Ecuaciones diferenciales ordinarias

´
Derecho de autor. Prohibida su reproduccion

UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´
ISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ´ MATEMATICA
´

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

AXEL OSSES
Centro de Modelamiento Matem´tico
a
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa a
axosses@dim.uchile.cl

´

Se concede permiso para imprimir o almacenar una unica copia de este documento.
´
Salvo por las excepciones m´s abajo seãladas, este permiso no autoriza fotocopiar o re-
a n
producir copias para otro uso que no sea el personal, o distribuir o dar acceso a copias
electrńicas de este documento sin permiso previo por escrito del Director del Departa-
o
mento de Ingenier´ Matem´tica (DIM) de la Facultad de Ciencias F´
ıa a ısicas y Matem´ticas
a
(FCFM) de la Universidad de Chile.

Las excepciones al permiso por escrito del p´rrafo anterior son: (1) Las copias electrńi-
a o
cas disponibles bajo el dominio uchile.cl, (2) Las copias distribuidas por el cuerpo docente
de la FCFM en el ejercicio de las funciones que le son propias.

Cualquier reproducciń parcial de este documento debe hacer referencia a su fuente
o
de origen.

Este documento fue financiado a trav´s de los recursos asignados por el DIM para la
e
realizaciń de actividades docentes que le son propias.
o

´

El texto original, excepto el ultimo cap´
´ ıtulo, fue elaborado por el autor en
el periodo 2002-2010, fue revisado por Juan Peypouquet el 2008 quien corrigi´ y o
agreg´ varias secciones y ejercicios a lo largo del texto y luego en 2010 por el
o
propio autor. El Cap´ ıtulo sobre C´lculo de Variaciones fue agregado el 2009 por
a
gentileza de su autor el profesor Felipe Alvarez. Este texto y el material docente de
ejercicios que lo acompa˜ a recibi´ aportes de los siguientes alumnos de la Facultad
n o
de Ciencias F´ısicas y Matem´ticas en el periodo 2002-2008: Francisco Ortega, Oscar
a
Peredo, Andre De Laire, Jorge Lemus, Nicol´s Carre˜ o, Felipe Serrano.
a n

´

´

´
Indice general

Cap´
ıtulo 1. Nociones b´sicas y m´todos elementales de resoluciń
a e o 1
1. Motivaciń: leyes f´
o ısicas y problemas geom´tricos
e 1
2. Definiciones b´sicas y nociń de soluciń de una EDO
a o o 5
3. Ecuaciones diferenciales elementales 7
4. Ecuaciones que se reducen a casos elementales 19
Cap´
ıtulo 2. Existencia, Unicidad y M´todos Num´ricos
e e 29
1. Definiciones b´sicas
a 29
2. El problema de Cauchy 31
3. Los teoremas de existencia y unicidad 32
4. Aproximaciń mediante m´todos num´ricos
o e e 34
Cap´
ıtulo 3. EDO lineales de orden superior 47
1. La EDO lineal de orden n 47
2. Estudio completo de la ecuaciń de orden dos
o 50
3. M´s sobre la estructura de la soluciń
a o 56
4. EDO lineal de orden n a coeficientes constantes 61
5. EDO lineal de orden n a coeficientes variables 70
Cap´
ıtulo 4. Transformada de Laplace 79
1. Definiciones y ejemplos 79
2. Propiedades b´sicas de la transformada de Laplace
a 83
3. Antitransformadas y aplicaciones 88
4. Funciones y derivadas generalizadas 93
Cap´
ıtulo 5. Sistemas lineales de primer orden 99
1. Introducciń
o 99
2. Sistemas lineales y ecuaciones de orden superior 101
3. Los teoremas de existencia y unicidad 103
4. Estructura de las soluciones 110
5. Resoluciń de sistemas lineales
o 114
Cap´
ıtulo 6. An´lisis cualitativo de sistemas no lineales
a 137
1. Sistemas no lineales y sistemas linealizados 138
2. Diagramas de fase y de flujo 144
3. Clasificaciń de los puntos cr´
o ıticos 146
4. Puntos cr´
ıticos de sistemas lineales 152
5. Funciones de Liapunov y estabilidad 161
Indice anal´
ıtico 167

5

´

Cap´
ıtulo 1

Nociones b´sicas y m´todos elementales de
a e
resoluciń
o

1. Motivaciń: leyes f´
o ısicas y problemas geom´tricos
e
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son identidades que vinculan una funciń
o
con sus derivadas. Por ejemplo, si y(t) denota el n´ mero de bacterias en una colonia
u
en funciń del tiempo1, la ecuaciń diferencial
o o
y ′ (t) = σy(t)
donde σ es una constante positiva, expresa que el aumento de la poblaciń bacte-
o
riana, representada por la derivada y ′ , es proporcional a la propia poblaciń y, esto
o
es, mientras m´s bacterias hay, m´s r´pido ellas se multiplican.
a a a
La soluciń de una ecuaciń diferencial es una funciń y no un n´ mero, a
o o o u
diferencia de las ecuaciones algebraicas. En el ejemplo anterior se trata de encontrar
la funciń y(t): n´ mero de bacterias en funciń del tiempo. Una posible soluciń es
o u o o
la funciń:
o
y(t) = y0 eσt
donde y0 es el n´ mero inicial de bacterias en t = 0. Este tipo de soluciones expo-
u
nenciales aparecerń recurrentemente en la teor´ y en la prćtica.
a ıa a
Las ecuaciones diferenciales aparecen con frecuencia en muchas ramas de la
matem´tica, y sirven para plantear y resolver problemas provenientes de la f´
a ısica, la
ingenier´ la econom´ la biolog´ y de las ciencias sociales, entre otras disciplinas.2
ıa, ıa, ıa
Veremos a trav´s de algunas leyes f´sicas y de algunos problemas geom´tricos
e ı e
que una ecuaciń diferencial es una forma simple de reproducir y en el mejor de los
o
casos explicar una situaciń real, esto es, al fin y al cabo una forma util de modelar.
o ´
1.1. Modelamiento de un fen´meno en biolog´ la osmosis. Analice-
o ıa:
mos el fen´meno de la osmosis, presente en muchos procesos fisiol´gicos. Conside-
o o
remos un experimento en que disponemos dos medios de salmuera A y B separados
0 0
por una membrana impermeable en t = 0 con concentraciones iniciales CA y CB
0 0
con CA < CB . En un instante t > 0 la membrana que los separa se vuelve semi-
permeable y permite el paso de las molćulas de agua, pero no de las molćulas de
e e
sal disueltas (ver Figura 1). El problema es modelar la evoluciń de las concentra-
o
ciones de sal CA (t) y CB (t) en funciń del tiempo. Se observa experimentalmente
o
que a medida que el tiempo transcurre, el agua se desplaza a trav´s de la membrana
e
desde la soluciń de baja concentraciń A hacia la de alta concentraciń B hasta
o o o

1A menudo llamaremos a una funciń y : R → R por y(t) simplemente y su derivada por y ′
o
siempre que ´sta exista.
e
2Las ecuaciones diferenciales se conocen tambiń bajo otros nombres en ciencias e ingenier´
e ıa
tales como: modelos diferenciales, ecuaciones de evoluciń, sistemas din´micos, etc.
o a

1

´
2 ´ ´ ´
1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION

0 0
CA CB C (t)
A
C (t)
B

t=0 t>0

Figura 1. Osmosis por una membrana semipermeable.

alcanzar asint´ticamente un valor de equilibrio como se muestra en el gr´fico de la
o a
Figura 2.
Se constata, tambiń experimentalmente, que este valor de equilibrio correspon-
e
de al promedio M de concentraciones, el cual es conservado a trav´s del tiempo.
e
Esto tiene dos consecuencias: dicho promedio debe ser igual al promedio de las con-
centraciones iniciales y es por lo tanto conocido. Adem´s, como CA (t)+CB (t) = 2M
a
es constante, podemos obtener en cada instante t la concentraciń en B conociendo
o
la de A y viceversa. As´ es que el problema se reduce a encontrar solamente la
ı
funciń CA (t).
o

CB

M

CA

t
Figura 2. Evoluciń de las concentraciones durante la osmosis
o
que convergen asint´ticamente al promedio M de las concentracio-
o
nes de ambos medios.

