EJEMPLOS

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN.

CARRERA: Procesos Industriales Área en
Manufactura.

DISTRIBUCIÓNES
Ejemplos.

Materia: Probabilidad y Estadística.

Profr: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz.

ALUMNA:

Lizandra Ayari Rodríguez Ortiz.

Grado: 2 Sección: “B”.


BERNOULLI

1. Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del
tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de .55.
a. a). sea x= 1, si anota el tiro, si no lo hace x= 0 determine la media y la varianza de
x.
b. si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos, si lo falla, su equipo no recibe
puntos.
c. Determine la media y la varianza de y.

A).
X P X*P *P
SI 1 .55 .55 * (.55)
NO 0 .45 0 *(.45)
M= 0.55 = 0.2475

B)

Y P R: No porque un Bernoulli
tiene solo dos valores
2 0.55 posibles que son 0 y 1.

0 0.45

c).
Y P Y *P *P
SI 2 .55 1.10 * (.55)
NO 0 .45 0 *(.45)
M= 1.10 = .99


2. En un restaurante de comida rápida, 25% de las ordenes para beber es una
bebida pequeña 35% una mediana y 40% una grande sea x= 1 si escoge
aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y x= 0.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de x determine Px.
P(X-1) = 25 Mx(0) (1-.25) (1)(.25) Mx= 0.25
X=1 bebida pequeña si el resultado es exitoso.
b) Sea Px la probabilidad de éxito de Y determine Py.
Y= 1 Bebida mediana si el resultado es exitoso
P( Y-1) = .35 X ~ Bernoulli
PY = (0)(1-.35)+(1)(.35) = P=.35
c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z determine Pz.
Z= 1 bebida grande.
P=(2-1)= .40 por tanto X ~ Bernoulli (.40)
Pz= (0) (1-.40)= p= .40
d) Es posible que X y Y sean iguales a 1.
Si
e) ¿es Pz = Px y Py?
No
f) ¿es Z = X y Y?
No porque los valores son distintos y son iguales.


3).La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen
dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6). Por tanto, la variable
aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea
igual a 1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad
de que X sea igual a 0.

4).¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9
1. permitiendo repeticiones;
2. sin repeticiones;
3. si el ´ultimo dígito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?

Solución
Asumamos que para que un número sea de 4 dígitos su primer dígito debeser
distinto de cero.
1. Puesto que debe formarse un numero de 4 dígitos, el primero de
´estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para
el primer dígito y diez para cada uno de los tres dígitos restantes, obteniéndose un
total de 9 ¢ 103 = 9000 números posibles.
2. Al igual que en el apartado anterior, el primer dígito no puede sercero. Como
además no se permiten repeticiones, hay nueve posibilidades

el segundo dígito: el cero y las ocho no escogidas para el primer dígito. Por tanto,
se pueden formar 92 ¢ 8 ¢ 7 = 4536 números.
3. Fijamos el ´ultimo dígito y, como no puede haber repeticiones, se obtiene un
total de 9 ¢ 8 ¢ 7 ¢ 1 = 504 números.

5). Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que lasmujeres
ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

Solución
Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (quedeben ser
ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los
5 hombres). Por lo tanto, pueden colocarse de P4 ¢ P5 = 4! ¢ 5! = 2880maneras.


BINOMIAL

1. Sea X ~ Bin (8, 0.4). Determine
a) P(X=2)

P(X=2) = 0.20901888
b) P(X=4)

P(x=4) = 0.2322432
c) P(X<2)

P(X=1) = 0.08957952 0.10637568
P(X=0) = 0.01679616
d) P(X>6)

P(X=7) =0.00786432
0.008551968
P(X=8) = 0.00065536


2). Un examen consta de 10 preguntas a las cuales hay que responder si o no.
Suponiendo que alas personas que se les aplica no saben contestar a ninguna de
las preguntas y , en consecuencia , contestan al azar, hallar :

a) Probabilidad de obtener cinco aciertos:

3). La probabilidad de que un estudiante obtenga un titulo de licenciado en
farmacia es 0,3.

Hallar la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer
curso finalice la carrera.

a). Ninguno de los siete finalice la carrera.

b). finalicen todos.

c). al menos dos acaben la carrera.

A).

B).

C)

4).Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que
disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una
persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad
de que, transcurridos 30 años, vivan:

1 . Las cinco personas.

2 . Al menos tres personas.

3 . Exactamente dos personas.

5). Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada
cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10
números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?


POISSON
1. Sea X ~ Poisson (4). Determine.
a) P(X = 1)
P(X=1) ( /1!)= 0.0732
b) P(X = 0)
P(X=0) ( /0!)= 0.018

c) P(X < 2)
P(X=2) ( /2!)= 0.1465

d) P(X > 1)
P(X=0) ( /0!)= 0.018

2). Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene
encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de
400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones
defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto,
k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es
decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es:

3). El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si
un auditor toma una muestra de 40 registros ¿ calcular la probabilidad de que
existan 5 registros con problemas?

N=40

P=0.08

Labmda=3.2

X=5

P(X=5)=(e-8.2)(3.25)/5!=0.1139793

4). Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defectos en la vista
si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿calcular la probabilidad de que
10 de ellas tengan defectos en la vista?

N=50

P=0.2

Lambda=10 P(x=10)=(e-10)(1010))/10!=0.12511

5). La producción de televisores de SAMSUNG trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma una muestra o un lote de
85 televisores obtener la probabilidad de que 4 de los televisores con
defecto.

N=85

P=0.02

Labmda=1.7

X=4

P(x=5)=(e-1.7)(1.74)/4!=0.0635756


DISTRIBUCION NORMAL
1). Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:

p(µ −3σ ≤ X ≤ µ +3σ)

2). En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta
tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de
110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la
probabilidad de aprobar el examen.

3).En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de
a para que:

P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934


4). Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen
al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado
barrio. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan
cuando menos dos televisores?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos
dos televisores?


5). En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90
familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan
teléfono.


DISTRIBUCIONES GAMMA & DE WEIBULL
1). En un trayecto urbano hay dos semáforos consecutivos de modo que 2.5
minutos después de que el primero se ponga verde se pone rojo el segundo.
Ambos se cierran cada 2 minutos, permaneciendo cerrados 30 segundos.

Un conductor se ha detenido en el primero y el tiempo en recorren la distancia
entre ambos semáforos es una U(1,4). ¿Cuál es la probabilidad de que se pare en
el segundo?

Del enunciado se deduce que deberá parar si emplea entre 2.5 y 3 minutos en ir
del primero al segundo, es decir,

p[2.5 < X < 3]= F(3) - F(2.5) = (3-1) / 3 - (2.5-1) / 3 = 0.166.


2).Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de
esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia
promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo
de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

 a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
 b. A más de dos desviaciones por encima de la media.

 Solución:
X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo,
en horas.
X=numero de ciclos/100 horas
Y=numero de ciclos/hora
X˜(2,02)

3). Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son
sometidos a unacierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución
Gamma con parámetros
a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que
0,1.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420

Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

4). El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de
que transcurra menos deuna hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la
llegada delsegundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 6,0000
p : Forma 2,0000
Punto X 1,0000
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo
paciente
es 0,98.

5). ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del
segundo paciente”).
Campo de variación:
0 <x <
Parámetros:
a: parámetro de escala, a > 0
p: parámetro de forma, p > 0


DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT:

1) Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito, con el objetivo de
cancelar algunas de ellas. En el pasado, el 5% de los clientes con tarjeta ha
pasado a ser moroso, esto es ha dejado de pagar sin que el banco pudiera
recuperar la deuda. Además, el banco ha comprobado que la probabilidad de
que un cliente normal se atrase en un pago es de 0.2. Naturalmente, la
probabilidad de que un cliente moroso se atrase en un pago es 1.
2) (a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

3) (a) Para un cliente cualquiera decimos que ha sucedido el suceso:
4) M_ cuando el cliente es moroso,
5) A _ cuando el cliente se ha atrasado en un pago mensual.
6) Los conjuntos de sucesos {M, ¯ M} y {A, ¯ A} son dos sistemas completos de
sucesos. A continuación rescribimos
7) los datos que nos proporciona el enunciado en términos de probabilidades.
8) P(M) = 0.05,
9) P(A| ¯M) = 0.2, P(A|M) = 1.

2). La distribución t de Student se aproxima a la normal a medida que aumentan
los grados delibertad.
1. Calcular, para una distribución N(0,1), el punto que deja a la derecha una cola
deprobabilidad 0,05.
1. Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Normal (Mu,Sigma)
Mu : Media 0,0000
Sigma : Desviación estándar 1,0000
Dos Colas 1-Pr[|X|<=k] 0,1000
Punto X 1,6449
Media 0,0000
Varianza 1,0000
En el segundo apartado se ejecutará dos veces Epidat 3.1: la primera vez con
unadistribución t de Student con 10 grados de libertad y la segunda vez con 500
grados delibertad.


1. Eventos aleatorios, espacio maestral y técnicas de conteo (con ejemplos sencillos).

2. Distribuciones de probabilidad, introducción y conceptos.

a. Bernoulli

b. Binomial

c. Poisson

d. Normal

e. Gamma

f. T de student

1. Presentación Power Point con explicaciones verbales del punto 1 (Eventos aleatorios,
espacio…)

2. Documento en Word explicando cada una de las distribuciones citadas en el punto 2.

3. Documento de Word conteniendo los cinco ejemplos de aplicación de las distribuciones
(punto 3 del contenido)

4. Power Point explicando por escrito un ejemplo tomado del documento en Word, de cada
una de las distribuciones (punto 3 del contenido)

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