Angulos y sus medidas

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Ángulos y sus medidas
Trigonometría
1

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Objetivos
2
Identificar ángulos en posición estándar y cuadrantales.
Dibujar ángulos mediados en grados y radianes.
Aplicar la fórmula del largo del arco en una circunferencia.
Aplicar la fórmula para el área de un sector circular.
Aplicar la relación entre grados y radianes.
Hallar ángulos coterminales de un ángulo particular.
Hallar ángulos de referencia de un ángulo particular.

Ángulo
Es la abertura formada por dos rayos que tienen un
extremo común llamado vértice.
3
vértice
Uno de los rayos es el lado
inicial que permanece fijo y el otro es el lado terminal del
ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira
alrededor del vértice en un plano hasta que alcanza su posición
terminal. Generalmente se utilizan letras griegas para nombrar
los ángulos.
Medida del ángulo convexoMedida del ángulo cóncavo
Elementos de un ángulo

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está
en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen
y su lado inicial a lo largo del eje positivo de .
Ángulos en posición estándar
4
Una rotación
en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un
ángulo positivo (Figura 1)
Figura 1
x
y
θ
Lado terminal
Lado inicial
positivoánguloθ
x
y
y una rotación en el sentido de las
manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2).
Figura 2
θ
Lado terminal
Lado inicial
negativoánguloθ
Ambos ángulos están en posición normal o estándar

Medición de ángulos
5
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360
grados (3600).
Medición en radianes
Medición en grados
Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa
tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados. Los
grados se subdividen en minutos y los minutos en segundos, de tal
modo que un grado tiene sesenta minutos y un minuto sesenta
segundos. Los símbolos utilizados para representar los grados, los minutos y
los segundos son, respectivamente: °, ', ''.
La medida en radianes es un escalar (número sin unidades), en otras
palabras un valor constante. Una rotación completa tiene una medida de 2
radianes.
Un radián es el tamaño del ángulo central de un
círculo que interseca un arco de la misma longitud que el
radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas
en las mismas unidades. Además, se usa de dos maneras:
para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.
r
θ s

Un ángulo cuadrantal es un ángulo en posición
estándar cuyo lado terminal yace sobre un eje
coordenado.
Ángulos cuadrantales
6
Nota:
Los ángulos que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales
(ángulos en posición estándar que su lado terminal yace sobre los ejes ó ).
x
y
Lado inicial
Lado terminal
θ
ángulo cuadrantal
x
y
ángulo cuadrantal
θ
Lado terminal Lado inicial

Dibujar Ángulos
7
Ejemplo:
Determine el cuadrante en el plano cartesiano que ubica el ángulo .
Solución:
Divida el primer y segundo cuadrante en
partes iguales que indique el denominador
del ángulo a dibujar
( )
.
x
y
Extienda las líneas divisorias a los otros
dos cuadrantes de forma tal que tengamos
en partes divididos todos los cuadrantes
o sea la revolución completa.
Comenzando desde el eje positivo de ,
recorra en contra de las manecillas del reloj
seleccionando las partes de . Esta es la
ubicación del ángulo, cuadrante cuatro.
Nota:
El denominador es un número impar.

Dibujar Ángulos
8
Ejemplo:
¿En qué cuadrante del plano rectangular se ubica el ángulo ?
Solución:
Divida el primer y segundo cuadrante en
partes iguales que indique el denominador
del ángulo a dibujar
( )
.
x
y
Extienda las líneas divisorias a los otros
dos cuadrantes de forma tal que tengamos
en partes divididos todos los cuadrantes
o sea la revolución completa.
Comenzando desde el eje positivo de ,
recorra en favor de las manecillas del reloj
seleccionando las partes de . Esta es la
ubicación del ángulo, cuadrante tercero.
Nota:
El denominador es un número par.

Práctica
9
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Hacer los ejercicios de la página 1

Práctica:
Dibuje los siguientes ángulos medidos en radianes.
Dibujar Ángulos
a) b)
c) d)
a) θ =
b) =
c) =
d) =
x
y
10
x
y
x
y
x
y
Recuerde :
El denominador indica en cuantos
pedazos se divide cada . Cuando el
denominador es impar el eje de no
coincide con las divisiones.

