Université Joseph FourierDEUG Sma – SP2-2                          Cours                     de Magnétostatique           ...
Plan du coursI-     Le champ magnétique           1. Introduction                     a. Bref aperçu historique           ...
1                        Chapitre I- Le champ magnétiqueI.1- IntroductionI.1.1 Bref aperçu historiqueLes aimants sont conn...
2mise en équations par Maxwell qu’en 1873 et ne trouva d’explication satisfaisante qu’en1905, dans le cadre de la théorie ...
3Coulomb qui nous aurait donné le champ E1 (t ) , qui est faux (suppose propagation instantanéede l’information ie. une vi...
4Remarques :• Cette valeur est exacte, directement liée à la définition de l’Ampère (voir Chapitre III). Le  facteur 4π a ...
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16Remarques :• Le théorème d’Ampère et la loi de Biot et Savart ont la même cause originelle.• Le choix du sens de la circ...
17II.2.3- Relations de continuité du champ magnétiquePuisque le courant est la source du champ magnétique, on peut se dema...
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MagnetoSTatique complet

  1. 1. Université Joseph FourierDEUG Sma – SP2-2 Cours de Magnétostatique Jonathan Ferreira Année universitaire 2001-2002
  2. 2. Plan du coursI- Le champ magnétique 1. Introduction a. Bref aperçu historique b. Nature des effets magnétiques 2. Expressions du champ magnétique a. Champ créé par une charge en mouvement b. Champ créé par un ensemble de charges en mouvement c. Champ créé par un circuit électrique (formule de Biot et Savart) d. Propriétés de symétrie du champ magnétique 3. Calcul du champ dans quelques cas simples a. Fil rectiligne infini b. Spire circulaire (sur l’axe) c. Solénoïde infini (sur l’axe)II- Lois Fondamentales de la magnétostatique 1. Flux du champ magnétique a. Conservation du flux magnétique b. Lignes de champ et tubes de flux 2. Circulation du champ magnétique a. Circulation du champ autour d’un fil infini b. Le théorème d’Ampère c. Relations de continuité du champ magnétique d. Les trois façons de calculer le champ magnétique 3. Le dipôle magnétique a. Champ magnétique créé par une spire b. Le modèle du dipôle en physiqueIII- Actions et énergie magnétiques 1. Force magnétique sur une particule chargée a. La force de Lorentz b. Trajectoire d’une particule chargée en présence d’un champ c. Distinction entre champ électrique et champ électrostatique 2. Actions magnétiques sur un circuit fermé a. La force de Laplace b. Définition légale de l’Ampère c. Moment de la force magnétique exercée sur un circuit d. Exemple du dipôle magnétique e. Complément : force de Laplace et principe d’Action et de Réaction 3. Energie potentielle magnétique a. Le théorème de Maxwell b. Energie potentielle d’interaction magnétique c. Expressions générales de la force et du couple magnétiques d. La règle du flux maximumIV- Induction électromagnétique 1. Les lois de l’induction a. L’approche de Faraday b. La loi de Faraday c. La loi de Lenz 2. Induction mutuelle et auto-induction a. Induction mutuelle entre deux circuits fermés b. Auto-induction 3. Régimes variables a. Définition du régime quasi-statique b. Forces électromotrices induites c. Retour sur l’énergie magnétique d. Bilan énergétique d’un circuit électrique
  3. 3. 1 Chapitre I- Le champ magnétiqueI.1- IntroductionI.1.1 Bref aperçu historiqueLes aimants sont connus depuis l’Antiquité, sous le nom de magnétite, pierre trouvée àproximité de la ville de Magnesia (Turquie). C’est de cette pierre que provient le nom actuelde champ magnétique.Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans,pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de lapaille flottant sur de l’eau contenue dans une récipient gradué.Au XVIIIème siècle, Franklin découvre la nature électrique de la foudre (1752). Or, il y avaitdéjà à cette époque de nombreux témoignages de marins attirant l’attention sur des faitsétranges :• Les orages perturbent les boussoles• La foudre frappant un navire aimante tous les objets métalliques.Franklin en déduisit « la possibilité d’une communauté de nature entre les phénomènesélectriques et magnétiques ».Coulomb (1785) montre la décroissance en 1 r 2 des deux forces.Mais il faut attendre la fin du XIXème siècle pour qu’une théorie complète apparaisse, lathéorie de l’électromagnétisme.Tout commença avec l’expérience de Oersted en 1820. Il plaça un fil conducteur au dessusd’une boussole et y fit passer un courant. En présence d’un courant l’aiguille de la boussoleest effectivement déviée, prouvant sans ambiguïté un lien entre le courant électrique et lechamp magnétique. Par ailleurs, il observa : • Si on inverse le sens du courant, la déviation change de sens. • La force qui dévie l’aiguille est non radiale.L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biotet Savart (1820). Ils mesurèrent la durée des oscillations d’une aiguille aimantée en fonctionde sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle estdirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu’elle varie enraison inverse de la distance. De ces expériences, Laplace déduisit ce qu’on appelleaujourd’hui la loi de Biot et Savart. Une question qui s’est ensuite immédiatement posée fut :si un courant dévie un aimant, alors est-ce qu’un aimant peut faire dévier un courant ?Ceci fut effectivement prouvé par Davy en 1821 dans une expérience où il montra qu’un arcélectrique était dévié dans l’entrefer d’un gros aimant.L’élaboration de la théorie électromagnétique mit en jeu un grand nombre de physiciens derenom : Oersted, Ampère, Arago, Faraday, Foucault, Henry, Lenz, Maxwell, Weber,Helmholtz, Hertz, Lorentz et bien d’autres. Si elle débuta en 1820 avec Oersted, elle ne fut
  4. 4. 2mise en équations par Maxwell qu’en 1873 et ne trouva d’explication satisfaisante qu’en1905, dans le cadre de la théorie de la relativité d’Einstein.Dans ce cours de magnétostatique, nous traiterons dans les chapitres I à III de la questionsuivante : comment produire un champ magnétique à partir de courants permanents ? Nousn’aborderons que partiellement (chapitre IV) le problème inverse : comment produire del’électricité à partir d’un champ magnétique ?I.2.1- Nature des effets magnétiquesJusqu’à présent nous n’avons abordé que des particules chargées immobiles, ou encore desconducteurs (ensembles de particules) en équilibre. Que se passe-t-il lorsqu’on considèreenfin le mouvement des particules ?Soient deux particules q1 et q2 situées à un instant t aux points M1 et M2 . En l’absence demouvement, la particule q1 créé au point M2 un champ électrostatique E1 ( M2 ) et la particule q2 subit une force dont l’expression est donnée par la loi de Coulomb F1 / 2 = q2 E1 ( M2 ) dp ∆ p2Qui dit force, dit modification de la quantité de mouvement de q2 puisque F1 / 2 = 2 ≈ . dt ∆tAutrement dit, la force électrostatique due à q1 crée une modification ∆ p2 pendant un temps ∆t . Une force correspond en fait à un transfert d’information (ici de q1 vers q2 ) pendant uncourt laps de temps. Or, rien ne peut se propager plus vite que la vitesse c de la lumière. Cettevitesse étant grande mais finie, tout transfert d’information d’un point de l’espace à un autreprend nécessairement un temps fini. Ce temps pris par la propagation de l’informationintroduit donc un retard, comme nous allons le voir.On peut considérer l’exemple ci-dessus comme se qui se passe effectivement dans leréférentiel propre de q1 . Dans un référentiel fixe, q1 est animée d’une vitesse v1 . Quelle seraitalors l’action de q1 sur une particule q2 animée d’une vitesse v 2 ? E1(t-dt) E1(t) v2dt r v2 q2 u12 c dt v1dt v1 q1Soit dt le temps qu’il faut à l’information (le champ électrostatique créé par q1 ) pour sepropager de q1 vers q2 . Pendant ce temps, q1 parcourt une distance v1dt et q2 parcourt ladistance v2 dt . Autrement dit, lorsque q2 ressent les effets électrostatiques dus à q1 , ceux-ci nesont plus radiaux : le champ E1 (t − dt ) « vu » par q2 est dirigé vers l’ancienne position de q1et dépend de la distance cdt et non pas de la distance r. On voit ici qu’il faut corriger la loi de
