1. Një vështrim mbi konceptet e probabilitetit
Qëllimet: Pas përfundimit të kësaj ligjerate ju duhet të jeni në gjendje që të:
 Definoni probabilitetin.
 Kuptoni termet: eksperimenti (prova), rezultati, ngjarja.
 Përshkruani qasjet klasike, empirike dhe subjektive të
probabilitetit dhe të bëni dallimet në mes të tyre.
 Njihni disa nga rregullat e llogaritjes së probabiliteteve.
 Definoni termet: probabiliteti i kushtëzuar dhe probabiliteti i
përbashkët.
 Të konstruktoni një diagram në formë peme
 Të kakuloni probabilitetin përmes Teoremes së Bayes-it
 Përcaktoni numrin e permutacioneve dhe kombinacioneve
Probabiliteti
 Probabiliteti është një matës numerik për E sigurt
1
gjasat se një ngjarje do të ndodhë.
 Probabiliteti i një ngjarje duhet të jetë në
mes të 0 dhe 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1 Për çfarëdo ngjarje A
0.5
 Shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve
reciprokisht përjashtuese/të papajtueshme/ duhet
të jetë i barabartë me 1.
P(A)  P(B)  P(C)  1
Nëse A, B, dhe C janë reciprokisht
përjashtuese dhe te domosdoshme 0 E pamundur
1

2. 5-3
Definicionet
 Probabiliteti: Matja e gjasave se një ngjarje e
pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen; mund të
marrë vlera vetëm në mes të 0 dhe 1.
 Prova/Eksperimenti: Vështrimi (vrojtimi ) i disa
aktiviteteve ose veprimi i marrjes së ca matjeve,
gjegjësisht një proces që shpien deri te paraqitja e një
(dhe vetëm një) nga disa vrojtime të mundshme.
 Rezultati: Rezultati i pjesshëm i një eksperimenti.
 Ngjarja: Grumbullimi i një apo më shumë rezultateve
të një eksperimenti.
 Hapësira e mostrës/ Rezultatet e mundshme
Hapësira e mostrës/ rezultatet e mundshme
Hapësira e mostrës /është mbledhja e të gjitha
ngjarjeve të mundshme
p.sh. Të gjitha faqet e zarit/kubit (6):
P.sh. Të gjitha letrat e bixhozit (52):
2

3. Shembuj të eksperimentit, rezultatit dhe hapsirës së mostrës
Eksperimenti Rezultati Hapësira e mostrës
Gjuajtja e monedhës Stema (S) , numri (N) S= { Stema, Numri}
Gjuajtja e zarit 1,2,3,4,5,6 S= { 1, 2, 3,4, 5, 6}
Gjuajta e monedhës dy herë NN, NS, SN, SS S = {NN, NS, SN, SS}
Loja në lotari Fitim, Humbje S ={ Fitim, Humbje}
Dhënja e provimit Me kalu, mos me kalu S ={Me kalu, mos me kalu}
Zgjedhja e studentëve Mashkull, Femër S= {Mashkull, Femër}
Ngjarjet
 Ngjarje e thjeshtë/ elementare
 Një rezultat nga të gjitha rezultatet e mundshme me një
karakteristikë.
 P.sh., Karta e kuqe nga letrat e bixhozit, renja e stemes,
 Ngjarje komplementare e A (e shënuar~A, lexohet” JoA)
 Të gjitha rezultatet që nuk janë pjesë e ngjarjes A
 P.sh. Të gjitha letrat që nuk janë me shenjën e rombit.
 Ngjarje e përbashkët
 Përfshin dy e më shumë karakteristika/ngjarje që
paraqiten njëkohësisht.
 P.sh., Një As që është gjithashtu i kuq.
3

4. Vlerësimi i probabilitetit/Qasjet e probabilitetit
 Janë tri qasje për vlerësimin e probabilitetit të ndodhjes së një
ngjarje të pasigurt:
1. a priori probabiliteti klasik
m numri i rezultateve te favorshme
probabiliteti  
n numri total i rezultateve te mundshme
2. a posteriori probabiliteti klasik empirik/frekuenca relative
Numri ngjarjeve qe kane ndodhur ne te kaluaren m
Probabiliteti = 
Numri total i vrojtimeve n
3. Probabiliteti subjektiv
Një vlerësim apo opinion individual rreth
probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes.
5-4
Qasjet e probabilitetit
 Probabiliteti klasik bazohet në supozimin se rezultatet
e një eksperimenti kanë mundësi të barabarta.
 Sipas pikëpamjes klasike ,
Numri i rezultateve tefavorshme
Probabiliteti i nje ngjarje =
Numrii pergjithshem i rezultateve te mundshme
m
P
n
4