Dibujar Ángulos
11
Ejemplo:
¿En qué cuadrante del plano rectangular se ubica el ángulo 610°?
Solución:
Nota:
Una revolución completa mide 360°.
Comenzamos determinando la cantidad
de revoluciones completas que hace el
ángulo. El ángulo 610° hace una revolución
completa y 250° adicionales.
Dibujar desde el eje positivo de las
revoluciones en la dirección correspondiente
(a favor o en contra del movimiento de las
manecillas del reloj).
x
y
Luego se ubica el ángulo en el lugar
correspondiente.
°
El ángulo esta ubicado en
el tercer cuadrante.

Práctica
12

Práctica:
Dibuje los siguientes ángulos medidos en grados.
Dibujar Ángulos
a) b)
c) d)
a) θ = 210°
b) = −540°
c) = 1090°
d) = −300°
x
y
13
x
y
x
y
x
y
Recuerde:
Una revolución completa mide 360°
y media revolución mide 180°.

Nota:
Una revolución completa es igual a & radianes
r
θ
s
Ángulo central
Si el vértice de un ángulo está en el centro
de una circunferencia de radio ( > 0, y la
longitud del arco opuesto a + en la
circunferencia es s, entonces + medido en
radianes está dado por: + = ,
-
./01/234
Área de un sector circular
Si + es la medida en radianes de un ángulo
central de una circunferencia de radio (, y si 5
es el área de un sector circular determinado
por +, entonces: 5 = 6
7
879. r
θ
s
Área
sector
Largo del Arco y Área del Sector
14

Ejemplo:
En la figura tenemos un ángulo central +
opuesto a un arco de 24 cm en una circunferencia
de radio igual a 6 cm.
1. Calcular el ángulo + en radianes
2. Hallar el área del sector determinado por +
Inicialmente se escribe la fórmula del ángulo
central, luego se sustituye el valor del largo del
arco y del radio. Después se simplifica la expresión
que resulta.
Al buscar el área del sector determinado por el
ángulo central se escribe la fórmula y se
sustituyen las cantidades conocidas. Luego se
efectúan las operaciones y se simplifica la
expresión que resulta.
θ
: = 24
Solución:
= ;<
;< = ./01/234+ =
:
(
= 7 = ;<7A =
1
2
( +
15

Práctica
16

Práctica:
Para una circunferencia con un radio de 6 pies.
El arco opuesto al ángulo + mide 14 pies.
Encuentre el ángulo opuesto al arco de la
circunferencia y el área del sector determinado
por +.
θ =?
: = 14
18

Práctica:
Si una circunferencia de radio ( tiene un
arco de 9 pies opuesto al ángulo + = 6 radianes.
Encuentre el área del sector determinado por
+.
θ = 6
: = 9
19

Conversión de Ángulos
La conversión de grados a radianes y de radianes a
grados se basa en que:
180° = radianes
20
x
y
FGH°
&
Para cambiar ángulos de radianes a
grados y de grados a radianes usamos
los siguientes factores:
°
I
o
°
Si el ángulo está en radianes se multiplica
por
°
I
para cambiarlo a grados.
Si el ángulo está en grados se multiplica
por
°
para cambiarlo a radianes.

Ejemplo:
Cambiar el ángulo de grados a radianes
1. 210°
Cambiar el ángulo de radianes a grados
2.
Solución:
210°
1 180°
=
7 ∙ 30°
1 6 ∙ 30°
=
7
6
4
3
180°
=
4 ∙ 60°
1
= 240°
Solución:
4
3
3 ∙ 60°
=
21

Práctica
22

Práctica:
Cambiar los siguientes ángulos de radianes a grados.
a)
b)
c)
d)
23
Recuerde :
La relación de grados y
radianes es 180° = .
a) b)
c) d)

Práctica:
Cambiar los siguientes ángulos de grados a radianes.
a) 310°
b) −160°
c) −1220°
d) 1080°
24
Recuerde :
La relación de grados y
radianes es 180° = .
a) b)
c) d)

Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados
iníciales y terminales, estos ángulos se llaman ángulos
coterminales.
Ángulos coterminales
25
x
y
+ x
y
+
Para encontrar ángulos coterminales se utiliza la siguiente fórmula:
esrevoluciondenúmeroeleskdonde;
radianesenángulospara,2
gradosenángulospara,360
coterminal



±
°±
=
k
k
πθ
θ
θ

27
θ;MN = + ± 2 P = −
5
6
± 2 1 = Q
−
5
6
+ 2
−
5
6
− 2
=
Solución:
Ejemplo:
Hallar dos ángulos coterminales con −
7
6
−
17
6
x
y
−
Luego
sustituye el ángulo + ( − ) y selecciona cualquier cantidad de k
revoluciones.
Escribe la fórmula de calcular ángulos coterminales en radianes.
Si los ángulos coterminales deben ser positivos se utilizan
cantidades de revoluciones k que permitan obtener resultados
positivos. Si los ángulos coterminales deben ser negativos se utilizan
cantidades de revoluciones k que permitan obtener resultados
negativos. Generalmente se busca un ángulo coterminal positivo y otro
negativo.

