Ud1

1
Asignatura “TOPOGRAFÍA”: Plan de Estudios de la Titulación de Ingeniero Técnico de Obras Públicas.
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
INGENIERÍA CARTOGRÁFICA,
GEODESIA Y FOTOGRAMETRÍA
I.T.O.P
Unidad Didáctica I
INTRODUCCIÓN A LA
TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
Profesor Responsable : Raúl Pereda García
• 1.-DEFINICIÓN DE ESCENARIOS
1.1.- TOPOGRAFÍA Y GEODESIA
1.2.- ENCUADRE REFERENCIAL
1.3.- MODELIZACION DEL RELIEVE
1.4.- LECTURA DE MAPAS Y PLANOS
1.5.- INTERPRETACIÓN DE LAS FOTOGRAFÍAS
• 2.-INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA
2.1.- NECESIDAD Y LÍMITE DEL ESTUDIO
2.2.- FUNCIONES DE DENSIDAD
2.3.- CONSIDERACIONES ADICIONALES
ESTRUCTURA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA
I.T.O.P

2
1.- DEFINICIÓN DE ESCENARIOS
REPRESENTAR EN PAPEL
OBJETIVO UNA ZONA DE LA
COMÚN SEPERFICIE
TOPOGRAFIA
Representación de zonas de la tierra de
pequeña extensión (<10 km) con lo que
se puede despreciar la curvatura
terrestre.
PLANOS
GEODESIA
Representación de zonas de la tierra
de gran extensión (>10 km ) con lo
que NO se puede despreciar la
curvatura terrestre.
MAPAS
I.T.O.P
FORMA REAL DE LA TIERRA
SUPERFICIE
EQUIPOTENCIAL
• Se considera GEOIDE a la superficie equipotencial,
coincidente aproximadamente con el nivel medio de los
mares.
I.T.O.P

3
CARACTERIZACIÓN DEL GEOIDE
• Cualquier punto de la superficie se encuentra en
EQUILIBRIO del conjunto de fuerzas que interactúan.
• La dirección de la gravedad en cualquier punto de es
perpendicular al GEOIDE.
• Se define altura geoidal como la altura existente entre el
GEOIDE y la FIGURA de APROXIMACION debidas a las
variaciones de densidad de la tierra. (+/-100m).
• ECUACIÓN MATEMÁTICA DE LA SUPERFICIE SIN
DETERMINAR EN SU TOTALIDAD.
I.T.O.P
CARACTERIZACIÓN DEL GEOIDE
I.T.O.P
Ondulación del geoide para GRS-80

4
FIGURAS DE APROXIMACIÓN
ESFERA
ELIPSOIDE
GEOIDE
TIERRA
I.T.O.P
FIGURAS DE APROXIMACIÓN
GEOIDE
ECUACIÓN
MATEMÁTICA
COMPLEJA
ESFERA
ELIPSOIDE
I.T.O.P

5
ESFERA COMO FIGURA DE APROXIMACIÓN
RADIO = R
CENTRO (X,Y,Z)
En general R=6370km
I.T.O.P
• CENTRO (X,Y,Z)
• DOS PARÁMETROS:
– SEMIEJE MAYOR = a
– SEMIEJE MENOR = b
– Aplanamiento = α = f
– Primera Excentricidad = e
– Segunda Excentricidad = e’
a
ba
e
22
−
=
ELIPSOIDE COMO FIGURA DE APROXIMACIÓN
a
ba −
=α
b
ba
e
22
'
−
=
I.T.O.P

6
ELIPSOIDE COMO FIGURA DE APROXIMACIÓN
I.T.O.P
ELEMENTOS ESTRUCTURALES
1.- EJE TERRETRE
2.- POLO TERRESTRE
3.- PLANO MERIDIANO
4.- MERIDIANO
5.- ECUADOR
6.- PLANO PARALELO
I.T.O.P

7
7.- VERTICAL ASTRONÓMICA
8.- VERTICAL GEODÉSICA
9.- VERTICAL GEOCÉNTRICA
10.- PLANO HORIZONTAL
11.- MERIDIANA
I.T.O.P
12.- DESVIACIÓN DE LA VERTICAL
I.T.O.P

8
13.- COORDENADAS
GEOGRÁFICAS
I.T.O.P
13. - Longitud
I.T.O.P
Es el ángulo (λ) diedro
medido en el plano del
ecuador entre el meridiano
origen y el meridiano que
contiene al punto de
interés.

9
14.- DIFERENCIAS
MERIDIANOS
I.T.O.P
15 - Latitud
I.T.O.P
La latitud de un punto U se determina como:
• Definir la vertical considerada (cd) que
pase por el punto: vertical geodésica,
geodésica o geocéntrica.
• Latitud: es el ángulo que forma la línea cd
con el plano del ecuador.
En hemisferio norte las latitudes son positivas
(+φ), en el hemisferio Sur las latitudes son
negativas (-φ).

10
16.- LATITUD
ASTRONÓMICA
17.- LATITUD
GEODÉSICA
18.- LATITUD
GEOCÉNTRICA
19.- LONGITUD
GEODÉSICA
20.- LONGITUD
ASTRONÓMICA
I.T.O.P
21.- ACIMUT GEODÉSICO
Ángulo entre dos planos que contienen a la
normal al elipsoide en el punto P. Un plano
contiene al polo norte del elipsoide y el otro
al punto Q.
22.- ACIMUT ASTRONÓMICO
Ángulo entre dos planos que contienen a la
vertical de lugar en P. Un plano contiene al
polo norte celeste y el otro plano al punto Q.
23.- DATUM
Lugar determinado donde coincide geoide y elipsoide. Coinciden las coordenadas
geodésicas y astronómicas.
I.T.O.P

11
24.- Sistema de referencia.
I.T.O.P
• Sistema de referencia tradicional:
– Un sistema de referencia bidimensional “planimétrico”: Latitud y Longitud
más un sistema unidimensional para las alturas.
• Elipsoide, Datum, origen de longitudes, origen de alturas.
• Sistema de referencia tridimensional:
– Todas las coordenadas referidas a un determinado elipsoide, incluida la
altura, que será elipsoidal:
• Elipsoide, Datum, origen de longitudes.
• IMPORTANTE: EL SISTEMA DE REFENCIA DEFINE LAS
COORDENADAS.
25.- Sistemas de referencia más utilizados.
I.T.O.P
• Los sistemas de referencia más utilizados en España:
– Sistema ED-50: Resultado de la compensación europea realizada por Army Map
Service (AMS):
• Elipsoide Internacional o de Hayford, Datum Postdam, Origen de longitudes
Meridiano de Greenwich, origen de alturas: Nivel Medio del Mar en Alicante
– Sistema ETRS-89: Resultado de establecer un sistema de referencia europeo
adaptado al sistema ITRF (Marco de Referencia Internacional Terrestre):
• Elipsoide GRS-80, Datum geocéntrico, Origen de longitudes Meridiano de
Greenwich, Origen de alturas: Nivel Medio del Mar en Alicante.
• Establecido como oficial en España según Real Decreto 107/2007 de 29 de agosto.
– Sistema WGS-84: Para el usuario similar al ETRS-89, salvo la altura. Es un
sistema tridimensional. Utilizado por GPS

12
RED GEODÉSICA NACIONAL
RED GEODÉSICA 1918
RED GEODÉSICA 1866
I.T.O.P
RED GEODÉSICA PRIMER ORDEN
RED GEODÉSICA 1987
I.T.O.P

