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  1. 1. Mémoire : Modélisation d’un tsunami dans l’océan Pacifique Canter Martin 13 août 2012 Promoteur : Barth Alexander Lecteurs : Beckers Jean-Marie Munhoven Guy 1
  2. 2. Table des matières 1 Introduction 3 2 Équations physique 5 2.1 Bilans de masse et de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Approximation de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Filtrage des petites échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Analyse des ordres de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.6 Équations en eaux peu profondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.7 Ondes barotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Ondes de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Formation du tsunami 23 3.1 Tectonique des plaques nippones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Tremblement de Terre de Tohoku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Mécanisme de formation du tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Destruction et dégâts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 ROMS et préparation de la simulation 30 4.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Fichiers d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.5 Paramètres et contraintes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 Méthode de validation 36 5.1 Bouée océanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Jason-1 et Envisat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6 Simulation du tsunami 38 6.1 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Validation des données : bouée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.3 Validation des données : satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4 Cartes globales et animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.5 Simulation inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7 Conclusion 52 8 Remerciement 52 2
  3. 3. 1 Introduction La région de Tohoku, au Nord-Est du Japon, a été frappée par un très puissant tremblement de terre le 11 mars 2011. D’une magnitude de 9.0 sur l’échelle de Richter, c’est le plus puissant séisme ayant secoué l’archipel japonais. Bien que le Japon soit très bien préparé pour faire face à ce genre de catastrophe, les dégâts causés par le tremblement de terre seul fûrent immenses [13]. Malheureusement, l’épicentre se trouvant sous l’océan, le déplacement vertical de la croute océanique a généré une déformation de la surface de la mer causant un tsunami. Ce tsunami a balayé une grande partie de la côte Nord-Est du Japon, détruisant de nombreuses villes et villages sur son passage (fig. 1), pénétrant plusieurs kilomètres à l’intérieur de terre. Malgré les nombreuses mesures de prévention, d’évacuation et de protection des zones côtières en place, plus de 24 000 personnes perdirent la vie [14]. Les dégâts matériels sont actuellement estimés à quelques centaines de milliards d’euros. Enfin, la catastrophe nucléaire de Fukushima est la conséquence la plus dramatique de ce tsunami. La perte de contrôle, et ensuite l’explosion de trois des réacteurs de la centrale a occasionné une dispersion de particules radioactives dans l’atmosphère, les terres avoisinantes, et la mer [5] (fig. 2). Considéré comme un véritable désastre écologique et humain, cet évènement a marqué le monde entier [21]. Il est également à l’origine de la récente remise en question du nucléaire comme source d’énergie fiable et sécurisée. De nombreuses études entourant cette catastrophe ont été menées par divers organismes de recherche et université. Ces recherches ont couvert l’origine du tremblement de terre [19] [18], son déroulement [15] et ses caractéristiques spécifiques [23], le tsunami qu’il a généré [6], les dégâts causés au Japon, les inondations [16], ainsi que la catastrophe nucléaire de Fukushima et ses conséquences immédiates et futures [5], humaines et écologiques. La prévention de ce type de désastre passe impérativement par le regroupement des ces informations, et par leur compréhension. Le tremblement de terre et le tsunami ne pouvant être empêché, seul la simulation rapide d’un possible tsunami basé sur un modèle fiable permettrait d’alerter les zones à risques. L’existence et de l’affinage de tels modèles sont donc cruciales pour empêcher un tel évènement de se reproduire. Ce travail, effectué dans le cadre du mémoire de 2ème master en sciences spatiales, a pour but de réaliser une simulation numérique du tsunami de 2011. Nous verrons l’établissement des équations permettant de décrire un tsunami. Ensuite, nous aborderons la situation tectonique au Japon, et l’origine du tsunami. Nous décrirons le modèle numérique utilisé, les conditions initiales et les paramètres utilisés pour la simulation. Nous terminerons par la validation et la discussion des résultats finalement obtenus. 3
  4. 4. Figure 1 – Village d’Arahama, Wakabayashi, Sendai City, après le passage du tsunami. [24] Figure 2 – La dispersion de Césium 137 dans l’océan Pacifique après la catastrophe nucléaire de Fukushima est représentée par des simulation avec un traceur en surface. [5] 4
  5. 5. 2 Équations physique Dans ce premier chapitre, nous allons aborder les équations physiques régissant les tsunamis [3] [4]. Partant des équations des bilans de masse et de quantité de mouvement, nous poserons diverses hypothèses et effectuerons des approximations justifiées pour simplifier le problème. Nous arriverons enfin aux équations en eaux peu profondes, et exprimerons clairement la solution particulière d’un tsunami. 2.1 Bilans de masse et de quantité de mouvement La première loi dont nous avons besoin est la conservation de la masse en milieu continu : ∂ρ ∂t + ∂ ∂x (ρu) + ∂ ∂y (ρv) + ∂ ∂z (ρw) = 0 (1) ∂ρ ∂t + · (ρv) = 0 (2) où ρ est la densité du fluide (en km/m3 ), u, v, w les composantes de la vitesse v, et l’opérateur nabla. Cette équation est également appelée équation de continuité. Elle signifie que s’il existe un déséquilibre entre la convergence et la divergence d’un fluide dans un volume V donné, il y aura localement une compression ou une dilatation du fluide. La seconde loi importante provient de la seconde loi de Newton : La somme des forces exercée sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération. Dans le cadre de la mécanique des fluides, nous pouvons en déduire la loi de la conservation de la quantité de mouvement, exprimée sous la forme suivante : ∂ ∂t (ρv) + · (ρvv) = − p + ρf + · σv (3) où f est l’accélération induite sur le fluide par l’extérieur, et σv est le tenseur des tensions visqueuses. Si la gravité est la seule force externe exercée sur le fluide, en l’absence de rotation, nous pouvons réécrire l’équation précédente sous la forme suivante, en termes de composantes : x : ρ du dt = − ∂p ∂x + ∂τxx ∂x + ∂τxy ∂y + ∂τxz ∂z (4) y : ρ dv dt = − ∂p ∂y + ∂τyx ∂x + ∂τyy ∂y + ∂τyz ∂z (5) z : ρ dw dt = − ∂p ∂z − ρg + ∂τxz ∂x + ∂τzy ∂y + ∂τzz ∂z (6) où d dt = ∂ ∂t + u ∂ ∂x + v ∂ ∂y + w ∂ ∂z est la dérivée matérielle, et les τab les contraintes de friction de la direction a sur la direction b dans le cadre d’un fluide newtonien. 5
  6. 6. 2.2 Coriolis Dans un système de référence soumit à une rotation Ω, nous pouvons exprimer l’accélération du fluide causée par la rotation de la Terre sous la somme d’une accélération centrifuge et de Coriolis : a = 2Ω × v Coriolis + Ω × (Ω × x) centrifuge (7) où Ω est le vecteur de rotation de la Terre et x la position. En effet, en l’absence de la rotation de la Terre, les forces gravitationnelles seules permettent d’expliquer la forme sphérique de la Terre. Cependant, en présence de la cette rotation, des forces supplémentaires viennent perturber la forme sphérique de base de la Terre, lui donnant un aplatissement au niveau des pôles. À l’équilibre, nous obtenons donc une Terre dont la forme est telle que sa surface moyenne est normale (ou perpendiculaire) à la combinaison des accélérations gravitationnelle et centrifuge (Fig 3). Utilisant des valeurs numériques de 6378 km pour le rayon terrestre, 7.292 × 10−5 rad s−1 pour Ω, et 9.81m s−2 , nous obtenons que l’accélération centrifuge ne compte que pour 0.3% de l’accélération gravitationnelle. Figure 3 – Représentation de la combinaison de l’accélération centrifuge et gravitationelle, formant la verticale locale [3]. 6
  7. 7. Utilisons un repère non-inertiel local défini par (ex, ey, ez) (Fig 2). Figure 4 – Repère local (ex, ey, ez) [7]. Nous pouvons décomposer le vecteur de rotation de la Terre Ω en deux parties : Ω = ω cos(φ)ey + ω sin(φ)ez (8) où φ est la latitude du lieu considéré. L’accélération de Coriolis s’exprime alors comme : 2Ω × v = 2ω cos(φ)ey × v + ω sin(φ)ez × v (9) = f∗ ey × v + fez × v (10) où f∗ et f sont les paramètres de Coriolis, définis par : f = 2ω sin φ = 2ω sin φ0 + y R ≈ f0 + βy (11) f∗ = 2ω cos φ ≈ f∗ 0 + β∗ y (12) où nous devons également définir : β = df dy = 2ω cos λ0 R (13) β∗ = df∗ dy = − 2ω sin λ0 R (14) Introduisons les termes produits par l’accélération de Coriolis, et les équations de la quantité de mouvement (équ. 4,5,6) deviennent alors : 7