  5. 5. 3Coulomb qui nous aurait donné le champ E1 (t ) , qui est faux (suppose propagation instantanéede l’information ie. une vitesse infinie).Les effets électriques ne peuvent se résumer au champ électrostatique.Cependant, l’expérience montre que la prise en compte de cette correction ne suffit pas àexpliquer la trajectoire de q2 : une force supplémentaire apparaît, d’ailleurs plus importanteque cette correction ! La force totale exercée par q1 sur q2 s’écrit en fait q1q2  v 2  v1  F1 / 2 = u12 + ∧  ∧ u12   4 πε 0 r 2  c c Dans cette expression (que l’on admettra) on voit donc apparaître un deuxième terme quidépend des vitesses des deux particules ainsi que la vitesse de propagation de la lumière. Cedeuxième terme s’interprète comme la contribution d’un champ magnétique créé par q1 .Autrement dit, ( F1 / 2 = q2 E1 + v2 ∧ B1 )la force magnétique est une correction en (v / c) à la force de Coulomb. Nous reviendrons 2plus tard (chapitre III) sur l’expression et les propriétés de la force magnétique. Cetteexpression n’est valable que pour des particules se déplaçant à des vitesses beaucoup pluspetites que celle de la lumière (approximation de la magnétostatique).Dernière remarque : cette expression dépend de la vitesse de la particule, ce qui implique quele champ magnétique dépend du référentiel (voir discussion chapitre III) !I.2- Expressions du champ magnétiqueI.2.1- Champ magnétique créé par une charge en mouvementD’après ci-dessus, le champ magnétique créé en un point M par une particule de charge qsituée en un point P et animée d’une vitesse v dans un référentiel galiléen est v µ 0 qv ∧ PM P B( M ) = 4 π PM 3 q M B(M)L’unité du champ magnétique dans le système international est le Tesla (T). Une autre unitéappartenant au système CGS, le Gauss (G), est également très souvent utilisée : 1 Gauss = 10 -4 Tesla .Le facteur µ 0 est la perméabilité du vide : il décrit la capacité du vide à « laisser passer » lechamp magnétique. Sa valeur dans le système d’unités international MKSA est µ 0 = 4 π 10 −7 H.m -1 (H pour Henry)
  6. 6. 4Remarques :• Cette valeur est exacte, directement liée à la définition de l’Ampère (voir Chapitre III). Le facteur 4π a été introduit pour simplifier les équations de Maxwell (cf Licence).• Nous avons vus que les phénomènes électriques et magnétiques sont intimement reliés. Les expériences de l’époque montrèrent que la vitesse de propagation était toujours la même, à savoir c, la vitesse de la lumière. Cela signifiait qu’il y avait donc un lien secret entre le magnétisme, l’électricité et la lumière, et plongeait les physiciens dans la plus grande perplexité. On pose donc µ 0ε 0 c 2 = 1 ce qui permet de définir la valeur de la permittivité du vide (caractéristique décrivant sa capacité à affaiblir les forces électrostatiques) 10 −9 ε0 ≈ F.m -1 (F pour Farad) 36 π la valeur approchée provenant de notre connaissance approchée de la valeur de la vitesse de la lumière.Deux propriétés importantes du champ magnétique:• De même que pour le champ électrostatique, le principe de superposition s’applique au champ magnétique. Si on considère deux particules 1 et 2 alors le champ magnétique créé en un point M quelconque de l’espace sera la somme vectorielle des champs créés par chaque particule.• Du fait du produit vectoriel, le champ magnétique est ce qu’on appelle un pseudo-vecteur (voir plus bas).Quelques ordres de grandeur :• Un aimant courant B ≈ 10 mT• Un électroaimant ordinaire B ≈ Tesla• Une bobine supraconductrice B ≈ 20 Tesla• Une bobine résistive B ≈ de 30 à 1000 Tesla• Champ magnétique interstellaire moyen : B ≈ µG• Champ magnétique dans une tache solaire B ≈ kG ≈ 0.1 Tesla• Champ magnétique terrestre : B⊥ ≈ 0, 4 G , Bhorizontal ≈ 0.3 G• Champ magnétique d’une étoile à neutrons B ≈ 108 TeslaI.2.2- Champ magnétique créé par un ensemble de charges en mouvementConsidérons N particules de charges q i situés en des points Pi et de vitesse v i . En vertu duprincipe de superposition, le champ magnétique créé en un point M est la somme vectorielledes champs créés par chaque particule et vaut µ N q v ∧PM B( M ) = 0 ∑ i i i3 4 π i= 1 P M iSi le nombre de particules est très grand dans un volume V donné et qu’on s’intéresse à deséchelles spatiales bien plus grandes que la distance entre ces particules, il est avantageux