13
RED GEODÉSICA SEGUNDO ORDEN
CANTABRIA – ARCO BAHÍA
I.T.O.P
RESEÑA VÉRTICE GEODÉSICO
I.T.O.P

14
http://www.cnig.eshttp://www.ign.es
I.T.O.P
I.T.O.P

15
I.T.O.P
• La Red Geodésica Nacional Materializa el sistema de referencia:
– Sistema ED-50: Todos los vértices geodésicos, más de 11.000 en toda España.
Precisión planimétrica 0.2m, altimétrica 0.3m.
– Sistema ETRS-89: Materializado por los vértices REGENTE (Red Geodésica
Nacional por Técnicas Espaciales). Más de 1.100 vértices, uno por cada hoja del MTN
1/50.000. Precisión nominal menor de 5cm. Precisión relativa 1-2cm.
• Observados con GPS.
– Redes GNSS: Redes de receptores GPS, coordenadas ETRS-89. A nivel autonómico.
RED NIVELACIÓN DE ALTA PRECISIÓN
I.T.O.P

16
RESEÑAS NAP
I.T.O.P
DEFINICIÓN
Conjunto de técnicas y
métodos que tienen por
objetivo determinar la
forma y dimensiones de
un terreno, para poder
representarlo de forma
gráfica sobre un plano.
TERRENO MAPA
MAPA TERRENO
TOPOGRAFÍA
OBJETIVO
Medición de ángulos y distancias con
instrumentos adecuados y poder así
determinar los posicionamientos en
una doble vertiente:
I.T.O.P

17
LA TOPOGRAFÍA EN LA INGENIERÍA
1.- GENERACIÓN CARTOGRÁFICA
2.- BUEN USO DE LA CARTOGRAFÍA
3.- DEFINICIÓN GEOMÉTRICA
4.- EJECUCIÓN, MEDICIÓN Y CONTROL
5.- EXPLOTACIÓN USUAL DE LA OBRA
INGENIERÍA PROYECTO TOPOGRAFÍA
I.T.O.P
MAPAS PLANOS Y CARTAS
MAPAS: toda representación plana de una parte de la superficie
terrestre, que por su extensión y debido a la curvatura de la
superficie de la tierra, requiere de sistemas de transformación.
Analítico.- Estudian un fenómeno temático y lo asocian con un lugar.
Experimentación.- Son combinaciones de dos o más mapas analíticos.
Síntesis.- Soportan toda la información posible en la hoja.
PLANOS: representan una superficie donde se prescinde de la
curvatura terrestre, la relación entre medida plano y real es
constante.
CARTAS: mapas empleados para la navegación aérea o marítima.
I.T.O.P

18
PRINCIPALES MAGNITUDES
• LINEALES.-
– km, m, dm, cm, mm
• SUPERFICIALES.-
– km2, ha, m2 1Ha = 10.000 m2
• ANGULARES.-
– Sexagesimal: grados(º), minutos('), segundos(").
– Centesimales: grados (g), minutos (c), segundos (cc).
– Radianes:
• 1 radián = 1.296.000/2Π=206265“
• 1 radián = 4.000.000/2Π=636620cc
I.T.O.P
PROBLEMÁTICA CONDICIONADA
1.- TAMAÑO
2.- RELIEVE
3.- PROYECCIÓN
I.T.O.P

19
1.- TAMAÑO ESCALAS
NUMÉRICAS l = tamaño de plano
L = tamaño real
GRÁFICAS
TRANSVERSALES
M=1/E = l/L
I.T.O.P
1.- TAMAÑO ESCALAS
PLANO TÉCNICO (PT) Escala grande
1/100 1/500 1/1.000 …… 1/5.000 1/10.000
MAPA TOPOGRÁFICO (MT) Escalas medianas
1/25.000 1/50.000 1/100.000 1/200.000
MAPA GEOGRÁFICO (MG) Escalas pequeñas
1/400.000 1/500.000 1/800.000 1/1.000.000
MAPAS GENERALES (MG) Escalas generales
Desde 1/1.000.000 en adelante
I.T.O.P

20
1.- TAMAÑO ESCALAS LIMITE PERCEPCIÓN VISUAL
Se define como Limite de Percepción Visual a la distancia a la cual dos puntos que están
muy próximos el ojo humano los confunde con uno sólo. Se admite que usualmente este
valor sea 0,2 mm.
PAPEL ESCALA REAL
1/500 10cm
1/1000 20cm
0.2mm 1/2000 40cm
1/5000 1m
1/25000 5m
1/50.000 10m
Esto supone una INCERTIDUMBRE al observar un mapa o un plano así como un lugar donde
disfrazar el error cometido en función de la escala. En resumen, define la información
contenida y la precisión de una cierta cartografía.
I.T.O.P
2.- NIVEL DE DETALLE
I.T.O.P
1/5000

21
I.T.O.P
1/2500
1/10000
I.T.O.P
1/2000

22
I.T.O.P
1/1000
EL LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO
1.3.- LA MODELIZACIÓN DEL RELIEVE
Conjunto de técnicas y operaciones necesarias llevar a
cabo para representar un terreno.
Levantamiento NO convencional
Levantamiento SI convencional
- CLÁSICO
- FOTOGRAMÉTRICO
I.T.O.P

23
EL LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO CLÁSICO
PROYECCIÓN DE PUNTOS
SITUADOS EN EL
TERRENO
I.T.O.P
Conceptos:
Distancia geométrica.
Distancia reducida.
Desnivel.
Superficie geométrica.
Superficie reducida.
GENERACIÓN DE
CURVAS DE NIVEL
I.T.O.P

24
Relación entre Escala y Equidistancia.
I.T.O.P
Curvas de nivel directoras e intercaladas.
I.T.O.P

25
Puntos de cota aislada.
I.T.O.P
Generación de las curvas de nivel.
I.T.O.P

26
LA PENDIENTE.LA PENDIENTE.
La pendiente se define como la relación entre la distancia en proyección
recorrida y la ganancia o pérdida de cota que se experimenta.
Habitualmente se expresa en tanto por cien, aunque en ocasiones se
utilizan las milésimas o tanto por mil.
100m
P(%)
D
∆Z
Dm
Zp
−−−−
∆−−−−
100
(%)
100(%) ⋅
∆
=
D
Z
p
I.T.O.P
ELEMENTOS DE LA MODELIZACIÓN DEL RELIEVE
Posición altimétrica de puntos situados
entre dos curvas de nivel consecutivas.
I.T.O.P

27
Pendientes y secciones por un punto.
I.T.O.P
EJEMPLO 1.
A) Dos curvas de nivel están separadas 2cm en un plano. Determinar
la pendiente del terreno sabiendo que la cartografía tiene las
siguientes características:
1- 1/500; equidistancia 1m.
2- 1/1000; equidistancia 0.5m.
3- 1/5000; equidistancia 5m.
B) Calcular la separación entre dos curvas de nivel consecutivas
sabiendo que el terreno presenta una pendiente del 12% y se
trata de una cartografía 1/2000 con equidistancia de 2m.
I.T.O.P

28
%5100
500002.0
5
(%)3
%5.2100
100002.0
5.0
(%)2
%10100
50002.0
1
(%)1
=⋅
⋅
=→
=⋅
⋅
=→
=⋅
⋅
=→
m
p
m
p
m
p
SOLUCIÓN:
A-
B-
I.T.O.P
cm
E
D
d
m
p
Z
D
83.0
2000
667.16
667.16100
12
2
100
(%)
===
==⋅
∆
=
EJEMPLO 2.
Un vial de una determinada urbanización comienza en una glorieta situada
a la cota 45m. (PK 0+000)
Hasta el punto B (PK 0+125) existe una rampa del 7%, para después
descender hasta el punto C (PK 0+230) con una pendiente del 5%.
Se pide:
Calcular la cota de los puntos B y C.
I.T.O.P