  8. 8. ρ du dt + f∗ w − fv = − ∂p ∂x + ∂τxx ∂x + ∂τxy ∂y + ∂τxz ∂z (15) ρ dv dt + fu = − ∂p ∂y + ∂τyx ∂x + ∂τyy ∂y + ∂τyz ∂z (16) ρ dw dt − f∗ u = − ∂p ∂z − ρg + ∂τxz ∂x + ∂τzy ∂y + ∂τzz ∂z (17) 2.3 Approximation de Boussinesq Dans la plupart des systèmes géophysiques, nous observons que la densité ρ varie, mais avec une variation maximale de l’ordre de 3% autour d’une valeur moyenne notée ρ0. Nous pouvons donc écrire que : ρ (x, y, z, t) = ρ0 + ρ (x, y, z, t) avec ρ << ρ (18) Reprenons l’équation de continuité (équ. 1) et réécrivons là en mettant la densité en évidence : ∂ρ ∂t + ρ · v + v · ρ = 0 (19) Remplaçons maintenant la densité par sa nouvelle expression (équ. 18), et simplifions les ordres de grandeurs : ∂ρ ∂t U L ρ + (ρ0 + ρ ) · v U L ρ0 + v · ρ U L ρ = 0 (20) où U est l’échelle typique de vitesse horizontale, et L l’échelle typique de longueur. Nous voyons clairement que les deux termes externes, proportionnels à ρ , sont négligeables par rapport au terme central, proportionnel à ρ. Donc, il faut que : · v = 0 (21) Par l’approximation de Boussinesq, nous avons donc simplifié l’équation de conservation de la masse à une équation de conservation du volume. Elle est aussi connue sous le nom d’équation de continuité simplifiée : ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0 (22) 8
  9. 9. Nous pouvons également appliquer l’approximation de Boussinesq aux équations 15, 16 et 17. Pour les deux premières équations, la densité n’apparaît que dans le membre de gauche, comme facteur de multiplication. Partout où le terme ρ apparaît, nous pouvons le négliger devant ρ0. Dans la dernière équation, le même argument s’applique au terme de gauche. Cependant, la densité est également présente dans le membre de droite, multipliée par g. Elle représente le poids du fluide, et donc l’augmentation de pression due à la profondeur. Notons la pression hydrostatique p0, fonction de z uniquement, et directement liée à la valeur moyenne de la densité ρ0 : p = p0 (z) + p (x, y, z, t) (23) avec p0 (z) = P0 − ρ0gz (24) donc dp0 dz = −ρ0g (25) Enfin, comme nous traitons un fluide Newtonien, la tension visqueuse est proportionnelle au gradient de vitesse. Ceci nous permet de réécrire la tension visqueuse (les τ∗∗ ) des équations 15, 16 et 17 comme : τxx = µ ∂u ∂x + ∂u ∂x ; τxy = µ ∂u ∂y + ∂v ∂x ; τxz = µ ∂u ∂z + ∂w ∂x (26) τyy = µ ∂v ∂y + ∂v ∂y ; τyz = µ ∂v ∂z + ∂w ∂y ; τzz = µ ∂w ∂z + ∂w ∂z (27) où µ est le coefficient de viscosité dynamique. Reprenons donc les équations 15, 16 et 17, en les réécrivant avec les expressions 25, 26 et 27 et en divisant par ρ0. Nous obtenons nos équations simplifiées pour la quantité de mouvement : du dt + f∗ w − fv = − 1 ρ0 ∂p ∂x + ν 2 u (28) dv dt + fu = − 1 ρ0 ∂p ∂y + ν 2 v (29) dw dt − f∗ u − fv = − 1 ρ0 ∂p ∂z − ρ g ρ0 + ν 2 w (30) où ν = µ ρ0 est le coefficiant de viscosité cinématique. Nous avons finalement obtenu des équations simplifiées pour la quantité de mouvement du fluide que nous considérons. 2.4 Filtrage des petites échelles Les modèles informatiques permettant de résoudre les équations physiques sont limités dans leur résolution spatiale par la taille de la grille qu’ils utilisent. Il leur est impossible de traiter 9
  10. 10. et de représenter les phénomènes agissant à une échelle plus petite que la taille typique d’une maille de grille. Cette limite inférieure intervient également pour la résolution temporelle, qui est limitée par le pas de temps utilisé. Or, ces phénomènes agissant à petite échelle ont une influence physique directe sur les plus grandes échelles. De plus, des évènements se produisant à une trop haute fréquence ne pourront être résolus, mais créeront un signal numérique parasite à une plus grande fréquence (problème connu sous le nom d’aliasing). Nous devons donc maintenant reprendre les équations 28, 29 et 30, et les traiter afin de filtrer les phénomènes concernés par ce problème. Les mouvements et turbulences aux petites échelles sont principalement dominés par la dis- sipation. Nous pouvons donc remplacer la viscosité dynamique utilisée précédemment par une variable de super-viscosité plus grande, appelée viscosité d’eddy. Les échelles verticales et horizon- tales étant différentes, cette viscosité d’Eddy est donc représentée par A dans le plan horizontal, et νE dans le plan vertical (qui comprend la viscosité turbulente). A doit naturellement être plus grand que νE, car elle dissipe des perturbations à des échelles plus grandes. Enfin, comme ces variables de viscosité dépendent intrinsèquement des propriétés de la grille et des mouvements du fluide sur lequel elles agissent, elles varient faiblement dans l’espace. Nous allons donc les inclure uniquement dans la dérivée première du dernier terme du membre de droite des équations 28, 29 et 30 : ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z + f∗ w − fv = − 1 ρ0 ∂p ∂x + ∂ ∂x A ∂u ∂x + ∂ ∂y A ∂u ∂y + ∂ ∂z νE ∂u ∂z (31) ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z + fu = − 1 ρ0 ∂p ∂y + ∂ ∂x A ∂v ∂x + ∂ ∂y A ∂v ∂y + ∂ ∂z νE ∂v ∂z (32) ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z − f∗ u = − 1 ρ0 ∂p ∂z − gρ ρ0 + ∂ ∂x A ∂w ∂x + ∂ ∂y A ∂w ∂y + ∂ ∂z νE ∂w ∂z (33) 2.5 Analyse des ordres de grandeurs L’étape suivante de la simplification des équations qui nous intéressent est l’analyse des ordres de grandeurs. En effet, les différents termes contenus dans les équations 31, 32 et 33 comprennent différentes variables qu’il nous faut comparer afin d’éliminer les termes négligeables devant les autres. Dressons d’abord un tableau reprenant ces variables : 10
  11. 11. Variable Échelle Unités Valeur Typique x,y L m 104 z H m 102 t T s 105 u,v U m s−1 10−1 w W m s−1 p P kg m−1 s−2 ρ ρ0 kg m−3 103 Ω s−1 10−4 g m s−2 10 Table 1 – Ordre de grandeur de différentes variables utiles [3]. Nous pouvons donc noter, en utilisant le tableau 1, que : T ≥ 1 Ω ; Ω ≥ U L ; L >> H (34) où les différentes variables représentent respectivement les échelles de temps T, fréquence de rotation de la Terre Ω, vitesse horizontale U, de longueur L et de hauteur H. L’échelle typique horizontale est constante, tandis que l’échelle typique verticale peut varier fortement, de quelques mètres à quelques kilomètres en fonction de la profondeur locale de l’océan. Reprenons l’équation de continuitié simplifiée (équ. 22), et regardons l’ordre de grandeur de chaque terme : U L ; U L ; W H (35) Le dernier terme peut être soit plus grand, soit plus petit, soit égal au premier. Il est clair que si W H >> U L , cela signifie que ∂w ∂t = 0. Le courant vertical devant dès lors être constant, et nul à au moins une frontière (au fond de l’océan par exemple), il est nul partout. Cette solution nous empêchant de négliger séparément ∂u ∂x et ∂v ∂y est donc à rejeter. En revanche, si W H ≈ U L , alors nous avons un équilibre triple entre convergence et divergence selon les différentes directions. De même, si W H << U L , nous avons un équilibre double entre convergence et divergence horizontale. Finalement, nous pouvons conclure que la vitesse verticale W peut être bornée, et que les courants sont principalement limités aux deux dimensions horizontales : W ≤ H L U donc W << U (36) Reprenons ensuite l’équation de la quantité de mouvement horizontale dans la direction x (équ. 31) et évaluons chaque terme séparément : 11
  12. 12. ∂u ∂t U T + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y U2 L + w ∂u ∂z W U H + f∗ w ΩW − fv ΩU = − 1 ρ0 ∂p ∂x P ρ0L + ∂ ∂x A ∂u ∂x + ∂ ∂y A ∂u ∂y AU L2 + ∂ ∂z νE ∂u ∂z νE U H2 (37) Le cinquième terme (Coriolis vertical) est négligeable par rapport au sixième (Coriolis hori- zontal), grâce à l’équation 36. Les trois premiers (accélération et advection horizontale) sont éga- lement négligeables devant le sixième (Coriolis horizontal) en vertu de l’équation 34. En utilisant l’équation 36, nous voyons que W H ≤ U L << Ω, donc que le quatrième terme (advection verticale) est également négligeable par rapport au sixième (Coriolis horizontal). Enfin, rappelons-nous que nous considérons un courant à grande échelle. Les trois derniers termes du membre de droite, représentant la dissipation horizontale et verticale dues aux turbulences, ne peuvent certaine- ment pas dominer le sixième terme (Coriolis horizontal). Ils ne sont cependant pas négligeables à petite échelle. Nous pouvons donc leurs imposer une borne supérieure, et nous obtenons donc que : AU L2 ≤ ΩU et νEU H2 ≤ ΩU (38) Finalement, il ne reste que le terme du gradient de pression qui est de l’ordre de grandeur du terme de Coriolis. Cette pression est une pression dynamique, qui reste néanmoins beaucoup plus petite que la pression hydrostatique due au poids du fluide. Nous pouvons écrire que : P ρ0L = ΩU (39) P = ρ0LΩU (40) La même approche peut être appliquée à la quantité de mouvement horizontale selon y (équ. 32). Seul le terme en f∗ w disparait, les autres restant du même ordre de grandeur. Il ne reste donc plus que la quantité de mouvement verticale (équ. 33) : ∂w ∂t W T + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y UW L + w ∂w ∂z W 2 H − f∗ u ΩU = − 1 ρ0 ∂p ∂z P ρ0H − gρ ρ0 g∆ρ ρ0 + ∂ ∂x A ∂w ∂x + ∂ ∂y A ∂w ∂y AW L2 + ∂ ∂z νE ∂w ∂z νE W H2 (41) Les quatres premiers termes du membre de gauche sont tous négligeables par rapport au cinquième. En effet, pour le premier, nous avons queW T ≤ ΩW << ΩU en vertu de l’équation 37. De la même manière, les autres sont également négligeables par rapport au cinquième grâce 12
