La derivada

1. LA DERIVADA Prof. Marco Tamariz

3. Si estamos rumbo al trabajo, al centro de estudios o a algún otro lugar es importante llegar lo más pronto posible. Así es necesario conocer la velocidad a la que nos dirigimos, es decir saber cuanto varia nuestra posición con respecto al tiempo.

4. 98 m. en 7 segundos 18m. en 3 segundos A B C Supongamos que partimos del reposo en “A”, la cual será nuestro punto de referencia en cuanto a la posición: Ahora calculamos la velocidad promedio en el tramo BD: D 50 m. en 5 segundos La relación entre la posición “ P(t) ” en este movimiento rectilíneo con una velocidad uniformemente variada y el tiempo “t” es expresada mediante la siguiente relación:

5. Si queremos medir estas variaciones de la posición con respecto a la variación del tiempo (llamada velocidad promedio), en tiempos cada vez mas cercanos al tiempo t 0 =3, obtenemos el siguiente cuadro: Podemos intuir que mientras más nos acercamos a t 0 =3 (simbólicamente t 3), la velocidad promedio tenderá a 12 m/s. 12.01 3.005 12.02 3.01 13 3.5 16 5 Velocidad Promedio (m/s) Tiempo final “t” (segundos)

6. La velocidad instantánea en t 0 =3, es así definida como el valor al cual se acerca la velocidad promedio en tiempos cada vez más cercanos a t 0 =3: Si graficamos “el tiempo vs Posición” en los ejes coordenados según la expresión (*) , observaremos lo que ocurre gráficamente al obtener las diferentes velocidades promedio a medida que nos acercamos al tiempo t 0 =3. Esta idea puede ser tomada y definir así la velocidad instantánea en t=t 0 , de un vehículo, que para un tiempo “t” se encuentre en una posición “P(t)”, como:

7. Recta secante a la grafica de “P(t)” cuando el tiempo final es 5 seg.

8. Recta secante a la grafica de “P(t)” cuando el tiempo final es 3.5 seg.

9. Recta tangente a la grafica de “P(t)” en el punto t 0 = 3 seg.

10. Según las gráficas el proceso que se hizo fue conseguir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de “P(t)”, en el punto (3,18), a través de sucesivas pendientes de rectas secantes cuando t=5, t=3.5, t=3.01, t=3.005 …. 2) La población mundial en miles de millones de personas a partir del 2000 es dado por: (“t” son años a partir de 2000) . Podríamos encontrar de manera similar la rapidez instantánea de cambio de la población. Estas situaciones nos llevan a definir la derivada (rapidez instantánea) de una función “ f ”. 1) Un gran estanque se surte de peces. La población de peces “P” se modela mediante la fórmula: , donde “t” es el número de días a partir de que los peces se introdujeron al estanque, en diversas circunstancias seria útil calcular la rapidez instantánea de cambio de la población de peces. Otras situaciones:

11. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA La derivada de una función “ f ” en el punto “ a ”, denotada por “ f ´ (a) ” , es calculada como: Si el límite existe. Si no existe, se dice que “ f ” no es derivable en “ a ” . Ejemplo : Determine la derivada de “ f(x)=x ” en cualquier punto “a”. Observación: El punto “a” tiene que estar dentro de un intervalo abierto.

12. LA FUNCIÓN DERIVADA A cada punto “ x ” le corresponde “ f ´(x) ” en el caso de existir el límite. Así tenemos la función: REGLAS DE DERIVACIÓN 1) Sean “f” y “g” dos funciones derivables en el punto “x”, y “k” un número cualquiera: a) b) c) d)

13. 4) Si f (x)=x r , con “r” un número real cualquiera; entonces: 3) Si f (x)=k , con “k” una constante cualquiera; entonces: 5) Si f (x)=e x , entonces: 7) Si f (x)=sen x , entonces: 8) Si f (x)=cos x , entonces: 6) Si f (x)=ln x , entonces: 2) Sea “f” es derivable en el punto “ g(x) ” y “ g ” derivable en el punto “x”, entonces:

14. Esto indica, por ejemplo, que a los 5 días de que se introdujeron los peces al estanque, la rapidez o variación instantánea de cambio de la población de peces fue de: Ejemplo: 1.- Solucionar el problema 1), planteado en otras situaciones. Solución: , aplicando las reglas de derivación tenemos:

15. Esto quiere decir que, por ejemplo, este año 2008( 8 años después del 2000) la variación instantánea de la población mundial fue de: 2.- Solucionar el problema 2), planteado en otras situaciones. Solución: , aplicando las reglas de derivación se obtiene: