Cours doptique géométrique

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Cours doptique géométrique

  1. 1. Cours d’optique géométriqueApplication à la photographie Année 2004-2005 DEUG SMa2 O. Jacquin mailto: ojacquin@spectro.ujf-grenoble.fr 1
  2. 2. Introduction.Qu’est ce que l’optique?L’optique est une branche de la physique qui s’intéresse à l’étude desphénomènes lumineux.Domaine très large: •Perception du monde qui nous entoure (formation des images). •Instruments d’optiques (jumelles, télescope, microscope, ...). •Propagation d’information via la lumière (fibre optique). •Sources lumineuses (laser, lampe Sodium, ...). •Détecteurs (Caméra IR, photodétecteur, matériaux SC).Cours: Optique géométrique. •Branche ancienne de l ’optique très utilisée en optique instrumentale. •Formation des images à travers un système optique. •Etude d ’instruments d’optique. •L’étude d’un système optique bien connu : l’appareil photographique. 2
  3. 3. Nature de la Lumière.Qu’est ce que la lumière?Pendant plusieurs siècles deux tendances se sont affrontées: onde-corpuscule.Au 17ème siècle: •Corpusculaire pour expliquer la réflexion (Descartes, Newton). •Ondulatoire pour expliquer la diffraction (Grimaldi, Huygens).Du 17ème au 19ème siècle: •Expériences validant l’aspect ondulatoire de la lumière (Fresnel, Maxwell) •Expériences validant l’aspect corpusculaire de la lumière ( Hertz, Einstein)Au 20ème siècle: •Dualité onde-corpuscule comme les e- (Broglie, Heisenberg, Dirac) Lumière = ondes et photons 3
  4. 4. Caractéristiques de l’onde lumineuse.Ondes: Son, Houle. Période TCaractéristiques: •Amplitude. C •Fréquence ν. [s-1] •Vitesse C. [m.s-1] •Longueur d’onde λ: λ = C = CT [m] νPhoton associé: ν •Énergie E : E=hν [j] où h est la constante de Plank h=6.626 10-34J.sCaractéristiques de l’onde lumineuse: •Onde sans support. •Propagation dans le vide à la vitesse C. •C = 299792456 m.s-1 (3 108 m.s-1 )Quelques repères •7 fois le tour de la terre en 1s. •Distance terre-soleil en ≈8min. 4
  5. 5. Ondes électromagnétiques.•La lumière visible fait partie dune grande famille de phénomènes de mêmenature: les ondes électromagnétiques.•Variation dun champ électrique et du champ magnétique, dans l’espace etdans le temps.•La lumière naturelle est donc une superposition d’ondes électromagnétiquesde différentes longueurs d’ondes (couleurs). 5
  6. 6. Visible = Spectre de l’œil. Ordre de grandeur de bleu vert rouge λvisible ≈ 1µmLœil est sensible aux radiations lumineuses dont la longueur donde est compriseentre 0.380 µm et 0.780 µm.Œil est un photodétecteur ayant une bande passante particulière. 6
  7. 7. Interaction lumière-matière.Quand la lumière rencontre un milieu homogène, isotrope et transparenton peut observer: Une interaction lumière-matière conduisant à•Réflexion: une déviation de la trajectoire de la lumière du même côté du corps doù elle est venue. Une interaction lumière-matière conduisant à•Réfraction: une déviation de la trajectoire de la lumière au moment où elle traverse deux milieux transparents. Une interaction lumière-matière conduisant à•Dispersion: la décomposition de la lumière blanche en ses différentes composantes. 7
  8. 8. Indice de réfraction.Interaction Lumière-Matière définie par 1 seule grandeur physique : vitessede la lumière v dans le matériau. CIndice de réfraction: n(λ , T , P ) = v (λ , T , P ) ≈ n(verre)≈1.5 1,53 1,525 indice de réfrcation B1 1,52Dispersion : n(λ ) = A + loi de Cauchy 1,515 λ 2 1,51 1,505 1,5 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 lambda en µmExemple à T et P ambiante : 0.486 0.589 0.656 Longueur (raie bleu de (raie D de (raie H de donde en µm lhydrogène) sodium) lhydrogène) Eau 1.3371 1.3330 1.3311 Verre 1.5157 1.5100 1.5076 8
  9. 9. Rayons lumineux.On peux également décrire la lumière par des rayons lumineux dans certain.Notion intuitive:Rayons lumineux: •Pas de signification physique mais c’est un outil très intéressant pour décrire la propagation de lumière dans des conditions bien définies. •On peut les considérer comme la trajectoire de l’énergie lumineuse (milieux isotropes). •Ils sont à la base du développement de l’optique géométrique. 9
  10. 10. Description de la lumière.Outil de description de la lumière: Ondes, Photons ou Rayons Lumineux selonle contexte considéré.Description: elle dépend de la dimension DO des objets par rapport à λ : DO>>λ DO≈λ DO<<λ Description Rayon Onde Photon Formation des Interférence - Effet Application images diffraction photoélectrique ème ème ème Apparition 17 siècle 19 siècle 20 siècle 10
  11. 11. Principe 1 de l’optique géométrique.Notions utiles: •Rayons lumineux (trajectoire de l’énergie lumineuse). •Indice de réfraction n(λ).Contexte: •Objet grand devant λ (λ≈1µm), le cm. •Milieux homogènes, transparents et isotropes.1er Principe : La lumière se propage en ligne droite.Conséquences: •Existence d’ombre. (exemple: éclipse solaire) •Pas d’interaction entre les rayons lumineux.Faisceaux lumineux : •Faisceau conique convergent. •Faisceau conique divergent. •Faisceau cylindrique. 11
  12. 12. Conséquences du principe 1.1er Principe : Existence d’ombre. (exemple: éclipse solaire)Eclipse solaire : La lune sinterpose entre le soleil et la terre. Explication avec la propagation en ligne droite de la lumièreEclipse lunaire : La terre sinterpose entre la lune et le soleil. 12