  7. 7. 5d’utiliser une description continue. Il faut donc définir des distributions continues commenous l’avons fait en électrostatique. Mais des distributions continues de quoi ?Le passage à la limite continue consiste à assimiler tout volume élémentaire d 3V , situé autourd’un point P’ quelconque de la distribution de charges en mouvement, à une charge dq animéed’une vitesse moyenne v . Le champ magnétique résultant s’écrit alors µ dqv ( P ′) ∧ P ′M B( M ) = 0 ∫ 4π V P ′M 3où l’intégrale porte sur le volume V total embrassé par ces charges.En toute généralité, considérons α espèces différentes de particules (ex : électrons, ions),chacune animée d’une vitesse vα , de charge qα et d’une densité numérique nα . On peut alorsécrire dq v = ∑ nα qα vα d 3V , où la somme porte sur le nombre d’espèces différentes et non sur αle nombre de particules. On reconnaît ainsi l’expression générale du vecteur densité locale decourant j = ∑α nα qα vα .L’expression du champ magnétique créé par une distribution volumique de chargesquelconque est donc µ j ( P ′ ) ∧ P ′M 3 B( M ) = 0 ∫∫∫ dV 4π V 3 P ′MCe résultat est général et valable quelle que soit la forme du conducteur. On peut l’appliquer,par exemple, à l’intérieur d’un métal de volume V quelconque.I.2.3- Champ créé par un circuit électrique (formule de Biot et Savart)Dans le cas particulier d’un circuit filiforme fermé, parcouru par un courant permanent I, laformule précédente va nous fournir la loi de Biot et Savart. M d2 S v(P’) B(M) P dl=v dt I P C dOP Section du filDans ce cas, le volume élémentaire s’écrit d V = d S dl où d 2 S est un élément de surface 3 2transverse situé en P’ et dl un élément de longueur du fil.
  8. 8. 6Or, on considère toujours des cas où le point M est situé à une distance telle du fil qu’on peutconsidérer celui-ci comme très mince.Plus précisément, le vecteur vitesse (ou densité de courant) a la même orientation sur toute lasection du fil ( j parallèle à dl et à d 2 S ). Ainsi, on écrit    ∫∫ j ( P′)d S  dl ∧ PM 2 µ j ( P ′ ) ∧ P ′M 2 µ B( M ) = 0 ∫ dl ∫∫ d S = 0 ∫ sec tion  4 π circuit sec tion 4 π circuit 3 3 P ′M PM    ∫∫ j ( P′) ⋅ d S  dl ∧ PM 2 µ µ Idl ∧ PM = 0 ∫ sec tion  = 0 ∫ 4 π circuit 4 π circuit PM 3 3 PM µ0 I dOP ∧ PM = ∫ PM 3 4 π circuitoù l’on a utilisé P’M>>PP’ (donc P ′M ≈ PM ), P étant un point sur le fil (centre de la section).Par ailleurs, nous avons utilisé le fait que la normale à la section ainsi que dl étaient orientés ( )dans le sens du courant ( j d 2 S dl = j ⋅ d 2 S dl ).Formule de Biot et Savart : en un point M quelconque de l’espace, le champ magnétiquecréé par un circuit parcouru par un courant permanent I est µ0 I dP ∧ PM B( M ) = ∫ PM 3 4 π circuitoù P est un point quelconque le long du circuit et dP = dOP .La formule de Biot et Savart (1820) a été établie expérimentalement et fournit un lienexplicite entre le champ magnétique et le courant. Mais ce n’est que plus tard (1880+) que lesphysiciens ont réalisé que le courant était dû au déplacement de particules dans unconducteur.Règles mnémotechniques :Dans l’utilisation de la formule de Biot et Savart, il faut faire attention au fait que le champmagnétique créé par un circuit fermé est la somme vectorielle de tous les dB , engendrés parun élément de circuit , dont le sens est donné par celui du courant I, µ 0 I dP ∧ PM dB = 4 π PM 3Or, chaque dB est défini par un produit vectoriel. Il faut donc faire extrêmement attention àl’orientation des circuits. Voici quelques règles mnémotechniques :• Règle des trois doigts de la main droite• Règle du bonhomme d’Ampère• Règle du tire-bouchon• Règle des pôles magnétiques
