1. ระบบจํานวนจริง ( Real Number )
แผนผังระบบจํานวนจริ ง
เซตของจํานวนจริง ( R )
เซตของจํานวนตรรกยะ ( Q ) เซตของจํานวนอตรรกยะ ( Q, )
เซตของจํานวนจริง (  ) a
b
a  , b  , b  0 และ a
ไม่ใช่จํานวนเต็ม
b
เซตของจํานวน เซตของศูนย์ เซตของจํานวน
เต็มบวก ( +) (0) เต็มลบ (  -)

2. 1. ลักษณะของจํานวนจริง
จํานวน
จํานวนเต็ม
เซตของจํานวนเต็ม
 = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
1. เซตของจํานวนเต็มบวก หรื อเซตของจํานวนนับ
เราคงคุ้นเคยกับสัญลักษณ์ 1, 2, 3, …
หรื อจํานวนธรรมชาติ ( natural number ) หรื อจํานวนเต็มบวก ( positive integers )
ประกอบด้ วยสมาชิก 1, 2, 3, 4, … และเรานิยมใช้ สญลักษณ์ N หรื อ + แทนเซต -
ั
N = + = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
2. เซตของจํานวนเต็มลบ
–1, -2, -3, … และเรานิยมใช้ สญลักษณ์  -
ั

3.  - = { -1, -2, -3, -4, -5, … }
3. เซตของศูนย์
0
เซตดังกล่าว คือ { 0 }
3 ดังกล่าวจะพบว่าเซตของจํานวนเต็ม
3 3 มายูเนียน
เศษส่ วน
ศูนย์ และไม่สามารถตัดทอนให้ เหลือส่วนเป็ น 1 ได้ ( ไม่สามารถเขียนเป็ นจํานวนเต็ม
2 1 7 4 7 4
ได้ ) , , , , , เป็ นต้ น
3 5 8 5 8 5
ในทํานองเดียวกัน เราจะพบว่าเซตของจํานวนเต็ม กับ เซต
เซตของจํานวนตรรกยะ ( rational number ) และนิยมใช้ Q
เป็ นสัญลักษณ์แทนเซต
จํานวนตรรกยะ
เซตของจํานวนตรรกยะ
Q={ a
I a  , b   และ b  0 }
b

4. น ต้ องเป็ นเศษส่วน และ
1 1. 4
เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่ า 4  , 5   และ 5  0
5
2. 7 เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 7 = 7
7  , 1   และ
1
1  0 ( แสดงว่าจํานวนเต็มทุกจํานวนต้ องเป็ นจํานวนตรรกยะ
เพราะจํานวนเต็มทุกจํานวนจะต้ องมีส่วนเป็ น 1 เสมอ )
3. 2
ไม่เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 2 
3
2 1. 2.5 เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 2.5 = 25
10
2. 0.79 เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 0.79 = 79
100
3. 0.3333 … เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 0.3333 … = 0.3. = 1
3
4. 0.121212 … เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 0.121212 … = 0.1.2.
= 12
99
2
กัน ต่างก็สามารถเขียนอยู่ในรูป a
a  , b   และ b  0
b
ทศ
1.41421 …, 1.73205 …, 3.14286…
เราไม่สามารถเขียน
2 = 1.41421 …, 3 = 1.73205 …, = 3.1415 … เป็ นต้ น
จํานวนตรรกยะ

5. จํานวนอตรรกยะ
เซตของจํานวนอตรรกยะ
ในการศึกษาของปี ทาโกรัสและคณะพบว่า “ ถ้ าด้ านประกอบมุม
1 หน่วยแล้ ว ไม่สามา
X 2= 1 + 1
X2 = 2
2, 3, 5, 7, เป็ นต้ น
ในทํานองเดียวกันเราจะพบว่าเซตของจํานวนตรรกยะ กับเซต
–
เซตของจํานวนจริง และนิยมใช้ R เป็ นสัญลักษณ์แทน
เซตดังกล่าว
จํานวนจริง
เซตของจํานวนจริง
จํานวนตรรกยะกับเซตของจํานวนอตรรกยะ

6. ข้ อควรสนใจ 1.
 2 ,  5,  7 , …เป็ นต้ น ( ราก
ของจํานวนลบ )
สามารถเปรี ยบเทียบความมากน้ อยได้
2.
ส่ วนเป็ น
ศูนย์ โดยเด็ดขาด เพราะลักษณะดังกล่ าวไม่ มีความหมาย
หรื อ
5 7
ไม่มีการนิยาม เช่น , ,
2 0
, เป็ นต้ น
0 0 0, 0
2. การเท่ากันของจํานวนจริง
หลักการเท่ากันของจํานวนจริง เป็ นการแสดงให้ เห็นว่าลักษณะของ
ว่า คุณสมบัติ
1. คุณสมบัตสะท้ อน ( Reflexive Property )
ิ
ถ้ า a เป็ นจํานวนจริงใด ๆ แล้ ว a = a
คุณสมบัติข้อ
2. คุณสมบัตการสมมาตร ( Symmetric Property )
ิ
ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใด ๆ
ถ้ า a = b แล้ ว b = a
2 จํานวนเท่ากัน จจะ
3 1. X + 2 = 5 จะมีความหมายเหมือนกับ 5 = X + 2
2. X = 36 จะมีความหมายเหมือนกับ X = 36

