1. ระบบสมการเชิงเส้ นและเมทริกซ์
 a11 a13 
มิติ i  j
a12
เช่น A = a เมทริกซ์ A มีมิติ 23
 21 a 22 a 23 

  a13 คือ สมาชิกของเมทริ กซ์ A 13
แถว หลัก
หมายถึง สมาชิกของเมทริกซ์ A 1 3
 x a  1 3 
A=B เช่น ถ้ า  y b    2 4
   
ต้ องมี  มิติ เท่ ากัน
จะได้ x = 1 , y = 2 , a = 3 และ b = 4
 สมาชิกในตําแหน่ ง  x a  1 
เดียวกันเท่ ากัน แต่  y b    2
   
A+B เช่น 1 3 5 7  1  5 3  7  6 10
2 4  6 8   2  6 4  8  8 12
ต้ องมี         
 ดําเนินการกับสมาชิก 1 3  5 7   1  5 3  7    4  4 
2 4  6 8   2  6 4  8   4  4
ในตําแหน่ งเดียวกัน        
เช่น Aab  Bbc  AB c
AB
a
ถ้ า A  B แล้ ว AB  BA
ใช้  แถว  หลัก 7 
1 3 5    (1  7)  (3  8)  (5  9)   76 
 นําผลคูณมาบวกกัน 2 4 6  8   (2  7)  (4  8)  (6  9)  100
  9     
ต้ องมี  
มิติ
แถวของตัวคูณ   
23 31 2 1

2. (2)
t เช่น ถ้ า A = a

b c
 เมทริกซ์ A มีมิติ 23
A x y z
a x
สลับ แถว กับ หลัก t
แล้ ว A = b y เมทริกซ์ At มีมิติ 32
 
c
 z

AA-1 = A-1A = In ถ้า AB = In แล้ ว B = A-1
A  a  ij 1 1 det( A )  a ij
ad – bc  0 ได้ det( A )  ad  bc
a b
A    1  d b
c d และ A1 
adbc c a
 
a x p a x
det(A)  b y q b y
a x p
A  b y q
c z r c z
   (ayr)  (xqc)  ( pbz)  (cyp)  (zqa)  (rbx)
c z r 
 
คูณทแยงลงมีค่าเป็ นบวก คูณ ค่าเป็ นลบ
det( A )  a ij  C ij ( A )
ผลบวกของผลคูณระหว่างสมาชิกกับค่าโคเฟกเตอร์
A  a  ij mm
m>2 1
และ A1  adj ( A)
det ( A)
det(A)  0
 det(A) = det(At)  det(kA) = kmdet(A)
A  a  ij m m
 det(AB) = det(A) det(B)  det(A-1) = 1
det( A)

3. (3)
เมทริกซ์ เอกฐาน ถ้ าเมทริกซ์ A มี det(A) = 0
(Sigolar Matrix) แล้ ว A จะเป็ นเมทริกซ์เอกฐาน (ไม่มี A-1)
เมทริกซ์ ไม่ เอกฐาน ถ้ าเมทริกซ์ A มี det(A)  0
(Non-Sigolar Matrix) แล้ ว A จะเป็ นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน(มี A-1)
 det( A )   a  C ( A)
ij ij
  C ( A ) 
t
1 1 adj ( A )

ij
A adj ( A)
i j
det ( A) C ij ( A)  (1)  M ij ( A)
det(A)  0 และ M ij ( A)  det( Aij )
det( Aij ) เป็ นค่าดีเทอร์
i j
1 2 6 1 2
1 2 6 det( A)  3 5 7 3 5
A  3 5 7
  4 8 9 4 8
4 8 9
   (1  5  9)  (2  7  4)  (6  3  8)
 (4  5  6)  (8  7  1)  (9  3  2)
1  45  56  144  120  56  54  15
det(A) = 1C11(A)  5 7 3 7  3 5
t
  
+ 2C12(A) 

