HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 1
Mathématiques financières
Pr. FALLOUL My El Mehdi
Semestre 2
Année universi...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 2
 Familiariser l'étudiant avec les principaux outils des
mathématiques fina...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 3
1. Suites et séries
2. Les intérêts simples
3. Escompte commercial et équiv...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 4
Chapitre 1
Suites et séries
numériques et notion
d’intérêt
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 5
 Le nombre réel r est la raison de la suite
 Propriété: Si la variation a...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 6
Soit r la raison de la suite :
• Si r >0, la suite est strictement croissan...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 7
1.2 arithmétique : somme des termes consécutifs
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 8
 Le nombre réel q est la raison de la suite
 Propriété: Si la variation r...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 9
Soit une suite géométrique de raison q et de premier terme
strictement posi...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 10
1.4 Suite géométrique : somme des termes consécutifs
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 11
Chapitre 2
Les intérêts simples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 12
Notion d’intérêt
Notion d’intérêt
• C’est le loyer de l’argent (dépense ou...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 13
Notion d’intérêt (suite)
Variation de l’intérêt
• L’intérêt est variable s...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 14
2.1 Définition et calcul pratique
Définition
Dans le cas de l’intérêt simp...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 15
2.1 Définition et calcul pratique
Calcul pratique
Si nous désignons par :
...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 16
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 17
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 18
2.2 Méthode des nombres et des diviseurs fixes
Si la durée est exprimée en...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 19
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 20
2.3 Valeur définitive ou valeur acquise
La valeur définitive (VD) d’un cap...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 21
2.4 Taux moyen de plusieurs placements
Soient n capitaux(C1, C2,…,Cn) plac...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 22
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 23
2.5 Intérêt précompté et taux effectif de
placement
Il existe deux manière...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 24
Formule de calcule du taux effectif (sans avoir la somme placée)
Le jour d...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 25
2.6 Application aux comptes courants et
d’intérêts (Méthode hambourgeoise)...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 26
Compte courant méthode hambourgeoise avec
les nombres et diviseurs fixes
-...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 27
Cas particulier
Dans certains cas ( livrets et carnets d’épargne par exemp...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 28
Chapitre 3
Escomptes commercial
équivalence des capitaux
à intérêts simple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 29
3.1 L’escompte commercial
• L’escompte commercial d’un effet de commerce (...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 30
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 31
3.2 Valeur nette de l’escompte
• La valeur nette est la somme effectivemen...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 32
3.3 Equivalence de capitaux à intérêts simples
• D’un point de vue pratiqu...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 33
3.6.1 Equivalence de deux effets ( ou deux
capitaux)
Définition
Deux effet...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 34
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 35
Application de la Méthode des nombres et diviseurs fixes
(équivalence de d...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 36
3.6.2 Problème relatifs à l’équivalence de deux
effets
A partir de cette é...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 37
Exemple 1: détermination de l’échéance de l’effet
équivalent
 Exemple : U...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 38
Exemple 2: détermination de la date d’équivalence
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 39
Exemple 2: détermination de la date d’équivalence
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 40
3.6.3 Equivalence de plusieurs effets :l’échéance
commune
• L’échéance com...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 41
Solution (Exemple)
• A l’intérêt simple, l’échéance commune dépend de la d...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 42
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 43
Généralisation (échéance moyenne)
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 44
Chapitre 4
Les intérêts composés
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 45
4.1- Principe de base
 Le système des intérêts composés est utilisé pour ...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 46
4.2.1Le temps de placement est un nombre entier de périodes
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 47
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 48
4.2.2Le temps de placement est un nombre fractionnaire de
périodes
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 49
Solution rationnelle
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 50
Solution commerciale
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 51
4.3 Taux proportionnels et taux équivalents
• En intérêt simple deux taux ...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 52
4.3 Taux proportionnels et taux équivalents
4.3.1 Taux proportionnels
• En...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 53
4.3.2 Taux équivalents
• Soit deux placements définis respectivement par l...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 54
4.4 Valeur actuelle à intérêts composés
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 55
Exemple
Remarque: La recherche de la valeur actuelle repose sur le princip...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 56
4.5 Evaluation d’un capital à une date donnée
• Un capital Cp payable à l’...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 57
Exemple
Une personne doit régler 75000 dh dans 4 ans combien paierait-elle...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 58
4.6 Applications de la formule fondamentale
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 59
Exemple ( recherche de la durée de placement)
Une capital de 100 000 dh es...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 60
Chapitre 5
Equivalence des capitaux
à intérêts composés
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 61
5.1 Equivalence de deux capitaux
 L’équivalence à intérêts composés est a...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 62
Exemple
Exemple: Quelle est la valeur acquise au bout de 5 ans et 3 mois d...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 63