Si registramos en un gr´fico el logaritmo natural de la diferencia M − CA (t)
a
en funciń del tiempo, observaremos que la curva experimental se ajusta bien a
o
una recta de pendiente negativa −σ. Una hip´tesis razonable es entonces un ajuste
o
exponencial de CA (t) a la as´
ıntota de ordenada M , en efecto,
ln(M − CA (t)) = −σt + C ⇒ CA (t) = M − K e−σt ,
donde K es una constante que se obtiene imponiendo la condiciń inicial CA (0) =
o
0 0
CA lo que nos da K = M − CA . Reemplazando la constante K en la expresiń o

´
1. MOTIVACION: LEYES F´
´ ´
ISICAS Y PROBLEMAS GEOMETRICOS 3

anterior, esto nos provee de la f´rmula siguiente para la concentraciń buscada:
o o
(1) CA (t) = M − (M − CA (0))e−σt .
Esta funciń representa un buen modelo de la realidad, ya que se ajusta razo-
o
nablemente bien a las mediciones experimentales, sin embargo, nos resulta todav´ ıa
misterioso por qu´ deber´
e ıamos aceptar este modelo de crecimiento exponencial como
un modelo razonable y no otro modelo diferente, por ejemplo, un ajuste polinomial
por pedazos.
Esto nos lleva a preguntarnos ¿hay alguna ley o principio que explique el
fen´meno de la osmosis? Una idea, que resulta ser fundamental, consiste en es-
o
tudiar si existe una relaciń simple entre la concentraciń CA (t) y su aumento
o o
′
CA (t). Derivando (1) obtenemos:
′
CA (t) = σ Ke−σ t
= σ Ke−σ t + σ M − σ M
= σ(M − (M − Ke−σ t ))
esto es, la relaciń buscada es:
o
′
(2) CA (t) = σ(M − CA (t)).
Entonces la soluciń (1) satisface (2). Interpretando (2) encontramos una relaciń
o o
diferencial simple y comprensible que podemos enunciar como la ley siguiente:

Ley de Osmosis
“El aumento de concentraciń es proporcional en cada ins-
o
tante a la diferencia de concentraciń entre el promedio
o
asint´tico de concentraciones y la concentraciń actual. La
o o
constante de proporcionalidad cuantifica la permeabilidad
de la membrana.”

La ley de osmosis representada por la ecuaciń diferencial (2) provee una inter-
o
pretaciń m´s intuitiva y profunda del proceso de osmosis. M´s adelante veremos
o a a
que (2) tiene como soluciń (1). La otra ventaja esta ley es que, aparte de su sim-
o
plicidad, sirve para modelar por analog´ otros problemas similares, como lo es la
ıa
ley de enfriamiento o algunos modelos de poblaciń, que veremos m´s adelante.
o a
Ejercicio Propuesto 1.1. Si en el gr´fico del experimento de la Figura 2, el
a
aumento de la concentraciń en A hubiese resultado con una forma sigmoide (esto es
o
estrictamente creciente hacia la as´
ıntota pero con un punto de inflexiń) ¿Qu´ mo-
o e
delo diferencial propondr´ usted para este fen´meno? Indicaciń: averiguar sobre
ıa o o
el modelo de crecimiento log´ıstico.
1.2. Modelamiento de otros fen´menos naturales. Muchos fen´menos
o o
de la naturaleza pueden modelarse a trav´s de relaciones entre cantidades y sus va-
e
riaciones3, esta idea revolucionaria para la ciencia fue introducida en el siglo XVII
entre otros por Fermat, Newton y Leibniz. En t´rminos matem´ticos, estamos ha-
e a
blando en todos los casos de identidades que relacionan una funciń y sus derivadas
o
o sea, de ecuaciones diferenciales.
3o fluxiones en la terminolog´ original de Newton, que da la idea de continuo temporal.
ıa

´
4 ´ ´ ´

La mayor´ de las leyes f´
ıa ısicas pueden representarse por ecuaciones diferenciales
que involucran alguna funciń como inc´gnita, la que puede representar por ejemplo
o o
el movimiento de un cuerpo o la concentraciń de una especie qu´
o ımica. Dichas
ecuaciones diferenciales suelen ser simples, sin embargo el encontrar la funciń o
inc´gnita puede llegar a ser una ardua o imposible tarea. Un ejemplo es la ley
o
de la gravitaciń universal, que modela el movimiento de los planetas alrededor del
o
sol:
´
Ley de gravitacion universal
“La aceleraciń de un planeta es proporcional a la fuer-
o
za que sobre ´l ejerce el sol, cuya magnitud es inversa al
e
cuadrado de la distancia que los separa.”

Esta ley del siglo XVII lleva a dos ecuaciones con dos derivadas de la forma:
x y
x′′ = − , y ′′ = − 2
(x2
+y 2 )3/2 (x + y 2 )3/2
donde (x, y) es la posiciń del planeta en el plano de origen en el Sol. Estas ecuacio-
o
nes tienen como soluciń elipses en el caso de un solo planeta. En el caso de varios
o
planetas, en realidad tambiń ejercen fuerza sobre un planeta los dem´s planetas y
e a
no solamente el Sol, lo que lleva a ´rbitas much´
o ısimo m´s complicadas y al estudio
a
posterior de ´rbitas ca´ticas en el siglo XX por Poincar´ entre otros.
o o e
El movimiento de los planetas hace parte de los esos fen´menos en los que
o
se conoce la ley y por lo tanto las ecuaciones diferenciales que representan dicho
fen´meno, pero no se logra comprender completamente la soluciń a dichas ecua-
o o
ciones. La ley de movimiento en este caso resulta m´s simple que el movimiento en
a
si.4
Este ejemplo nos muestra a dem´s que las ecuaciones diferenciales se pueden
a
presentar en grupos de dos o m´s formando sistemas de ecuaciones diferenciales.5
a
Ejercicio Propuesto 1.2. Averigue quiń recopil´ los datos a partir de los
e o
que Kepler postul´ la idea de ´rbitas el´
o o ıpticas.
1.3. Modelamiento de problemas geom´tricos. Las ecuaciones diferen-
e
ciales pueden ser tambiń utiles para plantear y resolver problemas geom´tricos.
e ´ e
Puede servir por ejemplo para agrupar una familia de curvas. Veamos el caso de
las familias ortogonales.
Consideremos la familia F de todas las par´bolas con v´rtice en el origen defi-
a e
nidas por la ecuaciń y = ax2 , con a ∈ R. Derivando con respecto a x obtenemos
o
y ′ = 2ax. Si usamos la expresiń anterior para eliminar el par´metro a obtenemos
o a
La ecuaciń diferencial que representa la familiaF :
o
y
y′ = 2 .
x
Esta ecuaciń diferencial revela la siguiente propiedad geom´trica de esta familia de
o e
par´bolas: la pendiente en cada punto es el doble de la pendiente de la recta que une
a
el punto con el origen. En general, algunas propiedades geom´tricas compartidas por
e
4Es el caso tambiń de las ecuaciones de Navier-Stokes que modelan el movimiento de un
e
fluido tridimensional, y no se sabe si dan lugar o no a una unica soluciń; o el de la ecuaciń de
´ o o
Schr¨dinger, que modela la compleja dualidad onda-part´
o ıcula de manera incre´ıblemente simple.
5Ver Cap´ ıtulo 5.