  13. 13. Principe 2 de l’optique géométrique. 2nd Principe : Loi de Snell (1621) - Descartes (1637) •Comportement de la lumière à l’interface séparant 2 milieux homogènes, transparents et isotropes, d’indice de réfraction n1 et n2. n1 n2 ? ?Deux phénomènes possibles: : •Réflexion. •Réfraction.Attention une réfraction est toujours accompagnée d’une réflexion. 13
  14. 14. Réflexion. Réflexion : n1 n2 N i1 i2Plan d’incidence: plan formé par le rayon incident et par la normale N à lasurface séparant les milieux 1 et 2.Réflexion: •Le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence et dans le milieu 1. •Le rayon réfléchi fait un angle i2 avec la N, tel que: i2=-i1 •En valeur absolue: i2=i1Surfaces réfléchissantes: •Séparation entre 2 milieux d’indices différents. •Surfaces métallisées (Lampe de poche, cadran analogique). 14
  15. 15. Réfraction. Réfraction : n1 n2 n1> n2 i1 N onde monochromatique i2Plan d’incidence: plan formé par le rayon incident et par la normale N de lasurface séparant les milieux 1 et 2.Réfraction: •Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et dans le milieu 2. •Le rayon réfracté fait un angle i2 avec N, tel que: n1sin(i1)= n2sin(i2) •Si n1> n2 alors i2> i1 sinus fonction croissante de 0 à π/2.Rappel: n dépend de λ •La réfraction dépend de λ ⇒décomposition de la lumière. •Arc en ciel. 15
  16. 16. Construction de rayons réfractés. n1< n2 i1 i1 I I H n1 n2 i2 ?Montrer que cette construction satisfaitles relations de Snell-Descartes. 16
  17. 17. Exemple de rayons réfractés. i1 i1 I H I H n1 n2 n2 n1 i2 i2 i1 i2i1 I H H n1 n2 n2 n1 I i2 Zone d’ombre 17
  18. 18. Rayons réfractés: cas limites. n1 n2 n1> n2 i1 N i2Rayon réfracté maximum. n  •n1< n2 et i2 max = arcsin 1  n   2Réflexion totale: n  •n1> n2 et i1 réflection totale > arcsin 2 n    1  •Application aux fibres optiques n2 n1 18
  19. 19. Bilan :Loi de Snell. n1> n2 n1 n2 i1 La réfraction dépend de λ i2 i2’ •Les rayons réfracté et réfléchi sont dans le plan d’incidence. •Le rayon réfléchi fait un angle ir avec la N, tel que: ir=-i1 λ λ •Le rayon réfracté fait un angle i2’ avec la N, tel que: n1(λ)sin(i1)= n2(λ)sin(i2’) •Quand n1< n2 : Rayon réfracté maximum i2max = arcsin(n2/ n1). •Quand n1> n2 : Réflexion totale pour i1>ir= arcsin(n1/ n2).Principe du retour inverse de la lumière: La symétrie de ces relations nous montreque le chemin suivi par la lumière ne dépend pas du sens de propagation.Remarque: Ces relations nous donnent des informations sur la direction depropagation de la lumière mais pas sur la quantité d’énergie réfléchie ou réfractée. 19
  20. 20. Dispersion: l’arc en ciel. 20
  21. 21. Principe 3 de l’optique géométrique.3èmé Principe : Formation des images à travers un système optique.Système optique: un système optique est un ensemble de milieux homogènes,transparents et isotropes, ou réflecteurs. En pratique, les surfaces séparant cesmilieux sont de forme géométrique simple.Système optique centré: les surfaces de séparation entre les différents milieuxsont des surfaces de révolution autour d’un même axe: Axe du système optique ouaxe optique. Cette symétrie impose que les surfaces soient perpendiculaires à l’axeoptique.Point source A: 1 point d’où partent des rayons lumineux: un faisceau coniquedivergent. n1 n1 n3 n4 n1 A 21
  22. 22. Image d’un point A.Image A’ du point A est le point de croisement des rayons émergeant du systèmeoptique. Le faisceau émergent est un faisceau conique de sommet A’.2 cas possibles: •Faisceau émergent convergent: image réelle. n1 n1 n3 n4 n1 A A’ •Faisceau émergent divergent: image virtuelle. n1 n1 n3 A’ n4 n1 A 22
  23. 23. Image d’un point A.image réelle: on a de l’énergie au point A’. Toute l’énergie est concentrée aupoint A’. Intéressant pour réaliser une réaction photochimique telle quel’impression d’une pellicule photographique.image virtuelle: on n’a pas d ’énergie au point A’. Impossible d’avoir l’image surun écran ou d’impressionner une pellicule photographique. Exemple le miroir.Pas d’image nette: dans le cas où tous les rayons issus de A ne passent par unpoint A’ alors un point donne une multitude de points. On a une image floue oupas d’image nette. 23
  24. 24. Miroir Plan.Miroir plan: surface réfléchissante plane (surface métallisée).Image d’un A: A A’ N i1 i2 • Image virtuelle. • Tous les rayons passent par A’ et ceci quelque soit A. • A et A ’ sont symétriques par construction. • Système unique: c’est le seul système pour lequel tous les rayons passent par A’, et ceci quelque soit les rayons considérés et quelque soit l ’objet A considéré. 24
  25. 25. Dioptre Plan.Dioptre plan: séparation plane entre deux milieux d’indice n1 et n2. n1 n2 n1< n2 A’ A H i1 I N i2 On a : IH = AH tan (i1 ) et IH = A H tan (i 2 ) sin (i1 ) cos(i 2 ) d où : A H = AH sin (i 2 ) cos(i1 ) 2 n  sin (i 2 ) = 1 sin (i1 ) , cos(i1 ) = 1 − sin 2 (i1 ) cos(i 2 ) = 1 −  1  sin 2 (i1 ) n Or et n  n2  2  2 n  1−  1 n  sin 2 (i1 )  n1  2  On en déduit que : A H = AH n2 1 − sin 2 (i1 ) 25
  26. 26. Dioptre Plan.On a : n n2 n 1< n 2 1 A’ A H 2 n  1 −  1  sin 2 (i1 ) n  n1  2 i1 I N A H = AH i2 n2 1 − sin 2 (i1 ) • Image virtuelle. • A’H=fct(i1) donc A’ n’est pas unique mais dépend du rayon considéré. • Image floue : tous les rayons qui passent par A ne passent pas par A’. • Si i1 petit : sin2(i)=0 alors A’H=AH n2/n1, on voit une image nette (dépend des détecteurs et plus précisément de leur résolution). •Si i1 petit : on voit alors une image nette (dépend des détecteurs et plus précisément de leur résolution). i1 petit : rayons peu inclinés (20° pour n=1.5) par rapport à l’axe optique. 26
