o d e l agua salada.
4. MODELACION A PARTIR DE LA APROXIMACION DE LA DENSIDAD VARIABLE
Los problemas de mezcla de agua d u l c e y agua salada, en l o s que es necesaria
l a a p l i c a c i ó n de modelos de t r a n s p o r t e de solutos, pueden s e r agrupados en
l a s s i g u i e n t e s c a t e g o r í a s :
* s i t u a c i o n e s l o c a l e s o regionales, en l a s que l a f r a n j a de t r a n s i c i ó n
e n t r e l a s aguas subterráneas, d u l c e y salada, es t a n amplia que su
esquematización, mediante una i n t e r f a s e neta, da un e r r o r inaceptable
o r e s u l t a d o s t r i v i a l e s .
* s i t u a c i o n e s l o c a l e s , en l a s que no se puede conseguir una s o l u c i ó n
s u f i c i e n t e m e n t e p r e c i s a de l a concentración de sales, mediante modelos
de i n t e r f a s e neta. Un ejemplo t í p i c o de e s t o es e l ascenso de l a
i n t e r f a s e b a j o un campo de pozos.
E l e s t u d i o d e t a l l a d o de e s t o s problemas e x i g e l a r e s o l u c i ó n de dos ecuacio-
nes, en e l dominio completo d e l a c u í f e r o . Las dos ecuaciones son l a de l a
conservación de l a masa d e l f l u i d o (ecuación d e l f l u j o ) , y l a de l a conser-
vación d e l s o l u t o (ecuación de t r a n s p o r t e ) ( v e r apartado 2).
Se han encontrado soluciones a n a l í t i c a s de e s t a s ecuaciones para casos espe-
c i a l e s , con condiciones muy s i m p l i f i c a d a s , pero de una u t i l i d a d muy l i m i -
250

tada.
Los métodos numéricos, por ser más flexibles, son mucho más utilizados. De
las dos ecuaciones, l a de la conservación de la masa del fluido puede ser
resuelta mediante técnicas numéricas estándar, como las de diferencias
finitas (FD) y elementos finitos (FE). En general, l a resolución de esta
ecuación no ofrece mayores problemas. La ecuación de transporte es más
compleja y da mayores problemas numéricos, tales como l a dispersión numérica
y la sobresaturación en los frentes de alta concentración. También, el fenó-
meno de la dependencia de la densidad de los procesos de transporte y flujo
impone una serie de restricciones a los métodos numéricos, por lo que nece-
sita de especial atención.
En este punto se discuten primero las consecuencias de las diferencias entre
los métodos numéricos utilizados, para modelizar los flujos de densidad
variable Se tratan, después, las condiciones impuestas por l a dependencia de
l a densidad en estos problemas y, finalmente, se exponen una serie de ensa-
yos para verificar este tipo de modelos.
4.1. Uétodos de resoluclbn nmérica para la siulación del transporte de
solutos
Las cuatro categorías principales de métodos numéricos, aplicables para l a
resolución de la ecuación del transporte, son (KINZELBACH, 1987):
* métodos de diferencias finitas,
* métodos de elementos finitos,
* método de las características, y
método del camino aleatorio.
El método de las diferencias finitas discretiza el acuífero en i celdas, en
cada una de las cuales se realiza un balance de los contaminantes en un
intervalo de tiempo (t,t t A t). De esta forma, se llega a un sistema de
ecuaciones lineales, para las concentraciones en las celdas C, (t + A t),
para el tiempo t t A t.
251

E l método se basa en l a d i s c r e t i z a c i ó n , espacial y temporal, de l a s concen-
t r a c i o n e s u t i l i z a d a s para l a d e s c r i p c i ó n d e l f l u j o advectivo y d i s p e r s i v o , a
t r a v é s de l o s l i m i t e s de l a s celdas.
Los d i f e r e n t e s modelos s ó l o d i f i e r e n , esencialmente, en l a e l e c c i ó n del t i p o
de d i s c r e t i z a c i ó n o aproximación. Las esquemas de aproximación c e n t r a l son
numéricamente más adecuados, debido a que su e r r o r de truncadura es de
segundo orden. Sin embargo, son muy sensibles a l o s f a l l o s en e l c r i t e r i o de
d i s c r e t i z a c i ó n . Los esquemas no centrados son más robustos, pero presentan
problemas de d i s p e r s i ó n numérica. Estos problemas se reproducen también en
los métodos de elementos f i n i t o s .
Los métodos de elementos f i n i t o s l l e g a n a l o s sistemas de ecuaciones l i n e a -
l e s en dos pasos. Primero se construye, sobre l a t o t a l i d a d d e l mallado, una
s o l u c i ó n de tanteo, c o n s i s t e n t e en una f u n c i ó n de i n t e r p o l a c i ó n , que pasa
p o r los v a l o r e s c e n t r a l e s desconocidos de l a Concentración Ci(t) para e l
tiempo t. A c o n t i n u a c i ó n se o b t i e n e una ecuación d i f e r e n c i a l o r d i n a r i a , para
cada nodo de l a malla, con l a c o n d i c i ó n de que l a s o l u c i ó n ensayada cumpla
l a ecuación de t r a n s p o r t e , con un e r r o r r e s i d u a l mínimo (condiciones de
G a l e r k i n ) . Derivando respecto a l tiempo, e l sistema de ecuaciones d i f e r e n -
c i a l e s se c o n v i e r t e en un sistema de ecuaciones alqebraicas l i n e a l e s p a r a
C i ( t + A t ) en cada nodo. Hay gran variedad de formas de elementos f i n i t o s y
de funciones de i n t e r p o l a c i ó n , a d i s p o s i c i ó n d e l modelista, l a más simple l a
c o n s t i t u y e n los elementos t r i a n g u l a r e s , con i n t e r p o l a c i ó n l i n e a l (PLINDER y
GRAY, 1977).
E l método de l a s c a r a c t e r í s t i c a s separa e l proceso d e l t r a n s p o r t e , en l a
advección a l o l a r g o de l í n e a s c a r a c t e r í s t i c a s , y l a d i s p e r s i ó n en un s i s t e -
ma coordenado r e f e r i d o a l movimiento advectivo. Este p r i n c i p i o puede r e a l i -
zarse moviendo e l mallado. Una forma menos t e d i o s a c o n s i s t e en e l desplaza-
miento de p a r t í c u l a s . Mientras que e l t r a n s p o r t e convectivo e s t á l i g a d o a l
movimiento de l a s p a r t í c u l a s , que son i n d i c a d o r a s de l a s concentraciones
l o c a l e s , l a r e d i s t r i b u c i ó n de l a concentración de l a s p a r t í c u l a s , debida a
l a d i s p e r s i ó n , se c a l c u l a en un mallado f i j o . E l método requiere, por esto,
una a l t e r n a n c i a e n t r e l a s concentraciones c e l u l a r e s y p a r t i c u l a r e s .
Finalmente, e l método d e l camino a l e a t o r i o (SPITZER, 1964) es también un
252