´
´ ´ ´
2. DEFINICIONES BASICAS Y NOCION DE SOLUCION DE UNA EDO 5

las curvas de una familia pueden conocerse al inspeccionar la ecuaciń diferencial
o
correspondiente.
Tratemos ahora de encontrar la familia G de todas las curvas que intersectan
de manera perpendicular a las par´bolas de la familia F . Esto es, G es la familia
a
ortogonal a la familia F .
Si la funciń z ∈ G define una de estas curvas entonces z ′ (x)y ′ (x) = −1 para
o
toda y ∈ F y para todo x ∈ R siempre que z(x) = y(x), esto es, las curvas se
2y(x)
intersectan en el punto (x, y(x)). Dado que y ′ (x) = , la ecuaciń que define a
o
x
la familia G resulta ser:
−1 −x x
z ′ (x) = ′ = =− .
y (x) 2y(x) 2z(x)
Notar que reemplazamos y por z pues las curvas se intersectan.
Tratemos de resolver la ecuaciń diferencial anterior. Esto es, tratemos de en-
o
contrar la forma de la funciń z(x) o m´s precisamente, las curvas (x, z). Tenemos
o a
que
2z(x)z ′ (x) = −x
d 2
z(x) = −x.
dx
Si integramos a ambos lados de la ecuaciń obtenemos
o
x2
z(x)2 = −
+ C,
2
donde C es una constante. Escrito de otro modo, esto es
z2 x2
+ = 1.
C 2C
La familia G est´ integrada por todas las elipses que estń centradas en el origen.
a a
Ejercicio Propuesto 1.3. En la discusiń anterior, al reemplazar y por z,
o
x
dado que las curvas se intersectan, se obtiene la ecuaciń z ′ = − 2z . Por otro lado,
o
1
si hubi´semos reemplazado y por y = ax llegamos a la ecuaciń z ′ = − 2ax que
e 2
o
es completamente diferente. Convńzace de que no es correcto reemplazar y por
e
y = ax2 dado que a depende de x por lo que la segunda ecuaciń no es v´lida.
o a

2. Definiciones b´sicas y nociń de soluciń de una EDO
a o o
´
Definicion 1.1. Una ecuaciń diferencial ordinaria (abreviada EDO) es una
o
identidad de la forma
F (x, y(x), y ′ (x), y ′′ (x), . . . , y (n) (x)) = 0,
donde x representa la variable independiente e y una la funciń inc´gnita, llamada
o o
tambiń soluciń de la EDO. La funciń F representa la relaciń que liga las deri-
e o o o
vadas de y. Se dice que la ecuaciń es ordinaria si se deriva con respecto a una sola
o
variable6.

6Si se deriva con respecto a varias variables, se habla de Ecuaciń Diferencial Parcial (EDP).
o
Notemos que existen tambiń las inecuaciones diferenciales, donde la igualdad en la Definiciń 1.1
e o
es reemplazada por una desigualdad.

´
6 ´ ´ ´

En algunas situaciones, como en los problemas geom´tricos, resulta natural usar
e
x como variable independiente. En otras situaciones, como en los problemas donde
se deriva respecto del tiempo, es mucho m´s natural utilizar la letra t. En los pri-
a
meros cap´ ıtulos hemos escogido arbitrariamente x como la variable independiente,
pero cuando sea apropiado cambiaremos a t.
Consideraremos aqu´ que F es una funciń a valores escalares, esto corresponde
ı o
a una sola ecuaciń diferencial. Se puede considerar tambiń que F tome valores
o e
vectoriales, pero en este caso se tratar´ de sistemas de ecuaciones diferenciales que
a
veremos m´s adelante.7
a
Resultar´ ultil introducir el orden de una EDO.
a´
´
Definicion 1.2. El orden de una ecuaciń diferencial es el grado de derivaciń
o o
m´ximo que aparece en la ecuaciń que en este caso es el n´ mero natural n.
a o u
Finalmente, mencionemos la diferencia fundamental entre ecuaciones diferen-
ciales lineales y no lineales.
´
Definicion 1.3. Una EDO lineal de orden n es de la forma
(3) an (x)y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = Q(x),
donde las funciones ai (x) ∈ R, ∀i ∈ {1, . . . , n} son llamadas coeficientes de la EDO.
´
Definicion 1.4. Si Q(x) (llamado com´ nmente lado derecho de la EDO) es
u
idńticamente nulo, la EDO lineal se dice homogńea. Si Q(x) = 0, la EDO lineal
e e
se dice no homogńea.
e
´
Definicion 1.5. Si los coeficientes ai (x) no dependen de x, se dice que la EDO
lineal es a coeficientes constantes. De lo contrario se dice que ella es a coeficientes
variables.
En el caso que an (x) = 0 se puede dividir la EDO (3) por an (x). La EDO que
as´ se obtiene con
ı
ai (x) Q(x)
an (x) = 1, ai (x) = , i = 0, . . . , n − 1, Q(x) =
an (x) an (x)
se dice que est´ normalizada8 . Utilizaremos la barra sobre los coeficientes y el lado
a
derecho para indicar normalizaciń.
o
Una EDO no lineal es simplemente una EDO que no es lineal. Gran parte de
este texto concierne en el estudio de EDO lineales.9
Ejemplo 1.1. y(1 + (y ′ )2 ) = 4. EDO no lineal, de orden 1. Esta es la EDO de
la curva braquistćrona, que estudiaremos m´s a fondo en el Ejemplo 1.9.
o a

Ejemplo 1.2. xy ′ + c sen(x)y = tan(x). EDO lineal de orden 1 a coeficientes
variables, no homogńea ni normalizada.
e

Ejemplo 1.3. y ′′ − 2y = 0. EDO lineal de orden 2 a coeficientes constantes,
homogńea y normalizada.
e

7Ver Cap´ıtulo 5.
8Si a (x) = 0 para valores discretos de x, se puede normalizar por intervalos.
n
9
Resolveremos algunas EDO no lineales en este cap´ ıtulo usando m´todos elementales y al
e
final estudiaremos algunos sistemas no lineales en el Cap´
ıtulo 6 por linealizaciń.
o

´
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 7

n orden de la EDO
Q(x) = 0 homogńea
e
Q(x) = 0 no homogńea
e
∀i, ai = cte coeficientes constantes
∃i, ai = ai (x) coeficientes variables
an = 1 normalizada
n
Cuadro 1. Clasificaciń de la EDO lineal
o ai (x)y (i) = Q(x).
i=0