  27. 27. i1 Petit: signification.Dans le cas précédent : sin2(i1)<<1On tracé sin2(i1) en fonction de i1: 0,5 0,4 sin(i1)^2 0,3 0,2 0,1 0 0 10 20 30 40 i1 en °sin2(i1)<<1 jusqu’à environ 20°. (facteur 10) 27
  28. 28. Illustration: dioptre Plan.Dioptre plan: séparation plane entre deux milieux d’indice 1 et 1.33 (eau). n1= 1.33 n’= 1.5 n2=1 (air) A’ A H i1 N I i2 •On peut le verre: système équivalent à un dioptre plan. •i1 petit : A’H=AH n2/n1 •Image virtuelle. •n1 >n2: La partie dans l’eau paraît plus proche. 28
  29. 29. Lame à faces parallèlesSoit 3 milieux d’indice n1, n2 et n3 séparés par deux dioptres plans distant de e. n1< n2 < n3 n1< n2 et n3= n1 i1 i1 n1 n1 I H i2 n2 e n2 P e i2 J n3 n3 i3 i3On a : n 1 sin (i1 ) = n 2 sin (i 2 ) et n 2 sin (i 2 ) = n 3 sin (i 3 )Soit : n 1 sin (i1 ) = n 3 sin (i 3 ) la déviation D = (i 3 − i1 ) ne dépend pas du milieu intermédiaire d indice n 2Dans le cas n 1 = n 3 , on a pas de déviation : D = 0, on a juste un décalage ∆. ePar construction on a dans le triangle IJH : IJ = cos(i 2 ) ePar construction on a dans le triangle IJP : ∆ = IP = IJ sin (i1 − i 2 ) = sin (i1 − i 2 ) cos(i 2 ) 29
  30. 30. Lame à faces parallèles n1< n2 et n3= n1 i1 n1 I H Dans le cas n 1 = n 3 on a pas de déviation : D = 0 i2 On a juste un décalage ∆. n2 P e e J ∆ = IP = sin (i1 − i 2 ) cos(i 2 ) n3 i3 e  sin (i2 )cos(i1 ) ∆ = IP = IJ sin (i1 − i2 ) = sin (i1 − i2 ) = e sin (i1 ) −   cos(i2 )  cos(i2 )   2 n  sin (i2 ) = 1 sin (i1 ) , cos(i1 ) = 1 − sin 2 (i1 ) cos(i2 ) = 1 −  1  sin 2 (i1 ) nOr et n  n2  2      n 1 − sin (i1 )  2On en déduit que : ∆ = e sin (i1 )1 − 1   n2  n1  2   1 −   sin (i1 )  n  2   2   Si i1 petit, alors ∆ = 0. On a ni déviation(n1 = n 3 ), ni décalage(i1 ≈ 0). 30
  31. 31. Conditions de Gauss.Contexte: à part le miroir plan un système optique ne donne pas d’image nettesauf dans certaines conditions: les conditions de Gauss.Images hors conditions de Gauss: •Floues. •Déformées. •Distordues.Image nette: dépend de la résolution du détecteur.Condition de Gauss: •Les rayons lumineux doivent être peu inclinés par rapport à l’axe optique. •Les rayons lumineux doivent être peu écartés de l’axe optique. •On dit que les rayons sont paraxiaux.Dans la pratique: on limite les rayons lumineux avec un diaphragme. 31
  32. 32. Conséquences des conditions de Gauss.1. Linéarisation des relations de Snell: n1i1= n2i2 loi de Kepler (vrai jusqu’à 20°) Utilisation i en radian.2. L’image d’un point A est un point A’: Deux rayons suffisent pour déterminer l’image d’un point.3. Le système est aplanétique: L’image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe optique donne une image plane perpendiculaire à l’axe optique.4. Existence d’une relation de conjugaison. Relation qui lie la position de l’image à la position de l’objet.Ces conséquences nous donnent les informations nécessaires pour déterminer l’image A’B’ d’un objet AB à travers un système optique centré. 32
  33. 33. Image d’un objet dans les conditions de Gauss. B 1 2 1 A’ A 3 3 B’ 21. Le rayon 3 issu de A se propageant le long de l’axe optique n’est pas dévié. car système est centré. Toutes les surfaces sont perpendiculaires à l’axe optique. On en déduit que A’ est sur l’axe optique.2. Deux rayons 1 et 2 issus de B permettent de déterminer B’.3. AB est perpendiculaire à l’axe optique donc A’B’ l’est aussi car le système est aplanétique. On en déduit que A’ est la projection de B’ sur l’axe optique. A’B’ est l’image de AB, image nette. 33
  34. 34. Rayons sont paraxiaux : signification.Condition de Gauss: i petit •Linéarisation de l’optique géométrique. • n1sin(i1) ≈ n1 i1 ⇒ Loi de Kepler: n1i1= n2i2 (i en Rad). •Comparaison loi de Snell et de Kepler: 1,2 1 n1=1 n2=1.5 angle de réfraction 0,8 Kepler 0,6 Snell i1 N 0,4 0,2 i2 0 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 angle dincidence i<0.34rad ou i< 20°. 34
  35. 35. Dioptre sphérique dans les conditions de Gauss.Dioptre sphérique : •Pas physique, mais essentiel pour réaliser des systèmes optiques (lentilles). •2 Milieux homogènes, transparents et isotropes d’indice n1et n2 séparés par une surface sphérique de rayon R et de centre C. •On travaille en notation algébrique. Le sens positif est la direction de propagation de la lumière. n1 n2 C S Axe optique Remarque : •SC <0, SC=-R= r •Comme le dioptre plan, il ne donne pas d’image nette hors condition de Gauss. •4 cas possibles pour le dioptre sphérique. 35
  36. 36. Image d’un point lumineux. •n1 < n2 et SC<0: Dioptre divergent. •n1 > n2 et SC<0: Dioptre convergent. •n1 < n2 et SC>0: Dioptre convergent. •n1 > n2 et SC>0: Dioptre divergent.Soit un rayon incident parallèle à l ’axe optique. •Quand il se rapproche de l’axe optique = convergent. •Quand il s’écarte de l’axe optique = divergent. Permet de réaliser des systèmes convergents :c’est intéressant pour la photographie. 36
  37. 37. Relations fondamentales du dioptre sphérique. n1 n2 I i2 i1 Axe optique A C H S A’Contexte: •n1 > n2 et SC= r <0: Dioptre convergent. •Condition de Gauss. •Notation algébrique. Le sens positif est la direction de propagation de la lumière. •Origine en S. 37