 Remarque: D’une manière générale , en matières d’intérêts composés
si de...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 64
5.2 Equivalence de plusieurs capitaux
Définition: Un capital est équivalen...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 65
5.2 Equivalence de plusieurs capitaux
Remarques:
 L’équivalence peut être...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 66
5.3 Échéance commune et échéance moyenne
 Il s’agit du problème de rempla...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 67
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 68
Cas de l’échéance moyenne
 Il s’agit de remplacer les 3 effets par un seu...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 69
Exemple: calcul du taux d’actualisation
 Exemple: un débiteur remplace de...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 70
Cas de l’échéance moyenne
 Par interpolation linéaire :
0,11 23019,00
227...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 71
Chapitre 6
Les annuités
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 72
6.1 Définitions
 Les annuités sont des sommes payables à intervalles de t...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 73
6.2 Annuités constantes de fin de période
 Ici les sommes sont payables à...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 74
6.2.1 Annuités constantes de fin de période
A- Valeur acquise au moment du...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 75
Remarque
 On applique cette formule quand on se situe au moment du dernie...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 76
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 77
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 78
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 79
Exemples
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 80
Remarque ( exemple précèdent)
 En fait aucune des propositions avancées n...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 81
B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une
date postérie...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 82
• l’égalité s’écrit:
10
1,095 1
3000000 *1,095
0,095
a


2
10
0,095
3000...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 83
C-Cas ou le taux ne correspond pas à la période
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 84
Remarques
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 85
6.2.2-Valeur actuelle
A- Valeur actuelle à l’origine
 la situation peut ê...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 86
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 87
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 88
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 89
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 90
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 91
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 92
B-Valeur actuelle à une date quelconque
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 93
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 94
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 95
C-Taux d’intérêt ne correspond pas à la période
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 96
B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une
date postérie...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 97
6.3- Annuités constantes de début de période
6.3.1 Définition
 Les versem...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 98
6.3.2 Valeur acquise
 Ici on se situe une période après le dernier versem...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 99
6.3.3 Valeur actuelle
 Ici on se situe une au moment du premier versement...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 100
6.4.1- Annuités en progression arithmétique
 L’annuité augmente chaque p...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 101
Valeur actuelle
 Exemple: Calculer la valeur actuelle d’une suite de 10 ...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 102
6.4.2- Annuités en progression géométrique
 On passe d’une annuité à la ...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 103
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 104
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 105
6.5- Problème d’équivalence
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 106
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 107
B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une
date postéri...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 108
Chapitre 7
Les emprunts indivis
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 109
7.1 Les emprunts indivis
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 110
7.2 Notion d’amortissement des emprunts indivis
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 111
7-2-1 Emprunts remboursables en une seule fois
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 112
Exemple
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 113
7-2-2 Amortissement à l’aide des annuités
 ce système se caractérise par...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 114
Remarque
 Le capital restant dû au début de la dernière année est égal a...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 115
 Un emprunt de 200 000 dh est remboursable à l’aide de 6 annuités, la
pr...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 116
Période CDP I M a CFP
1 200 000 22 000 35 000 57 000 165 000
2 165 000 18...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 117
Remarques
1) Le dernier amortissement n’a pas été donné, son calcul ne po...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 118
Quelques propriétés
Epoque Débit Crédit
0 C
1 a1
2 a2
…. ….. …
n an
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 119
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 120
 Ainsi le capital restant dû ( ou encore dette vivante DV) à l’époque p,...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 121
7.3 Amortissement par annuités constantes
7.3.1- Construction du tableau ...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 122
Les amortissements sont donc en progression géométrique de raison
(1+i); ...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 123
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 124
Remarques
1) Les amortissements sont bien en progression géométrique. Par...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 125
7.3.2- Calcul du capital restant dû
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 126
B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une
date postéri...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 127
7.3.3 La prise en compte de la TVA
 La TVA concerne les intérêts débiteu...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 128
 Le taux est alors de 13,12% l’an (i’= 0,132). A partir de ce taux. On
c...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 129
7.Amortissements constants
 La construction du tableau d’amortissement e...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 130
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 131
