LES BASES DE L’INGÉNIERIE
FINANCIÈRE ET DE LA GESTION
DES RISQUES
UAE - ENCGT - Master de recherche :sciences de gestion 2...
Bibliographie :
• Ouvrages :
• Finance computationnelle et gestion des risques, F.-É. Racicot et R. Théoret,
2006 – Presse...
• DEA 2000-2001 Universite Paul Sabatier Calcul stochastique II, applications
aux options.
• Simulations Stochastiques et ...
Introduction :
Problématique :
COMMENT SE COUVRIR CONTRE LE RISQUE DE CHANGEMENT
ET DE VARIABILITÉ DE COURS DU SOUS-JACENT SUR LE MARCHÉ
...
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Chapitre 1 : Introduction aux options et aux stratégies sur options
classiques.
1. Contrats à terme
2. Les options...
Chapitre1 : Introduction aux options
et aux stratégies sur options
classiques.
Contrats à terme, options et stratégies sur...
Les contrats à terme
Définition, historique et fonctionnement, avec des exemple illustratifs.
Les contrats à terme
• Définition :
Un contrat à terme ou (Forward contrats) est une stratégie de
couverture qui consiste ...
Les contrats à terme
• Historique :
C’est au Chicaco et plus précisément à ‘IMM’ (International Monetary
Market) Que fut c...
Les contrats à terme
• Fonctionnement :
Exemple 1 : le marché de blé.
La récole Vente
(été) (prix : 1000 €) (automne)
3 mo...
Les contrats à terme
Baisse des prix Hausse des prix
Vendeur Acheteur
Les contrats à terme :
• L’instrument sous-jacent :
• Il s’agit d’un instrument dont la valorisation dépend ‘dérive’ de la...
Les contrats à terme :
• Exemple 2 : Négociation de livraison du pétrole.
• 1 000
15€/Baril 20€/Baril
Octobre 31 Décembre
...
Les options :
Définition, historique et fonctionnement, avec des exemple illustratifs.
Les Options :
• Définition :
Contrairement à un contrat à terme, une option confirme à son
détenteur le droit, mais pas l’...
Les options:
• Exemple 1 : La maison de vos rêves :
• Échéance : 3 mois
• Prix de la maison : 200 000 €
• Prime de l’optio...
Les options
• Exemple 1 suite :
• Premièrement, lorsque vous achetez une option, vous avez le droit, mais
non l'obligation...
Les options :
• Historique :
Les options ont semble-t-il existé de tout temps dans le commerce.
En revanche, les marchés d...
Les options :
• Types d’options :
• Une option d'achat Call : confère au titulaire le droit d'acheter un actif à
un prix e...
Les options :
• Fonctionnement des options :
• Le Call le droit d’acheter un AF (le sous-jacent, dont la valeur est S) à,
...
Les options :
Valeur et profit à l’échéance d’un call européen :
Valeur et profit à l’échéance pour un call européen (sur la base
d’un prix d’exercice égal à 100 et d’une prime égale à 5).
Les options :
Valeur et profit à l’échéance d’un put européen :
Valeur et profit à l’échéance pour un put européen (sur la base
d’un prix d’exercice égal à 100 et d’une prime égale à 5).
Les options :
• Exemple 2 : L’entreprise ABC
• Le 1er mai, le cours de l’action ABC est de 67€
• Le prime de l’option 3,15...
• Entre la souscription et l'échéance, la valeur du contrat a varié dans
une fourchette allant de 0 à 815 $. L'investisseu...
Les stratégies sur options :
Relation de parité put-call, Achat d’option d’achat ou action, protective calls,
straddle et ...
Les stratégies sur options :
• Relation de parité Put - Call :
Avant d’introduire d’autres stratégies sur options les plus...
Les options :
• Exemple 3 :
Chapitre 2 : Le modèle de
Black et Scholes et ses
applications
- Le modèle de Black & Scholes :
Le modèle de Black & Scholes publié en 1973 est de loin le modèle
d ’évaluation d ’option...
• Permet de déterminer théoriquement la prime exacte que doit
payer un client pour acquérir un call ou un put
• La modélis...
•.Absence d’opportunité d’arbitrage :
L'arbitrage est une opération financière destinée à assurer un gain
positif ou nul d...
Il consiste essentiellement :
•soit à vendre un actif financier et acheter un autre,
correspondant mieux au prix actuel du...