método de desplazamiento de partículas. Aquí, s i n embargo, cada p a r t í c u l a
representa un volumen f i j o de contaminante. Tanto e l transporte advectivo
como e l dispersivo se representan por l o s movimientos de l a s partículas.
E l primero se produce a l o largo de l a s líneas de f l u j o , mientras que e l
segundo corresponde a l a suma de un movimiento aleatorio, cuyas caracterís-
t i c a s estadísticas dependen de l o s valores de los coeficientes de disper-
sión. E l movimiento de una sola p a r t í c u l a no ofrece ninguna información.
Sólo l a superposición de l a s trayectorias de muchas partículas, y l a consi-
guiente adición de l a s masas que representan, en un mallado, permite conocer
l a s concentraciones.
4.2. Consecuencias de l a u t i l i z a c i ó n de los d i s t i n t o s métodos de resolución
numérica
Varios autores (KINZELBACH, 1987) han comparado l a e f i c a c i a y precisión de
los diferentes métodos numéricos, en l a model ación del transporte de solu-
tos. A pesar de que e l t r a b a j o de KINZELBACH (1987) se r e f i e r e a l a propaga-
c i ó n de l o s frentes de concentración, en torno a un penacho de contamina-
ción, l a s conclusiones también tienen i n t e r é s para l a modelación del trans-
p o r t e del agua salada. E l desarrollo de l a dispersión numérica, a l o l a r g o
de un f r e n t e de agua salada, puede ser comparado al que ocurre en un f r e n t e
contaminante, ya que ambos tienen grupos de ecuaciones y soluciones simi-
1ares.
No se puede dar ningún c r i t e r i o preciso, para l a selección de un método
numérico, para resolver l o s problemas de mezcla de agua dulce y agua salada.
S i n embargo, l o s trabajos de KINZELBACH y otros autores muestran que l a
elección debe e s t a r basada en e l carácter dominante en l a ecuación del
transporte del soluto, y en e l n i v e l de d i s c r e t i z a c i ó n deseado. Las conclu-
siones de KINZELBACH pueden ser resumidas de l a forma siguiente:
S i e l carácter de l a ecuación de transporte, para e l n i v e l de d i s c r e t i z a c i ó n
elegido, es predominantemente advectivo (punto 2.3) para números de
Grid-Peclet Pe > 2, entonces l o s métodos de desplazamiento de p a r t í c u l a s
(método de l a s c a r a c t e r í s t i c a s y método del camino a l e a t o r i o ) son, en
253

p r i n c i p i o , más adecuados para l a r e s o l u c i ó n de l a s ecuaciones. S i n embargo,
t i e n e n l a desventaja de consumir más tiempo de ordenador, y son menos
adecuados para 1os anál is i s de sensi b i 1idad.
S i es f a c t i b l e una d i s c r e t i z a c i ó n espacial s u f i c i e n t e (mallas no mucho mayo-
r e s que l a d i s p e r s i v i d a d l o n g i t u d i n a l ) , l o s métodos de d i f e r e n c i a s f i n i t a s y
elementos f i n i t o s son mejores que l o s métodos de desplazamiento de p a r t í c u -
l a s , t a n t o en l o que respecta a l tiempo de c á l c u l o como a l a p o s i b i l i d a d de
a n á l i s i s de s e n s i b i l i d a d . Unas condiciones tan adecuadas sólo se encuentran
s i l a zona a e s t u d i a r es muy pequeña y l a s i t u a c i ó n e s t á relativamente b i e n
d e f i n i d a . S i , además, e l f l u j o es permanente, l a s t é c n i c a s de d i r e c c i o n e s
p r i n c i p a l e s c o n s t i t u y e n e l método más e f i c a z para solucionar e l problema.
El método de elementos f i n i t o s (FE) es entonces mejor que e l de d i f e r e n c i a s
I I I I I L ~ ~(TU,, y a que per-mitt. ür-ieñtar- l a m a l l a según l a s direcciüiies pi-ilici-2 2 . 2 . . ,Y,,
p a l es.
En l o s problemas de campo l a s condiciones de d i s c r e t i z a c i ó n , para l o s méto-
dos de FD y FE, no se cumplen frecuentemente. En t a l caso l a s opciones se
ven r e s t r i n g i d a s a usar un método de desplazamiento de p a r t í c u l a s , o hacer
una combinación de un modelo l o c a l (FD o FE), con una m a l l a densa anidada,
en un modelo r e g i o n a l con m a l l a más espaciada. Para problemas t r i d i m e n s i o -
n a l e s l a segunda opción parece ser, actualmente, l a Única p o s i b l e .
4.3. Consecuencias de l a modelación del f l u j o de densidad variable
4.3.1. Generación de velocidades a r t i f i c a l e s
Una consecuencia de l a modelación d e l f l u j o , en condiciones de densidad
v a r i a b l e , es que se pueden generar a r t i f i c i a l m e n t e velocidades v e r t i c a l e s
d e l f l u j o (FRIND, 1982; VOSS y SOUZA, 1987). Como se demuestra a p a r t i r de
l a l e y de Darcy (ecuación 2.1.1):
l a v e l o c i d a d v e r t i c a l en un punto qz es proporcional a l a d e r i v a d a p a r c i a l
254

