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Un bloque de 8 kg se empuja contra un resorte de constante elástica k
= 350 N/m; comprimiéndolo 45 cm. Al soltarse el bloque, se mueve
por una superficie sin fricción en plano y luego asciende por una
pendiente de 30º. Calcule a) la rapidez del bloque cuando es disparado
por el resorte en el plano horizontal, b) la altura máxima que alcanzará
en la pendiente y la energía potencial en su máxima altura.

Un brazo de robot que controla la posición de una cámara de video en
un sistema automático de vigilancia es manipulado por un servomotor
que ejerce una fuerza sobre una barra de empuje, la fuerza está dada
por:

 x2 
F(x)  2 1 
 0.000294 

Si la barra se mueve desde x = 0.01 m hasta x = 0.05 m, determine el
trabajo hecho por el servomotor.

Un bloque de 5 kg se pone en movimiento ascendente en un plano
inclinado con una velocidad inicial de 8 m/s. El bloque se detiene
después de recorrer 3 m a lo largo del plano, el cual está inclinado a un
ángulo de 30° con la horizontal. Determine a) el cambio en la energía
cinética del bloque, b) el cambio en su energía potencial, c) la fuerza
de fricción ejercida sobre él, d) el coeficiente de fricción cinético.

4. Globos de helio que tienen masas de 5 g cuando están desinflados y con radio de 20cm
cada uno, son utilizados por un niño de 20 kg para levantarse a si mismo del suelo.
¿Cuántos globos necesitará si la densidad del helio es de 0.18kg/m3 y la densidad del aire
es de 1.29kg/m3? (Sugerencia: Tome en cuenta todas las fuerzas involucradas, inclusive el
peso del helio que contienen los globos, además ΣF y=0).

5. El agua entra a un tubo de admisión subterráneo de 1.5 cm de radio, con una velocidad
de 40 cm/s. Fluye luego por un tubo de 0.5 de radio a una altura de 35 m con una presión
manométrica de 0.2 atm. Calcule: a) la velocidad del agua en el punto más alto, b) la
presión manométrica en el tubo subterráneo.



6. Un recipiente se llena hasta el borde con 1.4L de mercurio a 20 °C. Cuando la
temperatura del recipiente y del mercurio se elevan a 60°C, se derraman 7.5 cm3 de
mercurio. Calcule el coeficiente de dilatación lineal del recipiente. ΒM= 18x10-5K-1.

7. Se tiene una mezcla de 500g de hielo y 750g de agua en equilibrio térmico en un
calorímetro de masa despreciable. Se deja caer un trozo de aluminio a 600ºC haciendo
que la temperatura del sistema ascienda a 100ºC y que 50 g de agua se conviertan en
vapor. Determine la masa del trozo de aluminio.

8. Dos recipientes de 1.22 L y 3.18 L de volumen respectivamente contienen gas kriptón y
están conectados por un tubo delgado. Al inicio tienen la misma temperatura de 16 °C y la
misma presión de 1.44 atm. El recipiente más grande se calienta entonces a 108 °C y el
más pequeño permanece a 16 °C. Determine la presión final.

9. Dos moles de un gas ideal monoatómico se hacen pasar por el ciclo mostrado en la
figura. El proceso bc es una expansión adiabática reversible. También Pb = 10.4 atm,
Vb=1,22 m3, y Vc= 9.13 m3. Calcule: a) el calor añadido al gas, b) el calor que sale del
gas, c) el trabajo neto efectuado por el gas.

10. Un inventor dice haber creado una bomba de calor que lo extrae de un lago a 3 ºC y
que lo suministra con una rapidez de 20kW a un edificio a 35 ºC, utilizando apenas 1.9kW
de energía eléctrica. Justifique haciendo los cálculos respectivos si es posible o no tal
afirmación.

Resuelve cada uno de los siguientes problemas aplicados:

1. En Saltillo, la temperatura es de 30º C, pero decrece a razón de 3º por hora. En
una población cercana, Monterrey, la temperatura es de 40º C, pero está
aumentando a razón de 3.5 grados por hora.
a. Si la temperatura se representa por la variable T y el tiempo en horas
como t, determina los modelos para la temperatura de las ciudades en
cada instante.
b. Si la temperatura continúa disminuyendo y aumentando en la misma
proporción en ambas ciudades, ¿dentro de cuánto tiempo tendrán la
misma temperatura?



c. Cuando ambas ciudades tengan la misma temperatura, ¿cuál será?
2. Un químico tiene una solución de ácido al 10% y otra al 30%. ¿Qué cantidad de
cada una debe mezclar para obtener 6 litros de una solución de ácido al 20%?
3. Estela quiere plantar una faja uniforme de pasto alrededor de su alberca. Si
mide 10 por 20 pies y ella sólo dispone de semilla para cubrir 336 pies
cuadrados. ¿Cuál será el ancho de la faja uniforme?

1.- Un cuerpo de masa m= 4.5 gr se deja caer desde el reposo desde una altura h= 10.5
metros sobre la superficie de la tierra, ¿Cuál será su velocidad inmediatamente antes de
que toque el suelo?

2.-El haz de luz laser en un satélite golpea un objeto lanzado desde un proyectil balístico
disparado accidentalmente. La trayectoria del haz de luz es una parábola. El haz ejerce
una fuerza de 2.7 X 10 -5 newtons sobre el objetivo, si el tiempo de permanencia del rayo
sobre el objetivo es de 2.4 segundos, en cuanto se desplazara el objeto si este es un
señuelo de 2.1 kilogramos.