5. 5-5
SHEMBULL 1
 Marrim në konsiderim eksperimentin e hudhjes së dy
monedhave metalike në të njejtën kohë.
 Numri i rasteve të mundshme S = {NN, NS, SN, SS}
 Marrim në konsiderim ngjarjen për një N.
 Probabiliteti për me ra nje herë numri =2/4 = 1/2.
5-6
Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të
papajtueshme
 Ngjarjet reciprokisht përjashtuese/të
papajtueshme/: Paraqitja e ndonjë ngjarje
nënkupton se të tjerat nuk mund të ndodhin në të
njejtën kohë.
 Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e
mundshme janë reciprokisht përjashtuese/ të
papajtueshme.
5

6. 5-7
Ngjarjet e domosdoshme
 Ngjarjet e domosdoshme : Më së paku një
ngjarje duhet të ndodhë kur bëhet një eksperiment.
 Në SHEMBULLIN 1, katër rezultatet e mundshme
janë ngjarje të domosdoshme. Me fjalë të tjera
shuma e probabiliteve është = 1 (0.25 + 0.25 +
0.25 + 0.25).
5-8
Koncepti i frekuencave relative/Koncepti empirik
Qasja a-posteriori
 Probabiliteti i një ngjarje që ka ndodhur në afat të
gjatë përcaktohet nga vështrimi se çfarë pjese e
kohës si ngjarja ka ndodhur në të kaluarën:
Numri i rezultateve qe kane ndodhur ne te kaluaren
Probabiliteti i nje ngjarje=
Numri total i vrojtimeve
6

7. Probabiliteti empirik/koncepti i frekuencave relative
Supozojme se dëshirojmë të llogaisim probabilitetet e këtyre
ngarjeve:
- Probabilitetin se automobili i ardhshëm i prodhuar nga fabrika
do të jetë me “defekt”.
- Probabilitetin se një familje e zgjedhur rastësisht ka shtëpi te
veten.
- Probabilitetin se një grua e zgjedhur rastësisht nuk e punë
duhanin.
- Probabilitetin se një tetëdhjetëvjeçar do të jetoj më së paku
edhe një vjet, etj.
Shembull
 Dhjetë nga 500 automobila të zgjedhur rastësisht të
prodhuar në një fabrikë kanë qenë me defekt. Sa
është probabiliteti që automobili i ardhshëm i
prodhuar nga kjo fabrikë të jetë me defekt.
 n=500 P(A) = 10/500=0.02
 m=10 Shpërndarja e frekuencave dhe frekuencave relative në
mostrën prej 500 automobilave
Automobili Frekuenca Frekuenca relative
I rregullt 490 490/500=0.98
Me defekt 10 10/500=0.02
Gjithsej 500 1.00
7

8. 5-9
SHEMBULL
 Përgjatë karrierës së saj prof. Anitë ka shpërblyer
186 studentë me A nga 1200 studentë sa ajo i ka
mësuar. Sa është probabiliteti që studenti në
departamentin e saj në këtë semestër do të marrë
A?
 Duke aplikuar konceptin e frekuencave relative
probabiliteti për një A është
 P(A)= 186/1200=0.155
5-10
Probabiliteti subjektiv/ Qasja subjektive
 Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e
një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar
në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin
personal dhe analizës së situatave të veçanta.
 Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si
vijon:
- Vlerësimi i probabilitetit se klubi futbollistik “X” do të luajë vitin
e ardhshëm në ligën e kampionëve.
- Vlerësimi i probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga
ndonjë lëndë e caktuar, etj
8