• soit à vendre et à acheter un même actif financier, mais sur deux
marchés différents (par exemple la bourse de New York ...
Co = S0  N(d1) - Xe-rT  N(d2).
Où:
•C0: valeur théorique de l ’option d ’achat à t=0 (moment de l ’évaluation);
•S0: cou...
•T: Temps qui reste à courir avant l ’échéance de l ’option, exprimé en
année,
•N(d): probabilité cumulée jusqu’à la valeu...
A- Les hypothèses du modèle de B&S:
Le modèle de B&S est basé sur un certain nombre d ’hypothèses plutôt
restrictives, don...
•le titre sous-jacent ne paie ni dividendes, ni intérêt pendant la durée de vie
de l ’option;
•L ’option est de type europ...
B- Extension du modèle de B&S pour évaluer
un put européen:
La relation de parité Put-Call:
C - P = S0 - X/(1+rf)T Temps d...
d ’où:
P = S0N(d1) - Xe-rTN(d2) - S0 + Xe-rT
P = Xe-rT[1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)]
Donc, la valeur d ’un put européen est ég...
Démonstration de la
formule de black and
scholes
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Preuve de l’équation de Black et Scholes
• Supposons qu’un investisseur vende un contrat à terme de gré à gré
(forward con...
• La valeur V de ce contrat est nulle au départ.
• En effet, ce contrat constitue une obligation pour le vendeur de livrer...
• En effet, le vendeur du contrat à terme a le loisir d’acheter aujourd’hui le sous-jacent
dudit contrat, soit l’action, a...
E( exp(− rt) .ST ) = S0 (3)
• La valeur présente de ST est donc bien une martingale (Dans l’univers des probabilités réell...
• Par conséquent, un contrat à terme est une forme particulière de call.
• Pour un tel call, la probabilité d’exercice est...
Intuition derrière le prix d'une option
Si on part du principe simple que le Prix D'exercice De
L'option (ou strike) est K...
• Call = Valeur actuelle de l'espérance de gain que l'on peut réaliser si
ST est supérieur à K (sous une certaine probabil...
On obtient finalement :
..."La valeur du call est la valeur présente de la probabilité de hausse de
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• Transcription dans le modèle Black Scholes
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• Donc on peut écrire
Call = e-rTx [ S0erTN(d1)] - e-rT[ N(d2) x K ]
•
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Interprétation
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l’opposé de N(d2) qui est ce...
• Lorsque la volatilité est élevée, la possibilité de gain est plus importante,
mais le risque de perte l'est aussi
• la f...
• Dans cette hypothèse, un bon estimateur de la volatilité serait l'écart-type
des rendements de l'actif sous-jacent.
• La...
Application du modèle de B&S:
Nous sommes le 5 mars et on a l’option d ’achat suivante:
•le cours de l ’action ordinaire l...
•écart-type du rendement hebdomadaire de l ’action est de 6.41% (cette
valeur a été estimé à partir des rendements hebdoma...
Solution:
Les valeurs des différents paramètres à insérer dans le modèle de B&S
s ’établissent ainsi:
S0 = 32$
X = 28$
r =...
ln(32/28) + [0.07 + (0.4622)2/2](0.29)
d1 = ----------------------------------------------- = 0.74
(0.4622)  (0.29)½
d2 =...
En insérant les valeurs des différents paramètres dans l ’équation de B&S on
obtient:
C0 = S0  N(d1) - Xe-rT  N(d2)
C0 =...
Les Grecques :
Les grecques :
• Le niveau du sous-jacent
• Le prix d’exercice
• La maturité de l’option
• La volatilité
• Le taux d’intér...
Les Grecques :
• Permettent de mesurer la sensibilité du prix de l’option par suite de
changement dans une ou plusieurs va...
Les Grecques :
• Delta ∆ :
Le delta ∆ d'une option correspond au taux de variation du prix de cette
option par rapport au ...
Les Grecques :
• Delta ∆ :
Les Grecques :
• Le gamma Г
On a vu que le delta correspondait à la vitesse de valorisation de l'option par
rapport au sou...
Les Grecques :
• Vega υ :
Le véga υ d'une option correspond à la sensibilité du prix de l'option à une
variation de la vol...
Les Grecques :
• Theta θ:
Le thêta θ correspond à l'érosion de la valeur d'une option due au passage
du temps.
Intuitiveme...
Les Grecques :
• Theta θ:
I - Theta, l'effet du passage du temps
On appelle ce phénomène, l'érosion du temps sur la prime....