3.- En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno el electrón gira en una órbita circular
alrededor del núcleo si el radio es de 5.3 X 10 -11 metros y el electrón da 6.6 X 1015
revoluciones por segundo. Halle:

a) La velocidad del electrón.

b) La aceleración del electrón (aceleración centrípeta)

c) La fuerza que actúa sobre el electrón (fuerza central)

Para la solución de este problema aplicaremos las formulas de movimiento circular
uniforme y de la segunda ley de Newton:

4.- Un bloque esta en reposo sobre un plano inclinado que forma un ángulo Ѳ con la
horizontal (como en la figura). Cuando el ángulo de inclinación se eleva, se halla que el
deslizamiento apenas comienza a un ángulo de inclinación Ѳs=15°

¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre el bloque y el plano?

5.- Demuestre que el ímpetu angular con respecto a cualquier punto de una sola partícula
que se mueva a velocidad constante permanece constante durante el movimiento.

6.- Los campos eléctricos pueden servir para extraer electrones de los metales si se quiere extraer un
electrón del elemento tungsteno, el campo eléctrico debe realizar 4.5 electronvolts de trabajo, supóngase
que la distancia en la que opera es 3.4 nanómetros. Calcule la fuerza mínima que ha de ejercer en el
electrón de cuestión.



Análisis de grafica:

Gráfica:

 ¿Podrías establecer en qué intervalos del dominio es creciente o decreciente?
 ¿Podrías establecer en qué intervalos del dominio es cóncava hacia arriba o hacia abajo?
 ¿Podrías establecer para cuáles valores del dominio alcanza su valor máximo o mínimo en el rango o
imagen?
 ¿Sabemos lo que se nos está pidiendo?

CASO I
La siguiente matriz incluye las utilidades esperadas en dólares para cinco diferentes inversiones y cuatro
niveles diferentes de venta.
Demanda Alta Demanda Moderada Demanda Baja Falla

Inversión A 15 11 12 9

Inversión B 7 9 12 20

Inversión C 8 8 14 17

Inversión D 17 5 5 5

Inversión E 6 14 8 19

A partir de la información, elabora una tabla de pérdidas y define:
1. ¿Cuál es la decisión óptima si se utiliza el Criterio Maximax?
2. ¿Cuál es la decisión óptima si se utiliza el Criterio Maximin?
3. ¿Cuál es la decisión óptima si se utiliza el Criterio de Realismo (Hurwicz)? Considera α = 0.7
4. ¿Cuál es la decisión óptima si se utiliza el Criterio Minimax?
a) Supón que se para el caso descrito se obtiene información acerca de las probabilidades para cada nivel de
demanda:
Probabilidad (Demanda Alta) 0.2

Probabilidad (Demanda Moderada) 0.3

Probabilidad (Demanda Baja) 0.3

Probabilidad (Falla) 0.2

5. Encuentra la decisión que maximice el rendimiento neto esperado, en términos monetarios.
CASO II
En un estudio sobre distribución de la población de un país, se concluyó que cada familia se puede clasificar
como habitante de la ciudad, del campo o de los suburbios. Durante un año determinado, 15% de las
familias que viven en la ciudad se cambian a la zona de suburbios y 5% migran al campo. El 6% de las familias



que viven en suburbios pasan a la ciudad, 4% al campo, y 4% de las familias del campo pasan a la zona de la
ciudad y el 6% a los suburbios.
Actualmente, 40% de las familias viven en la ciudad, 35% en alguna zona suburbana y 25% en el campo.
a) Menciona los supuestos que el caso debe de cumplir para considerar este caso como una Cadena de
Markov de primer orden.
b) Encuentra la matriz de transición.
c) Después de dos años, ¿qué porcentaje de familias vivirá en la ciudad?
d) Al largo plazo, ¿cuál será el porcentaje de la población en cada zona?
CASO III
Una compañía considera la contratación de un técnico en mantenimiento para reparar un mecanismo que
se descompone con una distribución Poisson con una tasa promedio de 4 por hora; el tiempo improductivo
de cualquiera de los mecanismos está costando $5000 por hora a la Empresa. La Compañía puede contratar
dos tipos distintos de mecánicos: uno lento, pero poco costoso, a $2,500 por hora y el otro rápido, pero más
costoso, a $4,500 por hora; el mecánico lento puede reparar exponencialmente los mecanismos a una tasa
promedio de 6 por hora, mientras que el mecánico rápido repara exponencialmente a razón de 8 por hora.
En base a los datos anteriores ¿cuál mecánico debe contratarse?
1. Evalúa el desempeño de cada mecánico, llenando la siguiente tabla:
Mecánicos

Lento Rápido

Número medio de reparaciones en la cola ( Lq)

Número medio de reparaciones en el sistema (L)

Tiempo medio de reparaciones en cola (Wq)

Tiempo medio de la reparaciones en el sistema (W)

Ocupación del servicio (Pw)

2. Supongamos que los costes de operación de cada camioneta por hora son de $200/hora, los trabajadores
cobran $100/hora de trabajo y trabajan 8 horas al día. Encuentra la cantidad de trabajadores que
representan el costo óptimo.
CASO IV
Para llegar a su trabajo, un oficinista tiene que tomar el camión en las mañanas; sin embargo, el tiempo de
recorrido varía según una distribución normal con media 30 minutos y desviación estándar de 10 minutos. El
camión sale puntualmente 40 minutos antes de la hora de entrada de la oficina y el tiempo máximo de
tolerancia, sin marcar retardo, son 5 minutos después de la hora de entrada.
a) Simula con Excel, Minitab o la herramienta de tu preferencia, 250 observaciones y determina cuántos
retardos tendrá el oficinista en el año.
b) Reporta los beneficios y desventajas de usar la simulación en este caso.