29
mD
p
ZZZ
mD
p
ZZ
BC
B
5,48)125230(
100
5
75,53
100
(%)
75,53
75,53125
100
7
45
100
(%)
4545
=−⋅−=⋅+=∆+=
=⋅+=⋅+=∆+=
SOLUCIÓN:
I.T.O.P
Divisorias, Vaguadas y Collados.
I.T.O.P

30
Cumbres y Simas.
I.T.O.P
Traza
Rectilínea.
CARACTERIZACIÓN DE LOS PERFILES LONGITUDINALES
I.T.O.P

31
Traza NO
Rectilínea.
I.T.O.P
Traza NO
Rectilínea.
I.T.O.P

32
Guitarra
característica
del perfil
longitudinal.
I.T.O.P
Identificación del perfil
Distancia al origen
Distancias parciales
Cota del terreno
Cota de la rasante
Altura de desmonte
Altura de terraplén
Guitarra
característica
del perfil
longitudinal
I.T.O.P

33
CARACTERIZACIÓN DE LOS PERFILES TRANSVERSALES
Definición y
Secciones Tipo
I.T.O.P
CÁLCULOS VOLUMÉTRICOS
Perfiles consecutivos de igual configuración.
)(
2
21 TT
d
V T
T += )(
2
21 DD
d
V T
D +=
I.T.O.P

34
Perfiles consecutivos en Desmonte y Terraplén.
2
2
T
b
VT ⋅=1
2
D
a
VD ⋅=
I.T.O.P
Sucesión de perfiles en media ladera.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⋅++⋅=
**
*
2
)(
2
2
21
TD
Dd
DD
d
VD
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⋅++⋅=
**
*
2
)(
2
2
21
TD
Td
TT
d
VT
I.T.O.P

35
APLICACIONES CARACTERIZADAS
A.- Análisis altimétricos
B.- Determinación de cuencas de aportación
C.- Estudio de zonas vistas y ocultas
D.- Caracterización de trazados
E.- Cubicación de movimientos de tierras
F.- Análisis de pendientes
G.- Evaluación de volúmenes por estratos horizontales
H.- Volumen de excavación en túneles
I.T.O.P
PROBLEMÁTICA DE LA REPRESENTACIÓN CARTOGRÁFICA
• FIGURA NO DESARROLLABLE => PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS
A.- PROYECCIONES B.-DESARROLLOS
GEOMÉTRICAS CARTOGRÁFICOS
I.T.O.P

36
PROBLEMÁTICA DE LA REPRESENTACIÓN CARTOGRÁFICA
I.T.O.P
Cilíndrica
Equidistante
Mercator
Polar estereográfica Lambert de acimut y área constante
LA PROYECCIÓN UTM
Situación del Cilindro Transverso a la Tierra.
I.T.O.P

37
LA PROYECCIÓN UTM
• Proyección conforme.
• Meridiano central del huso, automecoico.
• El Ecuador y el meridiano central de cada uso se
representan por líneas rectas.
• El origen de coordenadas es la intersección de
Ecuador con el meridiano central del huso.
I.T.O.P
LA PROYECCIÓN UTM
Referenciación de la UTM en España.
I.T.O.P

38
1.4.- LECTURA DE MAPAS DE PLANOS
SITUACIÓN CARTOGRÁFICA ACTUAL
INSTITUTO GEOGRÁFICO NACIONAL
PRINCIPALES MISIONES
– Proyecto, observación y cálculo de la red geodésica.
– Proyecto observación y cálculo de la red de nivelación.
– Sistemas de información geográfica.
– Imágenes de satélites.
– Ortoimágenes.
I.T.O.P
INSTITUTO GEOGRÁFIVO NACIONAL
PRINCIPALES PUBLICACIONES
– Mapas Nacionales y Autonómicos.
– Mapa Topográfico Nacional 1/50.000 y 1/25.000
– Ortoimágenes.
– Mapas Temáticos.
– Cartografía Digital.
I.T.O.P

39
– Ejecución de “Cartografía militar”, hoy día de libre difusión.
SERVICIO GEOGRÁFICO DEL EJÉRCITO
– Mapas Serie 5V, escala 1/25.000
– Mapa Serie L, escala 1/50.000
– Mapa Serie C, escala 1/100.000
– Mapas Serie 2C, escala 1/200.000
I.T.O.P
– Obtener “Cartas Marinas” con el objetivo de proporcionar
información náutica fiable
INSTITUTO HIDROGRÁFICO DE LA MARINA
– PORTULANOS, escalas mayores de 1/25.000
– APROCHES, cartas marinas a escala 1/25.000
– CARTAS DE NAVEGACIÓN, escala 1/50.000-1/200.000
– ARRUMBAMIENTOS, escala 1/200.000-1/300.000
I.T.O.P

40
– Ejecución de planos a escala 1/2.000 de las áreas de influencia de
los aeropuertos.
– Ejecución de “Cartas Áereas”, que permitar la navegación aérea.
SERVICIO CARTOGRÁFICO Y FOTOGRÁFICO
DEL EJÉRCITO DEL AIRE
– Mapa aeronáutico de España, escalas 1/1.000.000
– Mapas de Aeropuertos, escalas 1/2.000
I.T.O.P
– Obtener “Cartografía Regional” que mejore las escalas del Mapa
Topográfico Nacional.
SERVICIOS CARTOGRÁFICOS REGIONALES
– Mapa Autonómico a escala 1/5.000
– Mapa de Núcleos Urbanos 1/2.000
– Ortofotografías
I.T.O.P

41
– En la redacción de proyectos, se hace necesaria la presencia de
planos que permitan realizar las mediciones con suficiente grado
de precisión.
CONSULTORES Y OFICINAS DE PROYECTOS
– Planos a escala 1/2.000
– Planos a escala 1/1.000
– Planos a escala 1/500
I.T.O.P
SISTEMAS DE GEOREFERENCIACIÓN
Es muy usual referir las altitudes al nivel medio del Mar
Mediterráneo en Alicante y emplear la Proyección Universal
Transversal Mercator (UTM), utilizando el elipsoide de Hayford con
Datum en Postdam.
REFERENCIACIÓN
1/50.000
I.T.O.P

42
REFERENCIACIÓN
1/25.000
I.T.O.P
UBICACIÓN DEL
MTN50 Y MTN25
I.T.O.P

43
COORDENADAS GEODÉSICAS DEL MTN50
I.T.O.P
COORDENADAS GEODÉSICAS DEL MTN25
I.T.O.P

44
INFORMACIÓN GEOGRÁFICA ADICIONAL
DECLINACIÓN MAGNÉTICA
Informa, para un punto del territorio centrado en la hoja, el valor
del ángulo entre el norte geográfico y el norte magnético, en una
fecha concreta. También se informa de la variación de la misma.
CONVERGENCIA DE CUADRÍCULA
Ángulo para el centro de la hoja, que forma el eje de cordenadas
del sistema referencial adoptado (usualmente la proyección UTM)
con la dirección del norte geográfico.
I.T.O.P
INFORMACIÓN GEOGRÁFICA ADICIONAL
DETALLE DE LA DECLINACIÓN MAGNÉTICA
Y CONVERGENCIA DE CUADRÍCULA
I.T.O.P

45
INFLUENCIA DE LA ESCALA EN EL MAPA O PLANO
ESCALA 1/50.000 ESCALA 1/25.000 ESCALA 1/5.000
I.T.O.P
INFLUENCIA DE LA ESCALA EN EL MAPA O PLANO
ESCALA 1/2.000
I.T.O.P

46
INFLUENCIA DEL OBJETIVO DE EJECUCIÓN
SGE IGN
I.T.O.P
LEYENDA Y SIGNOS CONVENCIONALES
ESCALA 1/50.000
ESCALA 1/25.000
I.T.O.P