8
2
9
6
4
1
9
6


4
1
8
2
adj ( A)     
+ 6C13(A)  8 9 4 9  4 8
 2 6 1 6  1 2
= 1M11(A)  5 7

3 7  3 5
 
+ 2(-1)M12(A)   11 1 4
t
 11 30  16
 30  15
     1  15 11 
+ 6M13(A) 0  
 16
 11  1
  4
 0 1  
= -11 + (21) + (64)  11 16 
 15 2  
= -11 + 2 + 24  11 30  16

15
1 1     1 1 11 
A  1  15 11  
= 15 15   15 15 
 4
 0 1   4 0  
1
 15
 15 


4. (4)
การแก้ ระบบสมการ เช่น x – 3z = -2
3x + y – 2z = 5
ใช้ ตัวผกผันการคูณ
A เป็ นเมทริกซ์ สัมประสิทธ์ 2x + 2y + z = 4
X เป็ นเมทริกซ์ ตัวแปร
B 1 0  3  x    2
3 1  2  y    5
AX = B     
2
 2 1 z
   4
 
X = A-1B ใช้ ตัวผกผันการคูณ
1
 x 1 0  3   2
 y   3 1  2  5 
     
z
  2
 2 1  4
  
1 0  3
ให้ 3
A   1  2  det( A)  7

2
 2 1
t
 1 2 3 2 3 1 
  
 2 1 2 1 2 2 
 0 3 1 3 1 0 
adj ( A)     
 2 1 2 1 2 2 
 0 3 1 3 1 0 
  
 1 2 3 2 3 1 
 5 7  5 6
t
4 3
 6
  7  2   7 7  7
  
 3 7
 1
  4 2
 1
 5 6 3
1 
A 1
  7 7  7
7
 4 2
 1

 x  5 6 3   2
  
 y   1  7
 7  7 
 5
 
7
z
   4 2
 1  4
 
 x  4
 y    3
   
z
   2
 
( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )

5. (5)
A  a 
ij m m ถ้ า det(A)  0 แล้ ว det(adj(A)) = det(A)m-1
การแก้ ระบบสมการ เช่น x – 3z = -2
3x + y – 2z = 5
ใช้ กฎของคราเมอร์
2x + 2y + z = 4
det(A)  0
A เป็ นเมทริกซ์ สัมประสิทธ์ จากระ
Ax 1 0  3  x   2
3 1  2  y   5 
1 ของ      
เมทริกซ์ A 2
 2 1
 z
   4
 
Ay เกิดจาก
ใช้ กฎของคราเมอร์
2 ของ
เมทริกซ์ A 1 0  3
Az ให้ A  3
 1  2  det( A)  7

3 ของ 2
 2 1

เมทริกซ์ A
 2 0  3
Ax   5 1  2  det( Ax )  28
det( Ax ) 
X 
det( A)  4
 2 1
det( Ay )  28
y   x   4
det( A) 7
det( Az )
z  1  2  3 
det( A)
Ay  3
 5  2  det( Ay )  21

2
 4 1

21
 y   3
7
1 0  2
Az  3
 1 5   det( Az )  14

2
 2 4
 14
 z   2
7
( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )

6. (6)
การแก้ ระบบสมการ เช่น x – 3z = -2
ใช้ เมทริกซ์ แต่ งเติม 3x + y – 2z = 5
A เป็ นเมทริกซ์ สัมประสิทธ์ 2x + 2y + z = 4
X เป็ นเมทริกซ์ คาตอบ
ํ จากระบบสมการเขียน
B 1 0  3  x   2
3 1  2  y   5 
In เป็ นเมทริกซ์ เอกลักษณ์      
2
 2 1
 z
   4
 