Determine un polinomio F(x) de grado 7, con coeficientes reales, tal que x = 1 son raíz
de multiplicidad al menor 4 del polinomio P(x) = F(x) + 1 y x = -1 sea raíz de
multiplicidad al menos 4 del polinomio Q(x) = F(x) + 1.

Resuelve el siguiente problema:

Las firmas farmacéuticas invierten fuertes cantidades al probar un nuevo medicamento. Después de que las entidades de un país lo aprueban,
toma tiempo para que los médicos acepten y hagan uso de los medicamentos. Supón que para un nuevo medicamento contra el SIDA, el
porcentaje P de médicos que utilizan el producto después de t meses, está dado por la siguiente función.

Haz lo que se te pide a continuación y responde a cada una de las siguientes preguntas, justificando tus respuestas.

1.- Traza la gráfica de la función

2.- ¿Qué tipo de función es?
3.- ¿Qué ocurre cuando t=0 y cuando t=12?
4.- ¿Cuál es el significado en términos prácticos de P(0) y P(12)?
5.- Determina si la siguiente función tiene inversa ________________ Justifica tu respuesta
6.- Si tiene inversa, determina cuál es la ecuación que la representa:_____________________
7.- Determina las asíntotas verticales y horizontales de la función e interpreta estos resultados desde un punto de vista práctico.
8.- ¿Qué ocurre cuando t crece sin límite?
9.- Explica el significado práctico del punto 4 hallando el límite.
10.- ¿Cuál es el tiempo mínimo esperado? ¿Qué parte de la gráfica te da esta información?
11.- ¿Para qué valor de t se obtendrá con un porcentaje de 50%?

Resuelve el siguiente problema:

Las firmas farmacéuticas invierten fuertes cantidades al probar un nuevo medicamento. Después de que las entidades de un país lo aprueban,
toma tiempo para que los médicos acepten y hagan uso de los medicamentos. Supón que para un nuevo medicamento contra el SIDA, el
porcentaje P de médicos que utilizan el producto después de t meses, está dado por la siguiente función.

Haz lo que se te pide a continuación y responde a cada una de las siguientes preguntas, justificando tus respuestas.

 Determina la derivada de la función, aplicando las fórmulas y propiedades correspondientes.
 ¿Con qué rapidez cambian el porcentaje cuando t=15 meses?
 Traza la gráfica de la función.



 Halla P(12) e interpreta el resultado.
 Traza la gráfica de la derivada de la función.
 Halla la ecuación de la recta tangente en P=12 .
 Interpreta en términos prácticos P'(15).
 Traza la gráfica de la función.
 Encuentra los valores críticos.
 Clasifica estos valores críticos mediante el criterio de la primera derivada.
 Determina los intervalos donde la función es creciente y decreciente.
 Traza la gráfica de la derivada de la función.
 Comprueba los valores críticos aplicando el criterio de la segunda derivada.
 Halla los valores de inflexión de esta función.
 Determina los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
 Traza la gráfica de la segunda derivada.
 Interpreta en términos prácticos tus resultados encontrados en cada inciso y lleva a cabo una conclusión general.

 1. Determine la magnitud de los ángulos coordenados y de la fuerza
resultante que actúa sobre un anillo siendo F1 = 80i + 100k y F2=
60i -100j+120k. Trace los vectores en un sistema de coordenadas
tridimensionales.
 2. Determine la derivada por medio de la pendiente de la recta
tangente (método de los incrementos) de:
 3. Una masa de aire frío se aproxima a un campo universitario de
modo que si la temperatura es T(t) grados Fahrenheit, t horas
después de la media noche, entonces:
 T(t)= 0 ≤ t ≤ 12
 Determine la tasa instantánea de variación de la temperatura con
respecto al tiempo a las 5:00 AM.
 4. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados
opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D está a
600 mts. de B y en su misma orilla. (fig. 4.22). Una compañía de
teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por
metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra.
¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?
 5. Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una
de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre
para que:
 a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
 b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.
 6. Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin
tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál
debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de
la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?



4. una partícula se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ecuación
de movimiento

Donde s está definida en metros y t en segundos, determine:
a) t, s y v cuando a = 0
b) Determine la velocidad a 0.5 segundos
6. Se estimó que un trabajador en una tienda donde se fabrican marcos
para pinturas puede pintar “y” marcos “x” horas después de comenzar a
trabajar a las 8:00 AM. Donde
0 ≤ x ≤ 4
a) determine la tasa de variación del pintado de los marcos.
b) determine el número de marcos que el trabajador pintará entre las 10 y
las 11 de la mañana.