47
DIVISIONES ADMINISTRATIVAS
I.T.O.P
HIDROGRAFÍA MARINA Y EXTERNA
• STRAND:
– Zona del litoral que es batida por la marea.
Depende de la pendiente del litoral y de la
magnitud de la marea de la zona.
• LÍNEA MARÍTIMO-TERRESTRE:
– Línea de separación de zona marítimo-terrestre,
línea posicionada físicamente en el terreno, tiene
vigencia administrativa, aunque no tenga ninguna
propiedad ni altimétrica ni planimétrica.
I.T.O.P

48
ZONAS DE MARISMA
Y PLAYA EN MTN25
I.T.O.P
SÍMBOLOS USUALES EN HIDROGRAFÍA
I.T.O.P

49
VEGETACIÓN Y USOS DEL SUELO
I.T.O.P
• PROBLEMÁTICA EN SU REPRESENTACIÓN:
– Identificar el cultivo representativo de un lugar.
– Usos susceptibles de cambios a corto plazo.
– Confusión en la lectura dada la gran variedad de
especies.
I.T.O.P

50
USOS DEL SUELO
Y CULTIVOS EN
EL MTN25
I.T.O.P
CULTIVOS
EN 1/5.000
I.T.O.P

51
INFORMACIÓN ADICIONAL
• Vértices geodésicos
• Canteras y minas
• Iglesias, ermitas, cementerios
• Molinos
• Torres, castillos y faros
• Centrales eléctricas
• Líneas eléctricas
I.T.O.P
BASES CARTOGRÁFICAS NUMÉRICAS
DEFINICIÓN:
Representación analítica de las
características del terreno,
mediante sistema Coordenadas
y Atributos, almacenadas en un
soporte para su posterior
procesado, edición y
explotación, consiguiendo la
automatización del proceso.
I.T.O.P

52
• VENTAJAS:
– Soporte de la información estable.
– Almacenamiento fácil, poco voluminoso, y mantiene
la precisión geométrica.
– Puesta al día fácil y rápida.
– Posibilidad del cambio de los sistemas de
referencia y de escala, posibilidad de realizar
selecciones selectivas.
– Posibilidad de integrar la información en SIG.
– Eliminar partes tediosas como el dibujo de
cajetines, simbología, rotulación, etc.
I.T.O.P
IMPORTANCIA DE LAS BCN
MDT BCN
BDT
SIG
I.T.O.P

53
1.5.- ASPECTOS GEOMÉTRICOS E INTERPRETACIÓN DE FOTOS AÉREAS
INTRODUCCIÓN
I.T.O.P
AVIÓN
CÁMARA INFORMACIÓN
(FOTOS)
RESTITUIDOR
PLANOS
TERRENO
INTRODUCCIÓN
I.T.O.P

54
DIFERENCIAS ENTRE FOTO Y MAPA
A.- DIFERENCIAS DE CONTENIDO
- La cantidad de información en una fotografía es infinita y
en un mapa es limitada.
- En la fotografía la información no está jerarquizada y en
el mapa sí.
B.- DIFRENCIAS CUANTITATIVAS
- El mapa es una proyección plana y la foto es una
perspectiva.
- La foto no tiene escala uniforme.
- La foto no tiene información altimétrica fiable.
I.T.O.P
DIFERENCIAS ENTRE FOTO Y MAPA
I.T.O.P

55
LA CÁMARA MÉTRICA
1.- CONO EXTERIOR
2.- CUERPO
3.- ALMACÉN
I.T.O.P
LA CÁMARA MÉTRICA
1.- CONO EXTERIOR
• FILTROS.- Sirven para capturar determinadas tomas
que exigen eliminar o realzar determinadas radiaciones.
• OBJETIVO.- Es el conjunto de lentes, diagrama,
obturador que hace que los rayos luminosos se junten en
el centro del objetivo, convirtiéndose en el vértice de la
proyección.
I.T.O.P

56
LA CÁMARA MÉTRICA
1.- CONO EXTERIOR, OBJETIVO:
OBTURADOR.-
Mecanismo que mantiene cerrado el objetivo.
DIAFRAGMA.-
Permite graduar la apertura del objetivo. Limita la cantidad de luz
que llega al plano focal.
LENTES.-
Se clasifican según su campo. 230
230
162
f α
I.T.O.P
LA CÁMARA MÉTRICA
1.- CONO EXTERIOR, OBJETIVO:
CAMPO.- Ángulo bajo el cuál se
ve la diagonal del fotograma
desde el objetivo
CAMPO = 2α= 2Arctg(162/f)
NOMBRE CAMPO FOCAL
ANGULO PEQUEÑO 60º 300mm
ANGULO NORMAL 80º 200mm
GRAN ANGULAR 90º 150mm
SUPER GRAN ANGULAR 120º 88mm
I.T.O.P

57
LA CÁMARA MÉTRICA
2.- CUERPO
Se encarga de mantener solidario el plano focal y el
objetivo. Además define la Distancia Focal.
DISTANCIA FOCAL: Distancia que existe entre el
objetivo y el plano focal.
PLANO FOCAL: Plano que soporta la película que es
impresionada.
I.T.O.P
LA CÁMARA MÉTRICA
3.- ALMACÉN
Protege la película que ha sido impresionada así como
el motor que la arrastra.
I.T.O.P

58
EL PROCESO FOTOGRÁFICO
1.- El objetivo se abre y forma sobre la emulsión una
imagen óptica.
2.- Esa imagen óptica afecta a el bromuro de plata
que lleva la emulsión de la propia película.
3.- El revelado hace visible la imagen dejando visible
la plata afectada, aparece así el negativo.
4.- El fijado elimina las sales no afectadas.
5.- El lavado arrastra las sales no afectadas.
6.- El secado elimina el agua.
I.T.O.P
LA PELÍCULA
• La película está formada por un soporte semirígido
de celuloide cuyas superficies tienen por un lado la
emulsión y por otro un material rígido y opaco
denominado “ANTIHALO”.
• La velocidad de impresión de la “EMULSIÓN” está
relacionada con el tamaño de grano, que en cierta
medida determina la sensibilidad de la película.
I.T.O.P

59
LA PELÍCULA
• TIPOS DE EMULSIÓN
ORDINARIAS.-
Azul y Violeta.
ORTOCROMÁTICAS.-
Amarillo.
PANCROMÁTICAS.-
Todo espectro.
INFRARROJA PROXIMA.-
λ=0,95µ
INFRARROJA LEJANA.-
λ=1,25µ
I.T.O.P
INFORMACIÓN ADICIONAL EN EL FOTOGRAMA:
• Marca y modelo de la cámara.
• Distancia focal.
• Nivel esférico.
• Altimétrico.
• Escala de la fotografía.
• Reloj.
• Contador automático.
• Fecha de vuelo
• Empresa que hace el vuelo.
I.T.O.P

60
LA VISIÓN ESTEREOSCÓPICA
Se basa en la propiedad
humana de apreciar el
relieve en VISIÓN
BINOCULAR, para lo que
es preciso obtener dos
imágenes, una por cada
ojo, que se unen en el
cerebro en un proceso
fisiológico y mental.
I.T.O.P
I.T.O.P

61
I.T.O.P
ESTEREÓSCOPO DE ESPEJOS
HIPERESTEREOSCOPÍA.-
Exageración del relieve.
PSEUDOESTEREOSCOPÍA.-
Inversión del relieve
producido por la inversión de
las fotos.
I.T.O.P

62
P %
RECUBRIMIENTO
P = 60%
RECUBRIMIENTO LONGITUDINAL
I.T.O.P
----------
RECUBRIMIENTO LONGITUDINAL
l
p
l ⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
100
2
l
p
l
p
l ⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
100
100
100
3
l
p
l
p
l ⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅+⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
100
100
2
100
4
lp
pNp
Ln ⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅−+
=
100
)100()2(
I.T.O.P

