Funciones Trigonométricas

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Funciones Trigonométricas
Trigonometría
1

www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas
Objetivos
2
• Definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.
• Hallar la razones trigonométricas de un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.
• Identificar la circunferencia unitaria y su relación con los números
reales.
• Evaluar las funciones seno, coseno, tangente, cosecante, secante y
cotangente de números reales.
• Definir las funciones trigonométricas de arcos comunes.
• Evaluar expresiones trigonométricas utilizando la circunferencia
unitaria.
• Evaluar expresiones trigonométricas utilizando el ángulo de
referencia.

Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos
maneras distintas pero equivalentes; como funciones de
números reales o como funciones de ángulos.
3
es cualquier número real es cualquier ángulo
θ
1
1

Trigonometría del Triángulo Rectángulo
4
Razones trigonométricas del ángulo
seno
= =
coseno
= =
tangente
= =
cosecante
= =
secante
= =
cotangente
= =
θ
Los triángulos rectángulos son
aquellos que tienen un ángulo de 90°.
El teorema de Pitágoras aplica, la
suma de los cuadrados de los
catetos es igual que el cuadrado de
la hipotenusa.
Cateto
opuesto al
ángulo (b)
Cateto adyacente al ángulo (a)

5
Ejemplo:
Encuentre el valor de cada una de las seis
razones trigonométricas del ángulo en el
triángulo de la derecha.
θ
24

5
Solución:
Ejemplo:
triángulo de la derecha. = 24
θ
= =
24
26
=
12
13
= =
10
26
=
5
13
= =
24
10=
12
5
Nota:
Los valores del numerador y denominador son pares por lo tanto ambos son divisibles por 2.
= =
26
24
=
13
12
= =
26
10
=
13
5
= =
10
24
=
5
12
Identificar la hipotenusa, el lado
opuesto y el lado adyacente al ángulo.
La relación de Pitágoras + =
se utiliza para hallar la medida del lado
desconocido en el triángulo.
Utilizar la definición de las razones
trigonométricas del ángulo para
hallar el valor de estas. Si es posible
simplificar.
= (10) +(24)= +
c = 100 + 576 = 676 = 26

Práctica
6
Buscar el Manual de práctica
Hacer el ejercicio 1 de la página 1

7
θ
Práctica:
triángulo de la derecha.

8
El número real , que es la longitud del arco $% de la circunferencia
unitaria U, es la medida en radianes del ángulo .
Se puede asociar a cada ∈ ', un punto único %( ) de la circunferencia
unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de
las coordenadas , de %( ) .
=
=
=
=
1
=
1
=
+ = 1
$ 1, 0
)
% = ( , )
θ
Si es un numero real y %( , ) es el punto de una circunferencia
unitaria U que corresponde a entonces:
de números reales

Ejemplo:
Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*+
,
, -
,
) es el punto
de una circunferencia unitaria U que corresponde a .
9
de números reales

Nota:
Se aplica la definición de las razones trigonométricas y luego se simplifica si es posible.
Ejemplo:
Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*+
,
, -
,
) es el punto
=
=
=
=
4
5
=
−3
5
=
/
0
12
0
=
4
5
·
−5
3
=
−4
3
=
1
=
1
=
=
1
/
0
=
1
12
0
=
12
0
/
0
=
−3
5
·
5
4
=
−3
4
=
5
4
=
−5
3
9
Solución:
)
= 1
t
(12
0
, /
0
)
de números reales

Práctica
10
Hacer el ejercicio 3 de la página 2

11
Práctica:
Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*4
5
, *4
5
) es el punto
de números reales

Práctica
12
Hacer la actividad de la página 3 y 4

6 = 7:
Busca las seis funciones trigonométricas del arco = 0. El punto
en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como
se muestra en la figura.
13
para arcos comunes
0 =
co 0 =
tan 0 =
csc 0 =
0 =
cot 0 =
% 1, 0
)
0= 1

6 =
=
>
:
Busca las seis funciones trigonométricas del arco =
=
>
. El punto
14
para arcos comunes
=
>
=
co
=
>
=
tan
=
>
=
csc
=
>
=
=
>
=
cot
=
>
=
?
)
%( 2
, @
)

6 =
=
A
:
=
A
. El punto
15
para arcos comunes
?
)
%( , )
=
A
=
co
=
A
=
tan
=
A
=
csc
=
A
=
=
A
=
cot
=
A
== 1 = 1
@
= 1 ∗ = 2
@ = 1 ∗ = 2