9. Disa rregulla të probabilitetit
Rregullat e
probabilitetit
Rregullat Rregullat e
aditive multiplikatorit
(të mbledhjes) (e shumëzimit)
Rregulla e Rregulla e Rregulla e Rregulla e Rregulla e
veçantë plotësuese përgjithshme veçantë e përgjithshme
aditive komplementare aditive multiplikatorit e multiplikatorit
5-11
Rregullat bazë të probabilitetit
 Nëse ngjarjet janë reciprokisht përjashtuese, atëherë ndodhja e
ndonjë nga ngjarjet pamundëson ndodhjen e ngjarjeve të tjera.
 Rregullat aditive ( të mbledhjes): Nëse dy ngjarje A dhe B janë
reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se
probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën
e probabiliteteve të tyre.
P(A ose B) = P(A) + P(B)
 Rregulla e veçantë aditive P(A ose B ose C ) = P(A) + P(B) + P(C)
9

10. Shembull
 Një makinë automatike mbush qese të plastikës me
perime të ndryshme. Shumica prej tyre janë mbushur
në mënyrë pothuajse korrekte, disa më pak e disa më
shumë.
• Sa është probabiliteti që pakot
në përgjithësi të jenë më pak të
mbushura ose më shumë të
mbushura.
Shembull-vazhdim
Pesha Ngjarja Nr.i paketimeve Probabiliteti
Më pak se normalja A 100 0.025
Pesha normale B 3600 0.9
Më shumë se normalja C 300 0.075
Totali 4000 1
• P(A ose C)= P(A)+P(C)=
0.025 + 0.075 = 0.1
10

11. 5-14
Rregulla plotësuese/komplementare
 Rregulla plotësuese/komplementare /përdoret për
probabilitetin se një ngjarje që do të ndodhë përmes
heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të
ndodhë nga 1.
 Nëse P(A) është probabiliteti i ngjarjes A dhe P(~A)
është plotësues i A, atëherë P(A) + P(~A) = 1 ose
P(A) = 1 - P(~A).
5-15
Rregulla komplemenare/plotësuese vazhdim
 Diagrami i Ven-it (J.Venn 1834-1888) ilustron
rregullën komplementare që do të duket si në vijim:
A ~A
11

12. 5-17
SHEMBULL 4 vazhdim
 P(A ose B) = 1 – P(~(A ose C) = 1 – 0.9= 0.1
A C
0.025 0.075
~(A ose C) = 1- 0.9 = 0.1
5-18
Rregulla aditive e përgjithshme
 Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë
reciprkisht përjashtuese , atëherë ,
P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese:
 P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B)
12

13. 5-19
Rregulla aditive e përgjithshme
 Diagram i Ven-it ilustron këtë rregull:
B
A dhe B
A
5-20
SHEMBULL
 Në një repart montimi me 50 punëtorë, çdo punëtorë duhet të
kryejë punën e tij në kohë dhe në cilësi. Në fund të punës
menaxheri ka konstatuar se 5 punëtorë kanë përfunduar punën me
vonesë, 6 punëtorë kanë bërë montim me defekt dhe 2 të tjerë
kanë përfunduar me vonesë dhe kanë bërë montim me defekt të
pjesëve të produktit.
Produkti është
montuar me defekt
6
Bashkë
Puna kryhet 2
me vonese
5
13

14. 5-21
SHEMBULL vazhdim
 Nëse punëtori zgjedhet rastësisht , sa është
probabiliteti që ai të ketë kryer punën me vonesë,
ti ketë montuar pjesët me defekt, të jetë vonuar
dhe të ketë montuar me defekt.
 P(A) = Puna kryhet me vonesë.
 P(B) = Produkti është montuar me defekt
 P(A dhe B) = Puna kryhet me vonesë dhe produkti
montohet me defekt
SHEMBULL vazhdim
 P(A)= 5/50= 0,1 – Probabailiteti se puna kryhet
me vonesë;
 P(B) = 6/50=0.12- Probabiliteti se produkti është
montuar me defekt;
 P(A dhe B) = 2/50=0.04- Probabiliteti se puna
është vonuar dhe produkti është montuar me defekt.
14