de l a presión en ese punto, compensada por un término de peso especifico
local, igual al gradiente de presión hidrostática. El cálculo numérico de l a
velocidad requiere funciones de interpolación, tanto para l a presión como
para l a densidad.
El problema de l a generación de velocidades verticales a r t i f i c i a l e s tiene
lugar, por ejemplo, cuando l a presión y l a densidad pueden variar
linealmente en el espacio, condición ligada al empleo de un esquema de
discretización simple. Esto hace que el gradiente de presión sea constante,
a lo largo de toda l a a l t u r a de l a malla, mientras que el gradiente
hidrostático varia linealmente. De e s t a forma, l a suma del gradiente
negativo de presión y e l gradiente hidrostático, no es cero en cualquier
lugar, sino que varía con z y, en consecuencia, se generan velocidades
vert i cal es.
T
bí*Zi
Figura 4.1. Gradientes de presión en una f r a n j a de transición. A ) Gradiente
de presión interpolado linealmente. B ) Gradiente de presión
hidrostática, basado en una interpolación lineal de l a densidad
del fluido. C ) Gradientes residuales causantes de velocidades
verti cal es a r t i f i c i a l e s .
Como se puede observar, l a s velocidades a r t i f i c i a l e s son nulas en el centro
de las mallas. En l a mitad superior de l a malla se origina una velocidad
ascendente, y en l a mitad i n f e r i o r una velocidad descendente. De acuerdo con
VOSS y SOUZA (1987), l a s velocidades a r t i f i c i a l e s llegan fácilmente a
magnitudes del orden de cien metros por año, en simulaciones de problemas
reales. En el caso de que sea estrecha l a f r a n j a de transición, e n t r e e l
agua dulce y el agua salada, estas velocidades a r t i f i c i a l e s pueden tener un
efecto significativo, tambien en l a solución del modelo de transporte. Esto
es especialmente c i e r t o para simulaciones a largo plazo, o en régimen
permanente, en e l que aun velocidades muy pequeñas afectan a l a solución.
255

Los c o e f i c i e n t e s de d i s p e r s i ó n (que dependen de l a velocidad), también se
v e r í a n afectados por l a s velocidades a r t i f i c i a l e s , causando un
ensanchamiento a r t i f i c i a l considerable de l a s f r a n j a s de t r a n s i c i ó n .
4.3.2. Soluciones
E l problema de l a s velocidades a r t i f i c i a l e s puede e l i m i n a r s e , s i e l
g r a d i e n t e de p r e s i ó n y e l g r a d i e n t e h i d r o s t á t i c o se aproximan con
expresiones d e l mismo orden en z. Esta c o n s i s t e n c i a puede obtenerse haciendo
v a r i a r cuadráticarnente a l a p r e s i ó n y linealmente a l a densidad. S i n
embargo, e s t o i m p l i c a l a i n t r o d u c c i ó n de elementos más complejos, l o que
complica l a s soluciones numéricas y r e q u e r i r í a n mucho más tiempo de c á l c u l o .
FKIND (IY82j d e s a r r o l l ó un método consistente, en un modeio de eiementos
f i n i t o s económico, con elementos l i n e a l e s rectangulares s e n c i l l o s . La
c o n s i s t e n c i a se consigue asignando una s o l a velocidad a cada elemento. E l
v a l o r de l a velocidad se c a l c u l a en e l c e n t r o d e l elemento, basándose en una
densidad Única constante para e l elemento. E l método se mejoró más t a r d e ,
permitiendo una v a r i a c i ó n h o r i z o n t a l l i n e a l de l a densidad sobre l o s
plmPnt.nT, y rnñnt.Pniendn densidades constantes sobre l a v e r t i c a l de cada
elemento. Un método general de elementos f i n i t o s , d e s c r i t o p o r V O S , se
u t i l i z a en e l modelo SUTRA d e l USGS (VOSS, 1984).
Los r e s u l t a d o s de l a simulación, en ambas aproximaciones: l a de v e l o c i d a d
c o n s i s t e n t e y l a de velocidad i n c o n s i s t e n t e , para e l ascenso de l a i n t e r f a s e
en régimen permanente, se muestran en l a f i g u r a 4.2, que corresponde a un
ejemplo propuesto p o r REILLY y GOODMAN (1987). Se a p r e c i a claramente l a
mejora, con e l método consistente, en l a simulación de l a f r a n j a de
t r a n s i c i ó n estrecha.
4.4. Tests y verificación
Un aspecto importante, en l a modelación, es l a s e l e c c i ó n de l a herramienta
apropiada. Por o t r a parte, l o s t e s t s son un medio indispensable para
v e r i f i c a r l a bondad de un modelo. E l primer o b j e t i v o de un t e s t es d e s c u b r i r
256

hasta qué punto l o s resultados de los códigos de un programa concuerdan con
l a realidad. A pesar de que l a mayoría de l o s programas disponibles han sido
verificados, muchos de e l l o s muestran alguna dispersión numérica o
velocidades falsas, como se ha v i s t o en l o s párrafos anteriores. Resultados
erróneos de este t i p o no son una j u s t i f i c a c i ó n , suficiente, para
d e s c a l i f i c a r un programa, teniendo en cuenta que no exist e una equivalencia
completa entre e l grado de aproximación del modelo y l a e f i c i e n c i a del
programa. Por ejemplo, no resulta todavía f a c t i b l e , para una simulación
tridimensional real, un método de desplazamiento de part í culas que e v i t e l a
dispersión numérica. Por o t r o lado, l o s errores de este t i p o son también
función de l a escala de discretización. Depende, finalmente, del usuario
d e c i d i r s i estas inadecuaciones son aceptables o no.
Distancia horizontal en metros
Figura 4.2. Comparación de l a s simulaciones del ascenso de l a int erf ase
salina, en régimen permanente. En l í n e a continua, l a
aproximación de velocidad consistente (REILLY y GOODMAN, 1987).
En l í n e a en trazos, l a aproximación de velocidad inconsistente.
Las concentraciones vienen dadas en t ant o por ciento de agua
salada.
E l mejor camino, para garantizar l a validez de un programa de ordenador, es
su validación, en problemas similares, a l o s que se t r a t a de estudiar con
é l . Esto implica l a comprobación de su capacidad para representar
correctamente l a s condiciones en l o s l i m i t e s , l o s procesos f í sicos, l a s
características geológicas, etc, y l a posibilidad de c a l i b r a r e l modelo con
parámetros reales. A continuación se exponen brevemente algunos casos.
257

4.4.1. F l u j o convectivo
LOS ejemplos de f l u j o convectivo, producido por l o s contrastes de densidad,
para casos de i n t e r f a s e neta, están basados frecuentemente en soluciones
a n a l í t i c a s . Un ejemplo es l a rotación de una i n t e r f a s e v e r t i c a l , para l a que
se han presentado soluciones a n a l i t i c a s por VERRUIJT (1980) y WILSON y SA DA
COSTA (1982). Con modelos de transporte, para obtener resultados
comparables, l a dispersividad y d i f u s i v i d a d deberían ser iguales a cero
( f i g u r a 4.3).
Figura 4.3. Rotación de una i n t e r f a s e inicialmente v e r t i c a l (BEAR y
VERRUIJT, 1987).
4.4.2. Ve1o c i dades v e r t i cal es a r t i f ic i a l es
La generación de velocidades v e r t i c a l e s a r t i f i c i a l e s puede detectarse,
simulando un f r e n t e de concentración horizontal, inicialmente n í t i d o , en un
acuifero completamente cerrado (ver también apartado 4.2), en e l que no
e x i s t e f l u j o a través de l o s l í m i t e s , y en e l que l a dispersividad y
d i f u s i v i d a d son iguales a cero. E l t e s t debería desarrollarse t a n t o con e l
f r e n t e coincidiendo con una s e r i e de bordes de elementos, como con e l f r e n t e
intersectando bordes de elementos. Es evidente que e l f r e n t e seguiría siendo
n i t i d o , aún para tiempos de simulación largos. Sin embargo, l a s velocidades
v e r t i c a l e s a r t i f i c i a l e s generarán una f r a n j a de t r a n s i c i ó n gradual ( V O S y
SOUZA, 1987). Cuando se escogen de forma r e a l i s t a l o s valores de l o s
parámetros f í s i c o s , se puede obtener una idea de l a dispersión a r t i f i c i a l ,
causada por este fenómeno. A l alcanzar l a s velocidades inducidas
a r t i f i c i a l m e n t e valores máximos, para f r a n j a s de t r a n s i c i ó n netas, e l efecto
258

del
4.4
fenómeno es menor que para franjas de transición más difusa.
3. Transporte convectivo y dispersivo
La dispersión numérica, causada por la simulación del transporte convectivo,
sólo se puede evaluar, fácilmente, a partir de un frente nítido, con
dispersividad y difusividad nulas. La simulación, tanto del transporte
convectivo como del dispersivo, puede ser chequeada con muchas soluciones
disponibles, para problemas de transporte, independientes de la densidad,
desligando l a densidad y l a concentración en los programas de prueba
(ecuación 2.3.2). Descripciones detalladas de los procedimientos para
comprobar problemas de transporte se pueden encontrar en HUYAKORN e t a l .
(1984) y KINZELBACH (1987) (figura 4.4).
'A : B
Figura 4.4. Líneas de concentración, obtenidas con ordenador, de un penacho
de contaminación, en un área de flujo uniforme (KINZELBACH,
1987). Al Solución analítica. B) Solución numérica con un modelo
de flujo con dispersión numérica
4.4.4 intrusión
Otros aspectos relativos a la aplicabilidad de un programa de ordenador,
259

t a l e s como su capacidad para resolver esquemas de f l u j o típicos, requieren
ensayos más complejos. Cuando se consideran los problemas de intrusión, l a s
soluciones de referencia son usualmente l o s resultados de otros modelos
numéricos, muy ensayados, ya que rara vez se pueden obtener soluciones
analíticas. Una excepción l a constituye l a solución para intrusiones
marinas, encontrada por HENRY (1964) (figura 4.5).
O
Figura 4.5 A. Parámetros, condiciones de contorno y solución del problema de
Henry (HENRY , 1964).
Y
>
e
a
U
O
2.00 ,, ,, , ,,I ,,I ,,, I ,,I , ., . ...
d
1 0-
Figura 4.5 B Flujo y concentración de sales en un modelo matemático
idealizado (HENRY, 1964).
Muchos autores han usado e s t a solución para l a verificación de sus modelos,
por ejemplo PINDER y COOPER (1970), FRIND (19821, SANFORD y KONIKROW (1985)
y VOSS y SOUZA (1987). Sin embargo, no e s t á c l a r a l a bondad de e s t a
solución, debido a que son muy semejantes entre s i l o s resultados de l o s
260

modelos numéricos, pero ninguno de e l l o s es capaz de reproducir
satisfactoriamente e l resultado a n a l í t i c o . Asimismo, l a representación de l a
dispersión es de alguna manera a r t i f i c i a l ( V O S y SOUZA, 1987). Todavía se
considera un t e s t válido, ya que hay muchas soluciones numéricas que hacen
referencia a este t e s t , que r e f l e j a una situación práctica.
o - , I I I I I I I I I I I I 1 I I I 1 I
-E
n -
- -
2 0'5 -
z3 -
Y
a
C I
O 1 2
DISTANCIA (m)
Figura 4.5 C Comparación con e l modelo de Segol para e l problema de Henry
m2/s) (SANFORD-KONIKOW,(en l o s dos modelos Dm = 6,6 .
1985).
4.4.5 Ascenso de l a i n t e r f a s e
Otro esquema t í p i c o , de f l u j o de agua subterránea dulce-salada, aparece en
l a s proximidades de un pozo de bombeo o dren, situado sobre un f r e n t e de
agua salada i n i c i a l m e n t e horizontal. En esta s i t u a c i ó n se forma un conoide
de agua de concentración más a l t a bajo e l sondeo, perjudicando l a calidad
del agua bombeada. PETERS (1983b, f i g u r a 4.6) da una solución semianalítica
de referencia, con i n t e r f a s e neta, para una simulación en dos dimensiones,
en régimen t r a n s i t o r i o . REILLY y GOODMAN (1987) publicaron un ensayo
numérico, b i e n documentado, para un caso con simetría axial y densidad
variable, que puede ser u t i l i z a d o como solución de referencia para l o s
t e s t s .
5. EJEMPLO DE APLICACION. ESTUDIO DEL CASO "DE PANNE"
E l estudio realizado por LEBBE (1984) de l a situación en "De Panne", en l a
261