3. Ecuaciones diferenciales elementales
En este cap´ıtulo estudiaremos algunas tćnicas que nos permitirń determinar
e a
las soluciones de una gran cantidad de EDO. Comenzaremos por analizar cuatro
tipos de ecuaciones de primer orden que llamaremos elementales:
integraciń directa: y ′ = f (x).
o
variables separables: y ′ = f (x)g(y).
lineal de primer orden homogńea: y ′ + a0 (x)y = 0.
e
lineal de primer orden no homogńea: y ′ + a0 (x)y = Q(x).
e
Posteriormente estudiaremos algunas otras ecuaciones de primer y segundo
orden que pueden reducirse a estos casos elementales.
Nos enfocaremos en la resoluciń de las ecuaciones y no siempre seremos dema-
o
siado rigurosos en los aspectos te´ricos que justifican los c´lculos. Estos aspectos
o a
(existencia, unicidad, regularidad de la soluciń) serń tratados con m´s profundi-
o a a
dad en cap´ ıtulos posteriores.
Para resolver los casos elementales, ser´ util el c´lculo de primitivas y recordar
a´ a
el conocido Teorema Fundamental del C´lculo.a
Teorema 1.1 (TFC). Sea f integrable en [a, b], entonces, dado x0 ∈ [a, b] e
y0 ∈ R, la funciń y, definida por
o
x
y(x) = y0 + f (s)ds, para x ∈ [a, b],
x0
es continua en [a, b] y se tiene y(x0 ) = y0 . Si adem´s f es continua en [a, b] entonces
a
la funciń y(x) es tambiń derivable10 en [a, b] con derivada continua igual a f (x),
o e
esto es, se tiene que
x
(4) y(x) = y(x0 ) + y ′ (s)ds, ∀x ∈ [a, b]
x0
x
d
(5) f (s)ds = f (x) ∀x ∈ [a, b].
dx x0

Las identidades anteriores serń especialmente utiles en este y los pr´ximos
a ´ o
cap´
ıtulos por lo que se sugiere al lector recordarlas siempre.
10Derivable en el cerrado [a, b] significa derivable en el abierto (a, b) y con derivadas laterales
en a+ y b− .

´
8 ´ ´ ´

3.1. Integraciń directa. Consideramos una EDO del tipo
o
(6) y ′ = f (x).
Si la funciń f es integrable (por ejemplo si es continua o continua por pedazos11),
o
gracias al TFC las soluciones existen y estń dadas por:
a

(7) y= f (x)dx + C,

donde C ∈ R es una constante arbitraria.
Ejemplo 1.4. Las soluciones de la ecuaciń y ′ = sen(x) son de la forma
o

y= sen(x)dx + C = − cos(x) + C, con C ∈ R.

Ejemplo 1.5. La ecuaciń y ′ = x tiene como soluciones a las funciones de la
o
forma
x2
y = xdx + C = + C, con C ∈ R.
2

Denotaremos por C gen´ricamente a una constante arbitraria sin importar las
e
eventuales transformaciones biyectivas que la mantienen arbitraria (ponderaciones
por un √escalar no nulo, cambios de signo, suma de otra constante). Por ejemplo C,
2C, C/ 2, −C, C + 4 pueden ser representadas por una misma constante gen´rica.
e
Si la transformaciń no es biyectiva, por ejemplo C 2 , entonces se pierde la arbi-
o
trariedad y es mejor escribir expl´ıcitamente C 2 o precisar de alg´ n modo que la
u
constante no puede ser negativa.
1
Ejemplo 1.6. Estudiemos la ecuaciń y ′ = para x = 0.
o
x
dx
y= + C = ln(|x|) + C = ln(|x|) + ln(k) = ln(k|x|), k > 0.
x
En el c´lculo anterior hemos reemplazado la constante arbitraria C por ln(k) (don-
a
de k = eC > 0) para escribir la soluciń de manera m´s compacta y sin perder
o a
arbitrariedad. Observemos tambiń que el m´dulo en el logaritmo nos da la primi-
e o
tiva correcta de 1/x cuando x < 0. Como |x| no es derivable en x = 0, se considera
la resoluciń de la EDO separadamente en cada intervalo (−∞, 0) y (0, ∞).
o

Supongamos ahora que queremos encontrar la soluciń de (6) definida sobre un
o
intervalo I y que adem´s pase por cierto punto (x0 , y0 ) dado. Esto es, queremos
a
resolver el siguiente problema12:
y ′ (x) = f (x) para todo x ∈ I,
y(x0 ) = y0 .
Integrando la ecuaciń y ′ = f (x) entre x0 y x ∈ I obtenemos
o
11Ver Cap´
ıtulo 4, donde las funciones constantes por pedazos aparecen de manera natural.
12Ver Cap´
ıtulo 2 donde se estudia este problema conocido como problema de Cauchy.

´

x x
y ′ (s)ds = f (s)ds
x0 x0
y del TFC (identidad (4)), se tiene que
x
(8) y(x) = y(x0 ) + f (s)ds.
x0
x
Deteng´monos aqu´ para comparar (7) y (8). La funciń F (x) = x0 f (s)ds en (8)
a ı o
es una primitiva bien particular de f : aquella que cumple F (x0 ) = 0. Entonces la
constante C en (7) deja de ser arbitraria y se tiene que C = y(x0 ).
Esto nos dice que el problema de Cauchy que nos planteamos tiene una unica´
soluciń para cada condiciń inicial.
o o
En las ecuaciones de primer orden que estudiaremos en este curso, siempre po-
dremos determinar la constante arbitraria si conocemos el valor de la funciń en un
o
punto del intervalo13.

3.2. Variables separables. Una EDO en variables separables tiene la forma
siguiente:
(9) y ′ = f (x)g(y).
Lo primero que observamos es que si g(y0 ) = 0 entonces la funciń constante
o
y(x) ≡ y0 define una soluciń de la EDO (9). Para los valores de y donde g(y) = 0
o
y′
se tiene g(y) = f (x). Integrando y usando el Teorema del cambio de variables
obtenemos
y ′ (x) dy
(10) dx = = f (x)dx + C,
g(y(x)) g(y)
1
donde C ∈ R es una constante. Si G es una primitiva de g y F es una primitiva de
f entonces
G(y) = F (x) + C.
Si queremos una f´rmula expl´
o ıcita para las soluciones debemos despejar y en funciń
o
de x en la relaciń anterior14. Si no se puede despejar y, las soluciones quedan
o
expresadas de manera impl´ ıcita o param´trica (ver Ejemplo 1.9).
e
Ejemplo 1.7. Analicemos la ecuaciń
o
y ′ = xy.
Aqu´ f (x) = x y g(y) = y. Observemos primero que la funciń nula y(x) ≡ 0 define
ı o
una soluciń de la EDO. Si y = 0 hacemos
o
dy
= x dx + C.
y
Tenemos entonces que
x2
ln(|y|) = + C,
2
13Para ecuaciones de orden n necesitaremos conocer los valores de la funciń y sus derivadas
o
hasta el orden n − 1 pues las integraciones sucesivas arrojarń m´s constantes.
a a
14El Teorema de la Funciń Impl´
o ıcita, que se estudia en el curso de C´lculo en Varias Varia-
a
bles, da las condiciones para que esto sea posible.

´
10 ´ ´ ´

de donde
x2 x2
|y| = exp +C = ke 2 ,
2
donde k = eC > 0. Eliminando el m´dulo y considerando los posibles valores
o
positivos y negativos vemos que todas las soluciones son de la forma
x2
y = ke 2 ,
con k ∈ R (el valor k = 0 nos da la soluci´n nula).
o

Ejemplo 1.8. Estudiemos ahora la EDO
y ′ = cos2 (y).
En este caso f (x) = 1 y g(y) = cos2 (y). Las soluciones constantes son de la forma
y(x) ≡ π + kπ con k ∈ Z. Para encontrar las dem´s soluciones,
2 a
dy
= dx + C
cos2 (y)
sec2 (y)dy = x+C

tan(y) = x + C,
donde C ∈ R. Para y ∈ (− π , π ) esto es
2 2

y = arctan(x + C).
Para los dem´s valores de y debemos tener en cuenta la periodicidad de la funci´n
a o
tangente. Tenemos entonces que todas las soluciones no constantes son de la forma
y = kπ + arctan(x + C),
con C ∈ R y k ∈ Z.