15. 5-22
SHEMBULL vazhdim
 Nëse punëtori zgjedhet rastësisht, sa është
probabiliteti që ai të jetë vonuar dhe të ketë
montuar pjesët me defekt?
 P(A ose B) = P(A) + P(B) - P(A dhe B) =
0.10+0.12-0.04=0.18
Vlera 0,18 mund të interpretohet si probabilitet që një
punëtor të marrë një vlerësim të dobët për punën e tij.
Shembull
• Studenti është duke mbajtur dy kurse në histori dhe
matematikë. Probabiliteti se studenti do ta jap historinë është
0.60, kurse probabiliteti se do ta jap matematikën është 0.70.
Probabiliteti se do t’i kaloj të dyja është 0.50. Sa është
probabiliteti se së paku do ta jap njërin provim.
• Shënojmë ngjarejt :
• A= Studenti jep provimin e historisë
• B= Studenti jep provimin e matematikës
• B dhe A- Studenti jep të dyja provimet
Atëherë:
• P(A ose B) = P(A) + P(B) – P (A dhe B)= 0.60+0.70-0.50
=0.8.
15

16. Rregulla e multiplikatorit-shumëzimit
 Rregulla e multiplikatorit/shumëzimit përdoret për
gjetjen e probabiliteteve që mund të ndodhin
njëkohësisht. Janë dy rregulla të shumëzimit:
 Rregulla e veçantë e shumëzimit
 Rregulla e përgjithshme e shumëzimit
5-24
Rregulla e veçantë e multiplikatorit
• Rregulla e veçantë e multiplikatorit kërkon që dy
ngjarje A dhe B të jenë të pavarura.
• Dy ngjarje A dhe B janë të pavaura nëse ndodhja e
njërës nuk ka efekt në probabilitetin e ndodhjes së
tjetrës.
• Rregulla e veçantë e multiplikatorit është:
P( Adhe B)  P( A)  P( B)
• Për tri ngjarje të pavarura rregulla e Multiplikatorit
P( Adhe B dheC )  P( A)  P( B)  P(C )
16

17. 5-25
SHEMBULL
 Shpendi posedon dy fletëaksione të cilat janë të
pavaruara nga njëra tjetra. Probabiliteti që
fletëaksioni A të rritet në vlerë në vitin e ardhshëm
është 0.5. Probabiliteti se vlera e aksionit B do të
rritet në vitin e ardhshëm është 0.7
 Sa është probabiliteti se vlera e të dy aksioneve do
të rriten vitin e ardhshëm?
 P(A dhe B) = (0.5)(0.7) = 0.35.
Probabiliteti me kusht
 Probabilitetiti i një ngjarje ndikohet nga ndodhja apo
mosndodhja e një ngjarje tjetër të lindur nga e njejta
provë.
 Le ta zëmë se kemi një ngajrje A me probabilitet P(A).
Marrja e një informacioni të ri për ndodhjen e një
ngjarje tjetër B që ka lidhje me ngjarjen A na detyron
të rivlerësojmë edhe njëherë shansat e ndodhjes së
ngjarjes A. Probabiliteti i ri i ngjarjes A, i llogaritur në
kushtet kur ka ndodhur ngjarja B, quhet probabilitet me
kusht i ngjarjes A dhe shënohet me simbolin P(A/B) dhe
llogaritet me formulat vijuese:
17

18. Llogaritja e probabilitetit me kusht
 Probabiliteti me është probabiliteti i një ngjarje, duke
ditur se një tjetër ngjarje ka ndodhur :
P(A dhe B) Probabiliteti me kusht i
P(A|B)  A duke ditur se B ka
P(B) ndodhur
P(A and B) Probabiliteti me kusht i
P(B | A)  B duke ditur se A ka
P(A) ndodhur
Ku: P(A dhe B) = probabiliteti i përbashkët i A dhe B
P(A) = Probabiliteti margjinal i A
P(B) = Probabiliteti margjinal i B
Llogaritja e probabilitetit me kusht- Shembull
•Rezultatet e një studimi të tregut që kanë përfshirë 1000 persona që janë
pyetur se cilin preferonin nga dy produktet konkurruese. Tabela jep klasifikimin e
personave sipas gjinisë dhe produktit që ata preferojnë.
Gjinia Produkti A Produkti B Totali
(A) (B)
Meshkuj (M) 200 300 500
Femra ( F) 100 400 500
Gjithsej 300 700 1000
•Sa është probabiliteti se një person i zgjedhur rastësisht preferon
produktin B kur dihet se ai është femër.
18