costa belga, es un excelente ejemplo de uso combinado de modelo de i n t e r f a s e
y de modelo de transporte de soluto, en situaciones de mezcla de agua dulce
y salada. Con permiso del autor, investigador asociado a l National Fund o f
S c i e n t i f i c Research (Bélgica), y que t r a b a j a en l a Universidad Estatal de
Ghent, se i n c l u y e aquí p a r t e de su trabajo de modelación.
30
25
20
15
10
5
O
O 50 100 150 200
Figura 4.6 Posiciones de l a i n t e r f a s e a l o s O, 25, 50, 75 y 100 días. E l
bombeo se interrumpió a l o s 50 días (PETERS, 1983b).
5.1. Introducción al problema
En l a zona costera flamenca l a s posibilidades de captación de agua dulce
son limitadas. Los acuíferos cautivos profundos contienen agua de buena
calidad, pero no es f a c t i b l e e l aprovechamiento de grandes cantidades. Los
acuiferos poco profundos son más productivos pero, desafortunadamente,
contienen t a n t o agua dulce como salada. La mayoría de l o s campos de pozos en
l a zona obtienen su agua de estos acuiferos poco profundos, provocando una
s i t u a c i ó n en l a cual l a c a l i d a d del agua puede deteriorarse, por i n t r u s i ó n
marina, E l t r a b a j o de LEBBE se dedicó a l a simulación del f l u j o de aguas
subterráneas, en un área pequeña, en l o s alrededores de "De Panne", con e l
propósito de i n v e s t i g a r cómo se podría explotar l a reserva de agua de forma
segura ( f i g u r a 5.1 1.
262

0 de b zona enudioda i L LE
hidraullca del a dulce
ada en O wbre nlvelTAW 7 i
ción hldro~o1cqlco 6 í
Figura 5.1 Mapa de l o c a l i z a c i ó n del estudio hidrogeológico en "De Panne".
Las investigaciones hidrogeológicas previas, de l a zona de dunas de "De
Panne", habían proporcionado d e t a l l e s de l a l i t o e s t r a t i g r a f i a de l o s
acuíferos y de sus parámetros hidráulicos (LEBBE, 1983). También se había
llegado a l a conclusión de que, bajo l a playa, se l o c a l i z a un acuífero
s a l i n o sobre un sistema más profundo de agua dulce y agua salobre (LEBBE,
19811.
Investigaciones posteriores de LEBBE y su equipo incluyeron un estudio
detallado de este acuífero salado, bajo l a playa, basado en l a toma de
muestras de agua y en medidas de r e s i s t i v i d a d en sondeos, así como en e l
desarrollo de varias simulaciones con diferentes t i p o s de modelos.
5.2. Perfiles de resistividad
Se tomaron muestras de agua y medidas de r e s i s t i v i d a d en 30 sondeos,
situados en cinco cortes perpendiculares a l a costa en e l área de "De Panne"
( f i g u r a 5.1). Los p e r f i l e s KQ, K1 y K2 ( f i g u r a 5.2) muestran claramente que,
bajo l a playa, se encuentra un acuífero s a l i n o en l a parte superior de l a
zona de agua dulce, que descarga e l exceso de agua de l a costa a l mar.
263

También se puede observar que l a salida del agua dulce, bajo este acuífero
salino, está bloqueada por e l agua de mar en dos de l a s secciones (K3 Y K4
en l a f i g u r a 5 . 2 ) . E l fenómeno se estudió posteriormente mediante modelos.
O 50 100 150 2W 250 m
Figura 5.2. Secciones de r e s i s t i v i d a d perpendiculares a l a costa en l a playa
próxima a "De Panne".
5.3. Simulación de una i n t e r f a s e neta
Para simular e l régimen permanente del agua subterránea, en una sección
v e r t i c a l de l a s dunas, playa y mar, perpendicular a l a costa, se u t i l i z ó un
modelo de i n t e r f a s e neta bidimensional. E l modelo; capaz de simular l a s
líneas de f l u j o en e l plano v e r t i c a l , se empleó para calcular l o s efectos en
e l f l u j o , provocados por los cambios en l a recarga de agua dulce ( f i g u r a
5.4). E l mar y l a parte de costa bajo e l n i v e l del agua se simuló como un
l i m i t e a potencial impuesto. Los niveles en l o s lí mit es, entre l a
264

piezometría de aguas altas y bajas, se determinaron mediante el control de
niveles en piezómetros instalados en l a playa (figura 5.3). La base del
modelo, coincidente con el techo de una capa de arcillas de cien metros de
potencia, se tomó como un límite cerrado. Se asignaron límites abie'-tos, con
caudales entrantes definidos, para el sector de dunas y la parte seca de l a
costa sobre el nivel de aguas altas. Estos últimos límites posibilitaron al
modelador introducir diferentes recargas, y estudiar sus efectos.
Figura 5.3. Fluctuaciones de los niveles de agua dulce en dos piezómetros,
de dos metros de profundidad, localizados a 360, 245, 165, 90 y
5 m de l a linea de pleamar, en dirección al mar (P6 está
localizado a 70 m tierra adentro).
Los resultados de los cálculos (figuras 5.4a a 5 . 4 ~ )se corresponden con las
medidas, y evidencian l a descarga de agua dulce por debajo de los lentejones
de agua salada subyacentes a l a playa (figura 5.4a). El tamaño de estos
lentejones de agua salada se incrementa, considerablemente, si l a recarga de
l a zona de dunas disminuye, haciendo que el área de descarga del agua dulce
se mueva mar adentro (figura 5.4b). Si el flujo entrante, a través del
límite vertical bajo las dunas, se invierte y si se iguala a l a infiltración
en las dunas, el acuífero salino ocupa todo el perfil hasta l a capa base
(figura 5 . 4 ~ ) .
5.4. Ajuste de un d e l o de transporte de solutos
Después de l a simulación en régimen permanente, con un modelo de interfase
neta, quedan algunas cuestiones sin responder. Por ejemplo, no queda
determinado por el modelo, el estado intermedio de los lentejones y el
205

periodo de tiempo que transcurre durante l a transición entre una situación y
otra. Igualmente, no s e pudo investigar el desarrollo de zonas salobres.
Para encontrar respuesta a e s t a s cuestiones se decidió ajustar el modelo de
transporte de soluto de Koni kow-Bredehoeft para f l u j o s dependientes de l a
densidad, y usarlo para l a simulación de régimen t r a n s i t o r i o en "De Panne"
( l a versión dependiente de l a densidad, del programa de Konikow no estaba
preparada en ese momento).
........-
E?!
E6'ti
......
Til
1
Figura 5.4. Lineas de f l u j o y potencial de agua salada y agua dulce, bajo l a
playa, para diferentes cantidades de f l u j o horizontal de agua
dulce, bajo l a s dunas (modelo bidimensional de sección
transversal ) .
266