3π
2

π
2

−π
2

− 3π
2

´

Ejercicio Propuesto 1.4. Para el problema de Cauchy, vea c´mo funciona
o
el m´todo con integrales definidas. Si se integra entre x0 ∈ I y x ∈ I a ambos lados
e
de (9), se tiene que
y(x) x
dy
= f (x)dx.
y(x0 ) g(y) x0
1
Como antes, si G es primitiva de g y F es primitiva de f , se tiene que
G(y(x)) = F (x) − F (x0 ) + G(y(x0 ))
= F (x) + C
con C = G(y(x0 )) − F (x0 ) constante. Compare (10) y (11) como se hizo antes entre
(7) y (8).

En el siguiente ejemplo la soluciń queda definida param´tricamente.
o e
Ejemplo 1.9. [Braquistćrona] Se denomina as´ a la forma que debe tener un
o ı
alambre para que una argolla que se desliza por ´l sin roce bajo la acciń de la
e o
gravedad de un punto a otro de menor altura y no en la misma vertical, lo haga en
el menor tiempo posible.
La EDO que describe la forma de la curva es
y(1 + (y ′ )2 ) = k2 ,
donde k es una constante positiva. Utilizando el m´todo de separaciń de variables,
e o
se tiene
1

′ k2 − y 2

y =
y
√
y
dy = dx + C.
k2 − y
Haciendo y = k 2 sen2 θ ⇒ dy = 2k 2 sen θ cos θdθ obtenemos
k sen θ2k 2 sen θ cos θdθ
= x+C
k cos θ
2k 2 sen2 θdθ = x+C

1 − cos(2θ)
2k 2 dθ = x+C
2
θ sen 2θ
2k 2 − = x+C
2 4
θ sen 2θ
x = 2k 2 − − C.
2 4
Por lo tanto, se tiene que x = x(θ) e y = y(θ) con
k2
x = (2θ − sen 2θ) − C
2
k2
y = (1 − cos 2θ) .
2

´
12 ´ ´ ´

Si ahora hacemos ω = 2θ, vemos que
k2
x = (ω − sen ω) − C
2
2
k
y = (1 − cos ω),
2
con ω ∈ R. La soluciń es una familia de curvas llamadas cicloides. Ver Figura 3.
o

Y 0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

0 0.5 1 1.5
X

Figura 3. Curva Braquistćrona con x ∈ [0, π ], y ∈ [−1, 0],
o 2
par´metro k = 1 y constante C = 0.
a

Ejercicio Propuesto 1.5. Si las ruedas delanteras de un auto se mueven
sobre una l´
ınea recta que no es paralela a su eje, encuentre la curva que describen
las ruedas traseras, considerando que la distancia entre las ruedas delanteras y las
traseras permanece constante. Indicaciń: averigue sobre la curva tractriz.
o
Ejemplo 1.10 (El problema de la gota de lluvia). Consideremos una gota de
masa inicial m0 y de densidad constante que cae del reposo y calculemos su masa
en funciń del tiempo usando el siguiente principio:
o

Gota de lluvia
“Una gota de lluvia que cae por efecto de su peso va au-
mentando su volumen a medida que captura gotas m´s pe-
a
queãs en su superficie inferior. Esto es, a una tasa que
n
es proporcional a su velocidad de ca´da y a su superficie
ı
inferior.

Supondremos que i) la gota es esf´rica, ii) la gota alcanza una aceleraciń constante,
e o
iii) esta aceleraciń l´
o ımite es menor que la de gravedad. Si el radio de la esfera es r(t)
entonces su volumen es proporcional a r3 y su superficie media a r2 . Si la densidad
es constante, entonces la masa es m(t) es proporcional a r3 de donde despejando r(t)

´

resulta proporcional a m1/3 . Con esto, suponiendo que y es la distancia recorrida
verticalmente hacia abajo por la gota, la EDO queda:
m′ (t) = Km2/3 y ′ , K > 0 constante.
Adem´s, la segunda ley de Newton (atenciń que la masa es variable) es
a o
(my ′ )′ = mg.
Al reemplazar en la primera EDO obtenemos
m′ y ′ + my ′′ = mg
2/3 ′ 2 ′′
Km (y ) + my = mg
−1/3 ′ 2 ′′
Km (y ) + y = g
K(y ′ )2
m1/3 = .
g − y ′′
Derivando esta expresiń vemos que
o
′
1 −2/3 ′ K(y ′ )2
m m = ,
3 g − y ′′
de donde
′
(y ′ )2
y′ = 3
g − y ′′
2(g − y ′′ )y ′ y ′′ + y ′′′ (y ′ )2
y′ = 3
(g − y ′′ )2
y ′ (g − y ′′ )2 = 6(g − y ′′ )y ′ y ′′ + 3y ′′′ (y ′ )2
′′′ ′
3y y = (g − y ′′ )(g − y ′′ − 6y ′′ ) = (g − y ′′ )(g − 7y ′′ ).
Suponiendo que y ′′ < g y que la aceleraciń es constante (y ′′′ = 0) se obtiene que
o
′′ g
y = .
7
Ahora integrando entre 0 y t una vez (y suponiendo que la gota parte del reposo)
se obtiene la velocidad
gt
y′ = .
7
Reemplazando este valor en la EDO original de la masa se obtiene
gK
m′ = t m2/3 ,
7
que es una EDO a variables separables, que podemos resolver:
gK t2
m−2/3 dm = +C
7 2
gK 2
3m1/3 = t + C.
14
1/3
Si la masa inicial era m0 , entonces C = 3m0 . Luego
3
gK 2 1/3
m(t) = t + m0 .
42

´
14 ´ ´ ´

Ejercicio Propuesto 1.6. ¿Es razonable pensar en el ejercicio anterior que
la masa crece de manera no acotada con el tiempo? ¿Qu´ se podr´ considerar adi-
e ıa
cionalmente en el modelo para mejorarlo?

3.3. EDO lineal de primer orden: caso homogńeo. Se tiene la EDO:
e

(11) a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0.

a0 (x)
Normalizando los coeficientes, es decir, con a0 (x) = , a1 (x) = 0 se obtiene:
a1 (x)
y ′ = −a0 (x)y.
Presentaremos dos formas de resoluciń:
o

Variables separables: Claramente la funciń nula y(x) ≡ 0 define una solu-
o
ciń para esta EDO. Para los valores donde y = 0, notamos que la EDO (3.3) es
o
de la forma y ′ = f (x)g(y) con f (x) = a0 (x) y g(y) = y. As´
ı

ln(|y|) = − a0 (x)dx + C

|y| = k exp − a0 (x)dx , k>0

y = k exp − a0 (x)dx

con k ∈ R, incluyendo la soluciń nula.
o

Factor integrante: Definimos el factor

µ(x) = exp a0 (x)dx

y observamos que µ′ (x) = a0 (x)µ(x). Si multiplicamos la ecuaciń por µ(x) obte-
o
nemos

µ(x)y ′ (x) + a0 (x)µ(x)y(x) = 0
µ(x)y ′ (x) + µ′ (x)y(x) = 0
(µ(x)y(x))′ = 0,

con lo cual el producto µ(x)y(x) es constante y as´
ı

k
y(x) = = k exp − a0 (x)dx
µ(x)

con k ∈ R, como antes. Este enfoque es la clave para resolver las ecuaciones lineales
no homogńeas.
e

´

1
Ejemplo 1.11. Encontremos las soluciones de la ecuaciń y ′ cos x + cos x y = 0,
o
π
x = 2 + kπ usando el m´todo de separaciń de variables. Tenemos que
e o
1
y′ + y = 0
cos2 x
y′ = −y sec2 x
dy
= − sec2 xdx + C
y
ln(|y|) = − tan x + C
y = k exp(− tan x), con k ∈ R.