1. En una Empresa se realiza una encuesta a sus 50 obreros y se obtienen los
siguientes datos: 35 de ellos les gusta su trabajo, 27 de ellos tienen buenas
relaciones con su jefe, 15 de ellos les gusta su trabajo y tienen buenas relaciones con
su jefe. Determinar cuántas de estas personas:

a)no tienen buenas relaciones con su jefe
b) no les gusta su trabajo
c) les gusta su trabajo pero no tienen buenas relaciones con su jefe
d) tienen buenas relaciones con su jefe pero no les gusta su trabajo
e) no tienen buenas relaciones con su jefe y no les gusta su trabajo

2. Se requiere construir un anuncio panorámico en forma rectangular, cuya base se
representa como metros y cuya altura se representa como metros.

a) Expresa el área del rectángulo en términos de x
b) Determina el valor del área cuando x=6 metros

. Obtén el dominio de las siguientes funciones.

3.

4.



III. Encuentra el valor de los siguientes límites.

5.

6.

IV. Determina si las siguientes funciones son continuas en x = a, si no lo son especifica el tipo de
discontinuidad.

7.

8.

. Determina la derivada de las siguientes funciones aplicando las fórmulas y propiedades de las
funciones básicas.

9.

10.

11.

12.

VI. En los siguientes ejercicios obtén los puntos críticos de la función y utiliza el criterio de la primera
derivada para determinar si son máximos, mínimos o ni uno ni otro. Indica los intervalos en los que
f(x) es creciente y en los que es decreciente. Dibuja la gráfica de la función f(x) para comprobar los
resultados.

13.



14.

Resuelve el siguiente problema aplicado los conceptos de máximos y mínimos.
15. Una compañía fabrica calculadoras, la función de costo esta dada por
donde x representa la cantidad de calculadoras
producidas. Determina el número de calculadoras que se deben producir para minimizar los
costos de la compañía.
VIII. Resuelve las siguientes integrales indefinidas.

16. 19.

17. 20.

18. 21.

22. Una dietista de un hospital va a diseñar una dieta especial utilizando tres alimentos básicos. El
número de unidades por onza de cada ingrediente especial para la comida A son: 30 de calcio, 10 de
hierro y 10 de vitamina A, para la comida B son: 10 de calcio, 10 de hierro y 30 de vitamina A, para la
comida C se requiere 20 unidades de cada ingrediente. La dieta es para incluir exactamente 340
unidades de calcio, 180 unidades de hierro y 220 unidades de vitamina A.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que cumpla los requerimientos de la dieta.
b) Determina cuál es la cantidad de cada tipo de alimento que se debe incluir en la dieta.

23. En un proceso de fabricación de tela, ésta presente en promedio una ralladura cada 5 metros.
Determina la probabilidad de no encontrar ninguna ralladura en 50 metros lineales.

24. Si la variable aleatoria que se refiere a los puntos que anota por partido un jugador de básquetbol
tiene una distribución normal, con media de 16 puntos por partido, con desviación estándar de 6
puntos. Determina la probabilidad de que anote 10 puntos o menos.

25. A continuación se muestran los resultados obtenidos por 21 estudiantes de la clase de Álgebra.



 Encuentra: a) la media, b) la desviación y c) el coeficiente de variación.
 Construye una distribución de frecuencias y un histograma utilizando los
datos.

26. Para la señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que funcionan
independientemente. La probabilidad de que el indicador accione durante la avería es igual a 0.95 para
el primero de ellos y 0.9 para el segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que durante la avería accione
solo un indicador?

27. Una caja tiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas, otra tiene 6 lámparas de las cuales 1
es defectuosa y una tercera caja tiene 8 lámparas de las cuales 3 son defectuosas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la lámpara que se haya extraído sea de la segunda caja si se sabe que resultó
defectuosa?

28. Selecciona cuál de las siguientes opciones contiene el número de formas en que pueden estar
sentadas 10 personas en un banco con capacidad para cuatro personas.

29. Una familia está compuesta por 6 hombres y 4 mujeres, se van a seleccionar a 4 miembros de esa
familia. Selecciona cual es el número de maneras en que se pueden seleccionar a 2 hombres y 2
mujeres.

30. Una urna contiene 5 bolas blancas y 2 azules. Se extraen 3 bolas sin reemplazo, si definimos a X
como una variable aleatoria discreta que denota el número de bolas blancas extraídas. Determina:

a) La imagen
b) La función de probabilidad f(x)
c) La función de probabilidad acumulada F(x)
d)

31. En promedio 8 pacientes por hora son atendidos por un especialista. Selecciona cuál es la
probabilidad de que atienda a 10 pacientes en dos horas.

32. Los tiempos durante los que está fuera de servicio un conmutador en horas, en cada uno de los
siguientes 5 meses consecutivos son 28, 15, 19, 30 y 23. Determina la probabilidad de que el
conmutador en promedio esté fuera de servicio a lo más 20 horas por mes. Suponiendo que la
población es normal.

33. Una muestra aleatoria formada por las botas usadas de 50 soldados en una región desértica
muestra una vida promedio de 1.24 años con una desviación estándar de 0.55 años. En condiciones
normales se sabe que estas botas tienen una vida promedio de 1.4 años. Hay alguna razón para
asegurarse con una confianza del 95% que el usar botas en el desierto causan las disminución de la
vida promedio (supón que se toma una bota por soldado). Obtén la probabilidad de que atienda a 10



pacientes en dos horas.