  9. 9. 7I.2.4- Propriétés de symétrie du champ magnétiqueCes propriétés sont fondamentales car elles permettent de simplifier considérablement lecalcul du champ magnétique. Du fait que le champ soit un effet créé par un courant, ilcontient des informations sur les causes qui lui ont donné origine. Cette trivialité se traduit parla présence de certaines symétries et invariances si les sources de courant en possèdentégalement. Ainsi, si l’on connaît les propriétés de symétrie de la densité de courant, on pourraconnaître celles du champ magnétique.Vecteurs et pseudo-vecteursUn vecteur polaire, ou vrai vecteur, est un vecteur dont la direction, le module et le sens sontparfaitement déterminés. Exemples : vitesse d’une particule, champ électrostatique, densité decourant.Un vecteur axial, ou pseudo-vecteur, est un vecteur dont le sens est défini à partir d’uneconvention d’orientation d’espace et dépend donc de cette convention. Exemples : le vecteurrotation instantanée, le champ magnétique, la normale à une surface.Cette différence provient du produit vectoriel : le sens du produit vectoriel dépend de laconvention d’orientation de l’espace. Le produit vectoriel de deux vrais vecteurs(respectivement pseudo-vecteurs) est un pseudo-vecteur (resp. vrai vecteur), tandis que celuid’un vrai vecteur par un pseudo-vecteur est un pseudo-vecteur. c a a’ b b’ c’ c=a b Transformation par rapport à un plan de symétrieOrienter l’espace revient à associer à un axe orienté un sens de rotation dans un planperpendiculaire à cet axe. Le sens conventionnellement choisi est déterminé par la règle dutire-bouchon de Maxwell ou la règle du bonhomme d’Ampère (pour le champ magnétiquemais aussi pour le vecteur rotation instantanée).Transformations géométriques d’un vecteur ou d’un pseudo-vecteurVecteurs et pseudo-vecteurs se transforment de la même manière dans une rotation ou unetranslation. Il n’en est pas de même dans la symétrie par rapport à un plan ou à un point. Dansces transformations• un vecteur est transformé en son symétrique,• un pseudo-vecteur est transformé en l’opposé du symétrique.
  10. 10. 8 E E E B B B B’ B’ B’ E’ E’ E’ Transformation d’un vecteur par symétrie Transformation d’un pseudo-vecteur par rapport à un plan par symétrie par rapport à un planSoit A′( M ′) le vecteur obtenu par symétrie par rapport à un plan S à partir de A( M ) . D’aprèsla figure ci-dessus, on voit que1) si A( M ) est un vrai vecteur• A′( M ′) = A( M ) si A( M ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que S ;• A′( M ′) = − A( M ) si A( M ) est perpendiculaire à S.2) au contraire, si A( M ) est un pseudo-vecteur• A′( M ′) = A( M ) si A( M ) est perpendiculaire à S ;• A′( M ′) = − A( M ) si A( M ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que S.Ces deux règles de transformation vont nous permettre de déterminer des règles de symétrieutiles.Principe de Curie« Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causesdoivent se retrouver dans les effets produits. »Dans une espace homogène et isotrope, si l’on fait subir une transformation géométrique à unsystème physique (ex : ensemble de particules, distribution de charges et/ou de courants)susceptible de créer certains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les mêmestransformations.Si un système physique S possède un certain degré de symétrie, on pourra alors déduire leseffets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point.Règles de symétrie• Invariance par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe Oz, les effets ne dépendent pas de z.• Symétrie axiale : si S est invariant dans toute rotation θ autour d’un axe Oz, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques ( ρ,θ , z ) ne dépendent pas de θ .• Symétrie cylindrique : si S est invariant par translation le long de l’axe Oz et rotation autour de ce même axe, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques ( ρ,θ , z ) ne dépendent que de la distance à l’axe ρ .• Symétrie sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d’un point fixe O, alors ses effets exprimés en coordonnées sphériques (r,θ , ϕ ) ne dépendent que de la distance au centre r .• Plan de symétrie ∏: si S admet un plan de symétrie ∏, alors en tout point de ce plan, • un effet à caractère vectoriel est contenu dans le plan