6 =
=
C
:
=
C
. El punto
16
para arcos comunes
=
C
=
co
=
C
=
tan
=
C
=
csc
=
C
=
=
C
=
cot
=
C
=
2
@
@
2
=
3
3
2
@
@
2 2
= 1 ∗
@
@ @
= 1 ∗ = 2
= 3
?
)
%(@
, 2
)
D
@
∗
2
=
2 3
3

6 =
=
E
:
=
E
. El punto
17
para arcos comunes
=
E
=
co
=
E
=
tan
=
E
=
%(0, 1)
?
)
csc
=
E
=
=
E
=
cot
=
E
=

18
Valores de las funciones trigonométricas para arcos comunes
t θ (x, y) sen t cos t tan t csc t sec t cot t
0
6
π
4
π
3
π
2
π
para arcos comunes
Llena la tabla utilizando las coordenadas de los arcos comunes, el valor
de las funciones trigonométricas de estos arcos y la conversión de ángulos
medidos en radianes a grados.

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones.
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
Evaluar Funciones Trigonométricas
19

Ejemplo:
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
19
@ @
+
1

Ejemplo:
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
19
@ @
+
1
3 + 2
2
3 + 3
2 3

Ejemplo:
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
19
@ @
+
1
3 + 2
2
3 + 3
2 3
2 + 12
2 + 2
4

Ejemplo:
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
19
@ @
+
1
3 + 2
2
3 + 3
2 3
2 + 12
2 + 2
4
2 + 3
2 + 2
2 3
5

Práctica
20
Hacer los ejercicios de la parte VI en la página 4

Práctica:
1. cos 0 + F
5
2. F
+
− 2 F
+
3. sec F
G
+ 2 F
+
4. F
G
+ 2 F
+
21

Práctica
22
Hacer la actividad de la página 5

Actividad Círculo Unitario
Primer
cuadrante
Segundo
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
?
I
12
I
6
I
4
I
3
5I
12
I
2
7I
122I
3
3I
4
5I
6
11I
12
I 0
13I
12
7I
6
5I
4
4I
3 17I
12
3I
2
19I
12
5I
3
7I
4
11I
6
23I
12
2I
Llena los blancos para completar el círculo unitario. Utiliza las
coordenadas de los arcos comunes para llenar los blancos del primer
cuadrante y los conceptos simetría y ángulo de referencia para llenar los
blancos de los otros cuadrantes.
23
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión cos -F
+
24
Circunferencia Unitaria

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión cos -F
+
24
Solución:
cos -F
+
=
1
2
,
3
2
I
3
4I
3
−1
2
,
− 3
2
Primeramente se localiza el ángulo en el sistema
de coordenadas rectangulares.
El ángulo
/K
2
es un múltiplo de
K
2
por lo tanto las
coordenadas del punto en la circunferencia unitaria
del ángulo
/K
2
se obtienen por simetría con el origen.
Luego se utiliza la definición de la función
trigonométrica cos = en la circunferencia
unitaria.
Finalmente cos
/K
2
=
1@
porque la simetría con
el origen implica signos opuesto de y .
=
−1
2

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión +F
-
25

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión +F
-
25
2
2
,
2
2
− 2
2
,
2
2
Solución:
+F
-
=
3I
4 I
4
Primeramente se localiza el ángulo en el sistema
de coordenadas rectangulares.
El ángulo
2K
/
es un múltiplo de
K
/
por lo tanto las
coordenadas del punto en la circunferencia
unitaria del ángulo
2K
/
se obtienen por simetría con
el eje de .
trigonométrica s = en la circunferencia
unitaria.
Finalmente s
2K
/
= porque la simetría
con el eje de implica signo opuesto de y el
mismo signo de .
=
2
2

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión *4+F
G
26

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión *4+F
G
26
3
2
,
1
2
3
2
,
−1
2
Solución:
*4+F
G
=
I
6
−13I
6
Primeramente se localiza el ángulo en el
sistema de coordenadas rectangulares.
El ángulo
1@2K
L
es un múltiplo de
K
L
por lo tanto
las coordenadas del punto en la circunferencia
unitaria del ángulo
1@2K
L
se obtienen por simetría
con el eje de .
trigonométrica = M
N
en la circunferencia
unitaria.
Finalmente
1@2K
L
=
1 2
2
porque la simetría
con el eje de implica signos opuesto de .
O
P
=
−@
2
=
− 3
3

Práctica
27
Hacer los ejercicios de la parte VIII en la página 6

28
1. csc(,F
-
) =
2.
RF
G
=
3. cos(4SF
+
) =
Práctica:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones
4.
44F
G
=
5. (4TF
G
) =
6.
,F
-
=

Funciones trigonométricas
29
Sea el ángulo en posición estándar cuyo lado terminal contiene
un punto P = ( , ) cualquiera. La medida del segmento que forma el
lado terminal del ángulo siempre corresponde al radio de una
circunferencia cualquiera.
La ecuación de una circunferencia cualquiera con centro en el
origen es + =
=
=
=
=
=
=
Definición:
θ
% = ( , )
para un ángulo cualquiera

30
Ejemplo:
Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del
ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (−5, −12).