  13. 13. aux équations 34 et 36. Enfin, le cinquième terme est lui-même négligeable par rapport au premier terme du membre de gauche. En le divisant par le sixième terme et en utilisant les équations 34 et 40, nous obtenons : ρ0ΩHU P ≈ H L (42) Les trois derniers termes du membre de droite, reprenant la dissipation verticale et horizontale due aux turbulences, sont négligeables. Par l’équation 38, nous substituons U par W, et nous avons que : AW L2 ≤ ΩW et νEW H2 ≤ ΩW et ΩW << ΩU (43) Finalement, seuls les deux premiers termes du membre de droite subsistent. Ils expriment l’équilibre hydrostatique : 0 = − 1 ρ0 ∂p ∂z − gρ ρ0 (44) Récapitulons donc les équations que nous avons obtenues après simplification et élimination des ordres de grandeur non-pertinent. Pour un courant barotrope dans un fluide homogène, sans négliger la friction, en l’absence de stratification, et où Coriolis ne domine pas les termes d’accéleration du membre de gauche, nous obtenons pour chaque composante : x : ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z − fv = − 1 ρ0 ∂p ∂x + ∂ ∂x A ∂u ∂x + ∂ ∂y A ∂u ∂y + ∂ ∂z νE ∂u ∂z (45) y : ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z + fu = − 1 ρ0 ∂p ∂y + ∂ ∂x A ∂v ∂x + ∂ ∂y A ∂v ∂y + ∂ ∂z νE ∂v ∂z (46) z : 0 = − 1 ρ0 ∂p ∂z − gρ ρ0 (47) Continuité : ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0 (48) 2.6 Équations en eaux peu profondes Nous cherchons maintenant à obtenir les équations en eaux peu profondes. Nous devons donc intégrer sur la verticale le système d’équation 45 à 48. Commençons par l’équation de continuitié (équ. 48). Les deux premiers termes sont bien entendu indépendant de z par construction, et en intégrant l’équation de continuité sur toute sa profondeur, nous obtenons : 13
  14. 14. b+h b ∂u ∂x + ∂v ∂y dz + [w] b+h b = 0 (49) où b est la hauteur du fond marin, et h la hauteur de la colone d’eau locale mesurée à partir du fond. Figure 5 – Représentation d’un courant d’un fluide homogène sur un fond irrégulier [3]. En établissant un bilan d’entrée et de sortie du fluide, nous pouvons exprimer les conditions de vitesse aux frontières. Commençons donc par considérer le fond comme étant imperméable au fluide. Posons que les indices s représentent une variable évaluée en surface, et f au fond. Mathématiquement, en z = b, nous avons que : d dt (z − b) = 0 (50) Comme dz dt = w et ∂b ∂t = 0, l’expression suivante est équivalente : w (z = b) = uf ∂b ∂x + vf ∂b ∂y (51) Enfin, la surface mobile, nous utilisons une variable η = b + h − H définie comme l’élévation de surface. Nous avons alors que : d dt (z − η) = 0 (52) et nous obtenons, comme condition à la surface (en z = η), que : 14
  15. 15. w (z = b + h) = ∂ ∂t (b + h) + us ∂ ∂x (b + h) + vs ∂ ∂y (b + h) (53) = ∂η ∂t + us ∂η ∂x + vs ∂η ∂y (54) En utilisant l’élévation de surface η = b + h − H dans les équations 51 et 54, nous obtenons que : ∂uh ∂x − us ∂ (b + h) ∂x + uf ∂b ∂x + ∂vh ∂y − vs ∂ (b + h) ∂y + (55) vf ∂b ∂x + ∂η ∂t + us ∂η ∂x + vs ∂η ∂y − uf ∂b ∂x + vf ∂b ∂y = 0 (56) ∂η ∂t + ∂ ∂x (hu) + ∂ ∂y (hv) = 0 (57) où nous devons définir les vitesses moyennées sur la verticale par : u = 1 h b+h b udz (58) v = 1 h b+h b vdz (59) L’équation 57 remplace l’équation de continuité (équ. 48) et nous permet de remplacer la vitesse verticale par une expression dépendante de η. Enfin, rappelons-nous la pression dynamique vue à l’équation 40. Comme le fluide est homogène, cette pression dynamique ne dépend pas de la profondeur, mais uniquement de la hauteur de la colonne d’eau locale, et nous pouvons l’écrire comme : p = ρ0gη (60) Nous pouvons donc finalement remplacer cette expression de la pression dynamique dans les équations 46 et 47, pour obtenir : ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z − fv = −g ∂η ∂x + ∂ ∂x A ∂u ∂x + ∂ ∂y A ∂u ∂y + ∂ ∂z νE ∂u ∂z (61) ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z + fu = −g ∂η ∂y + ∂ ∂x A ∂v ∂x + ∂ ∂y A ∂v ∂y + ∂ ∂z νE ∂v ∂z (62) Ces équations de conservation de quantité de mouvement doivent également être intégrées sur la verticale [7]. Commençons par reprendre l’équation de continuité (équ. 48) multipliée par 15
  16. 16. u : u ∂u ∂x + u ∂v ∂y + u ∂w ∂z = 0 (63) Additionnons au membre de gauche de l’équation 61, et regroupons les termes croisés qui apparaissent, pour obtenir pour la composante x : ∂u ∂t + ∂u2 ∂x + v ∂uv ∂y + w ∂uw ∂z − fv = − 1 ρ0 ∂p ∂x + ∂ ∂x A ∂u ∂x + ∂ ∂y A ∂u ∂y + ∂ ∂z νE ∂u ∂z (64) Utilisons comme indice de notation que s signifie l’évaluation d’une variable en surface, et f au fond. Nous pouvons maintenant intégrer sur la verticale, entre les bornes b et b + h (fig. 5). Terme par terme, nous obtenons : b+h b ∂u ∂t dz = (hu) ∂t − us ∂ (b + h) ∂t (65) b+h b ∂u2 ∂x dz = ∂ ∂x b+h b u2 dz − u2 s ∂ (b + h) ∂x + u2 f ∂b ∂x (66) = ∂ u2 h ∂x + ∂ ∂x b+h b (u − u) 2 dz − u2 s ∂ (b + h) ∂x + u2 f ∂b ∂x (67) b+h b ∂ (uv) ∂y dz = ∂ ∂y b+h b uvdz − usvs ∂ (b + h) ∂y + uf vf ∂b ∂y (68) = ∂ (uvh) ∂y + ∂ ∂y b+h b (u − u) (v − v) dz − usvs ∂ (b + h) ∂y + uf vf ∂b ∂y (69) b+h b ∂ (uw) ∂z dz = [uw] b+h b = usws − uf wf (70) = us ∂ (b + h) ∂t + u2 s ∂ (b + h) ∂x + usvs ∂ (b + h) ∂y − u2 f ∂b ∂x + uf vf ∂b ∂y (71) b+h b −fvdz = −fhv (72) où l’équation 71 vient des équations 51 et 54. Faisons de même pour le membre de droite : 16
  17. 17. b+h b −g ∂η ∂x = −gh ∂η ∂x (73) b+h b ∂ ∂x A ∂u ∂x dz = ∂ ∂x b+h b A ∂u ∂x dz − A ∂u ∂x s ∂ (b + h) ∂x + A ∂u ∂x f ∂ (b) ∂x (74) b+h b ∂ ∂y A ∂u ∂y dz = ∂ ∂y b+h b A ∂u ∂y dz − A ∂u ∂y s ∂ (b + h) ∂y + A ∂u ∂y f ∂ (b) ∂y (75) b+h b ∂ ∂z νE ∂u ∂z dz = νE ∂u ∂z b+h b − νE ∂u ∂z s + νE ∂u ∂z f (76) Nous pouvons regrouper les termes du membre de gauche (équ. 68, 70, 72, 74 et 75) et de droite (équ. 76 à 79) pour obtenir : ∂ (hu) ∂t + ∂ hu2 ∂x + ∂ (huv) ∂y − fhv = −gh ∂η ∂x (77) + ∂ ∂x b+h b A ∂u ∂x − (u − u) 2 dz hAxx (78) + ∂ ∂y b+h b A ∂u ∂y − (u − u) (v − v) dz hAxy (79) + νE ∂u ∂z s − A ∂u ∂x s ∂ (b + h) ∂x − A ∂u ∂y s ∂ (b + h) ∂y τs x (80) − νE ∂u ∂z f − A ∂u ∂x f ∂ (b) ∂x − A ∂u ∂y f ∂ (b) ∂y τf x (81) Une approche identique pour la composante y (équ. 65). Nous obtenons finalement que : 17
  18. 18. ∂ (hv) ∂t + ∂ (huv) ∂x + ∂ hv2 ∂y + fhu = −gh ∂η ∂y (82) + ∂ ∂x b+h b A ∂v ∂x − (u − u) (v − v) dz hAyx (83) + ∂ ∂y b+h b A ∂v ∂y − (u − v) 2 dz hAyy (84) + νE ∂v ∂z s − A ∂v ∂x s ∂ (b + h) ∂x − A ∂v ∂y s ∂ (b + h) ∂y τs y (85) − νE ∂v ∂z f − A ∂v ∂x f ∂ (b) ∂x − A ∂v ∂y f ∂ (b) ∂y τf y (86) Finalement, nous pouvons résumer notre système d’équations en eaux peu profondes à : ∂ (hu) ∂t + ∂ hu2 ∂x + ∂ (huv) ∂y − fhv = −gh ∂η ∂x + ∂ ∂x hAxx + ∂ ∂y hAxy + τs x − τf x (87) ∂ (hv) ∂t + ∂ (huv) ∂x + ∂ hv2 ∂y + fhu = −gh ∂η ∂y + ∂ ∂x hAyx + ∂ ∂y hAyy + τs y − τf y (88) ∂η ∂t + ∂ ∂x (hu) + ∂ ∂y (hv) = 0 (89) Où τs et τf sont les tensions de surface et de fond, et les différents termesA∗∗ représentent les termes de dissipation due à la tension visqueuse, qui doivent être paramétrisés : Axx = ν ∂u ∂x (90) Axy = ν ∂u ∂y (91) Ayx = ν ∂v ∂x (92) Ayy = ν ∂v ∂y (93) 2.7 Ondes barotropes Nous disposons maintenant d’un modèle et d’équations adaptées au phénomène physique que nous désirons étudier. Il ne reste plus qu’à établir les équations décrivant les tsunamis. Comme 18