34. Se sospecha que en un proceso químico hay una reacción lineal entre

X = temperatura(oC) y Y = % de impureza.
n X Y
1 100 88.5
2 110 72.5
3 110 72.9
4 125 59.9
5 125 59.1
6 130 58.7
7 130 47.4
8 140 35.6
9 140 35.0
10 150 30.4
a) Determina el coeficiente de correlación
b) Determina el porcentaje en que explica la variable temperatura al porcentaje de
impurezas sobre este proceso químico.
c) Encuentra la recta estimada
d) ¿Cuál es el porcentaje de impurezas a una temperatura de 175º C?
e) Halla la suma de cuadrados totales SST
f) La suma de cuadrados de la regresión SSR
g) Evalúa el modelo de pronóstico a través del valor del EMC (error medio cuadrado)

35. Supón que quien debe tomar la decisión frente a dos alternativas de decisión y tres estados de la
naturaleza desarrolla la siguiente tabla o matriz de pago de utilidades:

Estado de la naturaleza
Alternativa de S1 S2 S3
decisión
d1 150 200 200
d2 50 200 500

a) Elabora un diagrama de árbol.



b) Si quien toma las decisiones no sabe nada de las probabilidades de los tres estados de la
naturaleza, ¿cuál es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista, conservador y de
arrepentimiento? Explica.

36. Los patrones de compra para dos marcas de refrescos se pueden expresar como un proceso de
Markov con la siguiente probabilidad de transición:

Hacia
De Pep Kok
Pep 0.10 0.90
Kok 0.85 0.15

a) ¿Qué marca aparenta tener más clientes leales? Explica.
b) ¿A la larga cuál es la penetración del mercado para ambas marcas?

Resuelve los siguientes problemas. Justica cada una de tus respuestas.

1. Dada la siguiente función

a. Comprueba que es una función de densidad de probabilidad si

b. La probabilidad de que x quede entre a y b está dada por

c. Determina el valor esperado de x, el cual está dado por .

2. El modelo de epidemias asume que la enfermedad se extiende a un ritmo
proporcional al producto del número total infectado y al número no infectado
todavía. Sea x el número de individuos recientemente infectados en un momento t de
una comunidad de n individuos susceptibles. Así el modelo matemático para
representar esta epidemia está dado a través de la siguiente ecuación diferencial

Encuentra el número de individuos recientemente infectados. Considera una
comunidad de 1,000 individuos en un tiempo de 10 días a un ritmo de crecimiento de
la epidemia del 15%. Representa gráficamente la función.

3. Una pelota se deja caer de 6 metros y empieza a botar. La altura de cada salto es de
3/4 la altura del salto anterior. Encuentra:
a. La secuencia que representa este comportamiento.
b. La serie que representa la distancia total vertical recorrida.
c. Encuentra la distancia vertical total recorrida por la pelota.



2
4. La función de producción de una compañía está dada por P(x,y)= 0.54x -
3 2 3
0.02x +1.98y -0.09y , donde x y y son las cantidades de trabajo y capital,
respectivamente, y P es la cantidad producida. Encuentra los valores de x y y que
maximizan la producción de esta compañía.

5. Un fabricante produce tres artículos x, y y z. La utilidad por cada unidad vendida de
x, y y z es de $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $16,000 por año y
los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $6, respectivamente. El año
siguiente se producirán y venderán un total de 10,000 unidades entre los tres
productos, y se obtendrá una utilidad total de $25,000. Si el costo total será de
$60,000, ¿cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente?

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en este tema, realiza lo siguiente:

I.Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios.

1. Encuentra la suma de todos los enteros pares entre 9 y 501.

2. Encuentre la suma de
3. Encuentra la suma de los primeros 25 términos 3,9,15,…
4. Encuentre la suma de los primeros 20 términos x + (x + y) + (x + 2y) +..
2
5. Encuentra el término 30 de la serie 1+(0.1)+(0.1) +..
6. Encuentra el término 25 de la serie -17 – 7 + 3 + 13 +..
7. Un auditorio tiene un total de 38 filas acomodadas de tal forma, que cualquier fila
después de la primera tiene dos asientos más que la fila anterior. Si la última fila
tiene 102 asientos, ¿cuántos asientos tiene en total el auditorio?

II. Investiga en la Biblioteca digital, en otras fuentes electrónicas o textos, información
acerca de series p y preséntala en forma de reporte.

Después de revisar el material de apoyo que se te presenta en este tema, realiza lo
siguiente:

1. Calcula las derivadas parciales indicadas y evalúa en el punto asignado, si se indica.

2. Sea f(x, y) una función que representa el costo en cientos de pesos en la producción de
artículo, donde x representa el costo de mano de obra por hora en cientos de pesos y y
representa el costo de materiales por libra en cientos de pesos. Determina el significado
práctico de la derivada



3. La producción de cierto país se lleva a cabo a través de la función:

, al utilizar x unidades de mano de obra y y unidades de capital.

a. Determina
b. ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal
del capital cuando las cantidades gastadas en mano de obra y capital son 625 y 81
unidades, respectivamente?

Resuelve los siguientes problemas. Justica cada una de tus respuestas.

1. Dada la siguiente función

a. Comprueba que es una función de densidad de probabilidad si

b. La probabilidad de que x quede entre a y b está dada por

c. Determina el valor esperado de x, el cual está dado por .