63
q %
RECUBRIMIENTO
TRANSVERSAL
Q = 20%
RECUBRIMIENTO
TRANSVERSAL
I.T.O.P
----------
RECUBRIMIENTO TRANSVERSAL
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+⋅=
100
100
12
q
ll
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+⋅=
100
100
213
q
ll
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+⋅=
100
100
314
q
ll
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−+⋅=
100
100
)1(1
q
MlLn
I.T.O.P

64
ESCALA DE UNA FOTOGRAFÍA
ASPECTOS GEOMÉTRICOS DE LAS FOTOGRAFÍAS
I.T.O.P
En una fotografía vertical
todas las verticales fugan en
un punto, denominado PUNTO
PRINCIPAL O NADIRAL.
PUNTO PRINCIPAL O NADIRAL
I.T.O.P

65
ALTURA DE OBJETOS
I.T.O.P
MEDICIÓN DE DISTANCIAS
I.T.O.P

66
ALTURA
DEL SOL
I.T.O.P
Dos fotografías aéreas consecutivas de una pasada,
configuran un par estereoscópico, que permite ampliar las
posibilidades métricas de la foto.
PARES ESTEREOSCÓPICOS
PARALAJE ESTEREOSCÓPICO:
Desplazamiento aparente de la
posición de un objeto fijo,
causado por el movimiento del
observador.
A
A
A
A
P
fB
Z
P
B
f
Z ⋅
==>=
I.T.O.P

67
PARALAJE ESTEREOSCÓPICO:
I.T.O.P
La evaluación del paralaje de dos puntos permite establecer
la diferencia de alturas entre dichos puntos.
BA
BA
B
B
B
B
A
A
A
A
P
fB
P
fB
ZZ
P
fB
Z
P
B
f
Z
P
fB
Z
P
B
f
Z
⋅
−
⋅
=−
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⋅
==>=
⋅
==>=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=−
BA
BA
PP
fBZZ
11
I.T.O.P

68
Una ortofotografía es una fotografía en proyección
ortogonal en la que por tratamiento en cada uno de
los puntos de la imagen, se ha logrado una escala
uniforme en toda su superficie.
Sus principales ventajas son:
– Utilización como documento intermedio para la
puesta al día de un mapa topográfico.
– Alternativa al mapa convencional en territorios que
carecen de cartografía.
– Levantamientos catastrales.
ORTOFOTOGRAFÍA
I.T.O.P
ORTOFOTOGRAFÍA
I.T.O.P

69
• TONO: En las fotografías pancromáticas en blanco y negro
un dato de sumo interés es el tono de los grises.
• FORMA: El contorno de los objetos detonar su procedencia
natural o artificial.
• SOMBRAS: Los objetos de forma vertical tienen sombras
muy caracterizadas que colaboran a su identificación.
• FECHA: El día y la hora de vuelo permite conocer conductas
en torno a la población.
IDENTIFICACIÓN DE OBJETOS EN FOTOS AÉREAS
ASPECTOS SIGNIFICATIVOS
I.T.O.P
ELEMENTOS DE LA GEOGRAFÍA HUMANA
CONSTRUCCIONES ZONALES
Edificaciones
Núcleos urbanos
Terminales de transporte
Canteras
Embalses
CONSTRUCCIONES LINEALES
Vías de comunicación.
Canales
Líneas aéreas eléctricas
Líneas aéreas telefónicas
Teleféricos
I.T.O.P

70
INTERPRÉTACIÓN DEL RELIEVE
• Los estudios de fotointerpretación se apoyan en un
minucioso estudio de los pares por medio de estereoscopo,
pero si hay que estudiar un único fotograma los aspectos
más importantes a analizar son:
– Configuración del relieve, escarpados, desmontes, terraplenes,
hoyas, arenales, etc.
– Hidrografía, costas mares, ríos, lagos, embalses, albercas,
canales, etc.
– Vegetación y cultivos, monte, terrenos, despejados, viñedos,
olivares, etc.
I.T.O.P
APLICACIONES EN INGENIERÍA
• ESTABLECIMIENTO DE VÍAS DE COMUNICACIÓN
• PLANIFICACIÓN TERRITORIAL
• ANALISIS DE RECONOCIMIENTO GEOLÓGICO
• HIDROGRAFÍA
• ESTUDIO PARA CONFECCIONAR MAPAS TEMÁTICOS
I.T.O.P

71
EJERCICIO PRÁCTICO Número 1.-
Sobre un mapa topográfico particular a escala 1/80.000 se
marca el recinto de un futuro Permiso de Investigación del
cuál se requiere obtener Cartografía mediante un
levantamiento fotogramétrico. Obtener:
A.- La mayor escala de la fotografía para lograr que el recinto
marcado esté incluido en el par fotogramétrico.
B.- En el supuesto anterior, calcular el espacio recorrido por el
avión entre dos disparos fotogramétricos consecutivos.
C.- La superficie territorial, en hectáreas, incluida en un par.
I.T.O.P
7.000 m
8.800m
I.T.O.P

72
FOTO 1
FOTO 2
8.800 m
7.000m
ESCALA HORIZONTAL.ESCALA HORIZONTAL.--
0,230,23 -------------------- 8.8008.800
11 ---------------------- EEHH
EEHH = 38.260= 38.260
ESCALA VERTICAL.ESCALA VERTICAL.--
0,23 X 0,600,23 X 0,60 ------ 7.0007.000
11 -------------------------- EEVV
EEVV = 50.724= 50.724
Apartado A.-
ESCALA 1/50.724
I.T.O.P
40%
60%
BASE FOTOGRAMBASE FOTOGRAMÉÉTRICA.TRICA.--
60%60% -------------------- 7.0007.000
40%40% ---------------------- BB
B = 4.666 m.B = 4.666 m.
Apartado B.-
Base Fotogramétrica 4.666 m.
SUPERFICIE.SUPERFICIE.--
S= 0,23 X 0,23 X 0,6 X 50.7242/10.000=
Apartado C.-
Superficie 8.166 ha.
I.T.O.P

73
En el mapa adjunto se presentan
dos vuelos, uno alto y otro bajo.
Se da la escala gráfica y la Focal
de la cámara empleada, 160 mm.
Obtener:
* Relación entre Altura de Vuelo
Alto y la Altura de Vuelo Bajo.
* Superficie recubierta por un
par estereoscópico del vuelo
bajo.
I.T.O.P
Escala del planoEscala del plano
13 mm13 mm 1.000.000 mm1.000.000 mm
11 EE
E = 1/76.923
BAJO
ALTO
BAJO
ALTO
BAJO
ALTO
E
E
fE
fE
H
H
fEH
H
f
E
=
⋅
⋅
=
⇒⋅=⇒=
1
RELACIRELACIÓÓN ALTURAS ENTRE EL VUELO ALTO Y BAJON ALTURAS ENTRE EL VUELO ALTO Y BAJO
BAJO
ALTO
H
H
RELACIÓN =
I.T.O.P

74
EJERCICIO PRÁCTICO Número 2.-Escala vuelo bajoEscala vuelo bajo
11 76.92376.923
18 mm18 mm xx
X = 1.384,60 m.X = 1.384,60 m.
23 cm23 cm 138.460 cm138.460 cm
1 E1 EBAJOBAJO
EEBAJOBAJO = 1/6.020= 1/6.020
Escala vuelo altoEscala vuelo alto
11 76.92376.923
48 mm48 mm xx
X = 3.692,30 m.X = 3.692,30 m.
23 cm23 cm 369.230 cm369.230 cm
1 E1 EALTOALTO
EALTO = 1/16.053
BAJO
ALTO
BAJO
ALTO
E
E
H
H
=
666,2
020.6
053.16
==
BAJO
ALTO
E
E
haSuperficie 115
000.10
020.66,023,023,0 2
=
⋅⋅⋅
=
SUPERFICIE RECUBIERTA POR UN PAR DEL VUELO BAJO.
I.T.O.P

