Funciones racionales

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Funciones
Polinómicas y
Racionales
Funciones Racionales
1

Objetivos
2

 Reconocer una función racional.
 .
Objetivos
2

 Hallar el dominio de una función racional.
 .
Objetivos
2

 Buscar los huecos de una función racional.
 .
Objetivos
2

 Identificar las asíntotas de una función racional.
 .
Objetivos
2

 Asíntotas Verticales
 .
Objetivos
2

 Asíntotas Horizontales
 .
Objetivos
2

 Asíntotas Oblicuas
 .
Objetivos
2

 Otras Asíntotas
 .
Objetivos
2

 Describir las características de una función racional.
 .
Objetivos
2

 Describir las características de una función racional.
 Dibujar la gráfica de una función racional.
Objetivos
2

Función Racional
3

Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto
en su numerador como su denominador. La estructura
algebraica para representar este tipo de funciones es :
Función Racional
3

𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0
Función Racional
3

𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0
grado n
grado m
Función Racional
3

El grado del numerador es 𝒏 y el grado de denominador es
𝒎. Por tener variables en su denominador el dominio de la
función tiene que excluir los valores que la hacen indefinida.
𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0
grado n
grado m
Función Racional
3

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Dominio de la Función Racional

El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la
variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la
variable independiente que tienen imagen.
4

El dominio de una función racional es el conjunto de todos
los números reales excepto los elementos que hacen cero el
denominador.
4

denominador.
Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 =
𝑥−3
𝑥+1 𝑥−2
el dominio
es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y
____.
4

denominador.
𝑥−3
𝑥+1 𝑥−2
el dominio
____.
−1
2
4

denominador.
𝑥−3
𝑥+1 𝑥−2
el dominio
____.
−1
2
Dominio de 𝑓(𝑥): −∞, −1 ∪ −1, 2 ∪ 2, ∞
4

Función Racional
7

Función Racional
7
La función racional más simple es 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
, su gráfica la
conocemos

𝑦
𝑥
Función Racional
7
1
𝑥
, su gráfica la
conocemos

𝑦
𝑥
Los extremos de su gráfica tienden a
pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le
llamamos comportamiento asintótico, esto se
debe a los valores excluidos en el dominio,
ℝ − 0 y el alcance, ℝ − 0 .
Función Racional
7
1
𝑥
, su gráfica la
conocemos

1
𝑥
, su gráfica la
conocemos
𝑦
𝑥
Los extremos de su gráfica tienden a
pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le
llamamos comportamiento asintótico, esto se
debe a los valores excluidos en el dominio,
ℝ − 0 y el alcance, ℝ − 0 .
Nota:
Las asíntotas se pintan
entrecortadas para diferenciarlas
de la curva que forma la gráfica
de la función.
Al calcular a que valor se acerca la variable
𝑦 en la medida que 𝑥 es cada vez más grande
obtenemos 0, lo cual llamamos el limite de
𝑓(𝑥) en los infinitos. Así también el valor de 𝑦
cuando 𝑥 es cada vez más pequeña provoca un
número cada vez más grande (tiende a
infinito) lo que llamamos el límite de 𝑓(𝑥)
cuando 𝑥 se acerca a cero.
Función Racional
7

Asíntotas Función Racional
8

8
Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la
función se va aproximando indefinidamente, cuando por
lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito.

Si, 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0
tenemos que sus asíntotas
pueden ser…
8

Si, 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0
pueden ser…
I. Asíntotas Verticales
8
𝑥
𝑦

Si, 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0
pueden ser…
8
𝑥
𝑦
II. Asíntotas Horizontales

Si, 𝑓 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0
pueden ser…
8
𝑥
𝑦
II. Asíntotas Horizontales
III.Asíntotas Oblicuas u Otras

Asíntotas Verticales
(la gráfica nunca las toca o interseca)

Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a
positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es
una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).

𝑥
𝑦
La función 𝑅(𝑥) tiende a (+)
infinito según 𝑥 se acerca a
un número ℎ por la izquierda
o la derecha.

𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
o la derecha.

𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
𝑥
𝑦
o la derecha.
La función 𝑅(𝑥) tiende a (−)
o la derecha.

𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
o la derecha.
o la derecha.

𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
o la derecha.
o la derecha.
asíntota vertical

𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
𝑥
𝑦
𝑥 = ℎ
o la derecha.
o la derecha.
asíntota vertical
Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el
denominador. Veamos…

Teorema de las Asíntotas Verticales

Una función racional, 𝑅 𝑥 =
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
, en forma simplificada,
tiene una asíntota vertical en 𝑥 = ℎ, si 𝑥 − ℎ es un factor
del denominador 𝑞(𝑥).

Para que 𝑥 = ℎ sea una asíntota vertical 𝑞(ℎ) = 0 pero
𝑝(ℎ) ≠ 0.
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥

Nota:
Si la función racional simplifica, entonces el cero de
este factor es un HUECO en la gráfica de la función.
Para que 𝑥 = ℎ sea una asíntota vertical 𝑞(ℎ) = 0 pero
𝑝(ℎ) ≠ 0.
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥

Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la
siguiente función racional.

𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
11
Ejemplo:

𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16 Inicialmente se factoriza el numerador y
el denominador de la función.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
11
Ejemplo:

𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16 Inicialmente se factoriza el numerador y
Después se simplifica si es posible.𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
11
Ejemplo:

𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
Inicialmente se factoriza el numerador y
Después se simplifica si es posible.
11
Ejemplo:

𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
Luego se iguala a cero el denominador
para obtener las asíntotas verticales. Si la
función simplificó se iguala a cero el factor
simplificado para obtener el valor de 𝑥
donde ocurre el hueco.
11
Ejemplo:

𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
11
Ejemplo:

𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −4
11
Ejemplo:

Ejemplo:
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥2 − 16
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 4
𝑥 + 4 𝑥 − 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥 − 4
∴ la gráfica tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 4 y un hueco en 𝑥 = −4.
𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4
𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −4
11

(la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
Asíntotas Horizontales

Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de
𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la
asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).

𝑥
𝑦 La gráfica se acerca
por arriba o debajo de
la asíntota cuando 𝑥
tiende a (−) infinito.

La gráfica se acerca
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
tiende a (+) infinito.

𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
asíntota horizontal

Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una
asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los
polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente
(numerador y denominador) veamos…
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
asíntota horizontal

Criterios Asíntotas horizontales
13

i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥)
13

ii) Si 𝒏 = 𝒎 entonces, 𝑦 =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
es su asíntota horizontal
13

𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
iii) Si 𝒏 > 𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal
13

𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
iii) Si 𝒏 > 𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal
13
Recordar
𝑅 𝑥 =
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0
En la función 𝑅(𝑥) el grado del numerador es 𝒏 y el grado de
denominador es 𝒎. El coeficiente principal del numerador es 𝑎 𝑛
mientras que el coeficiente principal del denominador es 𝑏 𝑚.

a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
14
Ejemplo:
Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes
funciones racionales.

a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el
grado del numerador (n) y el grado
del denominador (m) de la función.
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
14
Ejemplo:

a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
Después se compara para
identificar el criterio que aplica.
De acuerdo al criterio que aplica
se determina la asíntota horizontal.
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
14
Ejemplo:

a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica
el criterio 𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 = 0
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
14
Ejemplo:

a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
𝑛 = 1 y 𝑚 = 1
14
Ejemplo:

Ejemplo:
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
𝑛 = 1 y 𝑚 = 1
14

Ejemplo:
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
𝑛 = 1 y 𝑚 = 1
Como 𝑛 es igual que 𝑚 aplica el
criterio 𝑖𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
.
Nota:
𝑎 𝑛 es el coeficiente principal del numerador
𝑏 𝑚 es el coeficiente principal del denominador
14

Ejemplo:
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
b) 𝑓 𝑥 =
2𝑥
5𝑥−4
𝑛 = 1 y 𝑚 = 1
Como 𝑛 es igual que 𝑚 aplica el
criterio 𝑖𝑖 , por lo tanto la
asíntota horizontal es 𝑦 =
2
5
.
Nota:
𝑎 𝑛 es el coeficiente principal del numerador
𝑏 𝑚 es el coeficiente principal del denominador
14

Asíntotas Oblicuas y Otras

Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la
función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo
infinito o negativo infinito.