  19. 19. nous les avons intégrés sur la verticale, les équations 87 à 89 sont naturellement indépendantes de z. Ces équations nous permettent donc de décrire les courants barotropes. Réécrivons donc les équations en eaux peu profondes, en suppposant un fluide sans friction : ∂ (hu) ∂t + ∂ hu2 ∂x + ∂ (huv) ∂y − fhv = −gh ∂η ∂x (94) ∂ (hv) ∂t + ∂ (huv) ∂x + ∂ hv2 ∂y + fhu = −gh ∂η ∂y (95) ∂η ∂t + ∂ ∂x (hu) + ∂ ∂y (hv) = 0 (96) Nous pouvons encore émettre une condition supplémentaire simplifiant le problème. En effet, le terme de Coriolis dans le modèle dont nous disposons est linéaire. Ce n’est malheureusement pas le cas pour les termes d’advection : ∂(hu2 ) ∂x et ∂(huv) ∂y pour la composante x, par exemple. Pour simplifier la recherche de la solution, il est préférable de les négliger également. Reprenons les valeurs du tableau 1, et intéressons-nous à un fluide homogène, où l’accélération de Corio- lis domine largement les mouvements de convection du fluide (donc les termes advectifs). Ces propriétés se traduisent par un petit nombre de Rossby Ro, que nous définissons comme : Ro = U ΩL << 1 (97) En d’autres termes, nous ne considérons que les fluides où les courants sont faibles par rapport à la rotation. Les termes exprimant l’évolution temporelle des courants par contre sont linéaires, et ne doivent pas être négligés. Définissons donc le nombre de Rossby temporel RoT : RoT = 1 ΩT ≈ 1 (98) Les conditions sur le nombre de Rossby et le nombre de Rossby temporel ne sont pas contra- dictoires. En effet, cela signifie seulement que nous considérons un milieu où les mouvements sont lents, mais les changements sont rapides. L’information se propage donc rapidement dans un milieu lent. Divisons donc RoT par Ro et obtenons une condition sur la vitesse de propagation de l’onde que nous cherchons : C = L T ≈ ΩL >> U (99) Nous cherchons donc bien des ondes se déplaçant à une vitesse C dans un milieu dont la vitesse est U. Reprenons les équations 94 et 95 avec cette condition : 19
  20. 20. ∂hu ∂t − fv = −g ∂η ∂x (100) ∂hv ∂t + fu = −g ∂η ∂y (101) Nous pouvons également simplifier l’équation de continuité (équ. 96). Développons-la par rapport à η, en plusieurs termes groupés, supposons le fond plat (H constant). Regardons l’ordre de grandeur de chaque terme : ∂η ∂t ∆H T + hu ∂η ∂x + hv ∂η ∂y U ∆H L + H ∂hu ∂x + ∂hv ∂y H U L + η ∂hu ∂x + ∂hv ∂y ∆H U L = 0 (102) Grâce à l’équation 99, nous pouvons négliger le deuxième et le quatrième terme, nous laissant avec une équation purement linéaire : ∂η ∂t + H ∂η ∂x + ∂η ∂y = 0 (103) 2.8 Ondes de Poincaré Les tsunamis sont des ondes inertielles de gravité, aussi connues sous le nom d’ondes de Poincaré. Elles sont solutions du systèmes reprenant les équations 100, 101 et 103. En considérant f et les différents coefficients constants, ainsi qu’un fond plat, nous pouvons obtenir les solutions de ce système par analyse des modes de Fourier. Exprimons la solution en considérant hu, hv et η comme facteurs constants multipliés par une solution périodique :    η hu hv    =    A U V    expi(kxx+kyy−ωt) où nous fait prendre la partie réelle, kx et ky les nombres d’ondes dans leur direction respective, et ω la fréquence de l’onde. En exprimant ceci en système d’équation, nous obtenons donc : −iωU − fV = −igkxA (104) −iωV + fU = −igkyA (105) −iωA + H (ikxU + ikyV ) = 0 (106) 20
  21. 21. À moins que le déterminant ne s’annule, ce système a comme solution triviale u = v = η = 0. L’onde que nous recherchons apparaît donc si et seulement si l’équation suivante est vraie : ω ω2 − f2 − gH k2 x + k2 y = 0 (107) Cette équation pose une condition appelée relation de dispersion (fig. 6). Elle relie la fréquence ω et le nombre d’onde k = k2 x + k2 y 1 2 de l’onde que nous cherchons. Une solution triviale existe en considérant la racine ω = 0. Elle correspond à l’équilibre géostrophique. Les deux autres racines sont : ω = ± f2 + gHk2 (108) Figure 6 – Relation de dispersion pour les ondes de gravité et d’inertie. En axe x : √ gH k f . En axe y : ω f . Les ondes de gravité pures se trouvent uniquement sur la courbe rouge. Les ondes d’inertie se trouvent soit au dessus de la courbe bleue dans la partie positive, soit en-deça dans la partie négative [25] Prenons maintenant la limite pour f = 0, c’est à dire sans rotation. Cette limite est valable, car f2 = (2ω sin Φ) 2 ≤ 2.127 × 10−8 s−2 , alors que gHk2 ≈ 3.872−5 s−2 pour une profondeur de 4000 mètres, et une longueur d’onde de 200km. Nous obtenons alors comme fréquence que ω = k √ gH. Nous pouvons donc déduire la vitesse de phase, c’est à dire la vitesse de propagation d’un tsunami (fig. 7), par : 21
  22. 22. c = ω k = gH (109) Figure 7 – Vitesse de propagation d’un tsunami c = ω k = √ gH. L’axe x représente la profondeur, en m. L’axe y représente la vitesse, en m s−1 . 22
  23. 23. 3 Formation du tsunami Nous disposons des équations physiques décrivant les tsunamis. Nous allons maintenant nous intéresser au phénomène particulier ayant généré le tsunami du 11 mars 2011, aussi connu dans la litérature scientifique sous le nom de tsunami de Tohoku (région du Japon la plus touchée par les dégâts). Ce tsunami fut fort remarqué dans les médias à cause de l’incident nucléaire de Fukushima qu’il a causé. Ce chapitre contient un aperçu de la situation tectonique nippone, une description du tremblement de terre, et le mécanisme de formation du tsunami suite au tremblement de terre. 3.1 Tectonique des plaques nippones L’archipel japonnais s’est détaché de l’est de la plaque Eurasienne il y a quelques centaines de millions d’années [17]. Cette rupture est due à un enfoncement d’une partie de la croute océanique, mécanisme connu sous le nom de subduction. Le japon d’aujourd’hui est une région à la frontière entre la plaque océanique des Philippines, la plaque du Pacifique, la plaque Eurasienne, et la place d’Amur (Fig 8). Cette situation particulière est la cause des nombreux tremblement de terre frappant le Japon (environ 20% des tremblements de terre recencés dans le monde). 3.2 Tremblement de Terre de Tohoku La séquence du tremblement de terre du 11 mars a réellement commencé deux jours avant le principal évènement [17] [15]. Le 9 mars, à 2h45 en temps universel, un premier tremblement de terre de magnitude 7.2 frappe légèrement plus au nord du tremblement du 11 mars (fig. 8). Il est suivit de trois chocs de magnitudes 6, et d’autres moins intenses. Aucun de ces séismes n’a généré de tsunami. Ces évènements, ainsi que ceux après la secousse principales, sont regroupés car ils concernent la même région, et partagent les mêmes caractéristiques comme leur profondeur et leur inclinaison. La secousse à l’origine du tsunami a débuté le 9 mars 2011 à 05h46m24s, aux coordonnées 38.10 de latitude Nord et 142.86 de longitude Est (varie selon les sources) [15] [23], à environ 14 km de profondeur (fig. 8). La rupture s’est propagée à partir de l’épicentre à une vitesse estimée entre 1 et 3 km/s, pour une durée totale de 170 secondes. Le moment total du séisme est estimé entre 4.3 et 5.8 × 1022 Nm, selon diverses sources [1]. Le tremblement de terre principal a ensuite initié une série de secousses supplémentaires, dont la plus puissante était de magnitude 7.1. Près de 50 répliques ont suivies dans les 24 heures suivantes, et près de 250 ont étés enregistrées jusqu’à la mi-mars. Finalement, des mesures GPS ont permis de mettre en évidence de nombreux déplacements des terres japonnaises, dans la région de Honshu, du Nord-Est de la région de Tohoku jusqu’à la région de Kanto, et même à Tokyo [17]. La péninsule d’Oshika s’est déplacée d’un peu plus de 5 23
  24. 24. mètres vers l’est et a été soulevée de presque 1 mètre (fig. 9). Enfin, des déplacements horizontaux jusqu’à 40 mètres ont été observés dans la zone du tremblement de terre, et même jusqu’à 50 mètres sur la ligne de faille. La croute océanique a également subit une déformation verticale estimée entre -5 et +10 mètres à certains endroits (fig. 10). C’est ce déplacement vertical qui est à l’origine du tsunami destructeur qui a suivi. Figure 8 – Les différentes plaques tectoniques sont indiquées en rouges. Leur mouvement relatif est indiqué par les flèches rouges. Les courbes noires indiques les zones de subduction. Les disques de différentes couleurs représentent les tremblements du 9 au 13 mars 2011, suivant leur profon- deur. Enfin, les étoiles jaunes représentent les principaux évènements antérieur et postérieur à la secousse principale [26]. 3.3 Mécanisme de formation du tsunami La secousse principale a généré un important déplacement vertical par un glissement d’une partie de la plaque océanique du Pacifique sous la plaque Eurasie (fig. 11). Ce soulèvement et 24
  25. 25. Figure 9 – Déplacement horizontal (à gauche) et vertical (à droite) de la région de Tohoku, mesuré par GPS, en centimètre [27]. 25
  26. 26. Figure 10 – Déplacement vertical (positif et négatif) de la zone autour de l’épicentre, prévu par le modèle d’inversion de faille. (Pararas-Carayannis, modified after Shao et al, 2011) 26