  11. 11. 9 • un effet à caractère pseudo-vectoriel lui est perpendiculaire.• Plan d’antisymétrie ∏’ : si, par symétrie par rapport à un plan ∏’, S est transformé en –S, alors en tout point de ce plan, • un effet à caractère vectoriel est perpendiculaire au plan • un effet à caractère pseudo-vectoriel est contenu dans ce plan. j ++ + + + + + + ++ + --- - - - - -- - --- - Exemples de plans d’antisymétrieVoici quelques règles simples et très utiles, directement issues de la liste ci-dessus :• Si j est invariant par rotation autour d’un axe, B l’est aussi.• Si j est poloidal (porté par uρ et/ou uz ), alors B est toroïdal (porté par uθ ).• Si j est toroïdal, alors B est poloidal.• Si le système de courants possède un plan de symétrie, alors j est contenu dans ce plan et donc B lui est perpendiculaire.Pourquoi un vecteur A( x1 , x2 , x3 ) est indépendant de la variable x1 si le système S n’endépend pas ?Soit un point M ( x1 , x2 , x3 ) dont les coordonnées sont exprimées dans un système quelconque.Soit un point M’ lui étant infiniment proche. On a alors  ∂A  A1 ( M ′) = A1 ( x1 + dx1, x 2 , x 3 ) ≈ A1 ( x1, x 2 , x 3 ) + 1 dx1  ∂x1   ∂A A( M ′) =  A2 ( M ′) = A2 ( x1 + dx1, x 2 , x 3 ) ≈ A2 ( x1, x 2 , x 3 ) + 2 dx1  ∂x1   A3 ( M ′) = A3 ( x1 + dx1, x 2 , x 3 ) ≈ A3 ( x1, x 2 , x 3 ) + ∂A3 dx1   ∂x1 ∂Ac’est à dire, de façon plus compacte A( M ′) = A( M ) + dx1 . Si le système physique S reste ∂x1invariant lors d’un changement de M en M’, alors (Principe de Curie) A′( M ′) = A( M ) . On a ∂Adonc = 0 en tout point M, ce qui signifie que A( x2 , x3 ) ne dépend pas de x1 . On peut ∂x1suivre le même raisonnement pour chacune des autres coordonnées.Pourquoi un vrai vecteur appartient nécessairement à un plan ∏ de symétrie ?Quel que soit M de S, soit M’ son symétrique par rapport à ∏. Ce plan étant un plan desymétrie, cela signifie que f(M)=f(M’) pour toute fonction de M. Ceci est en particulier vraipour chaque composante Ai ( M ) = Ai ( M ′) du vecteur A( M ) . On a donc A′( M ′) = A( M ) ce quiimplique que A( M ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que ∏.Si A( M ) est un pseudo-vecteur, alors on vient de montrer que A( M ) est nécessairementperpendiculaire à ∏.
  12. 12. 10Pourquoi un vrai vecteur est nécessairement perpendiculaire à un plan ∏’ d’antisymétrie ?Ce plan étant un plan d’antisymétrie, on a f(M’)=-f(M) pour toute fonction de M. Ceci étantvrai pour chaque composante du vecteur A( M ) , on a donc Ai ( M ′) = − Ai ( M ) , ce qui impliqueque A( M ) est perpendiculaire à ∏’ (ou lui appartient si A( M ) est un pseudo-vecteur).I.3- Calcul du champ dans quelques cas simplesI.3.1- Fil rectiligne infini On considère un fil rectiligne, infini, parcouru par un courant I permanent. La densité de courant possède une invariance par translation selon l’axe z ainsi que par rotation autour de cet axe. dOP Elle possède donc une symétrie cylindrique. Les calculs seront P donc plus simples dans le système de coordonnées cylindriques . Enfin, la densité de courant étant poloïdale, c’est à dire α j ( ρ,θ , z ) = j ( ρ ) uz ,O M le champ magnétique est toroïdal a B( ρ,θ , z ) = B( ρ ) uθ Calculons le champ créé en un point M situé à une distance a du I fil par un élément dOP vu sous un angle α . La loi de Biot et Savart donne µ I dOP ∧ PM dB = 0 4π 3 PMoù PM = PO + OM . Comme, par raison de symétrie, seule la composante selon uθ est nonnulle, on ne s’intéresse qu’à celle-ci, c’est à dire B = ∫ dB ⋅ uθ = ∫ dBθ avec dBθ = ( ) µ 0 I dOP ∧ OM ⋅ uθ µ 0 I dOP.PM cos α = ( µ I dOP cos α uz ∧ uρ ⋅ uθ = 0) 4π 4π 4π 3 3 2 PM PM PM aOr, OP = PM sinα = a tan α d’où dOP = dα et on obtient alors cos2 α π µ I 2 cos α µ I B = ∫ dBθ = 0 ∫ dα = 0 4π − π a 2 πa 2I.3.2- Spire circulaire (sur l’axe)Considérons maintenant le cas d’une spire circulaire de rayon R, parcourue par un courantpermanent I. On ne s’intéresse ici qu’au champ magnétique sur l’axe z de la spire.