Chaque année on paie 50 000 dh (300 000:6) au titre d’amortissement,
d’où...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 132
7.5 Emprunts amortissables en une seule fois: système
américain
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 133
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 134
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 135
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 136
Fonctions Excel
VA(taux;npm;vpm;vc;type) Valeur actuelle avec des paiemen...
HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 137
Bibliographie (indicative)
 Abdellatif SADIKI et Najib MIKOU, Mathématiq...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Cours Mathématiques financières pr Falloul

668 vues

Publié le

Mathématiques financières

Publié dans : Formation
0 commentaire
2 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
668
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
21
Actions
Partages
0
Téléchargements
105
Commentaires
0
J’aime
2
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Cours Mathématiques financières pr Falloul

  1. 1. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 1 Mathématiques financières Pr. FALLOUL My El Mehdi Semestre 2 Année universitaire: 2015/2016
  2. 2. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 2  Familiariser l'étudiant avec les principaux outils des mathématiques financières et lui fournir les outils et techniques nécessaires pour résoudre les problèmes financiers requérant la connaissance des mathématiques financières. Objectifs du cours
  3. 3. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 3 1. Suites et séries 2. Les intérêts simples 3. Escompte commercial et équivalence a intérêts simple 4. Les intérêts composés 5. Equivalence a intérêts composés 6. Les annuités 7. Les emprunts indivis Plan du cours
  4. 4. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 4 Chapitre 1 Suites et séries numériques et notion d’intérêt
  5. 5. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 5  Le nombre réel r est la raison de la suite  Propriété: Si la variation absolue entre deux termes consécutifs d’une suite est constante, la suite est arithmétique c’est-à-dire :  calcul du n-ième terme: (n - p) représente la différence des indices En particulier pour tout entier naturel n : 1.Les suites arithmétiques
  6. 6. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 6 Soit r la raison de la suite : • Si r >0, la suite est strictement croissante • Si r <0, la suite est strictement décroissante • Si r =0, la suite est constante 1.1 Suite arithmétique : croissance et décroissance suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 0,4 0 2 4 6 8 10 12 14 0 5 10 15 20 25 30 suite arithmétique de premier terme 2,5 et de raison r =-0,3 -6 -4 -2 0 2 4 0 5 10 15 20 25 30
  7. 7. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 7 1.2 arithmétique : somme des termes consécutifs
  8. 8. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 8  Le nombre réel q est la raison de la suite  Propriété: Si la variation relative entre deux termes consécutifs d’une suite est constante, la suite est géométrique c’est-à-dire:  calcul du n-ième terme: (n - p) représente la différence des indices En particulier pour tout entier naturel n : 1.2 Suites géométriques
  9. 9. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 9 Soit une suite géométrique de raison q et de premier terme strictement positif : • Si q >1, la suite est strictement croissante • Si 0 < q <1, la suite est strictement décroissante • Si q =1, la suite est constante 1.3 Suite géométrique : croissance et décroissance suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,5 0 10 20 30 40 50 60 70 0 2 4 6 8 10 12 suite géométrique de premier terme 1 et de raison 0,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 2 4 6 8 10 12
  10. 10. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 10 1.4 Suite géométrique : somme des termes consécutifs
  11. 11. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 11 Chapitre 2 Les intérêts simples
  12. 12. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 12 Notion d’intérêt Notion d’intérêt • C’est le loyer de l’argent (dépense ou revenu)  Il s’agit d’une dépense pour l’emprunteur, l’intérêts correspond à la rémunération du capital prêté  Il s’agit d’un revenu pour le prêteur, l’intérêt est le revenu du capital prêté Taux d’intérêt • Le taux d’intérêt annuel: l’intérêt produit par un capital de 1 dh placé pendant 1 an: si après avoir placé 1 dh pendant 1 an, on récupère 1,13, on a un taux d’intérêt de 0,13 ou encore 13%, • Habituellement le taux d’intérêt est donné pour une unité de capital de 100 dh
  13. 13. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 13 Notion d’intérêt (suite) Variation de l’intérêt • L’intérêt est variable selon les circonstances, il tient notamment compte :  De la loi de l’offre est de la demande: dans le cas ou l’offre de capitaux excède la demande de capitaux → l’intérêt tendra à baisser et vice versa.  Du montant du prêt, de la durée et du taux d’intérêt  Du degré de confiance que les prêteurs accordent aux emprunteurs, plus on a des garanties plus on a de chance d’obtenir des emprunts à faibles coûts.  De l’inflation • On distingue L’intérêt simple utilisé dans les (placements à CT) et l’intérêt composé utilisé dans les (placements à LT).
  14. 14. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 14 2.1 Définition et calcul pratique Définition Dans le cas de l’intérêt simple: - Le capital reste invariable pendant toute la durée du prêt; - L’emprunteur doit verser, à la fin de chaque période l’intérêt dû
  15. 15. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 15 2.1 Définition et calcul pratique Calcul pratique Si nous désignons par : C : le capital placé t : le taux d’intérêt annuel pour 100 dh n : la période de placement (n: années, m: mois, j: jours) I : L’intérêts rapporté par le capital C L’année est prise pour 360 jours (année commerciale) ceci majore en réalité le taux d’intérêt qui devient t’= t*365/360 * *n 100 C t In  * *m Im 1200 C t  * * j 36000 C t Ij 
  16. 16. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 16 Exemples
  17. 17. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 17 Exemple
  18. 18. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 18 2.2 Méthode des nombres et des diviseurs fixes Si la durée est exprimée en jours L’intérêt est On divise en haut et en bas par t on aura = N: est le nombre et D est le deviseur fixe  Cette formule est intéressante pour le calcul de l’intérêt global produit par plusieurs capitaux au même taux pendant des durées différentes Illustration * * j 36000 C t Ij  ( * * j) / t (36000) / C t Ij t  ( * j) / t (36000) / C Ij t  N D N D 1 2 3 1.....N n i n i N N N N Ig D D     
  19. 19. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 19
  20. 20. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 20 2.3 Valeur définitive ou valeur acquise La valeur définitive (VD) d’un capital C après n période de placement est la somme du capital et des intérêts gagnés si n est en année(1 ) 100 100 Ctn tn VD C I C C     