A  B   In  X ใช้ เมทริกซ์ แต่ งเติม
1 0  3   2
3 1 2  5
 
2
 2 1  4

1 0  3   2
 0
 1 7  11 R2  3R1

0
 2 7  8  R3  2 R1

1 0 3  2
 0
 1 7  11 
0
 0  7   14 R3  2 R2

1 0  3   2
 0
 1 7  11
0
 0 1  2  1 R
 3
7
1 0 0  4  R1  3R3
 0
 1 0   3 R2  7 R3

0
 0 1  2
1 ได้ x = 4
2 ได้ y = -3
3 ได้ z = 2
( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )
A  In   In  A-1 ใช้ เมทริกซ์แต่งเติม ดําเนินการตามแถวหา A-1

7. (7)
แนวข้ อสอบปลายภาค
x  y 5   2 x  3
1. ถ้ า  5   2 y  7 14  4. เมทริกซ์ในข้ อใดเป็ นตัวผกผันการคูณ
 x  y  
 2  6
แล้ ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับข้ อใด ของเมทริกซ์  1
 4

ก. -2 ข. 0 1 3
ก. 1 
ค. 2 ง. 34 
2
2

 2 3
 2 5
2. กําหนดให้ A    ข. 1 
 4  1  1
2 
 4 3  2  3
และ B  
 1 2 ค.  1 
 1
แล้ ว ค่าของ 2A – Bt เท่ากับข้ อใด  2 
 1  3
ก.  5 8 ง.  1 
 11  4  2
   2 
 8 11 
ข.  5  4 x2 4 4 8
  5. ถ้ า =
x 1 2 3
 8 5
ค.  11
  4
 แล้ ว ค่าของ x เท่ากับข้ อใด
 11  8 ก. 0
ง.  4
 5

ข. -2
2  1 4
3. กําหนดให้ A   ค. 2
3 0 5

 1 0 ง. 4
และ  1
B   2

 4  3
   2 1  3
6. กําหนดให้  1
A   0 2

 3 2
 5

 19  14
ก. AB    แล้ ว C ( A)  M ( A) เท่ากับข้ อใด
 23 15  23 32
ข. BA  
 19  23 ก. 6
 14 15 
 ข. 7
 19 23
ค. ( AB) t    ค. 8
 14  15
ง. ( AB) t  BA ง. 14

8. (8)
1 1 2
  3 4 3
7. กําหนดให้ A    9. ถ้ า A   1  3

 2 5 0 2 4
 
 4  1
และ B   แล้ ว det(A) มีค่าเท่ากับข้ อใด
 0 3
ก. -125
ก. det( A  B)  2 ข. -29
ข. det( AB)   276 ค. -5
ค. det( A  B)t  2 ง. 25
7
ง. det( A  B) 1  10. จากระบบสมการ
2
x  3z   2
 0 1 2
8. ถ้ า A   3 0 3 3x  y  2 z  5
 
 0 2 4 2x  2 y  z  4
 
แล้ ว det(A) มีค่าเท่ากับข้ อใด ค่าของ x + y + z เท่ากับข้ อใด
ก. 0 ก. 7
ข. 12 ข. 5
ค. 24 ค. 4
ง. -24 ง. 3

9. (9)
เฉลย
แนวข้ อสอบปลายภาค
x  y 5   2 x  3
1. ถ้ า  5   2 y  7 14  แล้ ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับข้ อใด
 x  y  
แนวคิด
x + y = 2 และ 5=x–3
x=5+3 = 8
แทนค่า x = 8 ใน x + y = 2
8+y=2
y = 2 – 8 = -6
2x – 3y = 2(8) – 3(-6) = 16 + 18 = 34
ตอบ ง. 34
(หรื ออาจจะหาค่า x และ y จาก -5 = 2y+7 และ x – y = 14)
 2 5  4 3
2. ให้ A    และ B   แล้ ว 2A – Bt มีค่าเท่าใด
 4  1  1 2

