1. Ampliación de Matemáticas
Primera prueba de evaluación
1. Comprueba que y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
x2y00 + xy0 + y = 0
Solución
Derivando, se tiene
y0 =
1
x
(−C1 sen(ln x) + C2 cos(ln x))
y, también
y00 =
1
x2 ((C1 − C2) sen(ln x) − (C1 + C2) cos(ln x))
Por lo tanto
x2y00 + xy0 + y = (C1 − C2) sen(ln x) − (C1 + C2) cos(ln x)
−C1 sen(ln x) + C2 cos(ln x)
+C1 cos(ln x) + C2 sen(ln x)
= 0
Así, pues, y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) verifica la ecuación diferencial y es, por tanto, una familia
de soluciones.
2. Comprueba que y = C1ex+C2e−x+C3e2x+3 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
y000 − 2y00 − y0 + 2y = 6
Solución
Se tiene
y0 = C1ex − C2e−x + 2C3e3x,
y00 = C1ex + C2e−x + 4C3e3x
e
y000 = C1ex − C2e−x + 8C3e3x
Por tanto
y000 − 2y00 − y0 + 2y = C1ex − C2e−x + 8C3e3x
−2C1ex − 2C2e−x − 8C3e3x
−C1ex + C2e−x − 2C3e3x
+2C1ex + 2C2e−x + 2C3e2x + 6
= 6
2. 3. Comprueba que y = cx + c2 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
y = xy0 + (y0)2
Determina k de forma que y = kx2 sea una solución singular de la ecuación diferencial dada.
Solución
Se tiene que y0 = c y, por tanto,
xy0 + (y0)2 = xc + x2 = y
Por otra parte, para que y = kx2 sea solución de la ecuación debe cumplirse que
kx2 = 2kx2 + (2kx)2
(Observa que y0 = 2kx). De donde
(k + 4k2)x2 = 0
Así que debe ser
k + kx2 = 0
y, resolviendo, o bien k = 0 o bien k = −1/4.
4. Encuentra, si es posible, m tal que y = xm sea solución de la ecuación diferencial
x2y00 + 6xy0 + 4y = 0
Solución
Teniendo en cuenta que y0 = mxm−1 e y00 = m(m − 1)xm−2, para que y = xm sea solución de la
ecuación diferencial debe verificarse que
m(m − 1)xm + 6mxm + 4xm = 0
Es decir, que
m(m − 1) + 6m + 4 = 0
Resolviendo, entonces la ecuación. obtenemos m = −1 o m = −4.
5. Un medicamento se inyecta en el flujo sanguíneo de un paciente con intensidad constante r gra-mos/
segundo. Simultáneamente, la sustancia se elimina con una velocidad proporcional a la can-tidad
de sustancia x(t) presente en cada instante. Halla la ecuación diferencial que explica el
comportamiento de x(t).
Solución
dx
dt
= r − kx, k > 0
3. 6. Comprueba que
y = 3
1 + ce6x
1 − ce6x
es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
dy
dx
− y2 = −9
Determina, si existen, soluciones que pasen por los puntos a) (0, 0), b) (0, 3) y c) (1/3, 1)
Solución
Derivando, se tiene
y0 =
36ce6x
(1 − ce6x)2
Por lo tanto,
y0 − y2 =
36ce6x
(1 − ce6x)2
− 9
(1 + ce6x)2
(1 − ce6x)2 = −9
Por otra parte, se tiene que para que la curva solución pase por (0, 0) ha de cumplirse que
0 = 3
1 + c
1 − c
de donde c = −1. Del mismo modo, para que pase por (0, 3) ha de verificarse que
0 = 3
1 + ce18
1 − ce18
de donde se obtiene que c = −e18. Finalmente, para que pase por (1/3, 1) debe ser
1/3 = 3
1 + ce6
1 − ce6
y, resolviendo, c = −(4/5)e−6.