Ejemplo 1.12. Resolvamos ahora el problema de Cauchy
1
y ′ (x) = x y(x) para x = 0,
y(1) = 2,
1
usando el factor integrante. Escribiendo la EDO como y ′ − x y = 0 calculamos
dx 1
µ(x) = exp = exp(− ln(x)) = .
x x
Tenemos entonces que
1
y′ − y = 0
x
1 ′ 1
y − 2y = 0
x x
y ′
= 0
x
y
= k, con k ∈ R.
x
As´ todas las soluciones son de la forma y(x) = kx con k ∈ R. De acuerdo con la
ı,
condiciń inicial, nos interesa que 2 = y(1) = k · 1, de donde k = 2. Concluimos que
o
la soluciń del problema de Cauchy es y(x) = 2x.
o

3.4. EDO lineal de primer orden: caso no homogńeo. Se tiene la
e
ecuaciń:
o
(12) a1 (x)y ′ + a0 (x)y = Q(x)
Si a1 (x) = 0 podemos normalizar a0 (x) = a0 (x) , Q(x) = a1 (x) y reescribir la
a1 (x)
Q(x)

ecuaciń como
o
y ′ + a0 (x)y = Q(x).
Si multiplicamos ambos lados de la ecuaciń por el factor integrante µ(x) = exp a0 (x)dx
o
obtenemos
(µ(x)y(x))′ = µ(x)Q(x)

µ(x)y(x) = µ(x)Q(x)dx + C
C 1
(13) y(x) = + µ(x)Q(x)dx.
µ(x) µ(x)

´
16 ´ ´ ´

´
Definicion 1.6. El primer t´rmino del lado derecho de (13),
e
C
yh (x) = = C exp − a0 (x)dx
µ(x)
se denomina soluciń homogńea. Aunque se habla de la soluciń homogńea, en
o e o e
realidad se trata de una familia de soluciones, indexadas por la constante C.
´
Definicion 1.7. El segundo t´rmino en el lado derecho de (13),
e
1
yp (x) = µ(x)Q(x)dx
µ(x)

= exp − a0 (x)dx exp a0 (x)dx Q(x)dx

se denomina soluciń particular (que se obtiene si C = 0). Se habla de la soluciń
o o
particular, pero depende de la primitiva que se escoja.
Ejemplo 1.13 (Ley de osmosis). Retomamos el ejemplo de la introducciń o
donde estudiamos b´sicamente el movimiento de agua desde una soluciń con baja
a o
concentraciń de soluto (soluciń A) a trav´s de una membrana semipermeable
o o e
hacia una soluciń con alta concentraciń de soluto (soluciń B). Si CA (t) es la
o o o
0
concentraciń de soluto que hay en la soluciń A en funciń del tiempo, CA es la
o o o
0
concentraciń inicial de soluto en A y si CB es la concentraciń inicial de soluto en
o o
B, una EDO que modela este fen´meno es:
o
0 0
′ CA + CB
CA (t) = σ − CA (t) , con σ > 0.
2
0 0
CA + CB
Introduciendo la concentraciń promedio
o = M , se tiene
2
′
CA + σCA = σM
′
CA exp σdt + σCA exp σdt = σM exp σdt

CA eσt + σCA eσt
′
= σM eσt
′
CA eσt = σM eσt

CA eσt = σM eσt dt + C

CA = Ce−σt + σM e−σt eσt dt

1 σt
y como eσt dt = e , se tiene que
σ
CA (t) = Ce−σt + M
con C ∈ R. El resultado es una familia de curvas (indexadas por el par´metro C).
a
Si evaluamos en el tiempo inicial t = 0, se puede encontrar el valor de la constante
C 0 − CB0
C, es decir, CA (0) = C + M y CA (0) = CA . Luego C = CA − M = A
0 0
. Por
2
lo tanto, la soluciń es
o
0 0
CA − CB C 0 + CB 0
CA (t) = e−σt + A
2 2

´

Ejemplo 1.14 (Ley de enfriamiento de Newton). Los m´s valientes hemos
a
experimentado el hecho de que al ba˜ arnos en el mar cuando se acerca la noche el
n
agua se siente tibia. Daremos una explicaciń a este hecho, basados en el siguiente
o
principio:

Ley de enfriamiento de Newton
“Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y
el medio ambiente es pequeã, el calor transferido en una
n
unidad de tiempo entre el cuerpo y la atm´sfera es propor-
o
cional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el
medio ambiente.”

Sean T y TA las temperaturas del mar y del ambiente respectivamente, la EDO
que modela el fen´meno es entonces:
o
T ′ (t) = k(TA (t) − T (t)),
donde k > 0 es una constante llamada coeficiente de transferencia t´rmica, y de-
e
pende localmente de la superficie de contacto, calor espec´
ıfico y masas involucradas.
Sea T (0) = T0 es la temperatura inicial del mar.

Supongamos primero que TA es constante. Tenemos entonces que
T ′ + kT = kTA
′ kt kt
T e + kT e = kTA ekt
kt ′
Te = kTA ekt

T ekt = k TA ekt dt + C

T = Ce−kt + TA
de donde, evaluando en t = 0, se obtiene C = T0 − TA . Con esto,
T (t) = (T0 − TA )e−kt + TA .
La temperatura del mar tiende exponencialmente a la temperatura ambiente. M´s
a
r´pidamente a mayores valores de k. Ver Figura 1.14.
a
Supongamos ahora que TA var´ en el tiempo de manera peri´dica. M´s pre-
ıa o a
0
cisamente, supongamos que TA (t) = TA + A sen(ω t), de manera que oscila con
frecuencia ω. La soluciń es
o

(14) T (t) = Ce−kt + TA + ke−kt
0
A sen(ωt)ekt dt

Desarrollando sen(ωt)ekt dt se obtiene

−1 1
sen(ωt)ekt dt = ω cos(ωt)ekt dt + sen(ωt)ekt
k k
−ω 2 ω 1
= 2
sen(ωt)ekt dt − 2 cos(ωt)ekt + sen(ωt)ekt .
k k k

´
18 ´ ´ ´

10

9

8

7

6

5

k=3
4
k =2
3

k =1
2

1

0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 4. Comportamiento de la temperatura del mar T (t) frente
a una temperatura ambiente constante TA = 0 partiendo de una
temperatura inicial T (0) = 10 para distintos valores de la constante
k.

Esto implica que
ω2 ekt ω
1+ sen(ωt)ekt dt = sen(ωt) − cos(ωt) .
k2 k k
Ak ω
Luego, A sen(ωt)ekt dt = ekt sen(ωt) − cos(ωt) . Por lo tanto (14)
k2 +ω 2 k
queda de la forma
Ak 2 ω
T (t) = Ce−kt + TA +
0
sen(ωt) − cos(ωt) .
k2+ω 2 k

21

20

19

18

17

16
0 2 4 6 8 10 12

Figura 5. Variaci´n de la temperatura del mar T (t) inicialmen-
o
te con T (0) = 15 frente a una temperatura ambiente TA (t) =
20 + sen(2t) (l´
ınea gruesa). Asint´ticamente, T (t) tiene un desfase
o
positivo y una amplitud menor respecto de TA (t).