  38. 38. Calculs. •Notation algébrique. n1 n2 •+→ •+ I i2 α i1 ω α’ Axe optique A C H S A’ •Origine en S. •n1 > n2 et SC= r <0 •Dioptre convergent.Relation entre SA et SA’ dans les Conditions de Gauss. angles orientés : ω > 0, α > 0, α < 0, i1 > 0, i 2 > 0 π π Dans le triangle AIH on a : α + + − ω + i1 = π soit : i1 = ω − α (1) 2 2 π π Dans le triangle A IH on a : (-α ) + + π − i 2 − ( − ω) = π soit : ω − α − i 2 = 0 (2) 2 2 38
  39. 39. Calculs. n1(2) associé à la relation de kepler donne : ω −α − i1 = 0 (3) n2 n1(3) associé à la relation (1) donne : ω −α − (ω − α )= 0 n2soit : ω (n2 − n1 ) = n2α − n1α (4)On est dans les conditions de Gauss donc ω , α et α sont petit et H peut être confondu avec S.D où : tan(ω ) ≈ ω et tan(ω ) = HI HI ≈ soit ω ≈ − HI avec r = SC (5) CH CS r tan(α ) ≈ α et tan(α ) = HI HI ≈ soit α ≈ − HI avec p = SA (6) AH AS p HI tan(α ) ≈ α et tan(α ) = ≈ HI soit α ≈ − HI avec p = SA (7 ) A H A S p(5), (6), et (7) associées (4) nous donne la relation suivante :− HI (n2 − n1 ) = −n2 HI + n1 HI on simplifie par HI r p pon obtient finalement : n2 1 − n1 = (n2 − n1 ) 1 1 Relation de conjugaison p p r 39 du dioptre sphérique
  40. 40. Points particuliers de l’axe optique. n1 n2 i2 I n 2 n1 n 2 − n1 − = =V i1 Axe optique p p rA C H S A’ ou p = SA, p = SA , r = SC = −R n 2pp = n 1 + Vpp = f (p ) et f (p ) > 0 donc p augmente avec p n1rSi p = ∞ alors p = − = f distance focale objet ⇒ point foyer objet F. n 2 − n1 n 2rSi p = ∞ alors p = + = f distance focale image ⇒ point foyer image F . n 2 − n1 n1 nf =− et f = + 2 ou V est la vergence du dioptre et se mesure en dioptrie δ [m -1 ]. V VSi V > 0 on dit que le dioptre est convergent et f < 0 et f > 0Si V < 0 on dit que le dioptre est divergent et f > 0 et f < 0 40
  41. 41. Autres formulations de la relation de conjugaison du dioptre sphérique.p = SA et p = SA n1 n2 i2 Ir = SC = − R, i1 Axe optiquef = SF et f = SF A C H S A’σ = FA et σ = F A n2 n1 n2 − n1 n nRelation classique : − = =V = 2 =- 1 p p r f f f fRelation de Descartes : + =1 p p n2 n1 n2 p n2 ( f − p) − = soit = p p f p n1 f n2 n1 n1 p n1 ( f − p ) − =Relation de Newton : p p f soit = p n2 f d où : ( f − p )( f − p) = ff = σσ f − p = SF − SA = − FA = −σ f − p = SF − SA = − F A = −σ 41
  42. 42. Utilisation de F et F’Utilisation de F et F ’: •Tous les rayons incidents parallèles à l’axe optique passent par F’ •Tous les rayons incidents qui passent par F’ sortent du dioptre parallèles à l ’axe optique. •Si V>0 alors F et F’ sont respectivement du coté des rayons incidents et du coté des rayon réfractés. •Si V<0 alors F et F’ sont respectivement du coté des rayon réfractés et du coté des rayons incidents. V>0 V<0 F C S F’ F’ C S FRemarque: le rayon qui passe par le centre C du dioptre n’est pas dévié. 42
  43. 43. Grandissement du dioptre sphérique B n1 n2 n2 n1 n2 − n1 n n − = =V= 2 =− 1 α A’ p p r f f C α S F’ ou p = SA, p = SA , r = SC = − R A F B’ ABGrandissement tranversale: γ = AB AB AB AB CA p − rpar contruction géométrique on a: tan (α ) = = doù: γ = = = CA CA AB CA p−r n2 n1 (n2 − n1 ) (n − n ) ppDaprès − = on trouve : r = 2 1 p p r n2 p − n1 p AB p − r n1 p AB f pOn en déduit que:γ = = = soit encore: γ = =− AB p − r n2 p AB f p AB f p γ= =− AB f p 43
  44. 44. Grandissement en fonction de σ et σ’ AB n1 p f pOn a le Grandissement tranversale: γ = = = − AB n2 p f p f p f SA f SF + F A f f +σ ff + fσ d où : γ = − =− =− =− =− f p f SA f SF + FA f f + σ f f + f σ ff + fσ σ γ=− =− ff 2 f ff + σEn utilisant la relation de Newton, on a: ff2 ff + γ=− σ = − f f f + f σ σ AB n1 p f p σ f Relation duOn a donc : γ= = = − =− =− AB n2 p f p f σ grandissement. 44
  45. 45. Miroir sphérique dans les conditions de Gauss.Dioptre sphérique : •Surface sphérique de rayon R et de centre C recouverte d’une métallisation. •On travaille en notation algébrique. Le sens positif est la direction de propagation de la lumière. I 1 1 2 i1 Axe optique + = i2 p p r A C A’ H S où p = SA, p = SA , r = SC 45
  46. 46. Les lentilles.Les Lentilles sont des constituants essentiels des systèmes optiques (jumelles,microscopes, télécospes et bien sûr l’appareil photographique).Lentilles minces dans les conditions de Gauss permettent: •De réaliser des images nettes. •D’agrandir l’image d’un objet. •De rétrécir l’image d’un objet. •De renverser l’image d’un objet. •De focaliser l’image d’un objet sur un écran ou un détecteur.Définition: •Une lentille est milieu homogène, transparent et isotrope séparé par 2 dioptres sphériques de rayon R1 et R2, l’un des 2 dioptres peut être plan. •La droite qui joint les centres des dioptres est l’axe optique. •Si l’un des dioptres est plan, alors il est perpendiculaire à l’axe optique. •On travaille en notation algébrique. 46
  47. 47. Cas d’une lentille Mince. C2 S1 S2 C1 r2=S2C2<0 r1=S1C1>0Lentille : •Système dioptrique centré. •Le rayon incident va subir 2 réfractions.Lentille mince: •S1S2 << |r1-r2 | 47
  48. 48. Exemples de lentilles. 1 2 3 4 5Type de lentille:1. Lentille mince car S1S2 =1mm, r1=-1m, r2=1m et |r1-r2 |=2m2. Lentille mince car S1S2 =1mm, r1=1m, r2= ∞ et |r1-r2 |=1m3. Lentille mince car S1S2 =1mm, r1=1m, r2=-1m et |r1-r2 |=2m4. Lentille mince car S1S2 =1mm, r1=-1m, r2= ∞ et |r1-r2 |=1m5. Lentille épaisse car S1S2 =1mm, r1=1m, r2=1m et |r1-r2 |=0m Cette partie du cours porte essentiellement sur les 48 lentilles minces.