แนวคิด 1) หาค่า 2A จาก A   2
 4
5
ได้ 2A  
 4 10
  1


 8  2
4  1
2) หาค่า Bt จาก B   4
 1
3
ได้ Bt  
 2 3 2

3) หาค่า 2A – Bt
2A – Bt =  4

10 4  1
 – 
 8  2  3 2

 4  4 10  1
=  8  3  2  2
 
 8 11
=  5  4
 
 8 11 
ตอบ ข.  5  4
 

10. (10)
 1 0
2  1 4  1
3. ให้ A   และ B   2 ถูกต้ อง
3 0 5


 4  3
 
 19  14
แนวคิด ก. AB   
 23 15 
A มีมิติ 23
B มีมิติ 32
ฉะ AB มีมิติ 22
 2  1  (1)(1)  4  4 2  0  (1)2  4(3) 
AB  
 3  1  0(1)  5  4 3  0  0  2  5(3)

 2  1  16 0  (2)  (12)

3  0  20 0  0  (15) 

19  14
 
23  15
ก. ผิด
 19  23
ข. BA  
 14 15 

B มีมิติ 32
A มีมิติ 23
ฉะ BA มีมิติ 33
แต่ ข. มีมิติ 22 ข. ผิด
 19 23
ค. ( AB)
  t

 14  15
เพราะว่า AB  19  14
23  15 ( AB) t
 19
 
23

   14  15
ค. ถูกต้ อง
ง. ( AB) t
 BA
เพราะว่า ( AB) t
 BA ง. ผิด
 19 23
ตอบ ค. ( AB) t   
 14  15

11. (11)
 2  6
4. เมทริกซ์ในข้ อใดเป็ นตัวผกผันการคูณของเมทริ กซ์  1
 4

แนวคิด
ad – bc  0 ได้ det( A )  ad  bc
a b
A    1  d b
c d และ A1 
adbc c a
 
 2  6 1  4 (6)
น ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์  1 คือ 24(6)(1 (1
) ) 2 
 4
 
1 3 1 4 6
ก.  1  = 86 1 2
 2  
2 
2 3 1 4 6
ข. 1  = 2 1 2
 1  
2 
 2  3 2 3
ค.  1 1  = 1 
1
  2
 
 2 
 1  3 2 3
ง.  1 2  ตอบ ข. 1 
   1
 2  2 
x2 4 4 8
5. ถ้ า = แล้ ว ค่าของ x เท่ากับข้ อใด
x 1 2 3
แนวคิด
x2 4
= x 2 1  x  4 = x 2  4x
x 1
4 8
= 43  8 2 = 12  16 = 4
2 3
x2 4 4 8
แต่ = x 2  4x = 4
x 1 2 3
x 2  4x +4 = 0
(x – 2)(x – 2) = 0
x=2 ตอบ ค. 2

12. (12)
 2 1  3
6. กําหนดให้  1
A   0 2 แล้ ว C ( A)  M 32 ( A) เท่ากับข้ อใด
 23
 3 2
 5

แนวคิด C 23 ( A)  (1) 23 M 23 ( A)
2 1
 (1)
3 2
 (1)[2(2)  3  1]
= (–1)( –4 – 3)
= (–1)( –7)
= 7
2 3
M 32 ( A) 
1 2
 2  2  (1)(3)
= 4–3
= 1
C 23 ( A)  M 32 ( A) = 7 + 1 = 8
ตอบ ค. 8

13. (13)
  3 4  4  1
7. ให้ A    และ B   ไม่ถกต้ อง
ู
 2 5  0 3
แนวคิด ก. det( A  B)  2
 3  4 4  (1) 1 3
A B      2 8
 20 53   
det( A  B)  1 8  3  2  8  6  2
ก. det( A  B)  2 ถูกต้ อง
ข. det( AB)   276
  3 4
A     det( A)  (3)  5  4  2   15  8   23
 2 5
4  1
B    det( B)  4  3  (1)0  12  0  12
0 3