  21. 21. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 21 2.4 Taux moyen de plusieurs placements Soient n capitaux(C1, C2,…,Cn) placés à des taux variables (t1,t2,..,tn) pendant des durées différents (D1, D2,…,Dn) L’intérêt global de ces 3 placements Définition : le taux moyen de ces 3 placements est un taux unique tm, qui appliqué à l’ensemble de ces 3 placements donne le même intérêt global Si Puisque (1) et (2) sont identiques alors C’est une moyenne arithmétique pondéré par les Nombres Ni 1 1 1 2 2 2 ..... (1) 36000 n n nC t j C t j C t j Ig     1 1 2 2 .... (2) 36000 m m n m nC t j C t j C t j Ig     1 1 1 1 ( ) n n i i i i i i i m n n i i i i i t C j t N t C j N          
  22. 22. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 22
  23. 23. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 23 2.5 Intérêt précompté et taux effectif de placement Il existe deux manières de paiements des intérêts:  Par versement unique lors du remboursement final du prêt, on dit que l’intérêt est post-compté  Par avance au moment du versement du capital (jour de la conclusion du contrat du prêt), on dit que l’intérêt est précompté D’un point de vue financier ces deux modes de calcul ne sont pas équivalents: le taux effectif dans le deuxième cas est un peu plus élevé Définition • On appelle le taux effectif de placement (te) le taux d’intérêt simple avec règlement des intérêt lors du remboursement des prêts • On calcule le (te) à chaque fois que les intérêts sont précomptés et que l’intérêt est calculé sur la base de la valeur nominale
  24. 24. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 24 Formule de calcule du taux effectif (sans avoir la somme placée) Le jour de placement du capital C, on reçoit On place donc effectivement On récupère n années plus tard le capital C. On gagne alors le même intérêts en investissant (C-Cin) Si te est le taux effectif de placement alors si la durée est en années si la durée en mois et si la durée est en jours I Cin ( )C I C Cin   I Cin ( )*te*nC Cin Cin  (1 )* *C in te n Cin  (1 ) i te in   ( * j) 1 12 i te i   ( * j) 1 360 i te i  
  25. 25. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 25 2.6 Application aux comptes courants et d’intérêts (Méthode hambourgeoise) - Taux débiteur 9% et taux créditeur 6% - Commission de tenu de compte 0,05% sur le total des opérations débitrices - La durée de placement est date séparant la date de valeur et la date de valeur suivante Date d’opér ation opération s Capitaux Soldes Date de valeur Jour Intérêts Débit Crédit Débit Crédit Débit Crédit 29/06 05/07 12/07 14/07 20/07 24/07 27/07 30/07 30/07 Solde Retrait Fourniss Remise effet Dépôts ChèqueF Dépôt Intérêts Commiss ion tenue 12000 18000 19200 10,72 24,6 23400 20000 2500 30000 52,7 6600 3300 23400 11400 13400 15900 26700 26741,98 26717,38 30/6 06/07 11/07 15/07 21/07 23/07 28/07 4 5 4 6 2 5 2 6,6 4,12 15,6 9,5 13,4 5,3 8,9
  26. 26. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 26 Compte courant méthode hambourgeoise avec les nombres et diviseurs fixes - Diviseurs fixes (créditeur) 36000/6=6000 et (débiteur) 36000/9=4000 - Intérêts (créditeurs) =(318900/6000=52,7) et débiteurs =(42900/4000=24,6) Date d’opér ation opération s Capitaux Soldes Date de valeur Jour Intérêts Débit Crédit Débit Crédit Débit Crédit 01/07 05/07 12/07 14/07 20/07 24/07 27/07 30/07 30/07 Solde Retrait Fourniss Remise effet Dépôts ChèqueF Dépôt Sintérêts Commiss ion tenue 12000 18000 19200 10,72 24,6 23400 20000 2500 30000 52,7 6600 3300 23400 11400 13400 15900 26700 26741,98 26717,38 02/06 06/07 11/07 15/07 21/07 23/07 28/07 4 5 4 6 2 5 2 26400 16500 93600 57000 80400 31800 53400
  27. 27. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 27 Cas particulier Dans certains cas ( livrets et carnets d’épargne par exemple) les dates de valeurs sont imposées: - Pour un dépôt: la date de valeur est le 1er et 16 du mois qui suit la date de l’opération - Pour un retrait: la date de valeur est la fin ou le 15 du mois qui précède la date de l’opération Si q est le nombre de quinzaines, l’intérêt produit pour un montant C placé pendant q quinzaines entières est : ou 2400 Ctq I  24 Ciq I 
  28. 28. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 28 Chapitre 3 Escomptes commercial équivalence des capitaux à intérêts simple
  29. 29. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 29 3.1 L’escompte commercial • L’escompte commercial d’un effet de commerce (traite) c’est le prix de la vente de cet effet à la banque avant la date d’échéance. • La valeur escomptée(de vente) est inférieur à la valeur nominale. La différence porte le nom de l’escompte Si C: la valeur nominale de l’effet t: le taux de l’escompte j: le nombre de jours ( durée de l’escompte) VE: la valeur escomptée j jours avant l’échéance E: Le montant de l’escompte Alors et • La valeur nette est la somme effectivement mise à la disposition du vendeur de l’effet avant son échéance Valeur nette = Valeur nominale – Agio (T.T.C) 36000 Ctj E C  (1 ) 36000 36000 Ctj tj VE C E C C      
  30. 30. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 30 Exemple
  31. 31. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 31 3.2 Valeur nette de l’escompte • La valeur nette est la somme effectivement mise à la disposition du vendeur de l’effet du commerce avant son échéance
  32. 32. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 32 3.3 Equivalence de capitaux à intérêts simples • D’un point de vue pratique, on peut s’acquitter d’une dette (capital) avant sa date d’exigibilité ( exemple escompte) ou bien proroger cette date, d’où l’importance de l’équivalence de capitaux. Notion de l’actualisation Soit, un capital d’un montant C disponible à la période 0 • On peut comparer des capitaux versés à des périodes différentes , en calculant leurs valeurs actualisées à la même date.
  33. 33. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 33 3.6.1 Equivalence de deux effets ( ou deux capitaux) Définition Deux effets (ou capitaux) sont équivalents à une date déterminée, si escomptées au même taux, ils ont la même valeur escomptée (valeur actuelle commerciale). C’est la date d’équivalence Si C1 et C2 : Valeurs nominales j1 et j2 : les durées d’escompte en jours t : taux d’escompte VE1 et VE2:Valeurs actuelles Alors 1* * 1 2* * 2 1 2 1 2 36000 36000 C t j C t j VE VE C C    
  34. 34. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 34 Exemple
  35. 35. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 35 Application de la Méthode des nombres et diviseurs fixes (équivalence de deux effets) On a avec D=36000/t - La date d’équivalence est antérieure à la date d’échéance des deux effets , Elle doit être postérieure à la date de création des deux effets. - A intérêts simple, la date d’équivalence lorsqu’elle existe elle est unique, si deux effets sont équivalents à une date donnée, l’équivalence ne peut avoir lieu qu’à cette date 1* * 1 2* * 2 1 2 36000 36000 C t j C t j C C   (C1*t* j1) / t (C2*t* j2) / 1 2 36000 / 36000 / t C C t t    1*(D j1) 2*(D j2)C C  