El modelo e s t á basado en el método de diferencias f i n i t a s , usando un método
de desplazamiento de partículas, para simular el transporte convectivo del
soluto. Los ajustes del programa incluyen una corrección de los gradientes
de presión, en l a ecuación de f l u j o , y l a introducción de una relación
lineal entre l a densidad y l a concentración del fluido. Los d e t a l l e s no se
incluyen en e s t e artículo.
5.5. Verificación del modelo de transporte de soluto ajustado
El modelo modificado se probó con dos ejemplos, y los resultados se
compararon con l o s obtenidos por el método semianalítico de los vórtices
(PETERS, 1983b).
5.5.1. Primer caso
El primer caso se r e f i e r e a l a elevación de l a interfase agua dulce-agua
salada, bajo u n dren. Los d e t a l l e s se muestran en l a s figuras 5.5 y 5.6. Se
supone que el dren extrajo del acuifero 10 m /día durante 50 días, después
de l o s cuales se paró el drenaje. El modelo de transporte de soluto se
comprobó usando nueve partículas por celda y l a dispersión se igualó a cero.
La distribución de l a densidad se recalculó para periodos de 2,5 d í a s . Todas
l a s demás condiciones se escogieron similares a l a simulación de vórtices.
3
Plano de simairia
I
K Y
800 m
Figura 5.5. Sección de un acuifero con agua dulce y salada y un dren sobre
l a i n t e r f a s e (PETERS. 1983b).
267

Plano de
simetrío columna/
,
% 9 lgicrn’l
O ü 1 üw Copo impermeable o O = 2.5 m’ld
Limite de nivel de
U2 00 1025 [-il dulce Constan,e. 0 , = 2 . 5 m 3 i d
Borde impermeable imaginario x Punto de extracción
(dren, J.H.PETERS 1983b)
Figura 5.6. Sección de un acuífero con agua dulce Y salada y un dren sobre
l a interfase (LEBBE, 1984).
La comparación de los resultados muestra que el ascenso de la interfase,
bajo l a captaciónm es ligeramente más inestable para el modelo de transporte
del soluto debido, a l a discretización del punto de abstracción (figura
5.7). Sin embargo, en general, los resultados de ambos métodos concuerdan
bien. La gráfica de tiempos (figura 5.8) también muestra que ei modelo
numérico reacciona más enérgicamente y un poco más lento.
Sequndo caso
El segundo ejemplo se refiere a la inyección de agua dulce en un acuifero
salado confinado. El modelo de transporte de soluto dependiente de l a
densidad se comparó de nuevo con el método de los vórtices. Los detalles de
los ensayos se muestran en las figuras 5.9 y 5.10. Los resultados de l a s
simulaciones no se pueden compar de manera absoluta, ya que la simulación de
vórtices t r a t a b a una situación con simetría axial y el modelo de transporte
de soluto se usó en secciones transversales.
Se mantuvo l a inyección de agua dulce en el acuifero durante 60 días después
268

Figura 5.7. Posición de l a interfase a los O, 25, 50, 75 y 100 días. A)
Calculada por el método de l o s vórtices (PETERS, 1983b). B)
Calculada por e l método de l a s caracte rí st icas (LEBBE, 1984).
hlm)
30
25
20
15
10
I I75 rn 100
I50
IO 25
t i d )
Figura 5.8. Elevación de l a interfase bajo e l dren, en función del tiempo.
Línea a trazos: cálculo por e l método de l o s vórtices. Lineas
continuas: cálculos por e l método de l a s caract erist icas, para
d i s t i n t a s distancias horizontales.
269

Figura 5.9. Movimiento de l a interfase debido a l a inyección de agua dulce
en e l acuifero salino, durante 60 días. Modelo de simetría axial
(PETERS, 1983a).
tiempos después t'em os después
de la inyección de ificrru,mpir
nyeccip
+6.06 dias
OZi-6Uda
t
6.06 dias
24.6dias
616dias 616dias
0:. 6AZ&
Figura 5.10. Desarrollo de una masa de agua subterránea debido a l a
inyección de agua dulce en un acuífero salado (modelo
bidimensional de secciones transversales).
de los cuales se interrumpió. La comparación de l o s resultados, de ambas
simulaciones, muestra una buena correspondencia ent re l o s movimientos de l a
270

interfase neta del modelo de vórtices y la isolínea de 50% de cloruros del
modelo de transporte de solutos. Primero se desarrolla una masa globular de
agua dulce. Después de algunos dias esta masa empieza a expandirse por su
parte superior, desarrollando un conoide que flota sobre el agua salada.
Después de l a interrupción de l a inyección el cono pierde profundidad y
pronto el agua salada alcanza l a parte superior de l a r e j i l l a .
5.6. Evolución de los lentejones de agua dulce bajo l a s dunas y l a playa
El modelo de transporte de soluto ajustado se aplicó en l a simulación de l a
evolución natural de los lentejones de agua dulce bajo las dunas, la playa y
el mar durante un periodo de 500 años, después de que se formaran las dunas.
Después de ese periodo no se observó ningún cambio. Los niveles
piezométricos resultantes y las distribuciones de densidad del agua se
utilizaron como condiciones iniciales para la simulación de los cambios del
agua dulce en el supuesto de sobreexplotación en la zona de dunas.
El modelo cubre una sección de 1140 m de largo y 30 m de profundidad. En
esta sección 540 m son de zona de dunas (entre l a divisoria de aguas y l a
playa), 420 m pertenecen a l a playa y 180 m están cubiertos por el mar. El
plano vertical, bajo l a divisoria de aguas, y l a base del acuifero se
tomaron como límites de flujo nulo. Al límite correspondiente al mar y a l a
sección por debajo del nivel de aguas bajas se les asignó un potencial
constante e igual al nivel medio del mar. La sección correspondiente a l a
playa se f i j ó también como limite de potencial constante. Los valores de los
potenciales utilizados se dedujeron a partir de medidas en la playa (figura
3). La sección correspondiente a las dunas se definió como limite abierto
con una entrada determinada de agua dulce. El valor de este flujo se igualó
a l a infiltración estimada en el Zrea de dunas. La infiltración en l a playa
y el flujo desde el mar se supuso 100%salado; l a infiltración en las dunas
se supuso igual a l a precipitación, y completamente dulce. El modelo trabajó
con los siguientes parámetros: conductividades hidráulicas Kh = 10 m/día, Kv
= 0,2 m/dia, dispersividad longitudinal a = 0,15 m, dispersividad
transversal a t = 0,045 m, porosidad E = 0,3.
La simulación se realizó con nueve partículas por celda. La distribución de
271