30
Ejemplo:
Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del
ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (−5, −12).
=
=
=
=
−12
13
=
−5
13
=
−12
−5
(10,1@ )
=
12
5
+ =
(−5) +(−12) =
169 =
= 169 = 13
Solución:
Se localiza el punto y se
identifica el lado terminal del
ángulo en el sistema rectangular.
Después se busca el radio de la
circunferencia para aplicar la
definición y obtener el valor de
las funciones trigonométricas del
ángulo .
Nota:
El signo de cada función
trigonométrica depende del signo
de la y la del punto dado.
= 13

Ejemplo:
Hallar la cotangente del ángulo si, cos( ) =
10
@2
y csc( ) > 0.
31

Ejemplo:
Hallar la cotangente del ángulo si, cos( ) =
10
@2
y csc( ) > 0.
+ =
(−5) + = (13)
= 169 − 25
= 144
= ± 144
= 12
13
Primeramente se localiza el lado
terminal del ángulo en el sistema de
coordenadas rectangulares que cumple
con los signos de las funciones
presentadas.
Después se construye el triángulo
trazando un segmento desde el punto en
la circunferencia que está en el lado
terminal del ángulo hasta el eje
horizontal.
Luego se utiliza la definición de la
función trigonométrica para identificar
los valores de , ó .
Después se busca el lado que falta del
triángulo.
Finalmente se buscan las funciones
trigonométricas indicadas.
cos = P
X
< 0
cos = P
X
< 0 csc = O
X
> 0
csc = O
X
> 0
=
−5
13
=
31
Solución:
−5
12
= ?= =
−5
12

Práctica
32
Hacer los ejercicios de las páginas 7 y 8

33
Práctica:
Hallar las funciones trigonométricas seno, secante y tangente del
ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (3, − 4).

34
Práctica:
Hallar el seno del ángulo si, sec( ) =
@2
@
y tan < 0.

Signos de las funciones
trigonométricas en cada cuadrante
35
1
0 1−1
−1
∝
Algunas funciones tienen
signos diferentes
es negativo
es negativo
es positivo
es negativo
es negativo
es positivo
signos diferentes
es positivo
es negativo
es negativo
es positivo
es negativo
es negativo
Las seis funciones tienen
signo positivo
es positivo
es positivo
es positivo
es positivo
es positivo
es positivo
signos diferentes
es negativo
es positivo
es negativo
es negativo
es positivo
es negativo

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión 135°
36

Ejemplo:
36
Solución:
135° =
45°
135°
=
− 2
2
− 45° Primeramente se dibuja el ángulo en el
El lado terminal del ángulo 135° esta en
el segundo cuadrante, por lo tanto el
coseno del ángulo tiene signo negativo.
El ángulo de referencia de 135° es 45°,
por lo tanto el valor numérico del coseno
de 135° es opuesto al valor del coseno de
45°.

37
Ejemplo:

Ejemplo:
37
Solución:
390° =
30°
390°
=
3
3
30° Primeramente se dibuja el ángulo en el
El lado terminal del ángulo 390° esta en
el primer cuadrante, por lo tanto la
tangente del ángulo tiene signo positivo.
El ángulo de referencia de 390° es 30°,
por lo tanto el valor numérico de la
tangente de 390° es igual al valor de la
tangente de 30°.

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión −600°
38

Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión −600°
38
Solución:
−600° =
60°
−600°
=
2 3
3
60° Primeramente se dibuja el ángulo en el
El lado terminal del ángulo −600° esta
en el segundo cuadrante, por lo tanto la
cosecante del ángulo tiene signo positivo.
El ángulo de referencia de −600° es 60°,
por lo tanto el valor numérico de la
cosecante de −600° es igual al valor de la
cosecante de 60°.

Práctica
Hacer los ejercicios de la página 9
39

Práctica:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones
d) 600° =
e) tan(−930°) =
f) 315° =
40
a) csc(−225°) =
b) −210° =
c) cos(660°) =

Mapa Funciones Trigonométricas
41
Números
Reales
Arcos
Comunes
Cualquier
Ángulo
Ángulos
Agudos
Triángulos

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