  27. 27. affaissement du fond océanique a ensuite déformé de la surface de l’eau. La gravité agissant, cette masse d’eau est retombée vers sa position d’équilibre, et a généré une onde de Poincaré, dont les équations ont été discutées dans le chapitre précédent. Figure 11 – La zone de subduction apparait lors du contact entre deux plaques, où l’une passe sous l’autre. De l’énergie s’accumule suite à la déformation des plaques. Lors du tremblement de terre, cette énergie est ensuite libérée, et s’il y a déplacement vertical, il y a création d’un tsunami [28]. L’onde de Poincaré, donc le tsunami, se déplace à une vitesse c = ω k = √ gH. Dans l’océan profond, la longueur d’onde typique d’un tsunami est de 200 km et son amplitude moyenne est de 1 mètre. Cependant, à l’approche des côtes, l’avant de l’onde ralentit à cause de la diminution de la profondeur. L’arrière du tsunami rattrappe alors l’avant. La vague principale semble se tasser sur elle-même, et l’amplitude augmente en conséquence. La longueur d’onde diminue jusqu’à moins de 20 km. Ce mécanisme très bien connu explique pourquoi les tsunamis ne sont pas dangereux en haute mer, même imperceptibles pour les bateaux, et sont terriblement destructeurs une fois arrivé au littoral (fig. 12). 3.4 Destruction et dégâts Comparé à d’autres évènements similaires (Inde en 2004, Chili en 2010), le tsunami de Tohoku a principalement marqué les esprits suite à la catastrophe nucléaire de Fukushima. De nombreuses personnes y ont perdu la vie, et les dégâts matériels sont immenses. La particularité de cet 27
  28. 28. Figure 12 – Resserrage de la vague lors de l’approche d’un littoral, avec la longueur d’onde typique en fonction de la profondeur locale. (Modifié de Wikipédia [29]) évènement est que la hauteur de la vague ayant balayé le littoral japonais a été sous-estimée dans un premier temps. Il semblerait que les variations topographiques ont causé des effets de convergence, comme une lentille [17] . Ceci est à l’origine de la différence de hauteur de la vague à certain endroits de la côte japonaise (fig. 13). Cependant, contrairement au tsunami de 2004, des alertes ont été passées à la population, permettant déjà une première évacuation. Il ne s’est écoulé que trois minutes entre la détection du tremblement de terre et l’avertissement des zone à risques. Les vies ont pu être sauvées de cette manière. Malheureusement, le tsunami a frappé les premières zones critiques à peine 30 minutes après la secousse principale. La proximité de l’épicentre est donc la principale raison pour laquelle les évacuations n’ont pu être totales. 28
  29. 29. Figure 13 – Amplitude de la vague initiale lors de son arrivée sur la côte japonaise. La "run-up height" est l’altitude maximale des terres atteintes par le tsunami [30]. 29
  30. 30. 4 ROMS et préparation de la simulation Ce chapitre présente le modèle de simulation numérique utilisé pour reproduire le tsunami de Tohoku de 2011. Nous aborderons les caractéristiques principales de ROMS, les diverses options spécifiquement choisies pour la simulation du tsunami, et terminerons par la préparation des fichiers d’entrée. 4.1 Présentation ROMS, Regional Ocean Modelling System, est un modèle océanique à surface libre et à grille verticale variable. Écrit en Fortran 90/95, ROMS possède un code récent et facilement adaptable, libre d’accès, et maintenu par l’université de Rutgers. Les équations hydrostatiques de quantité de mouvement sont discrétisées selon la grille d’Arakawa de type C, et utilisent une méthode de prédicteur (Leap-Frog) et correcteur (Adams-Molton) d’ordre 3. Les fichiers d’entrées et de sorties sont au format NETCDF. Ceci facilite le traitement et l’échange des résultats [9]. 4.2 Fichiers d’entrée Pour démarrer, ROMS a besoin d’une série de fichiers d’entrée. Ces fichiers fournissent les options d’entrée et de sortie des données. Ils déterminent également les conditions initiales de la simulation, et les divers forçages à effectuer. Les fichiers à fournir sont la condition initiale de déformation de la surface de l’océan, la bathymétrie, le fichier reprenant les informations sur les unités des variables utilisées, et le fichier de configuration et d’initialisation de ROMS. La première partie du travail a donc consisté en la préparation de ces fichiers d’entrées de ROMS. Voici les diverses étapes nécessaires : 1. Import du fichier de bathymétrie (fig. 14), réduction et lissage selon la taille des mailles utilisées (table 2), et sélection du domaine considéré 2. Élimination des régions sous le niveau de la mer, mais non relevante pour ROMS (mer intérieure) (fig. 15) 3. Établissement de la forme initiale du tsunami 4. Sélection des options utiles pour la simulation numérique 5. Sélection des variables et du format de sortie Dans le cas du tsunami, la simulation ne doit résoudre que des ondes barotropes. Les diverses options de mélange, de traceurs, de variables non-relevantes (température, salinité, ..) et de forçage externe sont donc désactivées. 4.3 Conditions limites Le domaine de simulation étant ouvert à certain endroit, un choix de condition limite s’est imposé [2]. Pour empêcher la réflexion des ondes aux bords du domaine, les frontières ont été 30
  31. 31. Figure 14 – Relevé du fichier brut de bathymétrie mondiale utilisé pour la simulation. Les axes sont en indice de latitude et longitude. L’échelle de bathymétrie est en mètres [31]. posées comme ouvertes vers l’extérieur. Cette condition de radiation permet aux ondes de sortir librement du domaine. Mathématiquement, nous pouvons donc exprimer que : ∂v ∂t + c ∂v ∂n = 0 (110) où v est la vitesse de propagation de l’onde, n la dimension perpendiculaire à la frontière, et c une variable qui doit être déterminée par le point de grille adjacent à la frontière, tel que : c = ∂v ∂t / ∂v ∂n (111) Nous avons également une condition aux frontières pour l’élévation de surface par Chapman (1985) : ηn+1 b = ηn b + µeηn+1 b+1 1 + µe (112) où η est la déformation de surface, µe = √ gh ∆t ∆xn , où ∆t est le pas de temps de la simulation, et ∆xn la taille d’une maille de la grille, et b est l’index sur la grille correspondant à la frontière 31
  32. 32. Figure 15 – Fichier de bathymétrie réduit, centré sur le Pacifique, dont les terres et îles sont masqués. Les axes sont en degrés de latitude et de longitude. L’échelle de bathymétrie est en mètres. 32
  33. 33. et b + 1 l’index du premier point intérieur au domaine. 4.4 Conditions initiales Le tsunami de Tohoku a été l’objet de nombreuses analyses afin d’en obtenir un maximum d’informations. L’intérêt scientifique et humain est de développer le plus rapidement possible des outils permettant de limiter les dégâts causés par ce genre de catastrophes. Malheureusement, la complexité des mécanismes ayant généré le tsunami rend la tâche particulièrement compliquée. Vu l’absence de mesures directes de la déformation ayant généré le tsunami, seule une étude inversée et un regroupement d’information permet de remonter aux conditions initiales [11](fig. 16). Figure 16 – Distribution de la faille observée par inversion de données de différentes sources, en mètres. D est une combinaison des données de A, B et C [11]. Les données à l’origine de la fig. 16 étant trop compliquées à obtenir et à reproduire dans le cadre de ce mémoire, les conditions initiales utilisées pour la simulation ont dû être simplifiées. En tenant compte de la durée de la secousse et de la vitesse de propagation de la faille, vue au point 3.2, nous savons que la déformation s’est propagée beaucoup plus rapidement que n’a pu le faire l’onde initiale. Nous pouvons donc imposer la condition initiale comme une déformation instantanée de la surface de l’océan [10]. Deux cas distincts ont été choisis pour représenter cette déformation (fig. 17) : 1. Une simple gaussienne bi-dimensionnelle symétrique 2. Une gaussienne allignée sur la direction de la faille, allongée selon un axe, corrigée par une fonction permettant une déformation négative et positive, similaire à la figure 10. La gaussienne simple est simulée avec un écart type de 0.75 degré, et une amplitude maxi- male de 10 mètres. La seconde condition initiale est désignée dans la suite du travail comme la gaussienne anti-symétrique. Elle est définie selon les coordonnées (l, p) d’un repère incliné d’un angle Θ autour de l’épicentre (x0, y0), dont l’axe y est aligné sur la faille : 33