7. 3. คุณสมบัตการถ่ ายทอด ( Transitive Property )
ิ
ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใด ๆ
ถ้ า a = b และ b = c แล้ ว a = c
จากการเท่ากัน
4 ถ้ าเรามี a = 2
และรู้ว่า 2 = b
จากคุณสมบัติการถ่ายทอด เราสามารถสรุปได้ ว่า a = b
4. คุณสมบัตการบวกด้ วยจํานวนเท่ ากัน
ิ
ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใด ๆ
ถ้ า a = b แล้ ว a + c = b + c
5 ให้ x = 7 และ b, c เป็ นจํานวนจริง
จะได้ x + b = 7 + b
x+c=7+c
5. คุณสมบัตการคูณด้ วยจํานวนเท่ ากัน
ิ
ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใด ๆ
ถ้ า a = b แล้ ว ac = bc
4
3. คุณสมบัติของจํานวนจริงข้ อ 1 - 11
ในระบบจํานวนจริง จะมีคณสมบัติสําคัญอยู่ 15
ุ
11
ข้ อแรกเสียก่อน

8. ให้ R a, b และ c เป็ นสมาชิกใน
( แสดงว่า a, b และ c เป็ นจํานวนจริง )
ระบบจํานวนจริงเสมอ
1. คุณสมบัตปิดของการบวก
ิ
ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว a + b  R
R มาบวกกันแล้ ว
R เสมอ (
ยังคงเป็ นจํานวนจริงเสมอ )
2. คุณสมบัตปิดของการคูณ
ิ
ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว ab  R
R มาคูณกันแล้ ว
ยู่ใน R เสมอ (
ไดัยงคงเป็ นจํานวนจริงเสมอ )
ั
3.
ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว a + b = b + a
R
4.
ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว ab = ba
R
5. รบวก
ถ้ า a, b และ c ต่างเป็ นสมาชิกใน R แล้ ว
(a+b)+c=a(b+c)

9. เสมอ
6.
ถ้ า a, b และ c ต่างเป็ นสมาชิกใน R แล้ ว (ab)c = a(bc)
ากันเสมอ
7. คุณสมบัตการมีเอกลักษณ์ การบวก
ิ
ในเซตจํานวนจริง R จะมี 0  R
0 + a = a + 0 = a สําหรับทุก ๆ ค่าของ a ใน R เราเรี ยก 0 ว่า
เอกลักษณ์การบวก
0 ง0
0 ว่าเอกลักษณ์
การบวก
8. คุณสมบัตการมีเอกลักษณ์ การคูณ
ิ
ในเซตของจํานวนจริง R จะมี 1  R
1 x a= a x 1 = a สําหรับทุก ๆ ค่าของ a ใน R เราเรี ยก 1 ว่า
เอกลักษณ์การคูณ
1 1
อ 1 ว่า
เอกลักษณ์การคูณ
9. คุณสมบัตการมีอินเวอร์ สการบวก
ิ

10. ถ้ า a  R จะมี -a  R
a + (-a) = (-a) + a = 0
เรี ยก -a ว่า อินเวอร์ สการบวกของ a
R 1 ตัว
จะเป็ นตัวใดก็ได้ สมมติให้ เป็ น a ก็จะมี -a ใน R
( คือ 0 ) และการบวก
10. คุณสมบัตการมีอินเวอร์ สการคูณ
ิ
ถ้ า a  R และ a  0 จะมี a-1  R
aa-1 = a-1a = 1
เรี ยก a-1 ว่าอินเวอร์ สการคูณของ a
R 1 ตัว
0 ก็จะมีสมาชิกใน R อยู่ 1 R
1
ด้ วย
11. คุณสมบัตการแจกแจง
ิ
ถ้ า a, b และ c เป็ นสมาชิกใน R แล้ ว
a ( b + c ) = ab + ac
สองจํานวนคือ a และ b + c ปผลบวกของ
ผลคูณ ab กับ ac ก็ได้
4. ทฤษฎีบทสําคัญในระบบจํานวนจริง

11. “ ทฤษฎีบท “
จํานวนจริง
1 ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริง
ถ้ า a + c = b + c แล้ ว a = b
2 ให้ a, b และ c c0
ถ้ า ac = bc แล้ ว a = b
3 ถ้ า a เป็ นจํานวนจริงใด ๆ
ax0=0xa=0
4 ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใด ๆ
ถ้ า ab = 0 แล้ ว a = 0 หรื อ b = 0
5 ให้ a, b, c และ d b  0, d  0
จะได้ ว่า a

c
ad = bc
b d
6 ให้ a  0, b  0 เป็ นจํานวนจริง
ถ้ า ab = 1 แล้ ว a = b-1 หรื อ b = a-1
7 ให้ a, b a  0, b  0
 1  1 
จะได้ ว่า    
1
 a  b  ab
8 ให้ a, b, c และ d c  0, d  0
จะได้ ว่า a b
x 
ab
c d cd
9 ให้ a, b, c และ d c  0, d  0
ad  bc
จะได้ a b
 
c d cd
******************************************************************************************