  49. 49. Bord des lentilles: bords minces i2 i1 n S S2C2 S2C2<0 1 S1C1= ∞ •Si un rayon incident parallèle à l’axe optique sort incliné vers l’axe optique: lentille convergente. •Les lentilles à bords minces sont convergentes. Ne pas confondre lentille mince et à bords minces. 49
  50. 50. Bord des lentilles: bords épais i1 i2 n S1 S2 S1C1= ∞ S2C2>0 C2•Si un rayon incident parallèle à l’axe optique sort écarté de l’axe optique:lentille divergente.•Les lentilles à bords épais sont divergentes.Ici on a une lentille mince et à bords épais. 50
  51. 51. Bilan et notations.Les lentilles: •Système dioptrique centré. •Le rayon incident va subir 2 réfractions. •Si un rayon incident parallèle à l’axe optique sort incliné vers l’axe optique: lentille convergente (lentille à bords minces). •Si un rayon incident parallèle à l’axe optique sort écarté de l’axe optique: lentille divergente (lentille à bords épais).On représente les lentilles minces de la façon suivante: Lentille convergente Lentille divergente 51
  52. 52. Relation de conjugaison.Les lentilles: association de deux dioptres de sommets S1 et S2 séparant 3milieux d’indice différents n1, n et n2: S2C2= r2<0 B n1 n n2 S1C1 = r1 >0 Cas général: C2 A A’ S1 O S2 A’’ C1 AB ⇒ AB ⇒ AB B’ B’’Dans l’approximation de Gauss on a : n 1 n −1 1 n 1− nPour le dioptre 1 : − = et Pour le dioptre 2 : − = S1 A S1 A S1C1 S 2 A S 2 A S 2C2Lentille mince ⇒ S1 , S 2 et O sont confondus n n − n1 n1 n n n −nD ou : − = et 2 − = 2 OA OA r1 OA OA r2 n n  (n − n ) (n1 − n ) On a alors : 2 − 1 =  2 r −  = V où V est la vergence de la lentille en δ OA OA  2 r1   n2 n1On note aussi : − =V 52 p p
  53. 53. Points particuliers de l’axe optique. n1 n2 n2 n1 On a : − = V ou p = OA et p = OA p p  (n − n ) (n1 − n )  O V = 2  r −   2 r1  1. Foyer image F ’: Si p= ∞ alors p ’=n2/V=f ’ où f ‘ est la distance focale image.2. Foyer objet F: Si p ’= ∞ alors p =-n1/V=f où f est la distance focale objet. n2 n1 n nRelation de conjugaison: − = V = 2 = - 1 ou p = OA et p = OA p p f fRemarques : • Relation de conjugaison identique à celle du dioptre sphérique. • f et f ’ pas de même signe. • Si la lentille est divergente (V<0) alors f est positif et f ’ négatif. • Si la lentille est convergente (V>0) alors f est négatif et f ’ positif. 53
  54. 54. Relations de conjugaison.p = SA et p = SA n1 n n2 B S1C1 = r1 >0f = SF et f = SF S2C2= r2<0 A’ A’’σ = FA et σ = F A C2 A S1 O S2 C1V est la vergence B’ B’’ n2 n1  n2 − n n1 − n  n nRelation classique : − = - =V = 2 =- 1 p p  r2  r1   f f f fRelation de Descartes : + =1 p p n2 n1 n2 p n2 ( f − p ) − = soit = p p f p n1 f n2 n1 n1 p n1 ( f − p ) − =Relation de Newton : p p f soit = p n2 f d ou : ( f − p )( f − p) = ff = σσ f − p = SF − SA = − FA = −σ f − p = SF − SA = − F A = −σ 54
  55. 55. Lentilles minces "classiques".En général, les deux milieux extrêmes sont de l’air: n1=n2=1. 1 1 Air Air On a : − = V ou p = OA et p = OA p p O 1 1 V = (1 − n ) −  r r   2 1 1. Foyer image F ’: Si p= ∞ alors p ’=n2/V=f ’ où f ‘ est la distance focale image. 2. Foyer objet F: Si p ’= ∞ alors p =-n1/V=f où f est la distance focale objet. 3. Centre optique : les rayons passant par le point O ne sont pas déviés. En effet, en ce point la lentille est assimilable à une lame à faces parallèles. Remarques : •f et f ’ sont opposées. •Si la lentille est divergente (V<0) alors f est positif et f ’ négatif. •Si la lentille est convergente (V>0) alors f est négatif et f ’ positif. 55
  56. 56. Lentilles minces "classiques". A partir de maintenant nous considérons des Lentillesminces "classique", c’est à dire des lentilles dont les milieux extrêmes sont de l’air. O F F’ 1 1 Air Air − = V ou p = OA et p = OA p p 1 1 V = (1 − n ) −  r r   2 1 O F’ F Air Air 56
  57. 57. Lentilles convergentes. 1 1 1 O On a : − = où p = OA et p = OAF F’ p p f 1 1 1 O On a : − = où p = OA et p = OAF F’ p p f 1 1 1 O On a : − = où p = OA et p = OAF F’ p p f 57
  58. 58. Lentilles divergentes. 1 1 1 O On a : − = où p = OA et p = OAF’ F p p f 1 1 1 O On a : − = où p = OA et p = OAF’ F p p f 1 1 1 O On a : − = où p = OA et p = OAF’ F p p f 58
  59. 59. Plans focaux pour lentilles.Plans focaux: •Plans perpendiculaires à l’axe optique passant par F et F’. •Les rayons parallèles passent tous par un seul point P appartenant à un des plans focaux. F’ F O F’ F O P • Plan focal image et plan focal objet. • Foyer secondaire image. • Foyer secondaire objet. • Idem pour les lentilles divergentes. 59