2. El modelo de epidemias asume que la enfermedad se extiende a un ritmo
proporcional al producto del número total infectado y al número no infectado
todavía. Sea x el número de individuos recientemente infectados en un momento t de
una comunidad de n individuos susceptibles. Así el modelo matemático para
representar esta epidemia está dado a través de la siguiente ecuación diferencial

Encuentra el número de individuos recientemente infectados. Considera una
comunidad de 1,000 individuos en un tiempo de 10 días a un ritmo de crecimiento de
la epidemia del 15%. Representa gráficamente la función.

3. Una pelota se deja caer de 6 metros y empieza a botar. La altura de cada salto es de
3/4 la altura del salto anterior. Encuentra:
a. La secuencia que representa este comportamiento.
b. La serie que representa la distancia total vertical recorrida.
c. Encuentra la distancia vertical total recorrida por la pelota.

2
4. La función de producción de una compañía está dada por P(x,y)= 0.54x -
3 2 3
0.02x +1.98y -0.09y , donde x y y son las cantidades de trabajo y capital,
respectivamente, y P es la cantidad producida. Encuentra los valores de x y y que
maximizan la producción de esta compañía.

5. Un fabricante produce tres artículos x, y y z. La utilidad por cada unidad vendida de
x, y y z es de $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $16,000 por año y



los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $6, respectivamente. El año
siguiente se producirán y venderán un total de 10,000 unidades entre los tres
productos, y se obtendrá una utilidad total de $25,000. Si el costo total será de
$60,000, ¿cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente?
6. La siguiente gráfica representa el costo marginal en millones de dólares por año de la compañía
ACME en un período de tiempo . Encuentra el costo total durante estos cinco años.
7. El modelo de epidemias asume que la enfermedad se extiende a un ritmo proporcional al
producto del número total infectado y al número no infectado todavía. Sea x el número de
individuos recientemente infectados en un momento t de una comunidad de n individuos
susceptibles. Así el modelo matemático para representar esta epidemia está dado a través

de la siguiente ecuación diferencial
Encuentra el número de individuos recientemente infectados. Considera una comunidad de
1,000 individuos en un tiempo de 10 días a un ritmo de crecimiento de la epidemia del
15%. Representa gráficamente la función.
2 3 2
8. La función de producción de una compañía está dada por P(x,y)= 0.54x -0.02x +1.98y -
3
0.09y , donde x y y son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P es la
cantidad producida. Encuentra los valores de x y y que maximizan la producción de esta
compañía.
9. Explica cómo aplicar la integral de línea de una función de dos o tres variables.
10. Mediante una integral de línea de funciones escalares o de una función vectorial,
explica cómo estableces el "trabajo" realizado al mover un objeto.
11. Define el concepto de integral independiente de la trayectoria.
12. Explica cómo se aplican los conceptos de campo conservativo y función potencial.
13. Menciona a qué se atribuye la importancia del teorema de Green.
14. 1. Define y ejemplifica el concepto de "campo vectorial" en el plano y en el espacio.
15.
16. 2. Realiza una investigación referente al tema de Campo Vectorial, incluye una
explicación comentando de dónde surge su nombre y qué tipos de imágenes
visuales son generadas por estas funciones.
17.
18. 3. En esta actividad se introducirán al estudio de los campos vectoriales, a partir de
la elaboración de dibujos que representen algunos campos vectoriales sencillos.
Resuelve los siguientes ejercicios:
19.
20. a. Imagina que a cada punto p del espacio se le asocia un vector F(p) que sale de p.
Ante la imposibilidad de dibujar todos esos vectores dibujaras sólo una muestra
representativa que pueda dar la idea intuitiva de un campo.
21.
22. b. En esta actividad encontraras cuatro funciones relativamente sencillas, intenta
dibujar algunos vectores y piensa de las siguientes representaciones ¿Cuál es la
más adecuada para cada función?

Ejercicio 1. Maximización de costo promedio

El costo promedio mensual debido al departamento de recursos humanos en un buffet de
abogados está dado por la siguiente función:



En donde representa al personal del departamento de dicho departamento y se desea aumentar
el número de empleados en el área de recursos humanos. Determine el costo promedio máximo
que puede tener el buffet si aumenta el número de empleados.

Actividad 2. Costo Total

Una empresa dedicada a la fabricación de productos químicos tuvo un derrame de un
contaminante químico en un río de la localidad, se ha determinado por el departamento de
manejo de residuos en conjunto con el departamento de administración y finanzas que el costo
generado por dicho derrame estará en función del tiempo que permanezca activo el químico en el
agua, lo que está dado por la siguiente función en miles de pesos:

Determine cuál será el costo para la empresa conforme pasa el tiempo.

Ejercicio 3 Cálculo de límites
Analiza cada una de las funciones que aparecen en la columna izquierda y compáralas con las
respuestas de la columna derecha. Realiza los cálculos necesarios que te permitirán relacionar las
columnas.

( ) 1. -5.
( ) 2. 7.
( ) 3. 10
( ) 4.
( ) 5.

Nota. Debes incluir el procedimiento de cada uno de los planteamientos.

Ejercicio 4 Rentabilidad con límites al infinito
Lee con atención el planteamiento del problema y elabora el procedimiento que se requiere.