Pricer une option à l’aide D’Excel
Black & Scholes: On price !
• I - VARIABLES ET PARAMÈTRES
Avant toute chose, pour calculer le prix d'une option avec le mo...
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  1. 1. LES BASES DE L’INGÉNIERIE FINANCIÈRE ET DE LA GESTION DES RISQUES UAE - ENCGT - Master de recherche :sciences de gestion 2014/2015 Parcours : Comptabilité, Finance, Audit et Contrôle de gestion
  2. 2. Bibliographie : • Ouvrages : • Finance computationnelle et gestion des risques, F.-É. Racicot et R. Théoret, 2006 – Presses de l’Université du Québec. • Finance 2e édition, André FARBER et Marie-Paule LAURENT, 2009 Pearson Education France. • Finance internationales THÉORIE, POLITIQUE ET PRATIQUE, 2e édition, Emmanuel Nyahoho, 2002 Presses de l’Université du Québec. • Articles : • Le modèle de Black–Scholes Philippe Briand, Mars 2003 • ALEXANE VERRAUX RESOLUTION DE L'EQUATION DE BLACK ET SCHOLES Thèse scientique
  3. 3. • DEA 2000-2001 Universite Paul Sabatier Calcul stochastique II, applications aux options. • Simulations Stochastiques et Applications en Finance avec Programmes Matlab 13 Novembre 2006 Éditeur : Economica, Paris Collection : Finance. • Webographie : • http://www.strategies-options.com • http://www.abcbourse.com • https://www.disnat.com • http://www.cambiste.info • http://financedemarche.fr • http://www.fimarkets.com • http://www.cambiste.info
  4. 4. Introduction :
  5. 5. Problématique : COMMENT SE COUVRIR CONTRE LE RISQUE DE CHANGEMENT ET DE VARIABILITÉ DE COURS DU SOUS-JACENT SUR LE MARCHÉ FINANCIER, EN SE REFERANT À LA MODÉLISATION MATHÉMATIQUE NOTAMMENT PROBABILISTE ?
  6. 6. P L A N Chapitre 1 : Introduction aux options et aux stratégies sur options classiques. 1. Contrats à terme 2. Les options 3. Les stratégies sur options Chapitre 2 : Le modèle de Black et Scholes et ses applications. 1. Les hypothèses du modèle de B&S: 2. Extension du modèle de B&S pour évaluer un put européen: 3. Démonstration de la formule de black et scholes 4. Les Grecques 5. Pricer une option à l’aide d’excel
  7. 7. Chapitre1 : Introduction aux options et aux stratégies sur options classiques. Contrats à terme, options et stratégies sur options.
  8. 8. Les contrats à terme Définition, historique et fonctionnement, avec des exemple illustratifs.
  9. 9. Les contrats à terme • Définition : Un contrat à terme ou (Forward contrats) est une stratégie de couverture qui consiste en un engagement ferme et définitif prévoyant de livrer ou de recevoir, à une échéance donnée, une certaine quantité de matières premières, de devises ou de titres financiers à un prix fixé lors de la négociation du contrat.
  10. 10. Les contrats à terme • Historique : C’est au Chicaco et plus précisément à ‘IMM’ (International Monetary Market) Que fut conclu, en 1972 le premier contrat à terme sur devise après que les experts eurent décider d’appliquer aux devises et à autre actifs financiers les techniques utilisées jusque-là pour les denrées agricoles et les matières premières.
  11. 11. Les contrats à terme • Fonctionnement : Exemple 1 : le marché de blé. La récole Vente (été) (prix : 1000 €) (automne) 3 mois
  12. 12. Les contrats à terme Baisse des prix Hausse des prix Vendeur Acheteur
  13. 13. Les contrats à terme : • L’instrument sous-jacent : • Il s’agit d’un instrument dont la valorisation dépend ‘dérive’ de la valeur d’autre instrument qu’on appelle alors le sous-jacent. • L’instrument sous-jacent n’est pas physiquement échangé au moment de la négociation. Cet échange peut être optionnel, différée voire ne jamais avoir lieu. • Il peut s’agir d’actions, d’obligations, de taux d’intérêt ou de devises.
  14. 14. Les contrats à terme : • Exemple 2 : Négociation de livraison du pétrole. • 1 000 15€/Baril 20€/Baril Octobre 31 Décembre NégociantContrats à terme Entreprise ABC
  15. 15. Les options : Définition, historique et fonctionnement, avec des exemple illustratifs.