75
Dada una fotografía aérea a escala 1/1.000, tomada con una
cámara métrica de 150mm. de distancia focal y en la que es
visible la planta de un edificio hexagonal de 40 m. de lado y 70
m. de altura, sabiendo que el Punto Principal está en el centro
geométrico del edificio y la sombra generada por el edificio en
el instante en que se tomó la fotografía es otro hexágono
idéntico al de la planta del edificio que tiene por centro uno de
los vértices de la propia planta, Obtener:
A.- Imagen de edificio
B.- Punto de fuga de las sombras
C.- Altura del Sol
I.T.O.P
.150
)(1501000
1
mH
mmfEH
H
f
E
=
⋅=⋅=⇒=
cmn
n
n
H
n
mn
h
5,7
150
4
70
=
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
g
Arctg
PS
H
Arctg
8927,54
857
1000
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
α
α
α
I.T.O.P

76
Una fotografía aérea a escala 1/3000 incluye un edificio de planta
rectangular MNIJ, un poste AB y un segmento CD que representa
sobre el terreno, la marca donde se cimentará un muro de 50m. de
altura. Sabiendo que la focal de la cámara métrica es de 150mm. y
que el poste AB tiene por sombra AB’
Se pide:
A.- Volumen del edificio.
B.- Sombra del edificio.
C.- Altura del Sol.
D.- Dibujar la imagen del muro
I.T.O.P
fotoma
fotoml
halV
⇒=
⇒=
⋅⋅=
42
84
mH
mmH
fEH
H
f
E
450
000.450150000.3
1
=
=⋅=
⋅=⇒=
VOLUMEN DEL EDIFICIOVOLUMEN DEL EDIFICIO
Altura de vuelo:Altura de vuelo:
I.T.O.P

77
mn
h
H
n
mn
h
142
450
95
6595
=
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
Altura del edificio:Altura del edificio:
VOLUMEN DEL EDIFICIOVOLUMEN DEL EDIFICIO
3
976.500
1424284
mV
V
halV
=
⋅⋅=
⋅⋅=
I.T.O.P
SOMBRA DEL EDIFICIOSOMBRA DEL EDIFICIO
I.T.O.P

78
ALTURA DEL SOLALTURA DEL SOL
IMAGEN Y SOMBRA DEL MUROIMAGEN Y SOMBRA DEL MURO
cmn
n
n
H
n
mn
h
8,5
450
2,5
50
=
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
g
Arctg
PS
H
Arctg
7762,75
180
450
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
α
α
α
I.T.O.P
Dadas dos fotografías aéreas consecutivas tomadas en un
vuelo fotogramétrico y sabiendo las coordenadas de los
detalles A y B suministradas en el propio documento,
calcular el desnivel existente entre ambos puntos.
I.T.O.P

79
P [0,0]
A [1/1]
B [9/13]
P [0,0]
A [2,6/2,6]
B [23,3/33,6]
ESCALA
230/89=2,584
COORDENADAS LOCALES
DE LOS PUNTOS
I.T.O.P
P [17/0]
A [18/2]
B [23/16]
P [43,9/0]
A [46,5/5,2]
B [59,4/41,3]
COORDENADAS LOCALES
DE LOS PUNTOS
ESCALA
230/89=2,584
I.T.O.P

80
EJERCICIO PRÁCTICO Número 5.-PARALAJE DEL PUNTO A
.446,29,43
6,26,22,5
9,436,25,46 22
mmParalaje
Y
X
=+=⎟⎟
⎠
⎞
=−=∆
=−=∆
PARALAJE DEL PUNTO B
.9,367,71,36
7,76,333,41
1,363,234,59 22
mmParalaje
Y
X
=+=⎟⎟
⎠
⎞
=−=∆
=−=∆
mmmH
fEH
H
f
E
455,302.1455.302.123,153500.8
1
==⋅=
⋅=⇒=
ALTURA DE VUELO
Escala 1/8.500
Distancia Focal 152,23 mm
I.T.O.P
BASE FOTOGRAMÉTRICA
.150.373500.89,43
.9,4309,43
000
9,4309,43 22
mmBBase
mmBase
Y
X
=⋅==
=+=⎟⎟
⎠
⎞
=−=∆
=−=∆
DESNIVEL ENTRE PUNTOS
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=−
9,36
1
44
1
23,152150,373
11
BA
BA
BA
ZZ
PP
fBZZ
Desnivel = -248,406 m.
I.T.O.P

81
DISTANCIA REDUCIDA
'.37
455,302.1
30
406,248
Bmmn
n
n
H
n
mn
h
⇒=
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
Distancia entre A y B’ = 20 mm.
AéreaFotografíaEscala
oraFotocopiadducción
DB
A
__500.8
_Re2584,2
500.8584,220
=
=
⋅⋅=
Distancia = 439,28 m.
I.T.O.P
Sobre una fotografía aérea a escala 1/5.000 llevada a cabo con una
cámara métrica de distancia focal 160mm. se representan la base de
tres antenas de 100m de altura que forman un triángulo equilátero
de 600m. de lado así como una nave industrial de planta cuadrada de
100m de lado y 100m de altura. Ubicada de forma que el centro de
la nave está en la intersección de las mediatriz de cualquier lado,
siendo los lados de la nave paralelos o normales al lado del triángulo.
Sabiendo que el punto principal de la fotografía pasa por el centro
geométrico del triángulo y el punto de fuga de las sombras se
considera cualquiera de las dos esquinas de la nave situadas fuera
del triángulo. OBTENER:
Imagen de las antenas Imagen de la nave industrial
Sombra de las antenas Sombra de la nave industria
I.T.O.P

82
mmmH
fEH
H
f
E
800000.80000,160000.5
1
==⋅=
⋅=⇒=
ALTURA DE VUELO
Escala 1/8.500
REPRESENTACIÓN ANTENAS
.80800
70
100 mmn
n
n
H
n
mn
h =⇒⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=⇔⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
REPRESENTACIÓN EDIFICIO
.8,30800
27
100 mmn
n
n
H
n
mn
h =⇒⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=⇔⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
I.T.O.P
I.T.O.P

83
Dado el mapa topográfico sobre el que se representa el esquema de
un vuelo fotogramétrico llevado a cabo con una cámara métrica de
152,41mm. OBTENER:
1.- Altura de vuelo.
2.- Escala de la fotografía.
3.- Superficie recubierta
en un par estereoscópico.
4.- Que longitud de pasada
recubierta tendrá la pasada
suponiendo los parámetros
habituales y que ésta tenga
10 fotogramas.
I.T.O.P
20 mm20 mm 1.000.000 mm1.000.000 mm
11 EEMAPAMAPA
EMAPA = 1/50.000
ESCALA DEL MAPA
LFOTO = 1.750 m.
ESCALA DE LA FOTO
11 50.00050.000
35 mm.35 mm. LLFOTOFOTO
EFOTO
1/7.600
230 mm.230 mm. 1.750.0001.750.000
11 EEFOTOFOTO
EFOTO = 7.608
I.T.O.P