  60. 60. Espace objet et espace image.A priori, un objet est situé du coté d’où vient la lumière avant la lentille et l’imageà travers la lentille se situe après cette dernière. O F F’ •Objet réel: avant la lentille. p<0 + •Objet virtuel: après la lentille. p>0 •Image réelle: après la lentille. p>0 •Image virtuelle: avant la lentille. p<0 O F’ F• Objet virtuel n ’a pas d’existence physique, il s’agit en réalité de l’image d’unobjet à travers un système optique. 60
  61. 61. Formation d’une image, grandissement. B 1 1 1 α F’ A’ On a : − = O α p p f A F ou p = OA et p = OA B’ A BGrandissement tranversale : γ = ABpar contruction géométrique on a : A B ABtan(α) = = OA OA A B OA pd ou : γ = = = AB OA p 61
  62. 62. Association de systèmes optiques simples.• Systèmes optiques simples: Dioptres plans, dioptre sphériques, lentilles minces.• Nous allons nous intéresser essentiellement aux associations de systèmes optiquessimples constituant un système optique centré: la lentille mince est par exemple unsystème optique centré constitué par une association de 2 dioptres (Association particulièrecar S1S2=0).• Quand on utilise un système optique on veut avoir une relation de conjugaison et unerelation de grandissement transversal.• Ces relations doivent être les plus simples possibles d’utilisation, comme pour ledioptre sphérique.• On a vu précédemment que pour le dioptre sphérique et la lentille ces relations étaientidentiques.• On parle alors de relations de de conjugaison "universelles".• Dans le cas d’une association on va vouloir se ramener à ces relations de conjugaison "universelles".• Il faudra pour cela opérer à certain nombre de calculs et de transformations que nousallons voir dans la suite. 62
  63. 63. Relations de conjugaison "universelles".Attention les origines de : Bp et p , f et f ne sont n1 n2toujours les mêmes! A’ A F F’σ = FA et σ = F A B’ n2 n1 n nRelation classique : − =V = 2 =- 1 p p f f Pour tout association on veut se ramener à ces f f relations.Relation de Descartes : + =1 p p Pour cela, on peut êtreRelation de Newton : ( f − p )( f − p) = ff = σσ amener à changer nos origines pour p, p’, f et f’ f p σ fGrandissement : γ = - =− =− f p f σ 63
  64. 64. Doublet quelconque. Soit 2 systèmes optiques quelconques:• De sommets S1 et S2. A’’ S2 A’’• De focales images f1’ et f2’. S1• De focales objets f1 et f2. A e• Séparés d ’une distance e e = S1S 2 A donne A’ à travers le 1er système optique A’ est alors objet pour le 2nd système optique A’ donne A’’ à travers le 2nd système optique A’’ est donc l ’image de A à travers le doublet formé par l’association des 2 systèmes optique. On veut une relation de conjugaison reliant les positions de A et de A’’ On a les relations suivantes (Descartes) pour chacun des systèmes optiques: f1 f1 f 2 f1 + = 1 et + =1 p1 p1 p2 p1 f1 = S1 F1 et f1 = S1 F1 f 2 = S 2 F2 et f 2 = S 2 F2 Avec : et p1 = S1 A et p = S1 A 1 p2 = S 2 A et p 2 = S1 A 64
  65. 65. Mise en équation.Les relations des Descartes nous donnent les expressions suivantes: f1 p1 p = (1) p1 − f1 1 f1 p1 p1 = (2) f1 = S1 F1 et f1 = S1 F1 p1 − f1 f 2 = S 2 F2 et f 2 = S 2 F2 Avec : et f p2 p1 = S1 A et p = S1 A p2 = S 2 A et p 2 = S1 A p = 2 (3) 1 p2 − f 2 2 f 2 p2 p2 = (4) p2 − f 2A donne A’ à travers le 1er système optiqueA’ est alors objet pour le 2nd système optiquep1’ et p2 sont donc relié par e :p1 = S1 A = S1S 2 + S 2 A = e + p2 (5)Avec e = S1S 2 65
  66. 66. Mise en équation.On veut p1 en fonction de p2’ et p2’ en fonction de p1, c’est à dire une relation entre laposition de l’image A’’ et la position de l’objet A: f1 (e + p2 )(2) et (5) donne : p1 = (6) (e + p2 ) − f1  f 2 p2  f1  e + (6) et (4) donne : p1 =    p2 − f 2  ( p2 f1 e + f 2 − ef 2 f1 )  e + f 2 p2   − f1 soit p1 = ( ) p2 e + f 2 − f1 + f 2 f1 − e ( ) (8)  p2 − f 2   (2) et (5) donne : p = f 2 p1 − e ( ) (7 ) ( p1 − e − f 2 2 )  f1 p1  f  − e(6) et (1) donne : p2 = p −f 2  1 1   ( ) p1 f 2 f1 − e − ef 2 f1 soit p = ) (9)  f1 p1   − e  − f2 2 ( ) p1 f1 − e − f 2 + f1 f 2 + e ( p −f   1 1  Attention p2’ et p1 n’ont pas même origine. 66
  67. 67. Foyer objet et image du doublet.Le foyer objet correspond à p2’= ∞ dans l’équation (9), soit: (p2 = ∞ quand p1 f1 − e − f 2 + f1 f 2 + e = 0 ) ( )d ou : p1 = ( f1 f 2 + e f = 1 2 ) +e = S1 F (f ) (10) ( avec ∆ = e + f 2 − f1 ) ( e + f 2 − f1 ∆ )Le foyer image correspond à p1 = ∞ dans l’équation (8), soit: (soit p1 = ∞ quand p2 e + f 2 − f1 + f 2 f1 − e = 0 ) ( )d ou p = f 2 f1 − e(= ) f 2 e − f1 = S2 F ( ) (11) ( avec ∆ = e + f 2 − f1 ) 2 ( f1 − e − f 2 ∆ )∆ est appelé intervalle optiue B (∆ = e + f 2 − f1 ) S1 S2 A’∆ = S1S 2 + S 2 F2 − S1 F1 A F F’ e B’∆ = F1 F2 Attention les foyers objet et image n’ont pas même origine. 67