  16. 16. Les Options : • Définition : Contrairement à un contrat à terme, une option confirme à son détenteur le droit, mais pas l’obligation, d’acheter ou de vendre à un prix fixé un actif financier, et ce, pour une période déterminée, appelée la durée de vie de l’option. Pour acquérir ce droit, l’acheteur paie une prime au vendeur au moment de la transaction. Le risque de l’acheteur est donc limité au montant de cette prime.
  17. 17. Les options: • Exemple 1 : La maison de vos rêves : • Échéance : 3 mois • Prix de la maison : 200 000 € • Prime de l’option : 3 000 € • Scénario 1 : • Prix de la maison atteint 1 000 000 € (1 000 000 – 200 000 – 3 000) = 797 000 € • Scénario 2 : • Prix de la maison inférieur à 200 000 € (- 3 000 prime de l’option).
  18. 18. Les options • Exemple 1 suite : • Premièrement, lorsque vous achetez une option, vous avez le droit, mais non l'obligation, de faire quelque chose. Vous pouvez toujours laisser passer la date d'échéance, à partir de laquelle l'option ne vaut plus rien. Le cas échéant, vous perdez la totalité de votre placement, c'est-à-dire de l'argent que vous avez versé pour acquérir l'option. • Deuxièmement, une option n'est qu'un contrat portant sur un actif sous- jacent. Les options sont donc considérées comme des produits dérivés, car leur valeur dérive d'un autre élément. Dans notre exemple, la maison représente l'actif sous-jacent. Dans le cas des options, l'actif sous-jacent est généralement une action ou un indice.
  19. 19. Les options : • Historique : Les options ont semble-t-il existé de tout temps dans le commerce. En revanche, les marchés d’options négociables ne datent que de 1973. Ayant pour origine les denrées alimentaires et les matières premières, les options se sont progressivement développées et portent aujourd’hui sur une large gamme d’actifs financiers : actions, obligations, bons du Trésor, taux d’intérêt, indices boursiers, contrats à terme… Les premières options sur devises datent de 1982 et les premières options sur contrats à terme de devises de 1984.
  20. 20. Les options : • Types d’options : • Une option d'achat Call : confère au titulaire le droit d'acheter un actif à un prix et dans un délai déterminés. • Une option de vente confère au titulaire le droit de vendre un actif à un prix et dans un délai déterminés. • L’option est dite européenne si elle peut être exercée uniquement à une date fixée, l’échéance T . Elle est américaine si elle peut être exercée à tout moment jusqu’à une date fixée.
  21. 21. Les options : • Fonctionnement des options : • Le Call le droit d’acheter un AF (le sous-jacent, dont la valeur est S) à, ou jusqu’à une date fixée (l’échéance) à un prix fixé ( le prix de l’exercice, X) ‘ Strike’. • À la date du contrat, l’acquéreur paie sa contrepartie une prime reflétant la valeur de l’option (le prix d’achat est noté C pour un call et P pour un put). • À l’échéance, il choisit ou non d’exercer son option en fonction des conditions de marché (le prix du sous-jacent).
  22. 22. Les options : Valeur et profit à l’échéance d’un call européen :
  23. 23. Valeur et profit à l’échéance pour un call européen (sur la base d’un prix d’exercice égal à 100 et d’une prime égale à 5).
  24. 24. Les options : Valeur et profit à l’échéance d’un put européen :
  25. 25. Valeur et profit à l’échéance pour un put européen (sur la base d’un prix d’exercice égal à 100 et d’une prime égale à 5).
  26. 26. Les options : • Exemple 2 : L’entreprise ABC • Le 1er mai, le cours de l’action ABC est de 67€ • Le prime de l’option 3,15 € • Le prix d’exercice (Strike) est de 70 € • L’échéance est fixé la 3éme semaine de juillet.
  27. 27. • Entre la souscription et l'échéance, la valeur du contrat a varié dans une fourchette allant de 0 à 815 $. L'investisseur aurait donc pu récupérer plus du double de son placement initial. C'est le principe du levier financier mis en pratique. Le principe du levier financier.
  28. 28. Les stratégies sur options : Relation de parité put-call, Achat d’option d’achat ou action, protective calls, straddle et Strangle.
  29. 29. Les stratégies sur options : • Relation de parité Put - Call : Avant d’introduire d’autres stratégies sur options les plus complexes, nous nous attardons à une relation qui nous permettra d’imaginer certaines stratégies sur options, soit la parité put-call.