Una cadena de hoteles desea construir un nuevo hotel en una zona donde recientemente se está
practicando ecoturismo, para lo cual calcula que la población turística dentro de años sigue la
siguiente función:

En cientos de turistas, si se ha determinado que se requiere que la población turística sea de al
menos 10000 personas en cualquier momento, determine si será rentable en algún momento
construir éste nuevo hotel:

Ejercicios

1- Un hombre se encuentra caminando sobre un puente de ferrocarril que une el punto A
con B. Cuando ha recorrido 3/8 del largo del puente, comenzando desde A, escucha el
silbido de un tren que se aproxima desde A. La rapidez de crucero de un tren es de 80 km/h.
El infortunado caminante no tiene opción: si corre hacia A, el tren lo atropella justo en A, si
corre hacia B, el tren lo alcanza justo en B.
>¿Cuál es la rapidez del caminante?

2- Una fila de hombres marchando en línea recta, uno detrás de otro, tiene un largo L. El
oficial a cargo decide inspeccionar a sus hombres. Parte desde el final de la línea con una
rapidez constante hasta alcanzar al primer soldado y entonces se devuelve, con la misma
rapidez, hasta llegar nuevamente hasta el lugar del último soldado. Mientras se cumplía esta
operación, la columna de hombres avanzó una distancia L, de este modo el último hombre
de la columna se encuentra ahora en el lugar en que se encontraba el primero de la columna
al momento que comenzó la inspección.
>¿Qué distancia viajó el oficial durante su inspección?

3- Identifiquemos dos pueblos con los puntos A y B. El pueblo A se encuentra exactamente
en el km xA de la carretera y B en el kilómetro xB. Dos ciclistas comienzan una carrera de
resistencia viajando entre A y B hasta donde resistan, manteniendo su rapidez respectiva
constante. Ambos ciclistas no tienen la misma rapidez, de hecho la razón entre sus
rapideces es 5/4, siendo el ciclista que partió de A el más rápido. En su ir y venir, los
ciclistas se encuentran por segunda vez, frente al km 145, y por tercera vez, frente al km 201.
>Con estos datos, se pide determinar frente a qué km se encuentran A y B.

4- Un pasajero llega atrasado a la estación. Al entrar en la estación, el inspector autoriza con
un pitazo la partida del tren. En estas circunstancias, el pasajero corre con una velocidad de
4 m/s para lograr alcanzar el tren. Cuando se encuentra a una distancia d de la puerta más
próxima del tren, éste comienza a moverse con una aceleración constante a = 0,4 m/s2,
alejándose del pasajero.

5- Se suelta una pelota desde una altura h. La pelota parte del reposo, choca más tarde con
el suelo, rebotando con una rapidez proporcional a la que tenía en el instante que tocó el
suelo. Es decir: |Vrebote | = k |Vllegada |, con (0< k < 1). La pelota sube y luego cae para
volver a rebotar. En este segundo choque ocurre lo mismo que en le primero, la rapidez en



el rebote cumple la misma relación señalada para el primer rebote. De esta forma, continúa
el movimiento, con sucesivos rebotes, hasta que la pelota prácticamente ya no se mueve.
Considerando que todo estos rebotes ocurren manteniendo el movimiento en la dirección
vertical, calcule:

a) La altura que alcanza la pelota después del primer rebote.

a. ¿Qué es el discriminante para una ecuación cuadrática?
La solución general de una ecuación cuadrática
está dada por la fórmula:

Se le llama discriminante al término
b. ¿Cómo puede el discriminante indicarnos cuántas soluciones o raíces tiene la ecuación
cuadrática y a qué conjunto de números pertenecen?
Si el discriminante es mayor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones o raíces reales y ambas
pertenecen al conjunto de los números reales.
Si el discriminante es igual a cero, la ecuación cuadrática tiene una solución o raíz real que pertenece al
conjunto de los números reales.
Si el discriminante es menor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones o raíces reales y ambas
pertenecen al conjunto de los números complejos.
c. ¿Cuál es el procedimiento para solucionar una cuadrática por factorización?
El procedimiento consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Para ello, se
buscan dos números que multiplicados den el coeficiente del término independiente y que sumados arrojen el
valor del coeficiente del término lineal. Si y son las raíces, se buscan los valores de y de tal forma
que, y en la ecuación cuadrática.
d.
¿Cuál es el procedimiento para solucionar una ecuación cuadrática por el método de la
fórmula general?
Se acomoda la ecuación cuadrática en la forma:

y se sustituyen los valores , y en la fórmula general:

La fórmula anterior debe arrojar una o dos soluciones, ya sean reales o complejas.

Resuelve los siguientes ejercicios de Modelación matemática elemental. Es importante que revises
los ejemplos explicados en material del curso para que puedas hacerlos. No olvides incluir todo el
procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1) De acuerdo con el INEGI en el II Conteo de Población y Vivienda del año 2005 se
contabilizó que la población de nuestro país es de 103 millones de personas. (Datos de:
INEGI http://www.inegi.gob.mx/inegi/default.aspx). De acuerdo al mismo Instituto la tasa de
crecimiento poblacional es de 1% anual. ¿Cuál será la población para el año 2010? ¿En
cuántos años la población será de 120 millones de personas?
(Considera al año 2005 como t = 0).
2) Una plaga de insectos que dañan las cosechas en un ejido donde se cultivan hortalizas
orgánicas. Debido a que no se puede utilizar insecticidas se ha recurrido a introducir una
especie de grillo que acaba con los insectos. Si en un principio se calculaba que la población