19. Llogaritja e probabilitetit me kusht- Shembull
Shenojmë me :
M= (Personi i pyetur është mashkull) …P(M)=500/1000= 0.5
F= (Personi i pyetur është femër)………P(F) = 500/1000=0.5
A= (Personi i pyetur preferon produktin A)…P(A) = 300/1000=0.3
B= (Personi i pyetur preferon produktin B)…P(B) = 700/1000=0.7
Gjejmë edhe probabilitetet tjera:
P (M dhe A) = 200/1000=0.2; P(M dhe B) =300/100=0.3;
P( F dhe A) =100/1000=0.1. P(F dhe B)= 400/1000= 0.4
Probabiliteti me kusht se personi i zgjedhur preferon produktin B duke ditur se
është femër është:
P(B/F)=400/500=0.8
P(Bdhe F) 0.4
Ose P(B|F)    0.8
P(F) 0.5
Komentimi i rezultateve
 Llogaritja e probabilitetit me kusht na mundëson që
të bëjmë analiza të ndryshme:
P.sh.
 P(B/F)=0.8- probabiliteti i preferencës së produktit
B nga femrat
 P(B/M)= 0.6 – probabiliteti i preferencës së
produktit B nga meshkujt.
 Rezultatet na tregojnë se femrat e preferojnë më
shumë produktin B se sa meshkujt.
19

20. Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit
 Ne përdorim rregullën e përgjithshme të
multiplikatorit /të shumëzimit , për të gjetur
probabilitetin e përbashkët për dy apo më shumë
ngjarje kur ato nuk janë të pavarura, gjegjësisht
varen nga njëra tjetra.
 P.sh. Kur ngjarja B ndodh pas ndodhjes së ngjarjes A
dhe A ka një efekt në gjasat e ndodhjes së ngjarjes
B, atëherë ngjarja A dhe B nuk janë të pavarura.
5-28
Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit
 Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit përdoret për të
gjetur probabilitetin e përbashkët se dy ngjarje që do të
ndodhin dhe definohet kësisoji: për dy ngjarje A dhe B,
probabiliteti i përbashkët se të dy ngjarjet do të ndodhin
gjindet përmes shumëzimit të probabilitetit se ngjarja A do
të ndodhë me probabilitetin e kushtëzuar të B duke ditur se
ngjarja A ka ndodhur.
P( Adhe B)  P( A)  P( B / A)
OSE:
P( Adhe B)  P( B)  P( A / B)
20

21. Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit- shembull
 Shembull: Supozojme se në një kuti ka 10 rollne të filmit, ku tri prej
tyre janë me defekt. Një rollne zgjedhet nga kutia rastësisht.
Probabiliteti që filmi të jetë me defekt është 3/10 kurse
probabiliteti që filmi të jetë në rregull është 7/10. Mandej filmi i
dytë nxirret nga kutia pa e kthyer filmin e parë në kuti. Probabiliteti
se filmi i dytë është me defekt ndikohet nga ngjarja paraprake që
filmi është me defekt apo pa defekt. Probabiliteti se filmi i dytë
është me defekt mund të jetë:
 - P (Rollna e dytë është me defekt/rollna e parë ka qenë me
defekt) është 2/9 ( Vetëm dy rollne kanë mbetur me defekt)
 - P (Rollna e dytë është me defekt/rollna e parë ka qenë pa defekt)
është 3/9 ( Ende të tri rollnet me defekt kanë mbetur në kuti).
Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit- shembull - vazhdim
 Nëse me D1 shënojmë probabilitetin se filmi i parë është me
defekt, atëherë P(D1 )=3/10
 Nese me D2 shënojmë probabilitetin se rollna e dytë e filmit është
me defekt- atëherë probabiliteti P(D2 /D1 ) = 2/9, sepse pas
zgjedhjes së parë është parë se filmi është me defekt, kështu që
vetëm 2 rrollne kanë mbetur me defekt.
 Probabiliteti për dy rollne me defekt është :
 P(D1 dhe D2 ) = P(D1 )* P(D2 /D1 ) = (3/10)*(2/10)=0.07
21