  30. 30. Les options : • Exemple 3 :
  31. 31. Chapitre 2 : Le modèle de Black et Scholes et ses applications
  32. 32. - Le modèle de Black & Scholes : Le modèle de Black & Scholes publié en 1973 est de loin le modèle d ’évaluation d ’option le plus utilisé en pratique. B&S démontrent qu’à partir des paramètres qui influencent la valeur des options (S0, k, T, rf et s), il est possible de bâtir une position sans risque en combinant l ’achat d ’une (ou de plusieurs) action(s) et en vendant simultanément un certain nombre d ’options d ’achat.
  33. 33. • Permet de déterminer théoriquement la prime exacte que doit payer un client pour acquérir un call ou un put • La modélisation du cours des options est repose sur l’utilisation du calcul différentielle stochastique • L’évolution du cours de l’action définit un mouvement brownien géométrique
  34. 34. •.Absence d’opportunité d’arbitrage : L'arbitrage est une opération financière destinée à assurer un gain positif ou nul de manière certaine en profitant d'écarts temporaires de prix constatés entre différents titres ou contrats. Par exemple en prenant position simultanément et en sens contraire soit sur plusieurs actifs dérivés différents soit sur un produit dérivé et son actif sous-jacent.
  35. 35. Il consiste essentiellement : •soit à vendre un actif financier et acheter un autre, correspondant mieux au prix actuel du marché et, dans les perspectives actuelles, à ce que recherche l'investisseur en matière de rendement et de risque acceptable ;
  36. 36. • soit à vendre et à acheter un même actif financier, mais sur deux marchés différents (par exemple la bourse de New York et celle de Paris), entre lesquels une différence de prix susceptible de dégager un gain monétaire est constatée. B&S démontrent qu’il y aura absence d’opportunité d ’arbitrage, uniquement lorsque la valeur de l ’option d ’achat C0 correspond à:
  37. 37. Co = S0  N(d1) - Xe-rT  N(d2). Où: •C0: valeur théorique de l ’option d ’achat à t=0 (moment de l ’évaluation); •S0: cours de l’action sous-jacente à t=0; •X: prix d ’exercice de l ’option d ’achat; •r: taux d ’intérêt sans risque à capitalisation continue. (c’est un taux nominal annuel capitalisé continuellement). Si on a rf le taux sans risque effectif annuel alors r = ln(1+rf);
  38. 38. •T: Temps qui reste à courir avant l ’échéance de l ’option, exprimé en année, •N(d): probabilité cumulée jusqu’à la valeur d sous une loi normale centré réduite. C’est l’aire sous la courbe normale centré réduite entre - et d. ln(S0/X) + (r + s2/2)  T d1 = -------------------------------- s  (T)½ d2 = d1 - s  (T)½ où s2 est la variance du rendement annuels continus de l ’action.
  39. 39. A- Les hypothèses du modèle de B&S: Le modèle de B&S est basé sur un certain nombre d ’hypothèses plutôt restrictives, dont les principales sont: •le marché des capitaux est parfait; • pas d ’impôt; • pas de frais de transaction; • information gratuite et accessible à tous; • aucune restriction sur les ventes à découvert; • les investisseurs sont rationnels et peuvent prêter et emprunter au taux d ’intérêt sans risque qui est connu et constant dans le temps;
  40. 40. •le titre sous-jacent ne paie ni dividendes, ni intérêt pendant la durée de vie de l ’option; •L ’option est de type européen (ne peut pas être exercé avant l ’échéance); •le cours de l ’action sous-jacente obéit à une loi log-normale; •la variation du taux de rendement continu de l ’action est constante.
  41. 41. B- Extension du modèle de B&S pour évaluer un put européen: La relation de parité Put-Call: C - P = S0 - X/(1+rf)T Temps discet C - P = S0 - Xe-rT Temps continu  P = C - S0 + Xe-rT  C = S0  N(d1) - Xe-rT  N(d2)
  42. 42. d ’où: P = S0N(d1) - Xe-rTN(d2) - S0 + Xe-rT P = Xe-rT[1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)] Donc, la valeur d ’un put européen est égale à: P = Xe-rTN(-d2) - S0 N(-d1) sachant que: N(-x) = 1- N(x).