  36. 36. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 36 3.6.2 Problème relatifs à l’équivalence de deux effets A partir de cette équation on peut calculer : 1) La valeur nominale de l’effet équivalent ( exemple précèdent); 2) L’échéance de l’effet équivalent; 3) La date d’équivalence; 4) Le taux d’équivalence; 1* * 1 2* * 2 1 2 36000 36000 C t j C t j C C  
  37. 37. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 37 Exemple 1: détermination de l’échéance de l’effet équivalent  Exemple : Un débiteur désir remplacer un effet de valeur nominal 75000 dh qu’il doit payer dans 60 jours par un autre effet de valeur nominale 74600 dh  Quelle serait l’échéance de cette nouvelle dette ? (taux d’escompte 13%)
  38. 38. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 38 Exemple 2: détermination de la date d’équivalence
  39. 39. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 39 Exemple 2: détermination de la date d’équivalence
  40. 40. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 40 3.6.3 Equivalence de plusieurs effets :l’échéance commune • L’échéance commune est le cas de remplacement de plusieurs capitaux (effets) par un seul capital( effet). • L’échéance commune est l’échéance d’un effet unique qui, à la date d’équivalence, a une valeur actuelle égale à la somme des valeurs actuelles des effets remplacées. Exemple
  41. 41. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 41 Solution (Exemple) • A l’intérêt simple, l’échéance commune dépend de la date d’équivalence
  42. 42. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 42
  43. 43. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 43 Généralisation (échéance moyenne)
  44. 44. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 44 Chapitre 4 Les intérêts composés
  45. 45. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 45 4.1- Principe de base  Le système des intérêts composés est utilisé pour les opérations financières à long terme ( plus d’un an).  Soit un capital de 10 000 dh placé à intérêts composés au taux annuel de 7% pour une durée de 3 ans:  A la fin de la première année le capital a rapporté un intérêt simple de 10000*0,07= 700; (nouveau capital = 10 000+700= 10700)  A la fin de la deuxième année, on place le nouveau capital qui produit à son tour des intérêts on obtient : 10700*0,07= 749; (nouveau capital = 10 700+749= 11149)  A la fin de la troisième année, on place le nouveau capital qui produit à son tour des intérêts on obtient : 11149*0,07= 801,43  Ainsi le capital 10000 dh a rapporté un intérêt composé de 700+ 749+801,43 = 2250,43
  46. 46. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 46 4.2.1Le temps de placement est un nombre entier de périodes
  47. 47. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 47 Exemples
  48. 48. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 48 4.2.2Le temps de placement est un nombre fractionnaire de périodes
  49. 49. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 49 Solution rationnelle
  50. 50. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 50 Solution commerciale
  51. 51. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 51 4.3 Taux proportionnels et taux équivalents • En intérêt simple deux taux proportionnels produisent sur un même capital les même intérêts au bout du même temps. • Soit la formule du calcul de l’intérêt simple: on multiplie par P/P ce qui donne Exemple Pour un taux annuel de 7% (p=1)  équivaut un taux proportionnel semestriel (p=2) de 0,07/2 soit 3,5 %  équivaut un taux proportionnel trimestriel (p=4) de 0,07/4 soit 1,75 %  équivaut un taux proportionnel mensuel (p=12) de 0,07/12 soit 0,58 % Remarque Ce principe ne s’applique pas à la formule de l’intérêt composé d’où l’utilisation des taux équivalents *t*n* 100 C p P *t*n* 100 C p P * * 100 C t p p
  52. 52. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 52 4.3 Taux proportionnels et taux équivalents 4.3.1 Taux proportionnels • En intérêt simple deux taux proportionnels produisent sur un même capital les même intérêts au bout du même temps. • Soit la formule du calcul de l’intérêt simple: on multiplie par P/P ce qui donne Exemple Pour un taux annuel de 7% (p=1)  équivaut un taux proportionnel semestriel (p=2) de 0,07/2 soit 3,5 %  équivaut un taux proportionnel trimestriel (p=4) de 0,07/4 soit 1,75 %  équivaut un taux proportionnel mensuel (p=12) de 0,07/12 soit 0,58 % Remarque Ce principe ne s’applique pas à la formule de l’intérêt composé d’où l’utilisation des taux équivalents *t*n* 100 C p P *t*n* 100 C p P * * 100 C t p p
  53. 53. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 53 4.3.2 Taux équivalents • Soit deux placements définis respectivement par le taux i1 et i2 et par leur périodes p1 et p2. Les placements sont effectués à taux équivalents s’ils aboutisse, pour un même capital, à la même valeur acquise. Ce qui donne  Donc et Exemple: Quel est le taux semestriel équivalent au taux annuel de 9 % ? Si Is est le taux semestriel équivalent alors : Donc is est de 4,4% 1 2 1 2(1 ) (1 )p p C i C i   2/ 1 1 2(1 ) 1p p i i   1/ 2 2 1(1 ) 1p p i i   2 1/2 (1 ) 1.09 (1.09) 1s si i    
  54. 54. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 54 4.4 Valeur actuelle à intérêts composés
  55. 55. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 55 Exemple Remarque: La recherche de la valeur actuelle repose sur le principe de l’actualisation à partir des taux équivalents
  56. 56. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 56 4.5 Evaluation d’un capital à une date donnée • Un capital Cp payable à l’époque p peut être facilement évalué à n’importe quelle date.
  57. 57. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 57 Exemple Une personne doit régler 75000 dh dans 4 ans combien paierait-elle- si elle réglait sa dette : a) Dans 2 ans, b) Dans 7 ans. Les intérêts composés sont au taux de 11,5%
  58. 58. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 58 4.6 Applications de la formule fondamentale
  59. 59. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 59 Exemple ( recherche de la durée de placement) Une capital de 100 000 dh est placé à intérêts composés au taux annuel de 8%. A la fin du placement, la valeur acquise s’élève à 233163,90 dh. Quelle est la durée de placement ? On sait que Donc n = 11, la période est de 11 ans 100000(1,08) 233163,90n  (1,08) 2,331639n  ln(2.331639) / ln(1,08)n  l1n 
  60. 60. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 60 Chapitre 5 Equivalence des capitaux à intérêts composés
  61. 61. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 61 5.1 Equivalence de deux capitaux  L’équivalence à intérêts composés est appliquée à des opérations à moyen et long terme. On retrouve ici le même principe que l’équivalence de capitaux à intérêts simples.  Deux capitaux sont équivalents à intérêts composés à une date donnée, si escomptés à intérêts composés et au même taux, ils ont à cette date la même valeur actuelle. Soit C1 et C2 sont deux effets payable dans n1 et n2 périodes et escomptés à un taux i par période. • C1et C2 sont équivalents si et seulement si 1 2 1 2(1 ) (1 )n n C i C i    
  62. 62. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 62 Exemple Exemple: Quelle est la valeur acquise au bout de 5 ans et 3 mois d’un capital de 12000 dh placé à intérêt composés au taux annuel de 7,5% ?