´
4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 19

ω k
Si consideramos sen φ = √ y cos φ = √ podemos escribir
k 2 + ω2 k 2 + ω2

Ak
T (t) = Ce−kt + TA + √
0
(sen(ωt) cos(φ) − cos(ωt) sen(φ)).
k 2 + ω2
sen(ωt−φ)

w

k

Figura 6. Relaciń entre φ, k y ω.
o

Ak
0
Finalmente, T (t) = Ce−kt + TA + √ sen(ωt − φ). Las variaciones de la
k2+ ω2
yh
yp
temperatura del mar se encuentran asint´ticamente retrasadas o con desfase posi-
o
tivo con respecto a las del ambiente (ver Figura 5). Adem´s, notar que la amplitud
a
asint´tica de la temperatura del cuerpo es menor que la amplitud de variaciń de
o √ o
la temperatura ambiente ya que k/ k 2 + ω 2 < 1.

Ejercicio Propuesto 1.7. Explique c´mo se puede estimar el coeficiente k
o
a partir del tiempo que separa dos m´ximos sucesivos de la temperatura ambiente
a
y de la temperatura del mar.

4. Ecuaciones que se reducen a casos elementales
Veremos ahora algunas ecuaciones diferenciales que se pueden reducir a casos
elementales mediante un cambio de variables.

4.1. Ecuaciones homogńeas. Sean f : R2 → R una funciń de dos va-
e o
riables y k ∈ N. Se dice que f es homogńea de grado k si f (λx, λy) = ±λk f (x, y)
e
para cada λ, x, y ∈ R. Observemos que si f y g son homogńeas de grado k entonces
e
el cuociente f (x,y) puede escribirse como una funciń que depende unicamente del
g(x,y) o ´
cuociente entre x e y. En efecto,
y y y
f (x, y) f (x · 1, x · x ) ±xk f (1, x ) f (1, x ) y
= y = k g(1, )y = ± y = h .
g(x, y) g(x · 1, x · x ) ±x x g(1, x ) x
Una EDO es de tipo homogńea15 si se puede escribir como
e
y
y′ = h .
x

15No confundir con una EDO lineal homogńea.
e

´
20 ´ ´ ´

y
Para resolverlas hacemos el cambio de variable z = x , que reescribimos como
y = xz de manera que y = xz + z. Tenemos entonces que xz ′ + z = h(z), de donde
′ ′

h(z) − z
z′ = ,
x
que es una ecuaciń en variables separables.
o

Ejemplo 1.15. Encontrar las soluciones de la ecuaciń
o
x+y
y′ = .
x−y
Es fćil verificar que se trata de una ecuaciń homogńea. Hacemos el cambio
a o e
z = y/x, de donde y = zx e y ′ = z + xz ′ . La ecuaciń se convierte en
o
x + zx 1+z
z + xz ′ = = .
x − zx 1−z
Despejando z ′ obtenemos
1 1+z 1 1 + z2
z′ = −z = .
x 1−z x 1−z
Para resolver esta ecuaciń en variables separables hacemos
o
1−z 1
z′ =
1 + z2 x
dz zdz dx
2
− =
1+z 1 + z2 x
1
arctan(z) − ln(1 + z 2 ) = ln |x| + C.
2
Si ahora deshacemos el cambio de variables obtenemos la soluciń expresada de
o
manera impl´ıcita:

y y2
arctan − ln 1+ = ln |x| + C.
x x2

Ejemplo 1.16 (Curva de persecusiń). Sobre un r´ en la posiciń P = (c, 0),
o ıo, o
un bote trata de alcanzar la orilla situada en la posiciń O = (0, 0) como se muestra
o
en la Figura 1.16. Se quiere caracterizar la posiciń en el eje OY con respecto a la
o
posiciń en el eje OX. La rapidez de la corriente del r´ es a en direcciń (0, −1).
o ıo o
La rapidez del bote es b en direcciń (− cos θ, sen θ) donde θ = θ(t) va variando en
o
el tiempo de manera que este vector apunta siempre hacia O. Si las coordenadas
del bote en un tiempo dado son B = (x, −y), la rapidez en cada eje esta dada por
dx dy
= −b cos θ, = b sen θ − a.
dt dt
dy dx dy
Aplicando regla de la cadena tenemos que = . Recordando que cos θ =
dx dt dt

´

Figura 7. Bote con rapidez b cruzando un r´ cuya corriente tiene
ıo
rapidez a.

x −y
y sen θ = vemos que
y2 + x2 y 2 + x2

−a + b √ −y
dy b sen θ − a y +x2
2
−a x2 + y 2 − by
= = = .
dx −b cos θ x −bx
−b √
y 2 +x2

y
Esta ultima ecuaci´n es homog´nea. Hacemos el cambio de variable z =
´ o e x ⇒
xz + z = y ′ . Recordando que x e y son positivas tenemos que
′

a
xz ′ + z = 1 + z2 + z
b
z′ a
√ =
1+z 2 bx
dz a
√ = ln x + C.
1 + z2 b
a
Reescribimos la constante C como C = b ln k con k > 0 y obtenemos
a
ln(z + 1 + z 2) = ln(kx) b
a
z+ 1 + z2 = (kx) b
2a a
1 + z2 = (kx) b − 2z(kx) b + z 2 .
Despejando z y deshaciendo el cambio de variables obtenemos
1 a a
z = (kx) b − (kx)− b
2
y 1 a a
= (kx) b − (kx)− b
x 2
x a a
y = (kx) b − (kx)− b .
2

´
22 ´ ´ ´

1
De la condiciń de borde y(c) = 0 vemos que k =
o .
c

4.2. Ecuaciń de Bernoulli. La ecuaciń de Bernoulli es de la forma
o o

y ′ + p(x)y = q(x)y n con n = 0, n = 1.

Se realiza el cambio de variable z = y 1−n ⇒ z ′ = (1 − n)y −n y ′ . Multiplicando
(1 − n)y −n a ambos lados de la ecuaciń, queda
o

(1 − n)y −n y ′ + p(x)(1 − n)y 1−n = (1 − n)q(x)
′
z + p(x)(1 − n)z = (1 − n)q(x),

que resulta ser una ecuaciń lineal no homogńea de primer orden normalizada.
o e

Ejemplo 1.17 (Modelo log´
ıstico de poblaciń). El modelo log´
o ıstico se basa en
el siguiente principio:

Ley log´
ıstica
“El aumento de una poblaciń es proporcional al produc-
o
to entre la poblaciń misma y su diferencia respecto a un
o
valor m´ximo que es funciń de los recursos disponibles
a o
limitados.”

Esto traducido a una EDO queda como

(15) P ′ = σP (M − P ),

donde σ > 0 es constante (por ejemplo la diferencia entre tasas de natalidad y
mortalidad) y M > 0 es la carga m´xima alcanzable. Si P > M entonces P ′ es
a
negativo y la poblaciń decrece. En esta ecuaciń de Bernoulli hacemos el cambio
o o
′
1
de variables z = P ⇒ z ′ = −P y obtenemos
P 2

z ′ = −M σz + σ,

de donde
t t s
1 1
= exp − M σ(s)ds + exp M σ(s)ds σ(s)ds .
P 0 P0 0 0

Reordenando se obtiene
P0 M
(16) P = .
P0 + (M − P0 ) exp(−M σ t)

Notemos que P (0) = P0 y que P → M si t → ∞.