l a densidad (para l a simulación de f l u j o ) se recalculó en periodos de cinco
años.
Los resultados de 13 primera simulación se muestran en l a f i g u r a 5.11. Las
condiciones i n i c i a l e s fueron una superficie inundada y un acuifero t o t a l -
mente l l e n o de agua salada. Se supone que, a p a r t i r de c i e r t o momento, l a
superficie del suelo sube por encima del n i v e l del mar, por l o que no
permanece inundada muchc tiempo. E l agua dulce se i n f i l t r a bajo l a nueva
zona de dunas formada y se desarrolla UII lentejón de agua salobre. La parte
superior del l e n t e j ó n salobre es reemplazada enseguida por agua dulce, que
continua extendiéndose en profundidad ( f i g u r a s 5.11A y 5.116). Una lengua de
agua salobre penetra bajo l a parte inundada de l a playa, basta que alcanza
l a l í n e a de costa bajo e l n i v e l del mar ( f i g u r a s 5.118 y 5.11C).
..-...., .. . . .
10 oñm I60o?i<w
- - * , - - - -
320anos
40años * 500anos
0h.*X w..m-nx [TT?] rnX,+w. [IIGD .rx,4*yIx Yn.**n 4. b.
Figura 5.11. Desarrollo de una masa de agua dulce bajo dunas, l a playa y e l
mar t r a s l a formación de l a s dunas sobre e l n i v e l medio del mar
(modelo bidimensional de secciones transversales).
272

Después de un largo periodo de tiempo, e l agua dulce ocupa totalmente e l
acuifero bajo l a s dunas, descargando e l exceso de agua dulce en l a costa por
debajo de un cinturón de agua salada que permanece situado bajo l a playa
( f i g u r a 5.11F). Después de 500 anos se puede considerar esta situación como
estable.
La segunda simulación t r a t a de l o s cambios en l a situación debidos a l a
sobreexplotación gradual del acuifero dulce. La explotación de agua dulce
bajo l a zona de dunas se incrementó gradualmente de O a 105% de l a recarga
t o t a l en dos periodos de cinco años. Los resultados de l a simulación se
muestran en l a f i g u r a 5.12. Tan pronto como empieza e l bombeo, l a masa de
agua salada bajo l a playa empieza a crecer. Los lentejones de agua dulce
i n f e r i o r e s empiezan a hacerse más f i n o s y más salados. Tan pronto como
empieza l a sobreexplotación del agua dulce del acuífero, e l agua salada de
l a parte i n f e r i o r del acuífero empieza a desplazarse t i e r r a adentro hacia e l
campo de pozos. Bajo l a playa, l o s lentejones de agua salada se extienden en
profundidad, y aislan l a lengua de agua dulce del acuifero bajo l a s dunas.
w.s9n w w m m n [11719 5 X . i - w I'X.*.xn %u.*.* 4.n
Figura 5.12. Cambios en l a calidad del agua subterránea bajo dunas, l a playa
y e l mar, durante l a extracción de agua en l a zona de dunas.
273

Con esta s i t u a c i ó n f i n a l , l o s lentejones de agua salobre, bajo l a l í n e a de
aguas bajas, f r e n t e a l pueblo de De Panne pueden explicarse como e l
resultado de una sobreexplotación en l a s dunas.
5.7. Ultimas observaciones
En sus conclusiones, LEBBE e n f a t i z a l a necesidad de usar un modelo desde e l
i n i c i o del estudio. Esto permite que e l modelador estime l a importancia
r e l a t i v a de l o s d i s t i n t o s parámetros y, en consecuencia, que su tiempo y
esfuerzo se dediquen a obtener l o s datos apropiados.
Una segunda puntualización, hecha por LEBBE, es que l a simulación de os
f l u j o s dependientes de l a densidad hace más imperiosa l a necesidad de
a d q u i r i r más datos sobre l o s parámetros h i d r á u l i c o s de l o s acuífe os
(conductividad h i d r á u l i c a , anisotropía y porosidad). Esto requiere ensayos
de bombeo especiales que permitan una determinación más aproximada de l a
conductividad h i d r á u l i c a v e r t i c a l de l o s acuíferos y acuicludos.
6. EVALUACION
6.1. Rangos de a p l i c a b i l i d a d de los modelos de i n t r u s i ó n marina
La a p l i c a b i l i d a d de l o s varios métodos descritos, en este trabajo, no puede
delimitarse de manera precisa. Algunos de estos métodos están todavía en
desarrollo a c t i v o (por ejemplo: E l Método A n a l í t i c o de Elementos). Además,
los métodos de resolución numérica se encuentran en un estado de mejora
continua, así como l a capacidad de l o s ordenadores. Es d i f i c i l predecir e l
futuro de estos desarrollos. En este sentido l a f i g u r a 6.1 sólo muestra un
esquema global del estado del a r t e actual. La f i g u r a distingue e n t r e
simulaciones en estado permanente y . en estado t r a n s i t o r i o . Se puede
mencionar, aquí, que l a simulación en estado t r a n s i t o r i o v a r í a según l o s
métodos de resolución numérica y a n a l í t i c a . Con l o s métodos a n a l í t i c o s l a
necesidad de una solución t r a n s i t o r i a se solventa resolviendo e l problema
para una dimensión más. Los métodos numéricos incluyen un proceso i t e r a t i v o ,
mediante e l cual l a s soluciones se obtienen por convergencia. Aquí, l a s
274