de insectos era de 200,000 y a los 5 días de introducir a los grillos la población había
disminuido a 180,000, ¿en cuántos días la población de insectos será de 100?
3) El Cobalto-60 es un elemento radioactivo que se utiliza en radiología y tiene una vida media
de 5.3 años. Si partimos de una muestra de 100 g, ¿en cuánto tiempo quedará el 10% del
material radioactivo original?
4) Un arqueólogo encontró un cráneo humano en una excavación, se le hizo la prueba del
Carbono-14 y se encontró que tenía el 40% del Carbono-14 presente de un organismo vivo.
¿Cuántos años de antigüedad tiene el fósil? (La vida media del Carbono-14 es de 5,730
años)
5) Un grupo de científicos encontró en una isla una especie de tortugas que solo existe en esa
isla. Si la población inicial fue de 350 tortugas y 1 año después había 420, ¿Cuántas
tortugas habrá dentro de 5 años?
6) Una barra de metal con una temperatura de 25° C se sumerge en agua hirviendo a 100° C,
después de 5 segundos la temperatura de la barra es de 35° C. ¿Cuánto tiempo tardará la
barra en alcanzar 50° C?
7) El cuerpo de una persona fue encontrado sin vida a las 9 de la noche y su temperatura era
de 85 ° F, dos horas más tarde su temperatura era de 74 ° F. Si la temperatura ambiente es
de 68 ° F, encuentra la hora aproximada de la muerte de la persona. Considera que la
temperatura normal de una persona es de 98.6 °F.
8) Para modelar el interés compuesto continuo de una cuenta en el banco podemos utilizar el
modelo de crecimiento exponencial. Donde y es saldo en la cuenta y k es la tasa de interés.
Si en una cuenta se depositan $100,000 y el banco paga 4% de interés anual y no se hacen
depósitos ni retiros, ¿cuál será el saldo en la cuenta dentro de 5 años?
9) Investiga acerca del modelo logístico (para modelar poblaciones) y sobre las trayectorias
ortogonales y su relación con las Ecuaciones Diferenciales. Encuentra qué son, cómo se
utilizan y por lo menos dos ejemplos. Utiliza el graficador Graphmatica para incluir las
gráficas tanto del modelo logístico como de las trayectorias ortogonales de tus ejemplos.
Puedes utilizar otros libros diferentes al texto del curso, páginas de Internet y Biblioteca
Digital. Recuerda incluir las referencias de las fuentes que utilizaste para encontrar la
información.
1) Resuelve los siguientes problemas. Primero plantea el problema como una Ecuación Diferencial
y resuelve para encontrar la solución particular empleando la condición(es) inicial(es) dada.

a) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/seg. v(0)  12 , si la
posición inicial es de 1.75 m s(0)  1.75 y la aceleración es la de la gravedad (-9.8
m/seg2). Encuentra la ecuación de velocidad y posición, utiliza las condiciones iniciales.

b) Una piedra se deja caer de lo alto de la Torre Sears en Chicago, si la altura del edificio
es de 442 metros, ¿Cuál será su velocidad al tocar el piso? ¿Cuánto tiempo tardará en
llegar al piso? (Recuerda modelar el problema y su solución utilizando Ecuaciones
Diferenciales).
c) Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies/seg. , v(0)  80 si
la posición inicial es de 2 pies, s(0)  2 y la aceleración es la de la gravedad (-32
pies/seg2). Encuentra la altura máxima qué alcanza la pelota.



2) Investiga en libros de la biblioteca, sitios de Internet y biblioteca digital sobre las aplicaciones de
las Ecuaciones Diferenciales. Busca un mínimo de 4 aplicaciones en diferentes ramas del
conocimiento (física, química, biología, administración, ingeniería, etc.). Describe cada uno de
las aplicaciones y la ecuación diferencial que se utiliza en la aplicación. No olvides incluir las
referencias (mínimo 2) de donde obtuviste la información.
1) Resuelve los siguientes problemas utilizando integrales.

a) La ecuación de velocidad de un objeto está dada por
v(t )  3x 2  2 x  1
m/seg. ,
encuentra su ecuación de posición. Considera que la posición cuanto t = 2 seg. es
de 5 m.

b) Una plaga de insectos está reproduciéndose de acuerdo a la razón de cambio
r (t )  100e 0.5t  t insectos/mes, encuentra la ecuación para el número de
insectos, considera que la población inicial es de 5000 insectos.

 /4
c) Encuentra el área bajo la curva  (2sen3x  cos 2 x)dx
0
2) Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones, utiliza el modelo que corresponde
de acuerdo a cada situación:

t2
a(t )  t
a) La ecuación de aceleración de un objeto está dada por 4 m/seg2.
Encuentra su ecuación de velocidad y su ecuación de posición. Considera que la
velocidad inicial es de 2 m/seg. y su posición inicial 3 m.

b) Un fósil fue encontrado en un sitio arqueológico y se le hizo la prueba del Carbono-
14. Se encontró que el fósil contenía el 75% del Carbono-14 de un organismo vivo.
¿Cuál es la antigüedad del fósil? (La vida media del Carbono-14 es de 5,730 años).

c) Una colonia de bacterias de 5,000 bacterias se duplica cada 3 horas, ¿cuántas
bacterias habrá en 7 horas?

d) Un recipiente con agua se calienta en la estufa. Se retira del fuego y su
temperatura es de 95 ° C, la temperatura de la cocina es de 26 ° C. Quince
minutos después se mide la temperatura y es de 82 ° C, ¿Cuál será la temperatura
en 40 minutos?


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