Ensa t09 m

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Ensa t09 m

  1. 1. CONCOURS D’ENTREE EN 1èreANNEE DU CYCLE PREPARATOIRE24 Juillet 2009Epreuve de Mathématiques(Nombre de pages 4 et une fiche réponse à remettre au surveillant, correctement remplie, àla fin de l’épreuve)CALCULATRICE NON AUTORISEE1)Soit L une liste d’entiers relatifs consécutifsdont le premier terme est -22 et le dernierterme est noté par x. { }22,....,L x= −Si la somme de tous les éléments de L estégale à 72 alors x=a) -72) 25c) 22b2) 1( 1)limn nnneπ +→∞−= a) 1/π b) 0 c) n’existe pas3)n1k=12Soit = ; alors lim =kn k nXe + →∞∑ nX a) + ∞ b)12e −c)2( 2e e )−4)On considère un carré C0 dont les côtésmesurant a cm. Soit C1 le carré inscrit dans C0dont les sommets sont les milieux des côtés deC0. Nous procédons de la même manière etnous formons une famille infinie de carrés (Ci )tel que Ci+1 est le carré inscrit dans Ci dont lessommets sont les milieux des côtés de Ci.La somme totale des périmètres des carrésCi est égale àa) 4a(2+ 2)b) 4a(1+ 2)c) 4a5)n2p=21Soit = ; alors lim =1n nnw wp →∞−∑a) 3/2 b) 3/4 c) + ∞6)1
  2. 2. 010Soit ( ) une suite numériqueà termes strictement positifs ( 0)vérifiant , IN avecest une constante strictementinférieure à 1. ( 1).On définit la suite ( ) définie parn nnnnn nuuuk nukkV≥+≥>≤ ∀ ∈<n0V .On considère les assertions suivantes:(I) ( ) est bornée(II) lim 0(III) ( ) est convergenteLaquelle ( lesquelles) des assertionsest ( sont vraies) ?nkkn nnnn nuuuV=→∞==∑a) Seulement Ib) Seulement I et IIc) I, II et III .7)32 201(9 )cosdxtg x xπ+∫ a)9πb)18πc)1 13 3arctg8) 0limxarctg xxπ+→= ) b) 1 c) 0a π9)220sin 3lim =3xxx+→1a) 1 b) c) 3310)40 41 1limhhdxh tgxππ+→=∫2) b) 2 c) 02aπ11) 0sinlim1 cosxxxππ→=−) b) c) 0aπππ12)022 6 1dxx x− + +∫ 23 1a) b ) )6 1 8cπ π613) La surface formée par la courbe de1( )(1 ln )f xx x=+et par les droites21 etx x e= = est égale à2
  3. 3. a) ln 3 b) c)2ln( 1) ln 2e + −21e −14)33Soit ( ) la suite définie par1(ln )Alors limn nnn ennUU dxx xU≥→∞==∫21 1) + b) c)2 2a ∞e15)22Soit ( ) , alorsla tangente à la courbe de en 1admet pour équationxuxg x e dug x==∫3) ( 1)2) ( 1)) Les données sont insuffisantes pourla déterminerea y xb y ex ec= −= − +16)tg xdxx=∫221a) ln( )cosb) -ln( cos )1c) ln( ) ;cos( une constante)Kxx KKxK+++17)2 1lim3 1nnnn−→∞⎛ ⎞=⎜ ⎟−⎝ ⎠1) 0 b) c) +3a ∞18){ }{ }{ }{ }{ }3S o it B = , , u n e b ase d e (IR ,+ , ) .O n co n sid ère les fam illes su ivan tes, ,, ,, 2 , 3A = , 2 ,A lo rs laq u elle ( o u lesq u elles )d es fam illes fo rm e u n e b ase ?i j kE i j i k j kN i j k i j kS i j ki j k j⋅= + + += + + +=−a) Aucuneb) Seulement Sc) Seulement E,S et A19) .{ }3Soit ( , , ) IR / 2 0S x y z x y z= ∈ + − =Lequel des systèmes suivants formeune base pour E ?{ }{ }{ }a) (1,0,1);(0,1,2)b) (0,1,2);(1,0,2);(1,2,0)c) (0,1,2)20){ }{{ }{ }33333O n c o n sid è re le s en sem b le s su iv a n ts( , , ) IR / 0( , , ) IR / 1( , , ) IR / 2( , , ) IR / 0L e sq u e ls p a rm i c e s en se m b le s so n t d e sso u s e sp a c e s v e c to rie ls d e IR ?E x y z yN x y z x y zS x y z zA x y z x y z= ∈ == ∈ + + == ∈ == ∈ + + =} a) Seulement E et Ab) Seulement N et Sc) Tous ( E,N,S et A)3
  4. 4. 21)211Soit A une matrice carrée dordre n vérifiant3 ( est la matrice identité)On considère les égalités suivantes(I) det 0(II) 3(III) det 01(IV) ( )3n nnnA A I IAA I AAA A IAlors−−= +== −≠= −a) (II) et (III) sont vraiesb) (III) et (IV) sont vraiesc) (I) et (IV) sont vraies22)2nSoit Aunematricecarréedordrenvérifiant0( est la matriceidentitéet0 est lamatricenulle)Alors det ( - )n nnnA A IIA I− − ==) det( ) 1) det( )1c)det(A)a Ab A−23)1 ,1Soit ( ) une matrice carréedordre n.On appelle la Trace de A notée par Tr(A)le nombre ( )Alors Tr ( )ij i j nniiinA aTr A aA I≤ ≤===+ =∑) ( )b) ( )c) ( ) 1a Tr A nnTr ATr A++24)20Si ( ) ln(1 )(1)xh t dt x xalors h= +=∫) ln2b) 1 ln 2c) Les données sont insuffisantesa+25)sin(ln )x dx =∫[ ][ ]a) sin cos2b) sin(ln ) cos(ln )2cos(ln )c) ;une constantexex x Kxx x KxKxK− +− ++4

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