  43. 43. Démonstration de la formule de black and scholes 45
  44. 44. 47
  45. 45. Preuve de l’équation de Black et Scholes • Supposons qu’un investisseur vende un contrat à terme de gré à gré (forward contract) écrit sur une action dont le flux monétaire final est de ST, . À l’échéance, le prix de ce contrat est de E(ST), où E(.) est l’opérateur d’espérance. Le vendeur du contrat s’engage à vendre l’action au prix prédéterminé X. La valeur non actualisée (V) de ce contrat est: • V = E(ST) – X (1)
  46. 46. • La valeur V de ce contrat est nulle au départ. • En effet, ce contrat constitue une obligation pour le vendeur de livrer l’action et, pour l’acheteur, de prendre livraison de l’action. Il n’y a aucune autre possibilité pour les deux parties. L’acheteur n’a pas l’option d’exercer ou non le contrat. Il doit obligatoirement l’exercer à l’échéance au prix X. Il en paie donc le juste prix sans l’additionner d’une prime. • Comment se détermine E(ST), le prix du contrat à terme ? Puisque ST est une variable aléatoire, on pourrait penser que l’on doit recourir au calcul probabiliste • En fait, pour calculer cette espérance, nous pouvons nous camper dans un univers déterministe, soit l’univers neutre au risque.
  47. 47. • En effet, le vendeur du contrat à terme a le loisir d’acheter aujourd’hui le sous-jacent dudit contrat, soit l’action, au prix S0. Pour financer cet achat, il emprunte au taux sans risque rf, taux composé de façon continue. • À l’échéance du contrat, il pourra livrer l’action qu’il détient et rembourser le montant de son emprunt, soit S0 exp(rt) . Le prix à terme du contrat est donc S0erfT. C’est ce que devra payer l’acheteur du contrat à terme à son échéance. C’est le prix qu’impose l’arbitrage sur les marchés financiers. Tout autre prix donne lieu à une situation d’arbitrage . • Le prix que nous venons de déterminer s’obtient en recourant à la mesure de probabilité risque neutre, c’est-à-dire: E( ST ) = exp (rT) S0 (2)
  48. 48. E( exp(− rt) .ST ) = S0 (3) • La valeur présente de ST est donc bien une martingale (Dans l’univers des probabilités réelles (P), une martingale se définit comme ceci : E(ST |S0) = S0. C’est-à-dire que la meilleure prévision de ST, conditionnellement à l’information disponible au temps 0, est S0, soit l’observation actuelle sur le prix de l’action ). • Or, comme nous le verrons ultérieurement, martingale et absence d’arbitrage sont des concepts qui vont de pair. • En substituant l’équation (2) dans l’équation (1), cette dernière étant actualisée au taux rf, on a: • exp(− rt) V = exp(− rt) exp(rt)S0 – exp(− rt) X • = S0 – exp (− rt)X (4) • Comparons cette équation à celle du call européen dérivée par Black et Scholes: • c = S0 N (d1) – exp(− rt) X N (d2) (5) • En comparant les équations (4) et (5), on voit qu’elles sont identiques si N(d1) = N(d2 = 1
  49. 49. • Par conséquent, un contrat à terme est une forme particulière de call. • Pour un tel call, la probabilité d’exercice est en effet de 1 en ce sens que l’acheteur a l’obligation, et non l’option, d’acheter le sous-jacent du contrat . • Il ne peut donc spéculer sur sa valeur, qui est établie à l’avance. Pour établir la preuve de l’équation de Black et Scholes, nous devons nous familiariser avec la distribution lognormale, puisque l’on suppose que le prix de l’action désigné par S obtempère à une telle distribution dans le modèle de Black et Scholes.
  50. 50. Intuition derrière le prix d'une option Si on part du principe simple que le Prix D'exercice De L'option (ou strike) est K, on achète un call parce qu'on pense que le sous-jacent qui vaut aujourd'hui S0 vaudra ST à l'échéance et que ST sera supérieur au strike K. On achète un call pour qu'il ait de la valeur à l'échéance !