28
θ;MN = + ± 360°P = −170° ± 360° 1 =S−170° + 360° = 190°
Ejemplo:
Hallar dos ángulos coterminales positivos con −170°
Solución:
θ;MN = + ± 360°P = −170° ± 360° 2 =S−170° + 720° = 550°
x
y
−170°
190°
Nota:
K es cualquier cantidad de revoluciones. La cantidad de revoluciones
más utilizada es una o dos. La cantidad de revoluciones depende del valor
del ángulo conocido y los ángulos coterminales a buscar (un ángulo positivo
y otro negativo, dos ángulos negativos o dos ángulos positivos).

Práctica
29

30
Práctica:
Hallar dos ángulos coterminales con 170°
Hallar dos ángulos coterminales con

31
Práctica:
Hallar dos ángulos coterminales positivos con −240°
Hallar dos ángulos coterminales positivos con

Un ángulo de referencia es la medida del ángulo que
se forma entre el lado más cercano del eje horizontal y
el lado terminal de un ángulo en posición estándar.
Ángulos de referencia
32
En el cuadrante I
+8 = +
En el cuadrante II
+8 = 180° − +
En el cuadrante III
+8 = + − 180°
En el cuadrante IV
+8 = 360° − +
Nota:
Los ángulos de referencias siempre son positivos porque representan una
medida. El ángulo de referencia siempre está entre 0° o 0 y 90° o T
7
.
+
+
x
y
+8
+
x
y
+8
x
y
+8
+
x
y
+8

33
Ejemplo:
Encuentre el ángulo de referencia para
3
5
2
π
πθ −=r
3
π
θ =r
3
5
)
π
θ =a
6
17
)
π
θ =b
El ángulo de referencia es el ángulo
agudo formado por el lado terminal de
UT
V
que esta en el cuadrante IV y la
parte positiva del eje de .
W-X
6
5π
πθ −=r
6
π
θ =r
Los ángulos y UT
Y
son
coterminales [porque – ( ) = UT
Y
].
Por lo tanto, el ángulo de referencia
es el ángulo agudo formado por lado
terminal de UT
Y
que esta en el
cuadrante II y la parte negativa del
eje de .
W-X
x
y
x
y
5
6

34
°−°= 180225rθ
°= 45rθ
°= 225) θa
°= 870)θb
agudo formado por el lado terminal de
225° que esta en el cuadrante III y la
parte negativa del eje de .
Los ángulos 870° y 150° son
coterminales [ 870°– 2(360°) = 150° ].
Por lo tanto, el ángulo de referencia
es el ángulo agudo formado por el lado
terminal de 150° que esta en el
cuadrante II y la parte negativa del
eje de .
Ejemplo:
Encuentre el ángulo de referencia para
°−°= 150180rθ
°= 30rθ
θ8 = 30°
+8 = 45°
x
y
225°
x
y
870o
150o

Práctica
35

Práctica:
Dibuje los siguientes ángulos medidos en radianes.
Ángulos de Referencia
b)
c) d)
a) θ =
b) =
c) = 300°
d) = −410°
36
Recuerde :
formado por el lado terminal de un ángulo
y la parte más cercana del eje horizontal.
x
y
x
y
x
y
x
y
a)

Mapa Ángulos y sus Medidas
38
Radianes
Relación
Medidas
Medidas Ángulos
Ángulo
Çentral
Largo Arco
Ángulo
Posición
Estándar
Ángulo
Cuadrantal
Dibujar
Ángulo
Ángulo
Coterminal
Ángulo
Referencia
Área
Sector
Circular
Grados

Ángulo Central
5
+
Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en
el centro de un círculo y cuyos lados pasan por un par
de puntos en el círculo.
Todo ángulo central corta
a la circunferencia en dos
puntos que determinan un
arco comprendido.

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