84
[ ]
[ ]
.40,642.6
)60100()210(60
100
760023,0
)100()2(
100
mLn
Ln
PNP
L
Ln
=
=−⋅−+
⋅
=
=−⋅−+=
mmmH
fEH
H
f
E
316,158.1316.158.141,152600.7
1
==⋅=
⋅=⇒=
ALTURA DE VUELO
Escala 1/7.600
SUPERFICIE RECUBIERTA
LONGITUD RECUBIERTA
haSuperficie 3,183
000.10
600.76,023,023,0 2
=
⋅⋅⋅
=
I.T.O.P
INEVITABILIDAD Y CAUSAS DE ERROR
2.- TEORÍA DE ERRORES APLICADA A LA TOPOGRAFÍA
2.1.- NECESIDAD Y LIMITES DE SU ESTUDIO
Toda técnica de medida está sometida a la inevitable
dependencia de los errores. Como principales causas
del error se pueden establecer:
A.- LIMITACIÓN DE LOS SENTIDOS
B.- CONDICIONES INSTRUMENTALES
C.- CONDICIONES AMBIENTALES
I.T.O.P

85
TIPOS DE ERROR
•GROSEROS O EQUIVOCACIONES.-
– No son admisibles y fácilmente evitables, suelen representar
variaciones sustanciales frente a la magnitud real.
•SISTEMÁTICOS.-
– Se presentan al realizar una medida y proceden de una causa
permanente que obliga a cometerlo siguiendo una tendencia
marcada, son evitables con una metodología adecuada.
•ACCIDENTALES.-
– Provienen de todas las causas posible no siguiendo ninguna
tendencia marcada, se pueden acotar pero no evitar.
I.T.O.P
PROBABILIDAD MATEMÁTICA
• 1º POSTULADO DE GAUSS
– Los errores en las mediciones se
presentan más a menudo, cuanto
menor es su valor absoluto.
• 2º POSTULADO DE GAUSS
– Los errores del mismo valor
absoluto pero distinto signo se
presentan con igual frecuencia.
I.T.O.P

86
n
xxx
X n+++
==
.....21
µ
( )1
2
−
=
∑
n
R
ec
nn xXR
xXR
xXR
xXR
−=
−=
−=
−=
..................
33
22
11
EL VALOR MÁS PROBABLE
2.2.- ERRORES EN LAS MEDICIONES DIRECTAS
EL ERROR MEDIO CUADRÁTICO
I.T.O.P
n
e
e c
c =µ
EL ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE LA MEDIA
PRECISIÓN DE UNA MEDIDA AISLADA
cnc
cc
exex
exex
±±
±⇔±
......3
21
I.T.O.P

87
PRECISIÓN DEL VALOR MÁS PROBABLE
ERROR MÁXIMO
µµ
µ cc eeX ±=±
ca ee ⋅= 5,2
I.T.O.P
COMPORTAMIENTO DEL ERROR
2.3.- EL ERROR COMO VARIABLE ALEATORIA
A.- Todas las observaciones fluctúan alrededor de un valor
centrado.
B.- Las desviaciones positivas y negativas se producen con
igual frecuencia.
C.- Las pequeñas desviaciones son más frecuentes que las
grandes.
D.- Se puede por lo tanto encerrar la probabilidad en una
curva que represente la probabilidad mediante el área
encerrada. (campana de GAUSS)
I.T.O.P

88
CAMPANA DE GAUSS
• El área encerrada representa el total de la probabilidad.
• La curva es simétrica respecto a Y.
I.T.O.P
NORMALIZACIÓN DE LA
CAMPANA DE GAUSS
dxexXPXF
x x
X ∫∞−
−
⋅
⋅
=≤= 2
2
2
1
)()(
π
Ce
XVP
xF
−
=)(
I.T.O.P

89
PESO DE UNA OBSERVACIÓN
2.4.- OBSERVACIONES CON DIFERENTE PESO
22
1
;
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= µµ
BA C
B
C
A
e
P
e
P
MEDIA PONDERADA
BA
BBAA
F
PP
PXPX
+
⋅+⋅
=µ
I.T.O.P
ERROR EN LA MEDIA PONDERADA
2.4.- OBSERVACIONES CON DIFERENTE PESO
( )∑
∑
−
⋅
= n
i
i
n
i
i
Pn
P
E
1
2
δ
Fnn
FCC
FBB
FAA
X
X
X
X
µδ
µδ
µδ
µδ
−=
−=
−=
−=
.....................
I.T.O.P

90
A.- Para medir 2.000 m. se utiliza una cinta métrica de 25m.
midiendo tramos de 20m. cada uno . Sabiendo que el error en
cada tramo es de 1,5 cm. Calcular el error total en la
medición.
cme
e
nee
TOTAL
TOTAL
TRAMOTOTAL
15
20
2000
5,1
=
⋅=
⋅=
I.T.O.P
B.- El error cuadrático en la determinación de un ángulo es de
5cc. Evaluar el error sabiendo que se han efectuado cuatro
lecturas.
CC
TRAMO
TRAMO
TOTAL
TRAMO
e
e
n
e
e
5,2
4
5
=
=
=
I.T.O.P

91
C.- El error angular cenital depende de tres circunstancias
independientes. El error medio cuadrático de las tres es 4cc,
10cc y 8cc respectivamente. Calcular el error medio cuadrático
final.
cc
c
c
ncc
e
e
eeee
4,13
8104
....
222
22
2
2
=
++=
+++=
I.T.O.P
Una distancia se mide con un determinado instrumento,
obteniéndose los siguientes resultados:
52,3 52,2 52,2 51,8 52,7
51,7 51,9 52,4 52,1 51,7
Calcular:
A.- El valor más probable.
B.- El error medio cuadrático
C.- Precisión de una medida aislada.
D.- Precisión del valor más probable.
E.- Probabilidad de que el valor resulte inferior a 52,4
F.- Probabilidad de que el valor resulte mayor que 52
I.T.O.P

92
VALOR MÁS PROBABLE
10,52
10
51,752,451,852,252,151,952,752,252,3
==
++++++++
=
µx
x
96,0;0 2
== ∑∑ RR
( )
3266,0
110
96,0
=
−
=ce
ERROR MEDIO CUADRÁTICO
1032,0
10
3266,0
===
n
e
e c
c
µ
ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE LA MEDIA
I.T.O.P
...............
33,02,52
33,03,52
±
±
± ceXi
11,010,52 ±
± µ
ceX
I.T.O.P

93
PROBABILIDAD <52,4
92,0
3266,0
1,524,52
=
−
=
−
=
ce
XVP
TABLA
En la tabla se obtiene 0,8212 es decir 82,12%
I.T.O.P
PROBABILIDAD >52,0
31,0
3266,0
1,520,52
−=
−
=
−
=
ce
XVP
TABLA
I.T.O.P

94
Un equipo topográfico evalúa un cierto ángulo horizontal obteniendo
los siguientes valores:
48º15’20” 48º14’40” 48º15’40” 48º15’10”
48º14’50” 48º15’20” 48º14’50” 48º16’10”
48º16’00” 48º15’40”
Calcular:
A.- El valor más probable.
B.- El error medio cuadrático
C.- Precisión de una medida aislada.
D.- Precisión del valor más probable.
E.- Probabilidad de que el valor resulte inferior a 48º15’36’’
F.- Probabilidad de que el valor resulte mayor que 48º15’00’’
I.T.O.P
48º15’20” = 48x3600 + 15x60 + 20 = 920”
48º15’40” = 48x3600 + 15x60 + 40 = 940”
48º14’50” = 48x3600 + 14x60 + 50 = 890”
48º14’50” = 48x3600 + 14x60 + 50 = 890”
48º16’00” = 48x3600 + 16x60 + 0 = 960”
48º14’40” = 48x3600 + 14x60 + 40 = 880”
48º15’10” = 48x3600 + 15x60 + 10 = 910”
48º15’20” = 48x3600 + 15x60 + 20 = 920”
48º16’10” = 48x3600 + 16x60 + 10 = 970”
48º15’40” = 48x3600 + 15x60 + 40 = 940”
I.T.O.P