  13. 13. 11 La densité de courant étant toroïdale et invariante par M dB rotation autour de l’axe z, c’est à dire j ( ρ,θ , z ) = j ( ρ, z ) uθ , α le champ magnétique sera poloidal B( ρ,θ , z ) = Bρ ( ρ, z ) uρ + Bz ( ρ, z ) uz O R Cependant, sur l’axe z, la composante radiale du champ I P dOP s’annule et il ne reste qu’une composante selon z. En projetant la loi de Biot et Savart sur z on obtient µ I dOP sin α µ 0 I dOP sin 3 α µ 0 I dBz = 0 = = sin 3 α dθ 4 π PM 4π 4 πR 2 R2 2π µ I µ0 I 3 µ I R2 Bz = ∫ dBz = 0 sin 3 α ∫ dθ = sin α = 0 4 πR 2 ( R2 + z 2 ) 2 3 spire 0 2RI.3.3- Solénoïde infini (sur l’axe)Un solénoïde est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre. Onsuppose que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoïde comme unejuxtaposition de spires coaxiales, avec N spires par unité de longueur. Chaque spire est alorsparcourue par un courant permanent I.Comme pour la spire simple vue plus haut, les propriétés de symétrie du courant montrent quele champ magnétique du solénoïde, qui est la somme vectorielle du champ créé par chaquespire, est suivant z uniquement.Autour d’un point P situé en z, sur une épaisseur dOP=dz, il y a Ndz spires Ces spires créentdonc un champ en un point M quelconque de l’axe µ NIdz 3 dB = 0 sin α 2R Roù la position z est reliée à l’angle par tan α = . Si on prend la différentielle de cette zexpression, on obtient R dz = dα sin 2 αAttention au signe de dz qui doit être cohérent avec notre convention de signe. Ici, dz>0 pourun dα > 0 . Le champ magnétique total s’écrit donc α2 α µ NI 2 µ NI B = ∫ dB = 0 ∫ sin α dα = 0 (cos α1 − cos α 2 ) α1 2 α1 2Pour un solénoïde infini, on a α1 → 0 et α 2 → π , d’où un champ sur l’axe B = µ 0 NI dz R I O P M α z dB
  14. 14. 12 Chapitre II- Lois fondamentales de la magnétostatiqueAucune des lois fondamentales citées ici ne sera démontrée. Elles constituent des faitsd’expérience traduits dans un formalisme mathématique, apuré au fil des ans. En Licence, ceslois seront énoncées sous forme d’équations de Maxwell, postulats de l’électromagnétisme.II.1- Flux du champ magnétiqueII.1.1- Conservation du flux magnétiqueConsidérons une surface fermée S quelconque, s’appuyant sur une courbe C fermée etorientée, c’est à dire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface dS = dSndont le vecteur normal est orienté vers l’extérieur (convention). dS n S1 C S2 dS n S= S1 + S2Le flux du champ magnétique à travers cette surface fermée vaut Φ = ∫∫ B ⋅ dS = 0 SCette loi est générale et reste valable même en régime variable.La conservation du flux magnétique est une propriété très importante et montre une différencefondamentale entre le champ magnétique et le champ électrostatique. Nous avons vu, avec lethéorème de Gauss, que le flux du champ électrostatique dépend des charges électriquescontenues à l’intérieur de la surface Q ∫∫ Es ⋅ dS = εint S 0Si la charge totale est positive, le flux est positif et il « sort » de cette surface un champélectrostatique (source). Si la charge est négative, le flux est négatif et le champ « rentre »,converge vers la surface (puits). Cette propriété reste d’ailleurs également valable en régimevariable. Rien de tel n’a jamais été observé pour le champ magnétique. On ne connaît pas decharge magnétique analogue à la charge électrique (se serait un « monopôle magnétique ») :