  63. 63. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 63  Remarque: D’une manière générale , en matières d’intérêts composés si deux capitaux sont équivalents à une date, ils sont équivalents à toute autre date. L’équivalence de deux intérêts composés est indépendante de la date d’équivalence. Il convient donc de choisir la date la plus favorable au calcul.  Exemple: Reprenons l’exemple précédent et modifiant la date d’équivalence
  64. 64. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 64 5.2 Equivalence de plusieurs capitaux Définition: Un capital est équivalent, à intérêts composés et à une date donnée, à un groupe de capitaux, si au même taux d’escompte, la valeur actuelle de ce capital est égale à la somme des valeurs actuelles de l’ensemble du groupe de capitaux. Exemple: On souhaite remplacer les trois effets suivants: 12000 dans 2 ans, 15000 dans 6 ans, 18000 dans 4 ans. Par un effet unique de nominal C payable dans 5 ans. Taux 11%. Calculer la valeur nominale de ce capital
  65. 65. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 65 5.2 Equivalence de plusieurs capitaux Remarques:  L’équivalence peut être effectuée à n’importe quelle autre date.  L’exemple signifie que, à un taux de 11%, payer 49905,05 dh dans 5 ans est identique à des versements successifs de : 12000 dh dans 2 ans; 18000 dh dans 4 ans; 15000 dh dans 6 ans,  On peut vérifier de la même manière l’équivalence entre deux groupe d’effets.
  66. 66. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 66 5.3 Échéance commune et échéance moyenne  Il s’agit du problème de remplacement d’un groupe de capitaux (ou d’effets) par un seul capital:  Si la valeur du capital unique est différent de la somme des valeurs nominales des capitaux remplacés, il s’agit de l’échéance commune (ou unique).  Si la valeur du capital unique est égale à la somme des valeurs nominales des capitaux remplacés, il s’agit de l’échéance moyenne.
  67. 67. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 67
  68. 68. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 68 Cas de l’échéance moyenne  Il s’agit de remplacer les 3 effets par un seul dont la valeur nominale est égale à la somme des valeurs nominale des effets remplacés  Valeur nominale du capitale unique = 15 000+ 20 000+ 35 000 = 70000
  69. 69. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 69 Exemple: calcul du taux d’actualisation  Exemple: un débiteur remplace deux effets: 15 000 dh dans 3 ans et 13 000 dh dans 5 ans par un seul effet de 22701,24 dh payable dans 2 ans. Quel est le taux retenu pour cet arrangement ?
  70. 70. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 70 Cas de l’échéance moyenne  Par interpolation linéaire : 0,11 23019,00 22701,24 0.12 22646,00 i   
  71. 71. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 71 Chapitre 6 Les annuités
  72. 72. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 72 6.1 Définitions  Les annuités sont des sommes payables à intervalles de temps régulier ( une année).  Lorsqu’il s’agit des paiements semestriels, trimestriels ou mensuels, dans ce cas on parle de semestrialités, trimestrialités, mensualités.  L’étude des annuité est d’une importance capitale, car celles-ci permettent en effet, de résoudre plusieurs problèmes relatifs:  Aux emprunts (remboursement de crédits);  Aux placements ( constitution d’un capital retraite par exemple);  A la rentabilité des investissements.
  73. 73. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 73 6.2 Annuités constantes de fin de période  Ici les sommes sont payables à la fin de chaque période, le début de la première période est appelé origine de la suite d’annuités, en outre ces sommes sont constantes. Soient : a : Le montant de l’annuité constante i : le taux d’intérêt correspondant à la période retenue n : le nombre de versement de la dernière annuité An : Valeur acquise au moment du versement de la dernière annuité.
  74. 74. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 74 6.2.1 Annuités constantes de fin de période A- Valeur acquise au moment du dernier versement Soit une série de n annuités s (ai ) de fin de période : An est la somme des valeurs acquises des versements annuels On présenter les valeur des versements annuels comme suit: D’où On sait que En posant q =(1+i) On obtient (formule de capitalisation) 1 2 2 1 (1 ) 2 (1 ) ....... 2 (2 ) 1 (1 ) n n année a i année a i année n a i année n a i année n a              2 1 1 2 (1 ) (1 ) ... (1 ) (1 (1 ) .... (1 ) (1 ) n n n n An a i a i a i a An a a i i i                       2 1 1 1 .... 1 1 n n q q q q avec q q          (1 i) 1n An a i   
  75. 75. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 75 Remarque  On applique cette formule quand on se situe au moment du dernier versement.  Ici le nombre n indique à la fois l’époque à laquelle on évalue la suite d’annuités ( en An ), et le nombre d’annuités (n en exposant).  Il ne faut jamais oublier que le nombre de versements est un entier.  Le dernier versement ne rapporte pas d’intérêt et à ce titre la formule précédente ne permet pas de résoudre directement les problèmes relatifs à la constitution des capitaux. C’est une étape provisoire pour les calculs.  Le problème considéré peut s’inscrire dans le cadre de l’équivalence des capitaux. En effet à l’époque n, An est équivalent à la suite des n annuités de montant a chacune.