  51. 51. • Call = Valeur actuelle de l'espérance de gain que l'on peut réaliser si ST est supérieur à K (sous une certaine probabilité, on y reviendra) à la date T. Ce que l'on écrit, • Call = e-rTE [ Profit du Call si ST > K et 0 sinon ] • Call = e-rT[P (St >K) x (ST si S>K - K)0+ ]
  52. 52. On obtient finalement : ..."La valeur du call est la valeur présente de la probabilité de hausse de ST au delà de K multipliée par le gain espéré en cas de hausse au delà de K".... D'où, en séparant l'expression en deux : Call = e-rT[P (St >K) x ST si S>K] - e-rT[P (St >K) x K ] • Call = e-rTE[ST si S>K] - e-rT[P (St >K) x K ]
  53. 53. • Transcription dans le modèle Black Scholes On peut donc écrire que dans le modèle Black Scholes, Call = e-rTx E[ ST si S>K] - e-rT[ N(d2) x K ] ▪ e-rTx E[ ST si S>K] est la valeur présente de l'espérance de ST si S>K ▪ e-rT[ N(d2) x K ] est la valeur présente de l'espérance d'avoir à décaisser le montant K, et que l'option soit exercée.
  54. 54. • Donc on peut écrire Call = e-rTx [ S0erTN(d1)] - e-rT[ N(d2) x K ] • Call = [ S0N(d1)] - e-rT[ N(d2) x K ] • Ce qui est la formulation du call dans Black Scholes. Avec E[ ST si S>K] = S0erTN(d1) cela donne, N(d1) = E[ ST si S>K] / E [ST] N(d1) est donc le rapport entre l'espérance de ST en cas de hausse au delà de K et l'espérance de ST (sous une certaine probabilité, neutre au risque)
  55. 55. Interprétation • N(d1) est la probabilité que ST soit supérieur à K augmentée du risque, soit l’opposé de N(d2) qui est cette même probabilité diminuée du risque. • la probabilité estimée par le marché pour que le Call finisse dans la monnaie est comprise entre N(d2) et N(d1). Si l’on coupe la poire en deux, cette probabilité, p = N(d) = P(ST > K), est égale à (N(d2) +N(d1)) / 2.
  56. 56. • Lorsque la volatilité est élevée, la possibilité de gain est plus importante, mais le risque de perte l'est aussi • la formule de B et S , retrouver une volatilité implicite de l'actif, qui est celle qui correspond aux anticipations du marché. • L'une des hypothèses du modèle de Black & Scholes est que les rendements de l'actif sous-jacent suivent une loi normale
  57. 57. • Dans cette hypothèse, un bon estimateur de la volatilité serait l'écart-type des rendements de l'actif sous-jacent. • La limite de ce modèle réside dans cette hypothèse qui diverge de la réalité surtout lorsque les actifs sont volatiles. C'est pourquoi les opérateurs de marché ont développé et implémenté des modèles intégrant des volatilités non constantes ou/et uniformes: volatilité locale, volatilité stochastique... Sur les marchés on constate fréquemment que la volatilité implicite dépend aussi bien de la maturité (temps) que du prix d'exercice (strike), on parle alors de smile de volatilité.
  58. 58. Application du modèle de B&S: Nous sommes le 5 mars et on a l’option d ’achat suivante: •le cours de l ’action ordinaire le 5 mars est 32$; •le prix d ’exercice de l ’option est 28$; •la valeur marchande de l ’option est 8.875$; •date d ’expiration de l ’option: 3ième vendredi de juin; •taux de rendement, au début de mars, des bons de trésor échéant dans trois mois est 7.25%;
  59. 59. •écart-type du rendement hebdomadaire de l ’action est de 6.41% (cette valeur a été estimé à partir des rendements hebdomadaires au cours des 52 dernières semaines). À l ’aide du modèle de B&S, on peut déterminer la valeur théorique de l ’option d ’achat (juin/28$) à la date du 5 mars? En comparant la valeur obtenue avec la côte au marché, dites si l ’option est sous-évaluée, sur-évaluée ou correctement évaluée?
  60. 60. Solution: Les valeurs des différents paramètres à insérer dans le modèle de B&S s ’établissent ainsi: S0 = 32$ X = 28$ r = ln(1+0.0725) = 0.06992  7% T = 106 / 365 = 0.29 ans s = (52)½  (0.0641) = 0.46223  46.22%
  61. 61. ln(32/28) + [0.07 + (0.4622)2/2](0.29) d1 = ----------------------------------------------- = 0.74 (0.4622)  (0.29)½ d2 = 0.74 - (0.4622)  (0.29)½ = 0.49 À l’aide de la table de la loi normale centrée réduite, on trouve que: N(d1) = N(0.74) = 0.7703 N(d2) = N(0.49) = 0.6879
  62. 62. En insérant les valeurs des différents paramètres dans l ’équation de B&S on obtient: C0 = S0  N(d1) - Xe-rT  N(d2) C0 = 32  0.7713 - 28e-0.070.29  0.6879 C0 = 5.78$ La valeur théorique est 5.78$ et le prix côté est 8.875$. L ’option était donc sur-évaluée au moment de l ’évaluation.