เพราะว่า det(AB) = det(A) det(B)
= –23 12 = –276
ข. det( AB)   276 ถูกต้ อง
ค. det( A  B)t  2
เพราะว่า det(A) = det(At) det(A+B) = det(A+B)t
จาก ก. det( A  B)  2 det( A  B) t  2
. det( A  B)t  2 ถูกต้ อง
7
ง. det( A  B) 1 
2
เพราะว่า det(A-1) = 1
det( A)
จาก ก. det( A  B)  2
1
det( A  B) 1 
2
7
. det( A  B) 1  ไม่ถกต้ อง
ู
2
7
ตอบ ง. det( A  B) 1 
2

14. (14)
 0 1 2
8. ถ้ า A   3
 0 3
 แล้ ว det(A) มีค่าเท่ากับข้ อใด
 0 2
 4

0 1 2 0 1
แนวคิด det(A) = 3 0 3 3 0
0 2 4 0 2
= [004]+[(-1)30]+[2(-3)(-2)]–[002]–[(-2)30]–[4(-3)(-1)]
= 0 + 0 + 12 – 0 – 0 – 12
= 0
1 0 , -3 , 0
det(A) = 0 C ( A) + (-3)  C ( A) + 0 C ( A)
11 21 31
= 0 + (-3)  C ( A) + 0 21
= (1) M ( A) 2 1
21
1 2
= (1)
2 4
= (1)[(2)  4  2  (2)]
= (-1)[(-8) + 8]
= (-1) 0
= 0
ตอบ ก. 0

15. (15)
1 1 2
9. ถ้ า A  3 1  3 แล้ ว det(adj( A)) มีค่าเท่ากับข้ อใด
 
0
 2 4

แนวคิด
A  aij   m m
ถ้ า det(A)  0 แล้ ว det(adj(A)) = det(A)m-1
1 1 2 1 1
det(A) = 3 1 3 3 1
0 2 4 0 2
= [114]+[(-1)(-3)0]+[23(-2)]–[012]–[(-2)(-3)1]–[43(-1)]
= 1 + 0 + (-12) – 0 – 6 – (-12)
= -5
det(adj( A)) = det(A) 3-1
= (-5) 3-1
= (-5)2
= 25
ตอบ ง. 25

16. (16)
10. จากระบบสมการ ค่าของ x + y + z เท่ากับข้ อใด
x  3z   2
3x  y  2 z  5
2x  2 y  z  4
แนวคิด
1 0  3  x   2
3 1  2  y   5 
     
2
 2 1
 z
   4
 
ใช้ กฎของคราเมอร์
1 0  3
ให้ A  3
 1  2  det( A)  7

2
 2 1

 2 0  3
Ax   5 1  2  det( Ax )  28

 4
 2 1
 28
 x   4
7
1  2  3 
Ay  3
 5  2  det( Ay )  21

2
 4 1

21
 y   3
7
1 0  2
Az  3
 1 5   det( Az )  14

2
 2 4
 14
 z   2
7
x + y + z = 4 + (-3) + 2 = 3
ตอบ ง. 3

17. (17)
ตัวอย่ างข้ อสอบ Entrant
 1  1
1) กําหนดให้ A 3 
 2
 2 
 1 2
และ B 
 1 1 
แล้ ว det [5(A-1 + Bt)] มีค่าเท่ากับเท่าใด
(Ent. 45 คณิต 2)
2) ให้ x เป็ นจํานวนจริงบวก
1  x 1 
และ A เป็ นเมตริกซ์ A 
 1 1  x
ถ้ า det [ 1 A2] = 16
2
แล้ ว det [8A + 2At] มีค่า
-1
1. 40 2. 72 3. 80 4. 82
(Ent. 46 คณิต 2)
 x  1
3) กําหนดเมตริกซ์ A 
1  x 
ถ้ า a, b เป็ นคําตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3 det(A-1) = 45
โดย a > b แล้ ว 2a – b มีค่าเท่ากับเท่าใด
(Ent. 47 คณิต 2)
 3 a 2 
4) ถ้ า A 
 a 1 
4  1
B
0 3