95
VALOR MÁS PROBABLE
''22'15º48''922 ==>= µµ
922
10
940970920910880960890890940920
=
+++++++++
=µ
''83602
=∑R ( )
''47,30
110
8360
=
−
=ce
''6,9
10
5,30
===
n
e
e c
c
µ
I.T.O.P
...............
''5,30''40'15º18
''5,30''20'15º48
±
±
± ceXi
''10''22'15º48 ±
± µ
ceX
I.T.O.P

96
PROBABILIDAD <48º15’36’’
46,0
5,30
922936
=
−
=
−
=
ce
XVP
TABLA
I.T.O.P
PROBABILIDAD >48º15’00’’
72,0
5,30
922900
−=
−
=
−
=
ce
XVP
TABLA
I.T.O.P

97
Tres equipos topográficos diferentes evalúan una misma
distancia, obteniendo los siguientes resultados:
Equipo A.- 218,27 / 218,14 / 217,98 / 218,10 / 218,31
Equipo B.- 217,51 / 218,37 / 217,81 / 218,22
Equipo C.- 218,15 / 218,08 / 218,21
CALCULAR:
1.- Los valores más probables de cada medición.
2.- El error medio cuadrático de una medición aislada
realizada por cada equipo.
3.- Precisión de una medida aislada.
4.- El error medio cuadrático de los valores más probables.
I.T.O.P
5.- Precisión del valor más probable en cada caso.
6.- Error máximo en cada medida.
7.- peso de cada una de las medidas.
8.- Media ponderada.
9.- Calcular las siguientes probabilidades:
a.- Probabilidad de obtener una medida mayor que 218.20
utilizando el equipo A
b.- Probabilidad de obtener una medida menor que 217,75
utilizando el equipo B
c.- Probabilidad de obtener una medida comprendida
entre 218,12 y 218,17 empleando el equipo C.
I.T.O.P

98
VALOR MÁS PROBABLE
16,218
5
218,31218,10217,98218,14218,27
=
++++
== AAX µ
9775,217
4
218,22217,81218,37217,51
=
+++
=== BBX µ
1466,218
3
218,21218,08218,15
=
++
== CCX µ
I.T.O.P
( )1
2
−
=
∑
n
R
ec
nn xXR
xXR
xXR
xXR
−=
−=
−=
−=
.....................
33
22
11
0650.0
2
00846,0
3913,0
3
45940,0
1332,0
4
07100,0
==
==
==
C
B
A
c
c
c
e
e
e
0=∑R
...............
1332,014,218
1332,027,218
±
±
± ceXi
...............
3913,037,218
3913,051,217
±
±
± ceXi
...............
0650,008,218
0650,015,218
±
±
± ceXi
I.T.O.P

99
PRECISIÓN DE LA MEDIA O VALOR MAS PROBABLE
0596,016,218 ±
± µ
AcA eX
n
e
e c
c =µ
0375,0
3
0650,0
1957,0
4
3913,0
0596,0
5
1332,0
===
===
===
n
e
e
n
e
e
n
e
e
C
C
B
B
A
A
c
c
c
c
c
c
µ
µ
µ
1957,09775,217 ±
± µ
BcB eX
0375,01466,218 ±
± µ
CcC eX
I.T.O.P
ERROR MÁXIMO EN CADA MEDIDA
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== µ
ce
PPeso
ca ee ⋅= 5,2
1625,00650,05,25,2
9783,03913,05,25,2
3330,01332,05,25,2
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
CC
BB
AA
ca
ca
ca
ee
ee
ee
PESO DE CADA OBSERVACIÓN
24,2711,711
0375,0
11
111,26
1957,0
11
78,1052,281
0596,0
11
2
2
2
2
2
2
≈==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
≈==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
≈==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
µ
µ
µ
C
B
A
c
C
c
B
c
A
e
P
e
P
e
P
I.T.O.P

100
MEDIA PONDERADA
CBA
CCBBAA
F
PPP
PXPXPX
++
⋅+⋅+⋅
=µ
=
++
⋅+⋅+⋅
=
11,71111,2652,281
11,7111466,21811,269775,21752,28116,218
Fµ
146,218=Fµ
I.T.O.P
ERROR EN LA MEDIA PONDERADA
( ) ( )
019,0
)11,71111,2652,281(13
0003,07413,00552,0
1
2
=
++⋅−
++
=
−
⋅
=
∑
∑
n
i
i
n
i
i
Pn
P
E
δ
0006,0146,2181466,218
1685,0146,2189775,217
0140,0146,2181600,218
+=−=−=
−=−=−=
+=−=−=
FCC
FBB
FAA
X
X
X
µδ
µδ
µδ
0003,011,7110006,0
7413,011,261685,0
0552,052,2810140,0
22
22
22
=⋅=⋅
=⋅=⋅
=⋅=⋅
CC
BB
AA
P
P
P
δ
δ
δ
I.T.O.P

101
PROBABILIDAD >218,20 => Equipo A
30,0
1332,0
16,21820,218
=
−
=
−
=
Ac
A
e
XVP
TABLA
I.T.O.P
PROBABILIDAD <217,75 => Equipo B
58,0
3913,0
9775,21775,217
−=
−
=
−
=
Bc
B
e
XVP
TABLA
I.T.O.P

102
PROBABILIDAD 218,12< obs <218,17 => Equipo C
36,0
065,0
1466,21817,218
41,0
065,0
1466,21812,218
=
−
=
−
=
−=
−
=
−
=
C
C
c
C
c
C
e
XVP
TABLA
e
XVP
TABLA
Probabilidad 29,97%
2997,0)6406,01(6591,0
6406,036,0
6591,041,0
=−−=
⎭
⎬
⎫
=⇒=
=⇒=
P
pTABLA
pTABLA
I.T.O.P
A.- En la observación de una diana, ubicada en el paramento de
un muro de contención del carguero de una explotación minera,
se han obtenido las siguientes lecturas captadas con diferentes
instrumentos topográficos:
A B
26º27’15” 26º27’13”
26º27’18” 26º27’20”
26º27’13” 26º27’11”
26º27’16” 26º27’17”
Obtener el valor de la media ponderada.
I.T.O.P

103
VALOR MÁS PROBABLE
''25,15'27º26''25,15
4
7112013
''50,15'27º26''5,15
4
16131815
=⇒=
+++
=
=⇒=
+++
=
BB
AA
XX
XX
''08,2
3
13
''13
5,050,1516
5,250,1513
5,250,1518
5,050,1515
1
2
4
3
2
1
2
==⇒=⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−=
−=−=
=−=
−=−=
⇒
−
= ∑
∑
AA cc eR
R
R
R
R
n
R
e
I.T.O.P
''03,4
3
75,48
''75,48
75,125,1517
25,425,1511
75,425,1520
25,225,1513
1
2
4
3
2
1
2
==⇒=⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−=
−=−=
=−=
−=−=
⇒
−
= ∑∑
BB cc eR
R
R
R
R
n
R
e
ERROR MÁXIMO
"1,1003,45,2
''2,508,25,2
=⋅=
=⋅=
B
A
a
a
e
e
I.T.O.P

104
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== µ
ce
PPeso
PESO DE CADA OBSERVACIÓN
000,12463,0
015,2
11
754,39246,0
040,1
11
2
2
2
2
≈==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
≈==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
µ
µ
B
A
c
B
c
A
e
P
e
P
n
e
e c
c =µ
015,2
4
03,4
040,1
4
08,2
===
===
n
e
e
n
e
e
B
B
A
A
c
c
c
c
µ
µ
I.T.O.P
MEDIA PONDERADA
BA
BBAA
F
PP
PXPX
+
⋅+⋅
=µ
''45,15'27º26
"45,15
2463,09246,0
2463,0''25,159246,0''5,15
=
=
+
⋅+⋅
=
F
F
µ
µ
I.T.O.P

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