22. 5-28
Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit
 Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit mund të
zgjerohet edhe për më shumë se dy ngjarje.
 Për tri ngjarje formula do të ishte:
P( Adhe B dheC )  P( A)  P( B / A)  P(C / Adhe B)
Për ilustrim, probabiliteti se tri rolnet e para të zgjedhura do të
jenë me defekt is 0.00833 i gjetur përmes :
P( D1 dhe D2 dhe D3 )  P( D1 )  P( D2 / D1 )  P( D3 / D1 dhe D2 ) 
3 2 1 6
     0.00833
10 9 8 720
Shembull
 Bordi i drejtorëve të firmës “X” përbëhet nga 8
meshkuj dhe katër femra. Një komitet prej katër
anëtarëve duhet të zgjidhet në mënyrë të
rastësishme për të rekomanduar presidentin e ri të
kompanisë.
a) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët e këtij
komiteti të jenë femra?
b) Sa është probabiliteti që të katër anëtarët të jenë
meshkuj.
c) Shuma e probabiliteteve për A dhe B a është e
barabartë me 1? Spjego.
22

23. Zgjidhje
 a) 0.002
 4   3   2  1
            0.002
 12   11   10   9 
 b) 0.14
 8   7   6   5  1680
          0.1414
 12   11   10   9  11880
Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit - Shembull
 Në një anketë, punëtorët e kompanisë ,X’’, në
pyetjen se: Nëse do t’iu ipej një mundësi për të
punuar në një kompani tjetër, me pozitë të njejtë
apo më të mirë se kjo që keni tani, do të dëshironit
ta ndërronit?
 Përgjigjet e tyre janë të klasifikuara në bazë të
përvojës së tyre në atë kompani sipas tabelës
vijuese:
23

24. Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit - Shembull
Lojaliteti i punëtorëve ndaj kompanisë dhe përvoja e tyre e punës
Përvoja > Me pak 1-5vite 6-10 vite Më shumë Totali
se një vit se 10 vite
B1 B2 B3 B4
Do të 10 30 5 75 120
qëndrojnë
A1
Nuk do të 25 15 10 30 80
qëndrojnë
A2
Totali 35 45 15 105 200
Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit - Shembull
 Sa është probabiliteti se një punëtor i zgjedhur
rastësisht nga kjo kompani do të qëndrojë në atë
kompani dhe ka më shumë se 10 vjet përvojë pune ?
Këtu shohim se dy ngjarje do të ndodhin
njëkohësisht- do të qëndrojë në kompani dhe ka
përvojë pune më shumë se 10 vjet.
24

25. Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit - Shembull
1. Ngjarja A1 ndodh nëse rastësisht zgjedhet një punëtor që do
të qëndrojë në kompani përkundër kushteve më të mira të
orfruara nga një kompani tjetër. P(A1 )=120/200= 0.6
2. Ngjarja e dytë ndodh nëse rastësisht zgjedhet një punëtor që
ka më shumë se 10 vjet përvojë pune. Kështu P(B4 /A1 ) është
probabiliteti me kusht që një punëtor me më shumë se 10 vjet
përvojë pune do të qëndrojë në kompani.
 Duke ju referuar të dhënave nga tabela, 75 nga 120
punëtorë që do të qëndrojnë në kompani kanë më shumë se
10 vjet përvojë pune, kështu që probabiliteti me kusht është:
 P(B4 /A1 )=75/120.
Rregulla e përgjithshme e multiplikatorit - Shembull
 Duke përdorur rregullën e multiplikatorit do të
gjejmë probabilitetin se një person i zgjedhur
rastësisht do të qëndrojë në kompani dhe ka më
shumë se 10 vjet përvojë pune.
P (A1 dhe B4 )  P (A1 )  (B4 / A1 ) 
 120   75  9000
    0.375
 200   120  24000
25

26. Diagrami në formë peme
 Diagrami në formë peme është shumë i dobishëm për
llogaritjen e probabilitetetve të kushtëzuara dhe të përbashkëta
dhe veçanërisht i dobishëm për marrjen e vendimeve në biznes
që përfshijnë disa faza.
 Mund të përdoret për të treguar rezultatet e dy apo më
shumë ngjarjeve.
 Çdo degë prezanton rezultatet e mundshme të një ngjarje .
 Probabiliteti i çdo njërës shkruhet në degë .
 Rezultati final varet nga rruga që e marrim nëpër pemë.
Ne do të përdorim të dhënat e tabelës së fundit për të
parë se si konstruktohet diagarmi në formë peme.
26