และ det (ABt) = -132
แล้ ว det (A + B) มีค่าเท่ากับเท่าใด
(Ent. 47 คณิต 2)

18. (18)
5) กําหนดให้ x เป็ นจํานวนเต็ม
x  1 2 
และ A
 9 2 x  3

2  x 3x 
B 
  2 5  3x
ถ้ า det (A – B) = 44
แล้ ว det( A B) เท่ากับเท่าใด
1
(Ent. 47 คณิต 2)
6) ถ้ า x และ y เป็ นจํานวนจริง
 9 8   3x   5 
 6 4   y   3 
  2   
แล้ ว y2 – 2x
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8
(Ent. 48 คณิต 2)
7) ถ้ า A เป็ น 22 เมตริกซ์
2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0
และ det (A) เป็ นจํา
1. det (A)  10 2. 10  det (A)  20
3. 20  det (A)  30 4. det (A)  30
(Ent. 48 คณิต 2)
 x 2 1
8) กําหนดให้ A 
 1 x
 x 1  x 
และ B
 x x  1

ถ้ า det (2A) = 28 แล้ ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด
(Ent. 48 คณิต 2)

19. (19)
เฉลย
ตัวอย่ างข้ อสอบ Entrant
 1  1  1 2
1) กําหนดให้ A 3  และ B
 2  1 1

 2 
แล้ ว det [5(A-1 + Bt)] มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 45 คณิต 2)
แนวคิด
 1  1
จาก A 3 
 2
 2 
1 2 1
ได้ A 1  3 
3  1
…….. 
2 2 
2
1 2 1
 3 
1  1
2 
2
2 1
 2 3 
2 1
 
4 2
 3 2
 
 1 2
และ B 
 1 1 
1 1
ได้ Bt    …….. 
2 1
41 21 5 1
+  A 1 B t     5
3 2 21  3

25 5 
5(A 1 B t)   
25 15
det [5(A-1 + Bt)] = 2515 – 255 = 375 – 125 = 250
ตอบ 250

20. (20)
1  x 1 
2) ให้ x เป็ นจํานวนจริงบวก และ A เป็ นเมตริกซ์ A 
 1 1  x
ถ้ า det [ 1 A2] = 16 แล้ ว det [8A-1 + 2At]
2
(Ent. 46 คณิต 2) 1. 40 2. 72 3. 80 4. 82
1  x 1 
แนวคิด จาก A 
 1 1  x
det(A) = (1+x) (1+x) – 11 = 1 + 2x + x2 – 1 = x2 + 2x
เพราะว่า det[ 1 A2] = ( 1 )2det(A2) = [ 1 det(A)]2
2 2 2
= [ 1 (x2 + 2x)]2
2
แต่โจทย์กําหนดให้ det[ 1 A2] = 16 =4 2
[ 1 (x2 + 2x)] = 4
2 2
1 2
(x + 2x) =4 หรื อ 1 (x2 + 2x) = -4
2 2
x2 + 2x = 8 หรื อ x2 + 2x = -8
x2 + 2x – 8 = 0 หรื อ x2 + 2x + 8 = 0 เป็ นไปไม่ได้
(x – 2)(x + 4) = 0 ได้ x = 2 , -4
แต่โจทย์กําหนดให้ x เป็ นจํานวนจริงบวก x คือ 2
1  x 1  1  2 1  3 1
A   A   1 1  2  1 3
 1 1  x    
1  3 1 1  3 1
A1  1 3  8 1 3
91    
1  3 1  3 1
8A1  8    1 3
8 1 3  
 3  1  6  2
At     2 A   2
t
 1 3   6
 36 12  9 3
8A1  2A t      
12 36 3 9
det (8A-1 + 2At) = (99) – [(-3)(-3)] = 81 – 9 = 72
ตอบ 2. 72