  63. 63. Les Grecques :
  64. 64. Les grecques : • Le niveau du sous-jacent • Le prix d’exercice • La maturité de l’option • La volatilité • Le taux d’intérêt sans risque • Les dividendes
  65. 65. Les Grecques : • Permettent de mesurer la sensibilité du prix de l’option par suite de changement dans une ou plusieurs variables et de prendre les mesures appropriés pour réduire les risques correspondants. • Les prix de l’option ne varie pas seulement en fonction de la variation du prix du sous-jacent mais aussi des autres variables en dessus. • L’analyse grecques permet de connaître les risques liés à certaines variables et de les réduire afin de les éliminer.
  66. 66. Les Grecques : • Delta ∆ : Le delta ∆ d'une option correspond au taux de variation du prix de cette option par rapport au sous-jacent. • Delta = variation du prix de l'option / hausse du sous-jacent • Il matérialise la "vitesse" avec laquelle l'option prend de la valeur consécutivement à une variation du prix du sous-jacent. La connaissance du delta d'une option permet donc à chaque instant de répondre à la question : de combien va varier le prix de mon option si le sous-jacent monte de x %.
  67. 67. Les Grecques : • Delta ∆ :
  68. 68. Les Grecques : • Le gamma Г On a vu que le delta correspondait à la vitesse de valorisation de l'option par rapport au sous-jacent. Un delta de 0.25 ou 25% signifie que l'option gagne/perd 0.25 lorsque le sous-jacent gagne/perd 1 euro. Mais ce delta varie. Le gamma représente le taux de variation du delta, l'accélération de la prise/perte de valeur de l'option par rapport à une variation du sous-jacent Le gamma représente effectivement le taux de variation du delta, et ainsi exprime l'accélération avec laquelle l'option gagne/perd de la valeur vis à vis d'un mouvement du sous-jacent.
  69. 69. Les Grecques : • Vega υ : Le véga υ d'une option correspond à la sensibilité du prix de l'option à une variation de la volatilité implicite. Le véga υ d'une option correspond à la sensibilité du prix de l'option à une variation de la volatilité implicite. Le véga d’une option, ν, est défini comme le taux de variation du prix d’une option consécutive à une variation de la volatilité implicite. C’est donc la différence de valeur de l’option prise à un instant t si on modifie la volatilité implicite.
  70. 70. Les Grecques : • Theta θ: Le thêta θ correspond à l'érosion de la valeur d'une option due au passage du temps. Intuitivement, il est simple de saisir que plus une option (call ou put) possède une échéance lointaine, plus elle a de valeur, elle vaut cher. En effet, un call 100 échéance 2 ans a plus de chance de finir dans la monnaie, c'est à dire au dessus du Prix D'exercice De L'option (100) et donc valoir plus cher, qu'un call 100 échéance 1 semaine. Inversement, plus le temps passe, et moins le prix de l'option est élevé (toutes choses égales par ailleurs).
  71. 71. Les Grecques : • Theta θ: I - Theta, l'effet du passage du temps On appelle ce phénomène, l'érosion du temps sur la prime. On le mesure à l'aide d'un ratio, le thêta qui exprime combien de valeur l'option va perdre d'ici à demain (parfois d'ici la semaine prochaine. II - Principe de calcul du Theta Le Theta se calcule simplement en calculant la différence entre la valeur d'une option demain (pour le theta 1 jour) et sa valeur aujourd'hui. Thêta = [ Valeur Option Demain ] - [ Valeur Option Aujourd'hui ]
  72. 72. Pricer une option à l’aide D’Excel
  73. 73. Black & Scholes: On price ! • I - VARIABLES ET PARAMÈTRES Avant toute chose, pour calculer le prix d'une option avec le modèle de Black&Scholes, on a besoin de données. Elles sont au nombre de 6. 2 variables Le prix actuel du sous-jacent S La maturité de l'option en année T 4 paramètres Le prix d'exercice ou strike K La volatilité annualisée de l'actif sous jacent Sigma ou volatilité en % Le taux d'intérêts sans risque r en % par an (il s'agit du taux monétaire ayant même maturité que l'option calculée) Le taux de dividende annualisé q en %

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