  76. 76. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 76 Exemples
  77. 77. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 77 Exemples
  78. 78. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 78 Exemples
  79. 79. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 79 Exemples
  80. 80. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 80 Remarque ( exemple précèdent)  En fait aucune des propositions avancées ne répond exactement au problème posé, et à ce titre le problème semble ne pas admettre de solution. Il existe pourtant une solution satisfaisant les données du problèmes mais il faut se situer après le dernier versement. En effet, pour n = 8, le capital constitué au dernier versement s’élève à 352911,16 dh; placé pour une durée égale à x, cette somme acquiert la valeur de 384 000 dh:  Par logarithme on trouve x=353 jours Nous avons, en définitive, 8 annuités de 32 000 dh chacune, le capital de 384 000 dh est constitué de 11 mois et 23 jours après le dernier versement. 384 000 352 911, 16 * 1,09x dh 
  81. 81. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 81 B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une date postérieure au dernier versement
  82. 82. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 82 • l’égalité s’écrit: 10 1,095 1 3000000 *1,095 0,095 a   2 10 0,095 300000 *1,095 16079,60 1,095 1 a   
  83. 83. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 83 C-Cas ou le taux ne correspond pas à la période
  84. 84. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 84 Remarques
  85. 85. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 85 6.2.2-Valeur actuelle A- Valeur actuelle à l’origine  la situation peut être schématisée comme suit
  86. 86. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 86
  87. 87. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 87
  88. 88. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 88
  89. 89. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 89
  90. 90. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 90
  91. 91. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 91
  92. 92. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 92 B-Valeur actuelle à une date quelconque
  93. 93. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 93
  94. 94. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 94
  95. 95. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 95 C-Taux d’intérêt ne correspond pas à la période
  96. 96. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 96 B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une date postérieure au dernier versement
  97. 97. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 97 6.3- Annuités constantes de début de période 6.3.1 Définition  Les versement ont lieu au début de chaque période  Remarque: Il importe donc, au niveau des formules, de tenir compte du décalage d’une période
  98. 98. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 98 6.3.2 Valeur acquise  Ici on se situe une période après le dernier versement d’où :
  99. 99. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 99 6.3.3 Valeur actuelle  Ici on se situe une au moment du premier versement d’où :
  100. 100. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 100 6.4.1- Annuités en progression arithmétique  L’annuité augmente chaque période d’un montant r constant ( si est négatif alors il s’agit d’une diminution).
  101. 101. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 101 Valeur actuelle  Exemple: Calculer la valeur actuelle d’une suite de 10 annuités en augmentation de 10 000 par an et de premier terme 25 000 dh. Taux : 8 % l’an. 10 10 10000) 1,08 1 10*10000 (25000 0,08 0,08 0,08 A     10 922984,37A  10 10 0 (1,08) 427520,35A A   
  102. 102. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 102 6.4.2- Annuités en progression géométrique  On passe d’une annuité à la suivante en multipliant par une constante q ( avec q  1)
  103. 103. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 103
  104. 104. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 104
  105. 105. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 105 6.5- Problème d’équivalence
  106. 106. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 106
  107. 107. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 107 B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une date postérieure au dernier versement
  108. 108. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 108 Chapitre 7 Les emprunts indivis
  109. 109. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 109 7.1 Les emprunts indivis
  110. 110. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 110 7.2 Notion d’amortissement des emprunts indivis
  111. 111. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 111 7-2-1 Emprunts remboursables en une seule fois
  112. 112. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 112 Exemple
  113. 113. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 113 7-2-2 Amortissement à l’aide des annuités  ce système se caractérise par le fait que les annuités contiennent toutes un amortissement et donc dépasse l’intérêt de la période.
  114. 114. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 114 Remarque  Le capital restant dû au début de la dernière année est égal au dernier amortissement 3) Le système qui est présenté ici peut faire l’objet d’un tableau appelé tableau d’amortissement:
  115. 115. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 115  Un emprunt de 200 000 dh est remboursable à l’aide de 6 annuités, la première venant à échéance un an après la date du contrat. Taux: 11%. Sachant que les amortissements sont respectivement 35 000 dh, 20 000 dh, 50 000 dh, 40 000 dh, et 10 000 dh établir le tableaux d’amortissement de l’emprunt considéré. Pério de Capital en début de période Intérêt de la période (I) Amortisse ment (M) Annuités (a) Capital en fin période (CFP 1 C Ci M1 a1=Ci+M1 C1=C-M1 2 C1 C1i M2 a2=Ci+M2 C2=C-M2 ….. ….. ….. ….. …. ….. n Cn-1 Cn-1i Mn Mn Cn=0
  116. 116. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 116 Période CDP I M a CFP 1 200 000 22 000 35 000 57 000 165 000 2 165 000 18 150 20 000 37 150 145 000 3 145 000 15 950 50 000 65 950 95 000 4 95 000 10 450 40 000 50 450 55 000 5 55 000 6050 10 000 16 050 45 000 6 45 000 4950 45 000 49 950 0
  117. 117. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 117 Remarques 1) Le dernier amortissement n’a pas été donné, son calcul ne pose aucun problème: M6 = 200 000 –(35 000+ 20 000+ 500 000+40 000+ 10 000) = 45 000 dh Ou encore M6 = C5 = 45 000 dh 2) Dans cet exemple les amortissements n’obéissent à aucune loi et sont distribués de manière tout à fait aléatoire
  118. 118. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 118 Quelques propriétés Epoque Débit Crédit 0 C 1 a1 2 a2 …. ….. … n an
  119. 119. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 119
  120. 120. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 120  Ainsi le capital restant dû ( ou encore dette vivante DV) à l’époque p, juste après le paiement de l’annuité de rang p, est égal à la somme des valeurs actuelles, à cette époque des annuités non échues. 1 1 1 1 1 ( ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (4) pn p k p k k k p p p kn p k p k k k p k n k p k p Sp ak i ak i ou encore Sp ak i ak i ak i Ce qui donne Sp ak i                                 
  121. 121. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 121 7.3 Amortissement par annuités constantes 7.3.1- Construction du tableau d’amortissement et propriétés  la somme de l’intérêt de la période et de l’amortissement est constante. Cette somme peut être calculer à l’aide de la formule. * 1 (1 ) n i a C i    
  122. 122. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 122 Les amortissements sont donc en progression géométrique de raison (1+i); calculons en le premier terme 1 1 2 1 1 1 1 1 .... (1 ) .... (1 ) (1 ) 1 ' (1 ) 1 n n n n C M M M M M i M i i C M i i D ou M C i                
  123. 123. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 123
  124. 124. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 124 Remarques 1) Les amortissements sont bien en progression géométrique. Par exemple: 35 695,20/31 870, 71 = 1, 12 2) Le tableau peut être construit à partir la colonne des amortissements: M1 = 350 000 *0,12/1,12^8 = 28 455, 99 dh En multipliant à chaque fois par 1,12 on obtient les autres amortissements.