21. (21)
 x  1
3) กําหนดเมตริกซ์ A 
1  x 
ถ้ า a, b เป็ นคําตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45
โดย a > b แล้ ว 2a – b มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)
 x  1 2
แนวคิด จาก A  ได้ det (A) = x(-x) – 1(-1) = -x + 1
1  x 
 x  1   x  1   x  x  (1)  1 x(1)  (1)( x)  x 2  1 0 
AA  A 2    1  x   1  x  ( x)  1 1(1)  ( x)( x)    
1  x       0 1 x2 
det (A2) = (x2 – 1)(-1 + x2) = -x2 + 1 + x4- x2 = x4– 2x2 + 1
เพราะว่า det (2A2) = 22det (A2) = 4(x4– 2x2 + 1) = 4x4– 8x2 + 4
1 1 1
และ det(A-1) = = =
det( A)  x2 1 1 x2
แทนค่าใน det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45
1
(4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)3( ) = 45
1 x2
(4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)2 = 45
(4x4– 8x2 + 4) + (1 – 2x2+x4) = 45
5x4– 10x2 + 5 = 45
x4– 2x2 + 1 =9
x4– 2x2 – 8 =0
(x2– 4)(x2+ 2) = 0
แต่ (x2+ 2)  0 (x2– 4) = 0
(x – 2)(x + 2) = 0  x = 2 , -2
แต่โจทย์กําหนดให้ a, b เป็ นคําตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45
a>b a คือ 2 และ b คือ -2
แล้ ว 2a – b = 22 – (-2) = 4 + 2 = 6
ตอบ 6

22. (22)
 3 a2  4  1
4) ถ้ า A  , B และ det (ABt) = -132
 a 1  0 3
แล้ ว det (A + B) มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)
แนวคิด
 3 a2 
จาก A 
 a 1 
ได้ det (A) = -31 – aa2 = -3 – a3
4  1
และ B
0 3
ได้ det (B) = 43 – 0(-1) = 12
เพราะว่า det (ABt) = det (A) det (Bt)
และ det(Bt) = det (B)
ได้ det (ABt) = (-3 – a3) 12
แต่โจทย์กําหนดให้ det (ABt) = -132
(-3 – a3) 12 = -132
(-3 – a3) = -11
– a3 = -8
a3 = 8
a=2
 3 a 2  4  1
จาก A    และ B  
 a 1  0 3

ได้ A  B   3  4 a  1 = 1 a  1
2 2
   
 a  0 1 3  a 4 
1 2 2  1 1 3 
แต่ a = 2 det (A + B) =   =  2 4
2 4   
= 14 – 23 = 4 – 6 = -2
ตอบ -2

23. (23)
x  1 2  2  x 3x 
5) กําหนดให้ x เป็ นจํานวนเต็ม และ A  , B    2 5  3x
 9 2 x  3  
ถ้ า det (A – B) = 44 แล้ ว det( A 1 B ) เท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)
x  1 2  2  x 3x 
แนวคิด จาก A และ B
 9 2 x  3


  2 5  3x
ได้ det (A) = (x+1)(2x+3) ได้ det (B) = (2 – x)(5 – 3x)
= x2 + 5x + 3 = 10 – 11x + 3x2
x  1  2  x 2  3x  2 x  1 2  3 x 
A B   =
 9  (2) 2 x  3  5  3x