La función 𝑅(𝑥) se acerca
por arriba o debajo de una
recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y
𝑦 tienden a (−) infinito.
𝑥
𝑦

𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑥
𝑦
𝑥
𝑦La función 𝑅(𝑥) se acerca
𝑦 tienden a (+) infinito.

𝑥
𝑦
𝑥
𝑦

𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
asíntota oblicua

𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo
de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los
polinomios del numerador y denominador, veamos…
asíntota oblicua

Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras

a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua
16
(rectas crecientes o decrecientes)

b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática
16
(parábola)

c) Si 𝑛 − 𝑚 = 3 hay Asíntota Cúbica
16
(parábola)
(gráfica cúbica)

d)Si 𝑛 − 𝑚 = 4 hay Asíntota Polinómica y así sucesivamente.
16
(parábola)
(gráfica cúbica)

d)Si 𝑛 − 𝑚 = 4 hay Asíntota Polinómica y así sucesivamente.
Para hallar estas asíntota tenemos que dividir los polinomios como lo
indica la función 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 será la asíntota a ser pintada en la
gráfica. Recuerde que los polinomios se suelen dividir utilizando la
división larga.
16
(parábola)
(gráfica cúbica)

Ejemplo:
Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 =
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.

Inicialmente se construye la casita de división.
17
Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:

Después se coloca el dividendo y el divisor en la
posición correcta. Los términos que faltan en el
dividendo se escriben con coeficientes cero.
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
17
Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:

posición correcta.
Luego se comienza a dividir. Se divide el primer
término del dividendo con el primer término del
divisor.dividido por
Igual a
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
17
Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:

posición correcta.
divisor. Después se multiplica el término del
cociente por todos los términos del divisor.
17
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3
− 6𝑥2 − 8𝑥
multiplicado por
Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:

posición correcta.
cociente por todos los términos del divisor. Como se
resta se busca el opuesto de todos los términos.
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3
− 6𝑥2 − 8𝑥− + +
17
Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:

posición correcta.
resta se busca el opuesto de todos los términos. Se
suma verticalmente
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3− ++
6𝑥2
− 6𝑥2 − 8𝑥
+ 4𝑥
17
Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:

posición correcta.
suma verticalmente y se vuelve a dividir el primer
término de la suma con el primer término del
divisor. Se repite el proceso hasta que no se pueda
continuar dividiendo.
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3− ++
6𝑥2
6𝑥2− ++
22𝑥
+6
− 6𝑥2 − 8𝑥
+ 4𝑥
− 18𝑥 − 24
+ 24
17
Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:

posición correcta.
El cociente de la división es la asíntota oblicua u
otra dependiendo del grado de este.
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3− ++
6𝑥2
6𝑥2− ++
22𝑥
+6
− 6𝑥2 − 8𝑥
+ 4𝑥
− 18𝑥 − 24
+ 24
17
Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
Solución:

Ejemplo:
2𝑥3−4𝑥
𝑥2−3𝑥−4
.
La asíntota es oblicua porque el
grado del cociente es uno, esta es
𝐲 = 𝟐𝒙 + 𝟔.
posición correcta.
El cociente de la división es la asíntota oblicua u
otra dependiendo del grado de este.
Solución:
2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2
− 3𝑥 − 4
2𝑥
2𝑥3− ++
6𝑥2
6𝑥2− ++
22𝑥
+6
− 6𝑥2 − 8𝑥
+ 4𝑥
− 18𝑥 − 24
+ 24
17

18
Ejemplo:
Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 =
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2

18
Factorizar y simplificar si es posible
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2

18
Sus asíntotas son:
Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2

18
Asíntota horizontal:
𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal
Sus asíntotas son:
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2

