1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
16 de Abril al 20 de Abril
TOPOLOG´ I
IA
REPASO:
Definici´n de Alexandroff :
o
Sea X un conjunto no vac´ Entonces τ ⊂ 2X es una topolog´ sobre
ıo. ıa
X si:
i) τ es estable bajo uniones arbitrarias.
ii) τ es estable bajo intersecciones finitas.
iii) φ ∈ τ y X ∈ τ (redundante)
Sea (X, τ ) un espacio topol´gico.
o
Si A ∈ τ , entonces A es un conjunto abierto.
Definici´n 2.6: Sean (X, τ ) y (Y, τ ) espacios topol´gicos, y f : X −→ Y
o o
−1
una funci´n. Se dice que f es (τX − τY )-continua si f (V ) ∈ τX , ∀V ∈ τY
o
Definici´n 2.7: Sean (X, τ ) y (Y, τ ) espacios topol´gicos, y f : X −→ Y
o o
una funci´n. Se dice que f es abierta si f (U ) ∈ τY , ∀U ∈ τX
o
Definici´n 2.8: Una funci´n f es un homeomorfismo si:
o o
i) f es biyecci´n
o
ii) f es continua
iii) f es abierta
En la categor´ de espacios topol´gicos (T ) los objetos son espacios
ıa o
topol´gicos y los morfismos son aplicaciones continuas
o
1

2. Definici´n 2.9: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico.
o o
Entonces F ⊂ X es cerrado si y s´lo si F c ⊂ τ
o
Teorema: Si es la familia de conjuntos cerrados en un espacio topol´gico
o
X, = {F ⊂ X : F es cerrado en X}, entonces:
i) es estable bajo intersecciones arbitrarias
ii) es estable bajo uniones finitas
iii) φ ∈ y B ∈ (redundante)
Demostraci´n:
o
i) {Fi }i∈I ⊂ =⇒ X − Fi ∈ τ para toda i ∈ I
As´ i∈I (X − Fi ) ∈ τ , es decir X − i∈I Fi =
ı i∈I (X − Fi ) ∈ τ
Por lo tanto i∈I Fi ∈
ii) An´logo a i)
a
Definici´n 2.10: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X. Se define
o o
la adherencia (cerradura) de A como:
A− = A⊂F F , tal que F es cerrado
TAREA 2.4
Teorema: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X. Se tiene que:
o
i) φ− = φ
ii) A ⊂ A−
iii) A−− = A−
iv) (A ∪ B)− = A− ∪ B −
Demostraci´n:o
i) φ = φ⊂F F = φ. Por lo tanto φ− = φ
−
ii) Es obvio de la definici´n
o
iii) Sabemos que si A es cerrado, entonces A = A− , como A− es cerrado,
se tiene que A− = A−−
iv) Puesto que A ⊂ A− y B ⊂ B − , tenemos que A ∪ B ⊂ A− ∪ B − ,
el cual, por ser una uni´n finita de cerrados es cerrada. Por lo tanto, dado
o
que (A ∪ B)− es el cerrado m´s peque˜o que contiene a A ∪ B, tenemos
a n
− − −
(A∪B) ⊂ A ∪B . Para demostrar la inclusi´n inversa, note que A ⊂ A∪B,
o
as´ A ⊂ (A ∪ B) e igualmente B ⊂ (A ∪ B)− . As´ A− ∪ B − ⊂ (A ∪ B)− .
ı − − −
ı
Por lo tanto (A ∪ B)− = A− ∪ B −
Observaci´n: A− es cerrado; ya que A− es intersecci´n de cerrados, y por
o o
la segunda propiedad del teorema de la familia de conjuntos cerrados: A− ∈
2