soluciones t r a n s i t o r i a s se obtienen calibrando estos procesos de i t e r a c i ó n
con series temporales de variables. E l método de resolución básico no
necesita ser ajustado.
Dimensiones
ESTADO
PERMANENTE
ESTADO
TRANSITORIO
3D
20 v e r t . 2D en
2D horiz. capas
1D h o r i z . 2D h o r i z .
Soluciones a n a l í t i c a s
1
F1u j o b i f a s e
E1ementos a r tif icia les
-
TransporteL EF y DF
Desplazamiento p a r t i c u l as
l
Soluciones a n a l í t i c a s
I --------
F1u j o b i f a s e
E1ementos a r tif ic i a les--------- - ----- I
I I I Tr-nsporte EF v nF l
c”-: --_--
Desplazamiento p a r t í c u l a s
I
Figura 6.1. Rangos de a p l i c a b i l i d a d de d i f e r e n t e s métodos.
Modelos de i n t e r f a s e neta
La u t i l i z a c i ó n de métodos a n a l í t i c o s e s t á r e s t r i n g i d a , generalmente, a
problemas que permiten l a s i m p l i f i c a c i ó n de sus condiciones. Aunque,
estrictamente hablando, e l rango de a p l i c a b i l i d a d de estos métodos no e s t á
l i m i t a d o a problemas bidimensionales, l a mayoría de l a s aplicaciones
encontradas son para problemas unidimensionales o bidimensionales. La
simulación del f l u j o t r a n s i t o r i o , añadiendo l a dependencia del tiempo,
impone mayores 1imitaciones.
Los modelos numéricos de f l u j o b i f a s e se han empleado con é x i t o para
encontrar soluciones a situaciones horizontales bidimensionales, v e r t i c a l es
bidimensionales, de simetría axial y de acuifero multicapa ( e j . : SWIM
proccedings). Los modelos numéricos que u t i l i z a n elementos a r t i f i c i a l e s se
275

han empleado para situaciones v e r t i c a l e s bidimensionales y de simetría
a x i a l . Se conocen soluciones aproximadas con e l Método A n a l í t i c o de
Elementos para situaciones de acuífero multicapa y tridimensional. La
simulación t r a n s i t o r i a no parece presentar mayores problemas con e l uso de
estos métodos.
Modelos de densidad variable
Los modelos de f l u j o dependiente de l a densidad en diferencias f i n i t a s (FD)
y elementos f i n i t o s (FE) se han empleado, con éxito, para resolver problemas
de i n t r u s i ó n marina, en sección transversal bidimensional (SOUZA y VOSS,
1986). La simulación en estado permanente de problemas bidimensionales es,
todavía, muy complicada, s i bien se han encontrado soluciones (ANDERSON, e t
al., 1987). No se han encontrado soluciones, todavía, en régimen t r a n s i t o r i o
para problemas tridimensionales y f l u j o de densidad variable. La p r i n c i p a l
d i f i c u l t a d , en simulaciones t a n complejas, es l a c a l i b r a c i ó n del modelo para
l o s procesos de transporte dependientes de l a densidad.
Los modelos de desplazamiento de particulas, para f l u j o s dependientes de l a
densidad, se han u t i l i z a d o con buenos resultados, en d i s t i n t o s problemas de
i n t r u s i ó n marina de sección transversal bidimensional (LEBBE, 1984; KOOIMAN
e t al., 1986). En p r i n c i p i o se pueden resolver casos tridimensionales, s i
bien no se han hecho aplicaciones hasta e l momento.
6.2. Conparación e n t r e los niétodos de i n t e r f a s e n e t a y de densidad v a r i a b l e
La u t i l i d a d y e f i c a c i a del método de i n t e r f a s e neta, f r e n t e a l método de
densidad variable, no se puede valorar en términos absolutos.
Los modelos de i n t e r f a s e neta han probado su u t i l i d a d en simulaciones de
problemas de agua dulce/salada regionales. También se han u t i l i z a d o para
obtener soluciones, rápidas y globales, para muchos problemas locales
gracias a su relativamente simple puesta a punto, así como a sus modestos
r e q u i s i t o s de datos y a l poco tiempo de c á l c u l o que necesitan. E l estudio
del caso "De Panne" muestra, claramente, como se pueden obtener, mediante
276

este método, unos buenos resultados para distintas condiciones, con un
modelo de interfase neta.
Sin embargo, los modelos de flujo de densidad variable son indispensables si
la franja de transición, entre el agua dulce y l a salada, es extensa y s i su
evolución es esencial para l a resolución del problema. Un ejemplo tipico es
el de la distribución de la sal cerca de un campo de pozos, en los que,
ioncentracimes relativamente bajas de sal en el a y a ' hacen critica l a
explotación.
Un ejemplo interesante de comparación de ambos métodos está dado por REILLY
y GOODMAN (19871, quienes simularon el ascenso de l a interfase debajo de un
pozo, para distintos caudales, por el método de l a interfase neta y el de
densidad variable. Los autores llegaron a las siguientes conclusiones:
- La isolínea 50% de cloruros y l a interfase neta se correlacionan bien para
extracciones de caudal moderado (descargas con un máximo del 60% de l a
DISTANCIA RADIAL ,(pies)
Figura 6.2. Comparación de los métodos de interfase neta con l a familia de
lineas de isocloruros, que representan l a solución del
transporte de solutos dependiente de la densidad (REILLY y
GOODMAN, 19871.
- El pozo puede descargar concentraciones significativas de agua salada,
277

incluso con caudales de descarga para los cuales el método de la interfase
neta predice un conoide estable bajo la r e j i l l a del pozo.
- Existe una relación casi lineal entre el caudal de descarga y l a
concentración para bombeos pequeños, que mantienen estable el conoide
(figura 6.3).
L O C A L I Z A C I O N DE LOS FILTROS
ISTANCII AOIHENSIONAL
-_
SISTEMA SlMBDiD DESDE ELNIVELSUPERLOR
DEL ACUIFERO
CAUDAL DE DESCARGA RELATIVA,a/aM,
Figura 6 . 3 . Comparación de l a descarga relativa en función de la
concentración relativa, para dos sistemas simulados con muy
diferentes localizaciones de las r e j i l l a s de los pozos. Los
sistemas 2 y 3 se refieren a diferentes configuraciones de
acuíferos (KELLY y GOODMAN, 1987).
- El ascenso de las líneas de isocloruros es sens
transversal y, en menor medida, a l a longitudinal.
El ejemplo muestra que el método de l a interfase net
ble a l a dispersividad
se puede utilizar para
modelar el esquema de flujo y l a localización de l a interfase en el caso de
extracciones de agua pequeñas y medias. Sin embargo, para caudales entre
medios y grandes son necesarios cálculos detallados, a nivel local, con el
f i n de determinar l a concentración de sal existente en el pozo.
278

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