  125. 125. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 125 7.3.2- Calcul du capital restant dû
  126. 126. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 126 B-Capital constitué par une suite d’annuités constante à une date postérieure au dernier versement
  127. 127. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 127 7.3.3 La prise en compte de la TVA  La TVA concerne les intérêts débiteurs: ainsi, celles-ci est de 10%, alors pour 100 dh d’intérêts versés au banquier, par exemple, il importe d’ajouter 10 dh de taxe, on se retrouve alors avec 110 dh d’intérêts toutes taxes comprises (TTC).  Pour tenir compte de la TVA on intègre une colonne spéciale à cette effet. Seulement, l’annuité de remboursement s’en trouve modifiée; celle-ci ne sera plus constante mais en légère diminution ( on ajoute à un terme constant une taxe qui diminue avec l’intérêt). Pour rendre constante l’annuité effective ( 1+TVA+ AMORTISSEMENT) il importe d’utiliser intégrant la TVA (taux TTC)
  128. 128. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 128  Le taux est alors de 13,12% l’an (i’= 0,132). A partir de ce taux. On calcule l’annuité  D’où le tableau d’amortissement Remarque: 1) Il importe de souligner que, dans le tableau, l’intérêt I est calculé à 12% et non à 13,2% 2) Toutes les propriétés rencontrées précédemment sont vérifiées ici: par exemple les amortissements sont en progression géométrique de raison 1,132. Pério de CDP I TVA AM a CFP 1 500 000 60000,00 6000,00 59774,00 125774,00 440226,00 2 440 226.00 52827,12 5282,71 67664,17 125774,00 372561,84 3 372561,84 44707,42 44707,42 76595,84 125774,00 295966,00 4 295966,00 35515,92 3551,59 86706,49 125774,00 209259,51 5 209259,51 25111,14 2511,11 98151,74 125774,00 111107,77 6 111107,77 13332,29 1333,29 111107,77 125774,00 0 6 0.132 50000* 125774.00 1 1,132 a dh   
  129. 129. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 129 7.Amortissements constants  La construction du tableau d’amortissement est encore plus simple que dans le cas des annuités constantes puisque l’amortissement est réparti de manière uniforme sur l’ensemble des périodes:  Notons, qu’ici. Comme l’intérêt baisse de période en période, on se retrouve en définitive avec une annuité en diminution. Ecrivons des annuités successives:  Ce qui donne:
  130. 130. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 130
  131. 131. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 131 Chaque année on paie 50 000 dh (300 000:6) au titre d’amortissement, d’où le tableau: Remarque: 1) Chaque année l’annuité diminue de 5750 dh (50 000*0,15). 2) On peut intégrer la TVA dans le tableau. Celle-ci ne pose pas de problème puisque nous n’avons plus cette contrainte de rendre l’annuité constante
  132. 132. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 132 7.5 Emprunts amortissables en une seule fois: système américain
  133. 133. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 133
  134. 134. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 134
  135. 135. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 135
  136. 136. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 136 Fonctions Excel VA(taux;npm;vpm;vc;type) Valeur actuelle avec des paiements constants (Vo) VC(taux;npm;vpm;va;type) Valeur acquise avec des paiements constants (Vn) VPM(taux;npm;va;vc;type) Valeur d'un paiement (a) TAUX(npm;vpm;va;vc;type;estimation) Intérêt attendu de 1 F pour une période (t) NPM(taux;vpm;va;vc;type) Nombre de paiements (n) INTPER(taux;période;npm;va;vc;type) Intérêts de la période PRINCPER(taux;période;npm;va;vc;type) Amortissement du principal de la période VAN(taux;série) Valeur actuelle avec des paiements variables (Vo) TRI(série;estimation) Taux de rentabilité interne (montants variables) Période N° de la période de paiement (de 1 à npm) Type (facultatif) Paiement dans la période (0=fin, 1=début) (0 par défaut) Estimation (facultatif) Degré de précision pour le calcul du taux (0.1 par défaut) .Les paramètres en italiques (type, estimation) sont facultatifs ; .Paramètres soulignés : préciser un paramètre sur deux ; .Inscrire la valeur décaissée en négatif (vmp, va ou vc).
  137. 137. HORIZON® - CIPE / Tous Droits Réservés diapo 137 Bibliographie (indicative)  Abdellatif SADIKI et Najib MIKOU, Mathématiques financières, Imprimierie Najah Casablanca.  Dominique BODIN, Cours des mathématiques financières, Université Rennes 2.  Robert BEDART, cours des mathématiques financières, Université du Quebec à Montréal.  Makrem Ben Jeddou et Hababou Hella, Mathématiques appliquées à la gestion, Eléments des mathématiques financières.

×