3. Definici´n de Kuratowski: Sean X un conjunto, y ϕ : 2X −→ 2X una
o
funci´n tal que:
o
i)ϕ(φ) = φ
ii) A ⊂ ϕ(A), ∀A ∈ 2X
iii) ϕ(ϕ(A)) = ϕ(A), ∀A ∈ 2X
iv) ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) ∪ ϕ(B), ∀A, B ∈ 2X
Si = F ∈ 2X : ϕ(F ) = F , entonces define una topolog´ sobre X
ıa
Observaciones:
ϕ se llama la funci´n cerradura de Kuratowski
o
En la topolog´ definida por
ıa (inducida por ϕ) se tiene que
ϕ(B) = B − , ∀B ∈ 2X
Definici´n 2.11: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y x ∈ X
o o
Se dice que V ∈ 2X es vecindad de x, si ∃W ∈ τ tal que x ∈ W ∪ V
Definici´n de Simmons [Introduction to Topology and Modern Analy-
o
sis, 1966]: V es vecindad de x si V ∈ τ
Definici´n 2.12: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico.
o o
Una familia de vecindades de x, (ηx ) se llama una base local en x si:
i) N ∈ ηx , N ∈ τ
ii) ∀A ∈ τ tal que x ∈ A, ∃N ∈ ηx , con N ⊂ A
Ejemplo: ηx = {(a, b) : a, b ∈ Q} es una base local numerable, ya que Q
es numerable.
Definici´n 2.13: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y β ⊂ τ , entonces β
o o
es una base para τ si:
∀U ∈ τ , ∃BU ∈ β tal que BU ⊂ U
Definici´n 2.14: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X
o o
−
Se dice que A es denso si A = X
Definici´n 2.15: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X
o o
X es separable si A es denso y numerable
Definici´n 2.16: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico
o o
3

4. X es completamente separable si ∃β ⊂ τ tal que β es una base numerable.
Definici´n 2.17: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico
o o
X es d´bilmente separable si para cada x ∈ X existe βx base local nume-
e
rable
Teorema: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X
o
−
Entonces A = {x ∈ X : N ∩ A = φ, ∀N ∈ ηx }
Demostraci´n:
o
Llam´mosle B a {x ∈ X : N ∩ A = φ, ∀N ∈ ηx }. Sabemos que ηx = {N ∈ τ : x ∈ N }
e
=⇒) PD. A− ⊂ B, es decir B c ⊂ A−c
Si y ∈ B c =⇒ ∃N ∈ ηy abierta tal que N ∩ A = φ =⇒ N ⊂ A− =⇒
A ⊂ N c =⇒ A− ⊂ N c =⇒ y ∈ A− =⇒ y ∈ A−c
/
As´ B c ⊂ A−c
ı
Por lo tanto A− ⊂ B
⇐=) PD. B ⊂ A− , es decir A−c ⊂ B c
Sea y ∈ A−c =⇒ y ∈ A− =⇒ ∃F cerrado tal que y ∈ F =⇒ y ∈ F c el cual
/ /
es abierto, es decir, ∃Ny = F c ⊂ ηy tal que Ny ∩A = φ =⇒ y ∈ B =⇒ y ∈ B c
/
−c c
As´ A ⊂ B
ı
Por lo tanto B ⊂ A−
Por lo tanto A− = B
Definici´n 2.18: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico, A ⊂ X y x ∈ X.
o o
Se definen:
x es punto de A aislado si ∃N ∈ ηx tal que (N − {x}) ⊂ Ac
x es punto de acumulaci´n si ∀N ∈ ηx se tiene que (N − {x}) ∩ A = φ
o
˙
Notaci´n: N − {x} = N se llama vecindad agujerada
o
Teorema: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y F ⊂ X cerrado, entonces
o
F = A ∪ B con A = {x ∈ F : x es punto aislado} y B = {x ∈ F : x es punto
de acumulaci´n de F}, A ∩ B = φ
o
˙
Nota: Si x es no aislado, entonces ∀N ∈ ηx se tiene que N ∩ A = φ por
lo tanto x ∈ Aa
4