  34. 34. l = cos Θ (x − x0) − sin Θ (y − y0) + x0 (113) p = sin Θ (x − x0) + cos Θ (y − y0) + y0 (114) Son équation analytique est : η = A (l − x0) exp − (l − x0) 2 2σ2 x exp − (p − y0) 2 2σ2 y (115) où le facteur l − x0 est à l’origine de l’anti-symétrie de la fonction. La gaussienne anti- symétrique a été alignée sur la faille, et simulée avec une amplitude maximale de 10 et de 20 mètres. L’écart type utilisé était de 0.5◦ selon la direction proche de le l’axe est-ouest, et de 0.75◦ pour la direction proche de l’axe nord-sud. Enfin, les vitesses initiales sont supposées nulles. Figure 17 – Les deux conditions initiales choisies pour les simulations. L’image de gauche est la simple gaussienne, l’image de droite est la fonction composée d’une gaussienne alongée et d’un facteur créant une anti-symétrie. Les axes sont en degrés de latitude et longitude, et l’échelle de couleur est la déformation verticale en mètres. 4.5 Paramètres et contraintes numériques Lors de la simulation numérique de modèles, différents facteurs nous permettent de poser des contraintes sur les paramètres numériques. Ces contraintes concernent principalement la résolution physique du modèle, et la période de temps qu’il couvre. Nous pouvons décomposer ces contraintes en borne minimale et une borne maximale. 34
  35. 35. La borne maximale est la taille maximale d’une maille de grille que notre modèle doit avoir. En effet, comme nous l’avons au chapitre concernant la description des tsunamis, leur longueur d’onde et leur vitesse dépendent fortement de la profondeur locale de l’océan. Une grille trop grande empêcherait une modélisation correcte et précise du tsunami, particulièrement dans les zones côtières, à forte densité de petites îles. Nous devons donc poser une taille maximale de grille ∆x en fonction de la vitesse du tsunami c et du pas de temps ∆t choisi [8] [20] : ∆t ≤ 1.85 ∆x c (116) La borne minimale de la grille est une contrainte de temps de calcul. Une grille trop fine ou un pas de temps trop court occasionne des temps de calcul trop longs pour une efficacité réelle diminuée. Enfin, la quantité de données à traiter comme résultat dépend directement de ces paramètres. Une fois l’ordre de grandeur choisi, l’ajustement s’effectue par essai et erreur. Voici donc la liste des paramètres choisis en fonction des contraintes : Variable Simulation rapide Simulation fine Taille de maille ∆x 1 2 degré 1 6 degré Pas de temps ∆t 50 sec 10 sec Temps de calcul 30 min 200 min Fichier de sortie 500 Mo 4500 Mo Table 2 – Paramètres numériques Un affinage supplémentaire de la grille résulte en des temps de calcul qui explosent, et des fichiers de données à traiter dépassant 10 Go. L’espace de stockage du centre de calcul étant limité, de telles simulations sont donc hors de portée dans le cadre de ce travail. Le dernier paramètre à régler est la fréquence d’enregistrement des données. Ce paramètre influe directement sur la taille du fichier de sortie. La modération s’impose une fois de plus, et les données ne sont enregistrées que toutes les trois minutes. 35
  36. 36. 5 Méthode de validation Effectuer des simulations numériques d’un phénomène physique sans pouvoir valider le modèle et ses résultats n’a pas de sens. Ce chapitre présente les deux méthodes choisies pour effectuer la validation des simulations réalisées. 5.1 Bouée océanique La première méthode compare les résultats par rapport à deux sondes de mesure de pression dans l’océan. Ces sondes sont constituées d’un capteur de pression fixé au fond de l’océan, relié à une bouée en surface. Les mesures sont effectuées toute les 15 secondes, et envoyées à un centre d’observation et de prévention. Depuis le tsunami de 2004, le dispositif de prévention des tsunamis s’est considérablement développé dans l’océan Pacifique. Les données de ces sondes sont libres d’accès sur internet, via le site de la NDBC (National Data Buoy Center). Une sonde proche de l’origine du tsunami a été sélectionnée pour confirmation de la simulation (fig. 18). Elle porte le numéro 21418, et se trouve aux coordonnées 38◦ 42 38 de latitude Nord, et 148◦ 41 37 de longitude Est. Les données provenant des bouées sont brutes. Elles sont d’abord du être pré-traitées pour enlever les doublons, les erreurs de mesures et les valeurs NaN. Ensuite, les sondes fournissent directement la hauteur de la colonne d’eau locale. Les simulations donnant un écart par rapport à la position d’équilibre, ces données ont été moyennées sur la série temporelle pour donner un écart de hauteur par rapport à une surface moyenne. Les informations relatives aux différentes marées n’ont pas été retirées, et viennent donc perturber l’ordre de grandeur de la déformation de surface. Ces défauts entrainent une nette perte d’efficacité pour la validation des données. 5.2 Jason-1 et Envisat La seconde méthode de validation des données provient des satellites. Il existe plusieurs missions d’observation spatiale de l’océan. La première a été lancée sous le nom de GEOS en 1975. Ce n’est cependant que depuis les missions Topex/Poséidon que la détermination de l’orbite et la précision des mesures permettent la détection du passage d’un tsunami en océan profond. Malheureusement, le transfert et le traitement des données est nettement plus long et compliqué, et la probabilité d’observation d’un tel évènement assez aléatoire. Cette méthode d’obtention des données ne permet qu’une validation d’un modèle, et pas une prévention active. Également en libre accès sur internet, les données provenant de Jason-1 et d’Envisat seront utilisées. Disponibles sur le site du RADS (Radar Altimeter Database System), les mesures sont découpées en cycle et en passage. Deux révolutions successives ne couvrant pas la même zone géographique, une centaine de passages sont nécessaires pour que le satellite couvre à nouveau une même zone, et effectue donc un cycle complet. Le passage 147 du cycle 338 de Jason-1, et le passage 419 du cycle 100 d’Envisat couvrant le tsunami ont été choisis (fig. 19). 36
  37. 37. Figure 18 – Carte mondiale reprenant les divers dispositifs de mesure de pression de l’ocean. La flèche indique la sonde utilisée pour la confirmation du modèle [32]. Contrairement aux bouées, les données provenant des satellites ont déjà été traitées avant publication sur internet. Ce pré-traitement inclu les corrections de l’orbite, les corrections ins- trumentales, et les corrections de marées. Enfin, l’avantage final de cette méthode de validation est la vitesse de déplacement du satellite. Ceci lui permet de couvrir une zone spécifique de quelques degrés en un laps de temps assez court que pour le considérer comme une mesure quasi-instantanée. 37
  38. 38. Figure 19 – Déviation verticale par rapport à la surface de référence, et zone couverte par l’altimètre, lors du passage 147 du cycle 100 d’Envisat. Les axes sont en degrés de latitude et de longitude, et la trace en mètres de déviation par rapport à la surface moyenne de référence [33] 6 Simulation du tsunami Dans cette section, nous verrons quelle a été la démarche suivie pour l’amélioration des para- mètres de la simulation. Nous mettrons ensuite en application les deux méthodes de validation des données. 6.1 Simulations Dans un premier temps, des simulations rapides ont étés effectuées avec les paramètres de la table 2. Bien que grossières, ces premières simulations avaient pour but de vérifier la stabilité de ROMS, le choix des conditions initiales et l’impact des paramètres de simulation. C’est également lors de cette étape que la limite de résolution de la grille a été établie, en fonction du temps nécéssaire à l’ordinateur pour accomplir le calcul. La figure 20 compare les données mesurées par le satellite Jason-1 (rouge) avec la simulation d’un gaussienne simple d’amplitude maximale de 10 mètres (bleue). Nous voyons clairement que les deux courbes ne correspondent pas du tout. La simulation avec une gaussienne simple comme condition initiale reproduit mal les observations satellitaires. Cette condition initiale a donc été rejetée pour la suite des simulations. Seule la gaussienne anti-symétrique a été retenue et utilisée pour la suite des simulations. 38
  39. 39. Figure 20 – Comparaison des données mesurées par Jason-1 en rouge et de la gaussienne simple en bleu (amplitude de 10m). L’axe x est la latitude en degrés. L’axe y est la déformation de la surface en mètres. 39