  68. 68. Relation de NewtonSi on pose : f1 ( f 2 + e ) p1 = S1 A = S1 F + FA = +σ (12) ∆ f (e − f1 ) p 2 = S 2 A = S 2 F + F A = 2 + σ (13) ∆ Avec : σ = FA et σ = F A et que l injecte (12) et (13) dans la relation (8) on obtient après simplificaftion : f f ff σσ = − 1 2 1 2 (14) ∆ L ’expression (14) est l ’équivalent de la relation de Newton de nos relations de conjugaisons "universelles". Elle nous donne une relation entre les positions de l ’objet et de l ’image à travers notre doublet avec pour origines respectivement les foyers objet et image du doublet. B A’ A F F’ e B’ 68
  69. 69. Distance focale du doubletPour le moment on a les foyers objet et image mais pas l ’équivalent des distancesfocales objet f et image f ’. Pour déterminer f et f ’ nous allons utiliser la relation dugrandissement. L’expression "universelle" du grandissement est: f p σ f γ =- =− =− f p f σL ’expression du grandissement du doublet est égale au produit des grandissements desdeux systèmes optiques qui constituent le doublet, soit: f1 p1 f 2 p2 f ( p −f ) γ = γ 1γ 2 = en utulisant (1) et (4 ) on a : γ = γ 1γ 2 = 1 2 2 (15) f1 p1 f 2 p2 f 2 ( p1 − f1 ) f1 ∆σ −f 2 f 2 En injectant dans (15) les relation (12) et (13) on obtient : γ = (16) f 2 ∆σ − f1f1 f1f 2 γ =− ∆σ En utilisant (14) dans (16) on a alors : f f γ= 1 2 ∆σ Par indentification dans la relation du grandissement on en deduit : f= f1f 2 f f et f = − 1 2 (17 ) ∆ ∆ 69
  70. 70. Points principaux.Les distances focales objet f et image f ’ sont donc égale à : f1f 2 f f f= et f = − 1 2 ∆ ∆La relation de Newton devient alors: σσ = ffCette relation est alors tout à fait semblable à cette des relations de conjugaison"universelle", comme la relation du grandissement du doublet.Il est important de noter que nous ne pouvons pas matérialiser ces distance focale imageet objet car nous ne connaissons pas leur origine. En revanche, si l ’on considère deuxpoints conjugués H et H’ tel que leurs grandissement est égal à 1, on a alors: σ f γ =− =− = 1 d où : HF = −σ = f et HF = −σ = f f σH et H’ sont donc par définition respectivement à une distance focale objet du foyerobjet et à une distance image du foyer image. On a va donc utiliser ces point H et H ’comme origine respectives de l ’objet et de l’image. Ces points sont appelés pointprincipaux. 70
  71. 71. Relation de conjugaison du doublet.Si on utilise les point H et H ’ comme origines respectives de l’objet et de l’image. On aalors: σ = FA = FH + HA = -f + p et σ = FA = FH + HA = -f + p si on injecte ces exp ressions dans la relation de Newton on obte int alors: σσ = (-f + p )(-f + p ) = ff cest à dire pf + pf = pp f f Soit + =1 relation de Descartes p pOn retrouve une relation de conjugaison simple qui est la relation de Descartes de nosrelations de conjugaison "universelle", ce qui justifie l ’introduction des pointsprincipaux et leur utilisation comme origine respectives de l’objet et de l’image de notredoublet. Le système équivalent au doublet est donc: B H H’ A’ f f f = HF et p = HA + = 1 avec A F F’ p p f = H F et p = H A B’ 71
  72. 72. Système optique équivalent au doublet.Le doublet est formé 2 systèmes optiquesquelconques: A’’ S2 A’’• De sommets S1 et S2. S1• De focales images f1’ et f2’. A e• De focales objets f1 et f2.• Séparés d ’une distance e e = S1S 2Le système optique équivalent est : B H H’ A’ f f f = HF et p = HA F’ + = 1 avec A F p p f = H F et p = H A B’ f p σ fLe grandissement est : γ =- =− =− avec σ = FA et σ = F A f p f σDistance entre les plans principaux: HH = HF + FS1 + S1S2 + S2 F + F H e( f 2 + ∆ − f1 )D’après (10), (11) et (17) on a : HH = 72 ∆
  73. 73. Convergence du doublet.Le doublet est: f1f 2 f f • Convergent si f <0 et f ’>0 f= et f = − 1 2 Avec ∆ ∆ ∆ = (e + f 2 − f1 ) • Divergent si f >0 et f ’<0Signe de f ’ en fonction de f1’, f2’ et ∆ : f1’ f2’ ∆ F1F2 f <0 >0 Si e < f1’-f2 alors ∆ positif  >0 >0n1 n2 n3 <0 >0  Si e > f1’-f2 alors ∆ négatif <0 <0 A’’ S2 A’’ <0 <0 Positif quelque soit e >0 <0 >0 >0 Si e < f1’+f2 alors ∆ négatif <0  >0 A S1 e >0 >0 Si e > f1’+f2 alors ∆ positif  >0 <0 >0 <0 Si e > f1’-f2 alors ∆ positif  >0 >0 e = S1S 2 >0 <0 Si e < f1’-f2 alors ∆ négatif  <0 >0Pour la convergence du doublet on peut également raisonner sur la vergence V du f fdoublet. Par définition on a: V = − = ou n et n sont respectivement les indices de n1 n3 réfraction du lieu d entrée et du milieu de sortie du doublet. 73
  74. 74. Vergence du doublet.Le doublet est formé 2 systèmes optiques V1 V2de vergence V1 et V2 tel que: n1 n2 n3 n1 n2 n V1 = − et V1 = soit f1 = − 1 f1 f1 f’1 f2 f’2 f1 f1 n2 n2 n3 n e V2 = − et V1 = soit f 2 = − 2 f 2 S1 S2 f2 f2 n3 Le calcul de V donne : n1 n3 f f ff V=− = avec f = − 1 2 et f = 1 2 f f ∆ ∆ n n∆ ne n f n f V= 3 =− 3 =− 3 − 3 2 + 3 1 f f1 f 2 f1 f 2 f1 f 2 f1 f 2 eV1V2 soit : d où : V = V1 + V2 − 1 n2 n3e n3 n2 n3 n2 V=− + + n2 f1 f 2 f1 n3 f 2 eV1V2 Cette relation est la relation de Gullstrand: V = V1 + V2 − n2 74