 11
 5 x  2
ได้ det (A – B) = (2x–1)(5x–2) – 11(2 – 3x)
= 10x2– 9x + 2 – 22 + 33x = 10x2+ 24x – 20
แต่โจทย์กําหนดให้ det (A – B) = 44 10x2+ 24x – 20 = 44
10x2+ 24x – 20 – 44 = 0
10x2+ 24x – 64 =0
5x2+ 12x – 32 =0
(5x – 8)(x + 4) = 0
8
x = -4 , 5
แต่โจทย์กําหนดให้ x x = -4
det (A) = x2 + 5x + 3 = (-4)2 + 5(-4) + 3 = 16 – 20 + 3 = -1
และ det (B) = 10 – 11x + 3x2
= 10 – 11(-4) + 3(-4)2 = 10 + 44 + 48 = 102
เพราะว่า det (A-1B) = det (A-1) det (B) และ det(A-1) = 1
det( A)
แทนค่า หา det (A-1B) ได้ det (A-1B) = 1
 102 = -102
1
det( A 1 B ) =  102 = 102
ตอบ 102

24. (24)
6) ถ้ า x และ y บสมการ
 9 8   3x   5 
 6 4   y   3 
  2   
แล้ ว y2 – 2x (Ent. 48 คณิต 2)
1. 5 2. 6 3. 7 4. 8
9 8   3x   5 
แนวคิด จาก 6  
 4   2y   3 
  
9  3 x  8 2   5 
y
   
6  3  4 2y   3 
x
ได้ 93x + 82y = 5 …….. 
63x + 42y = 3 …….. 
 2, 123x + 82y = 6 ……..
–, 33x = 1
1
3x = 3
3x = 3-1
x = -1
1 1
แทนค่า 3x = 3
ใน  ได้ 6 3 + 42y = 3
2 + 42y = 3
42y = 1
1
2y = 4
2y = 2-2
y = -2
y2 – 2x = (-2)2 – 2(-1) = 4 + 2 = 6
ตอบ 2. 6

25. (25)
7) ถ้ า A เป็ น 22 เมตริกซ์ 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0
และ det (A) เป็ นจํานวนเต็ม แล้ วข้ อใด (Ent. 48 คณิต 2)
1. det (A)  10 2. 10  det (A)  20
3. 20  det (A)  30 4. det (A)  30
แนวคิด
จาก 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0
( det(A) = det(At) det( (A-1)t = det( (A-1) )
1 9
det(3(A-1)t) = 32det( (A-1)t) = 9det(A-1) = 9  det( A) = det( A)
9
2det (A) + 3  det( A) – 55 = 0
9
2det (A) det (A) + 3  det( A) det (A) – 55 det (A) = 0det (A)
2det2(A) + 27 – 55det (A) =0
2det2(A) – 55det (A) + 27 =0
(2det(A) – 1)(det(A) – 27) =0
1
ได้ det(A) = 2
, 27
แต่กําหนดให้ det (A) เป็ นจํานวนเต็ม
det(A) = 27
9
แต่ det(3(A-1)t) = det( A)
แสดงว่า det (A)  0
1. det (A)  10
ตัวเลือก 2. 10  det (A)  20
และ ตัวเลือก 4. det (A)  30 ผิด
ตอบ 3. 20  det (A)  30

26. (26)
 x2 1  x 1 x
9) กําหนดให้ A  และ B
 1 x  x x  1

ถ้ า det (2A) = 28 แล้ ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด (Ent. 48 คณิต 2)
แนวคิด det(kA) = kmdet(A)
det(AB) = det(A) det(B)
1
det(A-1) = det( A)
จากกําหนดให้ det (2A) = 28 ได้ 22det (A) = 28
det (A) = 7
 x2 1
แต่จาก A  ได้ det(A) = x3 – 1
 1 x
x3 – 1 = 7
x3 = 8
x=2
 x 1 x
แต่จาก B
 x x  1

ได้ det(B) = (x-1)(x-1) – (-x2) = x2 – 2x + 1 + x2 = 2x2 – 2x + 1
แทน x = 2 ใน det(B) = 2x2 – 2x + 1
ได้ det(B) = 2(2)2 – 2(2) + 1 = 8 – 4 + 1 = 5
เพราะว่า det (AB-1) = det (A) det (B-1)
1
= det (A) det( B )
1
= 75
7 7
= 5
ตอบ 5
……The End……