  40. 40. L’autre point vérifié par les simulations grossières est l’importance de la résolution de la grille. Pour cela, comparons les simulations d’une gaussienne anti-symétrique d’amplitude maximale de 10 mètres, avec une résolution de 1 2 degré et de 1 6 degré (fig. 21). Même si la simulation à faible résolution reproduit un maximum et un minimum, nous voyons clairement une meilleure corélation entre les données et la simulation à meilleure résolution. L’importance et la nécéssité d’une résolution aussi bonne que possible sont bien mis en valeur. Toutes les simulations suivantes sont effectuées avec une résolution de 1 6 degré. Figure 21 – Comparaison des données mesurées par Jason-1 en rouge, et des deux simulations avec la condition initiale d’une gaussienne anti-symétrique avec une résolution de 1 2 degré en vert et de 1 6 degré en bleu. L’axe x est la latitude en degrés. L’axe y est la déformation de la surface en mètres. 6.2 Validation des données : bouée Sur la figure 22, la comparaison des données mesurées et simulées est impossible. En agrandis- sant le début de la série temporelle, nous pouvons mieux observer le passage de l’onde principale (fig. 23). Nous pouvons constater que la forme générale du début de la déformation est assez bien représentée par les simulations. De plus, la courbe verte (gaussienne anti-symétrique de 20 mètres) obtient bien le même ordre de grandeur. La correspondance des données après le pas- sage du front principal du tsunami est nettement moins bonne. Cette partie dépend beaucoup plus de la forme exacte de la condition initiale, et en partie déjà des réflexions sur les côtes et dans l’océan. Vu les hypothèses simplificatrices que nous avons effectuées précédement, il n’y a aucun intérêt de s’intéresser à cette partie de la courbe. De plus, la présence d’un cycle de marée semi-diurne non-inclu dans le modèle perturbe également les données mesurées. Il est également intéressant de comparer les temps de passage de l’onde principale entre les bouées et les simulations. Sur la figure 23, l’écart entre le maximum de la bouée et le maximum des simulation est de deux minutes. Les simulations sont donc légèrement en retard par rapport 40
  41. 41. Figure 22 – Hauteur de la colonne d’eau mesurée par la bouée en rouge. La condition initiale d’amplitude de 20 mètres est en vert, et celle de 10 mètres en bleu. L’axe y représente l’écart en mètres. L’axe x est le temps universel en heures, le 11 mars 2011, le tremblement de terre ayant eu lieu à 05h46 TU. 41
  42. 42. à l’onde principale. Cependant, comme les résultats du modèle sont enregistrés toutes les trois minutes, cet écart est plus petit que la précision temporelle de notre simulation. De plus, l’écart est suffisamment petit que pour être dû à un léger décalage des conditions initiales. Nous ne pouvons donc pas considérer cette différence comme significative. Figure 23 – Agrandissement de la première partie des données de la figure 22. Hauteur de la colonne d’eau mesurée par la bouée en rouge. La condition initiale d’amplitude de 20 mètres est en vert, et celle de 10 mètres en bleu. L’axe y est en mètres. L’axe x en heures en temps universel, le 11 mars 2011. 6.3 Validation des données : satellites Nous pouvons comparer les mesures du satellite Jason-1 par rapport aux simulations sur la figure 25. Il est clair que les courbes ne concordent pas du tout. Sur la figure 24, nous avons à gauche la trace du satellite sur la carte de la simulation, à l’heure réelle de son passage, 7h30 après le tremblement de terre. Sur la droite, nous avons la même trace, mais prise cette fois 7h18 après le tremblement de terre simulé. En appliquant ce décalage de 12 minutes nous pouvons bien mieux faire correspondre les maxima et minima de la courbe mesurée (prise 7h30 après le tremblement de terre) et les courbes simulées (prises 7h18 après le tremblement de terre) de la figure 26. Nous pouvons estimer l’erreur de calcul sur la vitesse de propagation à 2.66%. Nous pouvons également constater que la forme générale de l’onde correspond relativement bien. Les deux premiers minima et maxima sont cohérents, et les ordres de grandeurs se rap- 42
  43. 43. Figure 24 – Trace de la mesure du tsunami par Jason-1. Les axes sont la latitude et la longitude en degré. La déformation de la surface est en mètres. À gauche, nous avons la simulation 7h30 après le tremblement de terre. À droite, 7h18 sont passées depuis la secousse. Figure 25 – Comparaison des données mesurées par Jason-1 en rouge, et des deux simulations en vert (amplitude de 20m) et en bleu (amplitude de 10m). L’axe x est la latitude en degrés. L’axe y est la déformation de la surface en mètres. 43
  44. 44. prochent le plus de la condition initiale avec une amplitude de 10 mètres (en bleu sur la figure 26). Figure 26 – Comparaison des données mesurées par Jason-1 en rouge, et des deux simulations en vert (amplitude de 20m) et en bleu (amplitude de 10m). Le temps de passage est corrigé de 12 minutes. L’axe x est la latitude en degrés. L’axe y est la déformation de la surface en mètres. Le même procédé a été appliqué aux données mesurées par Envisat. La zone couverte par le satellite est visible sur la figure 27, et la trace est effectuée 5h23 après le tremblement de terre. Un décalage de 15 minutes a été constaté entre les mesures et les simulations, donc une erreur sur la vitesse de propagation de 4.8%. Cette correction a été apportée aux données pour faire correspondre le premier maximum et le premier minimum sur la figure 28. Il est intéressant de noter que le décalage temporel entre les simulations et les mesures est plus grand que dans le cas de Jason-1, alors que le temps écoulé depuis le tremblement de terre n’est que de 5h08, contre 7h18 pour Jason-1. Cependant, même synchronisées avec les mesures, les simulations sont trop petites d’un facteur compris entre 5 (pour l’amplitude de 20m) et 10 (pour l’amplitude de 10m). Il ressort clairement de cette validation que le temps de parcours du tsunami est assez bien modélisé et simulé. Un décalage temporel a été constaté comme pour les simulations d’autres études. Malheureusement, l’ordre de grandeur de la déformation n’est que partiellement repro- duit. Ceci peut être dû à un ou plusieurs paramètres : erreur sur la condition initiale, erreur sur la bathymétrie réduite, ou manque de résolution spatiale ou temporelle. Notons également que le comportement de la gaussienne anti-symétrique d’amplitude de 10 mètres est identique à 44
  45. 45. Figure 27 – Trace de la mesure du tsunami pas Envisat. Les axes sont la latitude et la longitude en degré. La déformation de la surface est en mètres. À gauche, nous avons la trace sur la simulation 5h23 après le tremblement de terre. À droite, 5h08 sont passées depuis le début de la simulation. Figure 28 – Comparaison des données mesurées par Envisat en rouge, et des deux simulations en vert (amplitude de 20m) et en bleu (amplitude de 10m). Le temps de passage est corrigé de 15 minutes. L’axe x est la latitude en degrés. L’axe y est la déformation de la surface en mètres. 45
  46. 46. celle de 20 mètres. Seul le facteur de proportionalité les différencie au niveau de la déformation de la surface. Il n’y a aucun impact sur la forme générale et le temps de parcours du tsunami simulé. Nous pouvons constater que la propagation du tsunami est parfaitement linéaire dans notre modèle numérique. 6.4 Cartes globales et animation Un excellent moyen de visualiser globalement le comportement du tsunami et son impact sur différentes régions côtières est de dresser une carte globale du Pacifique. Deux cartes spécifiques sont intéressantes. La première utilise l’instant d’arrivée de l’onde initiale pour établir le temps de parcours du tsunami pour chaque région (fig. 29). La seconde donne la hauteur maximale atteinte par la surface de l’océan suite au passage de l’onde principale du tsunami, ou de ses réflexions sur les côtes (fig. 30). Il est évident qu’il n’existe aucune carte globale reprenant les données réelles. Nous ne pouvons donc comparer ces cartes qu’avec d’autres simulations [22]. En comparant donc les figures 29 et 31, les temps de parcours globlaux sont similaires. Nous pouvons également constater que l’hypothèse sur les frontières ouvertes vers l’extérieur mais fermées vers l’intérieur, que nous avons formulée pour notre simulation, est partagée par d’autres études. En effet, la simulation sur la figure 31, effectuée par la National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA), s’arrête clairement au Sud de la pointe du Chili. De plus, les îles d’Indonésie font office de barrière naturelle pour le tsunami. Enfin, la compilation des données simulées a permis de produire une animation montrant la propagation du tsunami dans l’océan Pacifique. Cette vidéo est disponible sur internet sur le site youtube via le lien suivant : http://tinyurl.com/bnmqzhk. 6.5 Simulation inverse Dans le cadre de la prévention des tsunamis, de nombreux détecteurs et bouées océaniques permettent de couvrir l’océan. Des détecteurs sismiques suivent également l’évolution des plaques tectoniques, et scruttent le moindre signe de tremblement de terre. Nous avons vu avec nos si- mulations que la reconstruction de l’onde principale du tsunami est une tâche particulièrement compliquée. Le nombre de paramètres influançant les conditions initiales, et la difficulté de les obtenir et de les déterminer, pose un réel problème. Heureusement, la prévention lors d’un évène- ment tsunamigène peut être effectuée en exploitant une propriété particulière des ondes à l’origine des tsunamis. En effet, la vitesse et le sens de propagation de ces ondes sont indépendants de la direction de propagation. Ceci signifique qu’un tsunami se propageant dans une direction et un sens précis aura le même temps de parcours qu’un tsunami se propageant dans la même direction, mais en sens opposé. Pour une zone précise, comme la centrale nucléaire de Fukushima, nous pouvons simuler un tsunami généré sur la côte adjacente. Nous pouvons alors dresser une carte donnant le temps de parcours de ce tsunami vers un point quelconque dans l’océan. Ensuite, par inversion de pensée, il suffit d’interprêter cette carte comme le temps de parcours d’un tsunami généré à n’importe quel endroit de l’océan jusqu’à la centrale nucléaire. Il n’y a pas besoin de tenir compte de l’amplitude du tsunami, car seule l’ordre de grandeur du temps de parcours est recherché ici. Cette méthode de travail nous permet d’obtenir une carte de proximité en une seule 46