18
Asíntota Oblicua:
𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo
Sus asíntotas son:
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2

División:
18
𝑦 = 𝑥 + 1, es el cociente
1 − 1 0
1 1 2
2
2 2
Asíntota Oblicua:
Sus asíntotas son:
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2

División:
18
1 − 1 0
2
2
2 2
Asíntota Oblicua:
∴ 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑥 + 1
Sus asíntotas son:
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
Ejemplo:
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
1 1

Ejemplo:
𝑥3−𝑥
𝑥2−𝑥−2
En la gráfica:
-1 2 𝑥
𝑦
1
División:
18
1 − 1 0
2
2
2 2
Asíntota Oblicua:
∴ 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑥 + 1
Sus asíntotas son:
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−2)(𝑥+1)
𝑔 𝑥 =
𝑥(𝑥−1)
(𝑥−2)
1 1

Gráfica Función Racional

Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional
 .
21

 Factorizar numerador y denominador.
 .
21

 Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.
 .
21

 Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.
 .
21

 Haga una prueba de corte
 .
21

 Hallar las intersecciones en ambos ejes.
 .
21

 Estudiar los intervalos dónde 𝑓 𝑥 > 0 y dónde 𝑓 𝑥 < 0.
 .
21

 Estudiar los intervalos dónde 𝑓 𝑥 > 0 y dónde 𝑓 𝑥 < 0.
 Trazado de la gráfica de la función racional.
21

22
Ejemplo:
Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥+1
𝑥−8

Asíntota vertical:
𝑥 = 8, no hay huecos.
22
Ejemplo:
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:

Asíntota vertical:
Asíntota Horizontal:
𝑦 = 3, no hay otras asíntotas.
22
Ejemplo:
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:

Asíntota vertical:
Prueba de corte:
La gráfica no corta la asíntota
horizontal.
22
Ejemplo:
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:

Asíntota vertical:
Prueba de corte:
horizontal.
Intersecciones en los ejes:
−
1
3
, 0 , 0, −
1
8
22
Ejemplo:
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:

Asíntota vertical:
Prueba de corte:
horizontal.
Signos:
𝑓 𝑥 > 0: −∞, −
1
3
∪ 8, ∞
𝑓 𝑥 < 0: −
1
3
, 8
−
1
3
, 0 , 0, −
1
8
22
Ejemplo:
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:

Asíntota vertical:
Prueba de corte:
horizontal.
Signos:
𝑓 𝑥 > 0: −∞, −
1
3
∪ 8, ∞
𝑓 𝑥 < 0: −
1
3
, 8
−
1
3
, 0 , 0, −
1
8
Gráfica:
𝑥
𝑦
22
Ejemplo:
3𝑥+1
𝑥−8
Solución:

Práctica
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de las páginas 3-5
24

Práctica:
¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑓 𝑥 =
3𝑥2−12
𝑥2−5𝑥+6
? Explique.
a)
c) d)
𝑥
𝑦
b)
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
25

26
Práctica:
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)

𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)

Asíntota vertical:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)

Asíntota vertical:
No hay asíntota horizontal
Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)

Prueba de corte:
𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
Asíntota vertical:

0,0 , 1, 0
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
Prueba de corte:
Asíntota vertical:

Signos:
𝑓 𝑥 > 0: −∞, −2 ∪ 1,2
𝑓 𝑥 < 0: −2,0 ∪ 0,1 ∪ 2, ∞
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
26
Solución:
Práctica:
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
0,0 , 1, 0
Prueba de corte:
Asíntota vertical:

Gráfica:
𝑓 𝑥 =
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥2−4)
=
−𝑥2
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥
𝑦
26
Práctica:
−𝑥2(𝑥−1)
(𝑥2−4)
Solución:
Signos:
𝑓 𝑥 > 0: −∞, −2 ∪ 1,2
𝑓 𝑥 < 0: −2,0 ∪ 0,1 ∪ 2, ∞
0,0 , 1, 0
Prueba de corte:
Asíntota vertical:

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