27. Konstruktimi i Diagramit në formë peme
1. Për të konstruktuar diagramin ne fillojmë me një pikë të trashë në
anën e majtë për të prezantuar rrënjët e pemës.
2. Për problemin e paraqitur parprakisht, dy degë kryesore dalin nga
rrënjët, e sipërmja që prezanton “Do të qëndrojnë“ dhe e
poshtmja që paraqet “Nuk do të qëndrojnë“. Probabilitetet e tyre
shënohen në degë, zakonisht 120/200 dhe 80/200. Këto
probabilitete mund të shënohen edhe P(A) dhe P(~A).
3. Katër degë të tjera “rriten” prej dy të degëve kryesore. Këto
degë prezantojnë përvojën e punës në kompani: më pak se 1 vit;
1-5 vjet; 6-10 vjet dhe më shumë se 10 vjet. Probabilitetet me
kusht për degën e sipërme të pemës 10/120; 30/120; 5/120; e
kështu me radhë shënohen në degën përkatëse.
Konstruktimi i Diagramit në formë peme - vazhdim
4. Përfundimisht probabilitet e përbashkëta, që janë ngjarjet A1 ,
dhe Bj ose ngjarjet ~A dhe Bj do të shfaqen bashkë dhe janë
të treguara në anën e djathtë të pemës. P.sh. Probabiliteti i
përbashkët për një punëtor të zgjedhur rastësisht se do të
qëndrojë në kompani dhe ka më pak se një vit përvojë pune,
duke u bazuar në formulë dhe në diagramë të pemës është:
P (A1 dhe B1 )  P (A1 )  (B1 / A1 ) 
 120   10  9000
    0.05
 200   120  24000
Meqenëse probabilitet e përbashkëta paraqesin të gjitha rezultatet e
mundshme, atëherë shuma e tyre duhet të jetë e barabartë me 1.00
27

28. Formula e probabilitetit të plotë
Teorema e Bayes - it
 Në shekullin e 18th Reverend Thomas Bayes, një
ministër angles i ka shtruar vetit pyetje. A ekziston me
të vertetë Zoti?
 Duke qenë i interesuar në matematikë ai ka tentuar të
zhvillojë një formulë që të arrijë te probabiliteti se
Zoti ekziston bazuar në evidenca të disponueshme në
tokë.
 Më vonë Laplace e ka ridefinuar punën e Bayes-it dhe
i ka dhënë emrin “ Teorema e Bayes-it”
28

29. Teorema e Bayes’t
P( A1) * P( B | A1)
P( A1 | B) 
P( A1) * P( B | A1)  P( A2) * P( B | A2)
Simbolet e formul[s do t[ spjegohen p[rmes shembullit
vijues, mir[po, k[to simbole kryesisht i referohen probabiliteteve
me kusht
Shembull
 Një prodhues kompjuterësh blen një qark të integruar nga tre
furnizues të ndryshëm I, II, III.
 Prodhuesi merr 30% të qarqeve nga furnizuesi i parë, 20% nga
furnizuesi i dytë dhe 50% nga furnizuesi I tretë.
 Nga përvoja e mëhershme dihet se3 % e qarqeve të marra nga
furnizuesi i parë , 5% e qarqeve nga furnizuesi i dytë dhe 4%
nga furnizuesi i tretë janë me defekt.
 Detyrë
1. Llogaritni probabilitetin që një qark i integuar, i cili kontrollohet
para se të vendoset në kompjuter të jetë me defekt.
2. Sa është probabiliteti që qarku me defekt të jetë nga furnizuesi
i dytë.
29

30. Shembull- zgjidhje
 Së pari përmbledhim informacionet me të cilat disponojmë:
 Kemi tri ngjarje që janë tre furnizues/ Probabilitetet e njohura/apriori janë
 A1 Qarku blehet nga furnizuesi i parë……P(A1)= 0.30
 A2 Qarku blehet nga furnizuesi i dytë……. P(A2)= 0.20
 A3 Qarku blehet nga furnizuesi i tretë…….. P(A3)= 0.50
Informata të tjera plotësuese janë :
B1 - Qarku është me defekt
B2 - Qarku është i rregullt / jo me defekt
Pobabilitet e kushtëzuara janë si më poshtë:
P(B1/A1 )= 0.03- Prob. se një qark është nga furnizuesi i parë.
P(B1/A2 )= 0.05- Prob. se një qark është nga furnizuesi i dytë.
P(B1/A3 )= 0.04- Prob. se një qark është nga furnizuesi i tretë.
Shembull- zgjidhje
 Informacionin mund ta japim edhe përmes tabelës
vijuese:
Ngjarjet Ai Probabilitetet Probabilitetet Probabiliteti i Probabiliteti i
e njohura e kushtëzuara përbashkët rishikuar/aposteriori
P( A1) P(B 1/Ai) P(A I dhe B1) P(Ai/B 1)
Furnz. i pare 0.3 0.03 0.009 =0.3 x0.03 0.009/0.039=0.2308
Furnz. i dytë 0.20 0.05 0.010=0.20x0.05 0.010/0.039=0.2564
Furnz. i tretë 0.5 0.04 0.020=0.5x0.04 0.020/0.039=0.5128
P(B 1 )=0.039 1.0000
(probabiliteti total)
30