  75. 75. Résumé des associations. n1 n2 n3Le système optique équivalent A’’ S2 A’’à cette association, A S1 e e = S1S 2 Best le système suivant: H H’ A’ A F F’ B’ ( f f +eS1 F = 1 2 ) et S2 F = ( f 2 e − f1 ) avec ∆ = (e + f 2 − f1 ) ∆ ∆ f1f 2 f f f= et f = − 1 2n3 n1 n n f = HF et p = HA ∆ ∆ − =V = 3 =- 1 avec etp p f f f = H F et p = H A V1V2 V = V1 + V2 − e n2 f p σ fγ =- =− =− avec σ = FA et σ = F A f p f σ 75
  76. 76. Lentilles minces et épaisses. eV1V2 Soit deux lentilles: V = V1 + V2 − n n n I. e =0,5cm, r1=4cm, r2=-2cm V1= 0,125cm-1 et V2= 0,25cm-1 1 1 e e II. e =0,5cm, r1=-4cm, r2=-4cm V= =- f f V1= -0,125cm-1 et V2= 0,167cm-1 n=1,5 car nextrême = 1 I II• Un lentille est dite mince lorsque l’on peut négliger son épaisseur e.• Ve≠0 ≈ Ve=0 ou f’e≠0 ≈ f’e=0 ≠ ≠ V1 + V2• Ce qui revient à : e << n =Ω V1V2I. Ω =18, donc on peut dire que la lentille I est mince. On a: f’e≠0=2,74cm et ≠ f’e=0=2,66cm, soit une erreur de 2,5%II. Ω = 2,95, on ne peut pas dire que e<< Ω, on a f’e≠0=28,8cm et f’e=0=24cm, soit une ≠ erreur de 20%, on ne peut pas négliger e. La lentille II est épaisse. (r2 -r1 ) Ω= n doù e << Ω é equivaut en 1ère approxiamation à: e << (r2 -r1 ) (n − 1 ) 76
  77. 77. Formulation Matricielle du dioptre sphérique n1 n2Nous allons relier le rayon Iincident au rayon réfracté parune matrice de transfert. Les α α’ Axe optiquerayons sont représentés par A C H S A’un vecteur contenant l’angle optique n1αet la distance IH. A la sortie du dioptrele rayon réfracté est donné par un vecteurcontenant l’angle optique n2α’ et la distance IH. On a alors:  y   y  I=   rayon incident avec y = IH et I =    n α  rayon incident avec y = IH   n1α   2 Dans l approximation de Gauss on confondre H et S et on peut écrire : y = y = -pα = − p α n 2 n1 n 2 − n1En combinant ces realtion avec celles du dioptre sphèrique : - = p p r α n2 αn 1 n 2 − n1 n 2 − n1On obtient : - + = d où : n 2α = - y + n1α , de plus y = y y y r r  y   1  n 2 − n1 0  y   1  0  y   1  0  y   MatriceOn en déduit :   n α  =  - =   n α  =  − n 2   2    1  n1α   - V   1  1   1  n1α  de réfraction r   f   77
  78. 78. Matrice de propagationPour une propagation dans I’ α’ n2dans milieu d ’indice de I αréfraction n, on a : H H’  y   y  I =   rayon incident avec y = IH et   I=   nα  rayon incident avec y = I H   nα    e Dans l approximation de Gauss on peut écrire : y = y + nα et nα = nα n  y   1 e   y     1 e   On en déduit :  =   n   n est la matrice de réfraction  nα  0 1  nα      0 1A partir des matrices de réfraction et de propagation on peut déterminer la focaleimage et objet de toute association constitué de dioptre par simple produit de matrice.A l ’issu du produit de matrice on obtient une matrice ABCDA BC D   C = -V où V est la vergence du système optique décrit par cette matrice.  78
  79. 79. Exemple d’association: lentille.Prenons le cas d’une lentille d ’épaisseur e: n S1 S2• Dioptre S1 a un rayon de courbure r1 e  1 0  n −1   1 0il est décrit par la matrice: S1 =  - =  1   - n/f 1   r     1  1• Dioptre S2 a un rayon de courbure r2  1 0il est décrit par la matrice: S 2 =  - 1 − n   1 0  =  1   - 1/f 1   r     2  2  eCette lentille est donc décrite par la matrice S=S2PS1 avec P =  1  n 0 1   e e   1−  Le terme C de la matrice est égale à - VS =  f1 n  n 1 e e  − - +  f f f f − + 1 V etant la vergence de l association des 2 dioptres  1 2 1 2 nf 2  n 1 e eLa vergence de la lentille est donc : V = + − = V1 + V2 − V1V2 ⇒ Gullstrand. 79 f1 f 2 f1 f 2 n
  80. 80. Signification et utilisation de ABCD.Soit un système optique centré constitué de N éléments optiques: • Premier élément en S1 • Dernier élément en S2Ce système est caractérisé par ma matrice S n1 n2 S1 S2 A B  y   A B  y  S = C D  avec   n α  =  C D  n α          1    2  C = −V n n f = − 1 = 1 = HF V C n n f = 2 = − 2 = HF V C D −1 H H’ S1 H = C 1− A F S1 F’ S2 S2 H = C 80
  81. 81. Aberrations chromatiques: causesLa focale d’une lentille dépend de la longueur d’onde: n(verre)=1.5 • L’indice de réfraction dépend de λ. 1,53 Vergence dépend de λ. 1,525 indice de réfrcation • 1,52 • Quand n(λ) augmente V augmente. 1,515 Quand λ diminueV augmente. 1,51 • 1,505 • f ’ plus petite pour le bleu que pour 1,5 le rouge (λb < λr). 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 lambda en µm 1 1 − =V p p 1 1 = (1 − n ) −  = V 1 r r  f  2 1  81

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