  47. 47. Figure 29 – Carte globale du Pacifique, reprenant le temps de parcours simulé du tsunami. Les axes sont en degrés de latitude et longitude. L’échelle de couleur est en heure, et représente le temps écoulé entre le tremblement de terre et l’arrivée de l’onde principale. simulation à partir de la centrale vers l’océan, plutôt que de devoir effectuer une simulation pour chaque point de grille de l’océan vers la centrale. La figure 32 reprend la condition initiale d’un tsunami généré à proximité de la centrale nucléaire de Fukushima. Cette simulation, effectuée avec les mêmes paramètres que les simulations fines précédentes, permet de dresser une carte reprenant le temps de parcours recherché (fig. 33). 47
  48. 48. Figure 30 – Carte globale du Pacifique, reprenant la hauteur maximale atteinte lors de la déformation de la surface de l’océan suite au tsunami. Les axes sont en degrés de latitude et longitude. L’échelle de couleur est en mètres. 48
  49. 49. Figure 31 – Carte globale du Pacifique, reprenant la hauteur maximale atteinte lors de la déformation de la surface de l’océan suite au tsunami. Les lignes de contour représentent le temps de parcours de l’onde principale [34]. 49
  50. 50. Figure 32 – Condition initiale d’une simulation centrée sur la centrale nucléaire de Fukushima. Une simple gaussienne symétrique d’amplitude maximale de 10 mètres. Les axes sont en degrés de latitude et longitude. L’échelle de couleur représente la déformation verticale de la surface, en mètres. 50
  51. 51. Figure 33 – Temps de parcours d’un tsunami centré sur la centrale nucléaire de Fukushima, ou de la zone générant un tsunami jusqu’à la centrale de Fukushima. Les axes sont en degrés de latitude et longitude. L’échelle de couleur est en heures. 51
  52. 52. 7 Conclusion Les simulations effectuées dans le cadre de ce mémoire nous permettent de tirer plusieurs conclusions. En effet, la détermination des paramètres de simulation a montré l’importance de la résolution de la grille. Une résolution trop fine n’a pas permis une reproduction fidèle des observations. Le choix des conditions initiales s’est également révélé important. La gaussienne simple ne correspondait pas du tout à la forme générale de l’onde principale du tsunami. Elle a donc directement été exclue des simulations. Au contraire, la gaussienne anti-symétrique s’est révélée bien plus adaptée, le premier maximum et le premier minimum étant assez bien corrélés avec les données mesurées. Cependant, les résultats de la validation de l’ordre de grandeur de la déformation sont variés. La gaussienne anti-symétrique de 20 mètres satisfait le plus à la validation par la bouée. Celle de 10 mètre correspond le plus aux données de Jason-1. Enfin, ces deux conditions initiales sous-estiment largement le tsunami par rapport aux données d’Envisat. Nous pouvons conclure que ces conditions initiales ont permis une reproduction de la forme générale du tsunami, et une reproduction partielle de l’ordre de grandeur. Les différences peuvent être dues à un ou plusieurs paramètres : un manque de résolution ou de précision temporelle, un manque d’informations précises sur les conditions initiales exacte de la déformation due au tremblement de terre, au lissage de la bathymétrie, ou à des erreurs de modélisation numérique. Par contre, le temps de parcours du tsunami semble très bien correspondre. L’écart constaté entre les simulations et les données utilisées est de moins de 5%. Plusieurs causes peuvent être à l’origine de ce décalage. Les conditions initiales pourraient par exemple être ne pas être com- plêtement centrées sur l’épicentre du tremblement de terre. Ensuite, le lissage de la bathymétrie lors de la préparation de la simulation peut changer le temps de parcours simulé par rapport au temps de parcours réel. La résolution finie de la grille peut également causer des erreurs sur le calcul de la vitesse de propagation. Enfin, une simulation réalisée sur le tsunami de l’océan Indien de 2004 a conclu que les ondes de gravité se déplacent plus lentement que prévu par les équations sur les crêtes océaniques si leur énergie est plus élevée [12]. Nous ne pouvons que constater que le temps de parcours de la gaussienne anti-symétrique d’amplitude de 10 mètres est identique à celui de 20 mètres, ce qui confirme l’importance numérique de la forme de la condition initiale, mais pas de son amplitude. Finalement, l’écart de temps de parcours restant assez petit, nous pouvons valider la carte de proximité de la centrale nucléaire. L’utilisation de telles cartes dans la prévention des tsunamis est un atout indispensable. Cela permet l’établissement des zones dangereuses, car proche des failles tectoniques, et donc des futurs tremblement de terre. 8 Remerciement Je tiens particulièrement à remercier mon promoteur, Alexander Barth, pour sa patience et toute l’aide qu’il m’a apportée pour ce travail. Je tiens également à remercier mes professeurs, 52
  53. 53. pour leurs réponses à mes nombreuses questions. Enfin, je voudrais remercier mes collègues, ainsi que mes lecteurs et correcteurs pour le temps qu’ils m’ont accordés. 53
  54. 54. Références [1] Ammon, C.J., Lay, T., Kanamori, H. and Cleveland, M. 2011, A rupture model of the 2011 off the Pacific coast of Tohoku Earthquake, Earth Planets Space, 63, 693-696 [2] Barth, A., 2011, Structure and application of numerical ocean models, Ocea0036-1, Univer- sité de Liège [3] Beckers, J-M. and Cushman-Roisin, B., 2011, Introduction to Geophysical Fluid Dynamics. Academic Press [4] Beckers, J-M., 2011, Océanographie Dynamique, Ocea0047, Université de Liège [5] Behrens, E., Scharzkopf, F.U., Lübbecke J.F., Böning, C.W., 2012 : Model simulations on the long-term dispersal of 137Cs released into the Pacific Ocean off Fukushima, Environ- mental Research Letters, 7 [6] Fujii, Y., Satake, K., Sakai, S., Shinohara, M. and Kanazawa, T., 2011, Tsunami source of the 2011 off Pacific coast of Tohoku, Japan earthquake, Earth Planets Space, 63, 815-820 [7] Gourgue, O., 2011, Towards a finie-element environmental model of the Scheldt Estuary, thesis, UCL [8] Haidvogel, D.B., Arangoa, H., Budgellb, W.P., Cornuellec, B.D., Curchitsera ,E., Di Lo- renzod , E., Fennele, K., Geyerf, W.R., Hermanng, A.J., Lanerolleh, L., Levina, J., Mc- Williamsi, J.C., Millerc, A.J., Moorej, A.M., Powellk, T.M., Shchepetkini, A.F., Sherwoodl, C.R., Signelll, R.P., Warnerl, J.C., Wilkina, J., 2008, Ocean forecasting in terrain-following coordinates : Formulation and skill assessment of the Regional Ocean Modeling System, Journal of Computational Physics 227, 3595-3624 [9] Hedström, K.S., 2012, DRAFT Technical Manual for a Coupled Sea-Ice/Ocean Circulation Model (Version 4), OCS Study BOEM 2012-0xx [10] Kajiura, K., 1970, Tsunami Source, Energy and the Directivity of Ware Radiation, Bulletin of the earthquake research institute, 48, 835-869 [11] Koketsua, K., Yokotaa, Y., Nishimurab, N., Yagib, Y., Miyazakic, S., Satakea, K., Fujiid, Y., Miyakea, H., Sakaia, S., Yamanakae, Y., Okadaf, T., 2011, A unified source model for the 2011 Tohoku earthquake, Earth and Planetary Science Letters 310, 480-487 [12] Kowalik, Z., Knight, W., Logan, T. and Whitmore, P., 2006, The Tsunami of 26 December, 2004 : Numerical Modeling and Energy Considerations, Pure appl. geophys. 164, 1-15 [13] Mikami, T., Shibayama, T. and Esteban, M. ,2012, Field surbey of the 2011 Tohoku ear- thquake and tsunami in Miyagi and Fukushima prefectures, Coastal Engineering Journal, 54, 1 [14] Mimura, N., Yasuhara, K., Kawagoe, S., Yokoki, H. and Kazama, S., 2011, Damage from the Great East Japan Earthquake and Tsunami - A quick report, Mitig Adapt Strateg Glob Change, 16, 803-818 [15] Mitsui, Y and Iio, Y., 2011, How did the 2011 off the Pacific coast of Tohoku Earthquake start and grow ? The role of a conditionally stable area, Earth Planets Space, 63, 755-759 54
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