31. Shembull- zgjidhje
Probabiliteti se qarku me defekt është nga furnizuesi i parë
mund të gjindet me Teoremën e Bayes-it. Ne dëshirojmë të
llogarisim P(A2/B1 ), ku A2 i referohet furnizuesit të dytë dhe B1
faktit se qarku i zgjedhur është me defekt.
P( A2 )  P( B1 | A2 )
P( A2 | B1 )  
P( A1)  P( B1 | A1)  P( A2)  P( B1 | A2)  P( A2)  P( B1 | A3)
(0.20)  (0.05)
 
(0.30)  (0.03)  (0.20)  (0.05)  (0.50)  (0.04)
0.010
  0.2564
0.039
5-37
Disa parime të llogaritjes
 Rregullat për llogaritjen e numrit të rezultateve të mundshme:
 Rregulla 1.
 Formula e Multiplikatorit: Nëse ka m mënyra për ta bërë
një gjë dhe n mënyra për ta bërë një tjetër , atëherë ka m
x n mënyra për t’i bërë të dyja.
 Shembull 10:
Ju dëshironi të shkoni në park, të hani në restaurant dhe të
shihni filma. Janë 3 parqe, 4 restaurante dhe 6 kinema. Sa
kombinime të ndryshme të mundshme janë:
 Përgjigje:
 3 x 4 x 6 =72 mundësi të ndryshme
31

32. Rregullat e llogaritjes
(vazhdim)
• Rregulla 2
– Mënyrat se si mund të rregullohen n elemente sipas
rregullit është:
n! = (n)(n – 1)…(1)
– Shembull:
• Restorani i juaj ka pesë zgjedhje në menynë e tij. Në
sa mënyra ju mund të porositni për menynë tuaj?
Përgjigje:
5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 mundësi të ndryshme.
Rregullat e llogaritjes
(vazhdim)
 Rregulla 3.
 Permutacionet: çdo regullim i X elementeve i zgjedhur nga
n elementet e mundshme.
n!
n Px 
(n  X)!
 Shembull:
 Restauranti i juaj ka pesë zgjedhje në meny, kurse tri duhet
të zgjidhen për drekë. Sa mënyra të ndryshme mund të
porositet dreka?
n! 5! 120
Përgjigje: n Px     60
(n  X)! (5  3)! 2
.
Vërejte: Renditja e rregullimit të elementeve është e rëndësishme te
permutacionet.
32

33. Rregullat e llogaritjes
(vazhdim
 Rregulla 4
 Kombinacionet: Numri i mënyrave të zgjedhjes së x
elementeve nga grupi i n elementeve pa respektuar
renditjen
n!
n Cx 
X! (n  X)!
 Shembull:
 Restauranti i juaj ka pesë meny për zgjedhe dhe tri duhet të
zgjidhen për drekë . Sa mënyra të ndryshme mund të bëhet
kombinimi duke injoruar rregullin e zgjedhjes.
n! 5! 120
 Përgjigje: Cx     10
X! (n  X)! 3!(5  3)! (6)(2)
n
Konceptet kyçe
Probabiliteti Ngjarjet e domosdoshme
Eksperimenti Ngjarjet e kushtëzuara
Rezultati Regulla aditive e
Ngjarja thjeshte
Hapësira e mostrës Rregulla aditive e
Probabiliteti apriori përgjithshme
Probabiliteti aposteriori Rregulla komplementare
Probabiliteti subjektiv Rregulla e multiplikatorit
Ngjarje e thjeshtë Rregulla e përgjithshme
e multiplikatorit
Ngjarje komplementare
Permuatacionet
Ngjarjet e papajtueshme
Kombinacionet
Variacionet
33