´

4.3. Ecuaciń de Riccati. La ecuaciń de Riccati es de la forma
o o
(17) y ′ = p(x)y 2 + q(x)y + r(x).
1
Se realiza el cambio de variable y = y1 + , donde y1 es alguna soluciń conocida
o
z
(por ejemplo fćil de calcular) de (17). Derivando con respecto a x se tiene y ′ =
a
′ z′
y1 − 2 y reemplazando en (17),
z
2
′ z′ 1 1
y1 − = p(x) y1 + + q(x) y1 + + r(x)
z2 z z
′ z′ 2 y1 p(x) q(x)
y1 − 2 = p(x)y1 + 2p(x) + 2 + q(x)y1 + + r(x)
z z z z
′ z′ 2 y1 p(x) q(x)
y1 − 2 = [p(x)y1 + q(x)y1 + r(x)] + 2p(x) + 2 +
z z z z
z′ = −2p(x)y1 z − p(x) − q(x)z,
de donde
z ′ + (2p(x)y1 + q(x))z = −p(x),
que resulta ser una EDO lineal de primer orden no homogńea en la variable z.
e

Ejemplo 1.18. Analicemos la ecuaciń diferencial
o
y ′ = −2 − y + y 2 .
Como se trata de una ecuaciń de primer orden a coeficientes constantes, es posible
o
encontrar una soluciń constante resolviendo la ecuaciń algebraica
o o
λ2 − λ − 2 = 0,
cuyas ra´ıces son 2 y −1. Tomemos entonces y1 = 2 como una soluciń particular
o
de la ecuaciń. Siguiendo el procedimiento descrito arriba podemos encontrar la
o
soluciń general haciendo el cambio
o
1 1 z′
=2+ ,
y = y1 + y′ = − .
z z z2
Sustituyendo en la ecuaciń obtenemos
o
2
z′ 11
− = −2 − 2 + + 2+
z2 zz
z′ 1 4 1
− 2 = −2 − 2 − + 4 + + 2
z z z z
−z ′ = 3z + 1.
Resolvemos la ecuaciń lineal de primero orden no homogńea multiplicando por el
o e
factor integrante µ(x) = exp( 3dx) = e3x .
z ′ e3x + 3ze3x = −e3x
′
ze3x = −e3x
1
ze3x = − e3x + C,
3

´
24 ´ ´ ´

1
con C ∈ R. Despejando encontramos z(x) = − 3 + Ce−3x . Esto nos dice finalmente
que la soluciń general de la ecuaciń es
o o
1
y(x) = 2 + 1 , con C ∈ R.
Ce−3x − 3

Notemos que tomando C = 0 recuperamos la otra soluciń constante y(x) ≡ −1.
o
Es importante observar tambiń que si C > 0 la soluciń tiene una as´
e o ıntota vertical
en x = 1 ln(3C), de modo que |y(x)| → ∞ si x → 3 ln(3C).
3
1

4.4. EDO de segundo orden sin variable dependiente. En la ecuaciń
o
G(x, y ′ , y ′′ ) = 0
no aparece la variable y expl´ ıcitamente. En estos casos se realiza el cambio de
variable p = y ′ , con lo cual la ecuaciń se transforma en
o
G(x, p, p′ ) = 0,
que es una EDO de primer orden.
Ejemplo 1.19. Para resolver la ecuaciń
o
′ x ′′
y = y −1
1+x
hacemos el cambio p = y ′ , p′ = y ′′ . Luego,
x ′
p+1 = p
1+x
1 p′
1+ =
x p+1
1 dp
1+ dx =
x p+1
x + ln |x| + C = ln |p + 1|
y de all´
ı,
p = −1 + kxex con k ∈ R.
En t´rminos de y esto es una ecuaciń con integraciń directa
e o o
y′ = −1 + kxex
y = −x + k(x − 1)ex + K con k, K ∈ R.

4.5. EDO de segundo orden sin variable independiente. En la ecua-
ciń
o
H(y, y ′ , y ′′ ) = 0
la variable independiente x no aparece expl´ıcitamente. Se realiza el cambio de va-
riable
dy d2 y dp dp dy dp
p = y′ = y = = = p,
dx dx2 dx dy dx dy

´

con lo cual la ecuaciń se transforma en
o
dp
H y, p, p = 0
dy
que es una EDO de primer orden en la variable p con variable independiente y.
Ejemplo 1.20 (Ley de Hooke). Se tiene el sistema indicado en la Figura 1.20,
siendo k > 0 constante de elasticidad del resorte y m la masa del cuerpo. La Ley
de Hooke establece que:

Ley de Hooke
“Para pequeõs desplazamientos en torno a la posiciń de
n o
equilibrio, la fuerza de restituciń del resorte es proporcio-
o
nal al desplazamiento”.

k
Esto es my ′′ = −ky. Es decir, y ′′ + w2 y = 0, con w = . Si z = y ′ entonces
m
dz ′
z′ = y y la ecuaciń se reescribe como
o
dy
dz
z + w2 y = 0
dy
dz
z = −w2 y.
dy
Integrando con respecto a la variable y vemos que

zdz = −w2 ydy + C

z2 y2
= −w2 +C
2 2
(y ′ )2 = 2 2
−w y + 2C
y′ = 2C − w2 y 2 .
Finalmente usando separaciń de variables obtenemos
o
dy
= dt + φ
2C − w2 y 2
dy √
= 2Cdt + φ
w2 2
1− 2C y
wy √
arc sen √ = 2Ct + φ
2C
wy √
√ = sen( 2Ct + φ)
2C
√
2C √
y = sen( 2Ct + φ) con C, φ ∈ R.
w

´
26 ´ ´ ´

k

m
y

Figura 8. Sistema mecńico de un resorte y una masa.
a

Ejemplo 1.21 (Cadena cayendo). Para el sistema de la segunda figura, el largo
de la cadena es L y su densidad es ρ [masa / largo], por lo tanto la EDO que lo
describe es
ρLy ′′ = ρgy
g
y ′′ − y = 0.
L
g
Definiendo σ = se tiene la EDO y ′′ − σ 2 y = 0. El mismo cambio de variable
L
nos da
dz
z − σ2 y = 0
dy
dz
z = σ2 y
dy
z2 y2
= σ2 +C
2 2
z = σ 2 y 2 + 2C
2C
y′ = σ y 2 + a2 con a= .
σ2
Esto es
dy
=σ dt = σt + φ.
y2 + a2
Haciendo el cambio de variable y = a senh θ en el lado izquierdo,
a cosh θ
dθ = σt + φ
a cosh θ
θ = σt + φ.
Por lo tanto, y = a senh(σt + φ), con φ ∈ R constante.

4.6. Otros casos. En ocasiones es posible reducir una ecuaciń complicada
o
a otra m´s simple mediante un cambio de variables. No hay una regla general para
a
determinar el cambio correcto, de modo que la experiencia es clave.

´

g

y

Figura 9. Sistema mecńico de una cadena bajo el efecto de g
a
con un extremo cayendo.

Ejemplo 1.22. La ecuaciń
o
y ′ = (x + y)2
es de Riccati. Sin embargo, para aplicar el m´todo descrito m´s arriba es necesario
e a
conocer una soluciń particular, lo que puede no ser evidente. Otra opciń es usar
o o
el cambio w = x + y. Esto nos da w′ = 1 + y ′ y la ecuaciń se transforma en
o
w′ = w2 + 1,
que es una ecuaciń en variables separables. Para hallar la soluciń general hacemos
o o
dw
= dx,
w2 + 1
de donde arctan(w) = x + C. Esto es
y = −x + tan(x + C), con C ∈ R.

Ejemplo 1.23. En la ecuaciń
o
cos(x + y + 1)
y′ =
1 − cos(x + y + 1)
podemos hacer el cambio z = x + y + 1. Con esto, z ′ = y ′ + 1 y la ecuaciń se
o
convierte en
1
z′ =
1 − cos(z)

(1 − cos(z))dz = dx

z − sen(z) = x+C con C ∈ R.
La soluciń queda definida impl´
o ıcitamente como
y − sen(x + y + 1) = C.

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