  15. 15. 13tout le champ qui rentre dans une surface fermée doit également en ressortir. La source la plusélémentaire de champ magnétique est un dipôle (deux polarités), comme l’aimant dont on nepeut dissocier le pôle nord du pôle sud.On peut aisément montrer que le flux à travers une surface S s’appuyant sur un contour ferméC est indépendant du choix de cette surface. Prenons deux surfaces S1 et S2 s’appuyant sur Cet telles que S = S1 + S2 soit une surface fermée. En orientant cette surface vers l’extérieur,la conservation du flux magnétique impose Φ S = Φ S1 + Φ S2 = 0donc Φ S1 = − Φ S2 , ce qui rentre d’un coté ressort de l’autre. La différence de signe provientde la convention d’orientation de la normale : le flux est le même dans les deux cas.II.1.2- Lignes de champ et tubes de fluxLe concept de lignes de champ (également appelées lignes de force) est très utile pour se faireune représentation spatiale d’un champ de vecteurs. Ce sont ces lignes de champ qui sonttracées par la matière sensible au champ magnétique, telle que la limaille de fer au voisinaged’un aimant.Définition : Une ligne de champ d’un champ de vecteur quelconque est une courbe C dansl’espace telle qu’en chacun de ses points le vecteur y soit tangent.Considérons un déplacement élémentaire dl le long d’une ligne de champ magnétique C. Lefait que le champ magnétique B soit en tout point de C parallèle à dl s’écrit : B ∧ dl = 0En coordonnées cartésiennes, dl = dx i + dy j + dz k et les lignes de champ sont calculéesen résolvant dx dy dz = = Bx By BzEn coordonnées sphériques, dl = dr ur + rdθ uθ + r sin θdϕ uϕ et l’équation des lignes dechamp devient dr rdθ r sin θdϕ = = Br Bθ BϕLa conservation du flux magnétique implique que les lignes de champ magnétique sereferment sur elles-mêmes.Un tube de flux est une sorte de « rassemblement » de lignes de champ. Soit une surface S1s’appuyant sur une courbe fermée C telle que le champ magnétique y soit tangent (c’est à direB⊥ dl où dl est un vecteur élémentaire de C). En chaque point de C passe donc une ligne dechamp particulière. En prolongeant ces lignes de champ on construit ainsi un tube de flux.
  16. 16. 14 dS S3 B S2 S1Tout au long de ce tube, le flux magnétique est conservé. En effet, considérons une portion detube cylindrique entre S1 et S3 , ayant un rétrécissement en une surface S2 . La surfaceS = S1 + S3 + SL , où SL est la surface latérale du tube, constitue une surface fermée. Doncle flux du champ à travers S est nul. Par ailleurs, le flux à travers la surface latérale estégalement nul, par définition des lignes de champ ( B ⋅ dS = 0 sur SL ) . Donc, le flux en S1 estle même qu’en S3 . On peut faire le même raisonnement pour S2 . Cependant puisque S1 > S2pour un flux identique, cela signifie que le champ magnétique est plus concentré en S2 . D’unemanière générale, plus les lignes de champ sont rapprochées et plus le champ magnétique estlocalement élevé.Les exemples les plus célèbres de tubes de flux rencontrés dans la nature sont les tachessolaires.II.2- Circulation du champ magnétiqueII.2.1- Circulation du champ autour d’un fil infiniNous avons vu que le champ B créé par un fil infini en un point M ( ρ,θ , z ) s’écrit encoordonnées cylindriques µ I B = 0 uθ 2 πρConsidérons maintenant une courbe fermée quelconque C. Un déplacement élémentaire lelong de cette courbe s’écrit dl = dρ uρ + ρdθ uθ + dzuz . La circulation de B sur la courbefermée C vaut alors dθ ∫ B ⋅ dl = µ I ∫ courbe 0 courbe 2π
  17. 17. 15 Plusieurs cas de figure peuvent se présenter : I • Si C n’enlace pas le fil, ∫ dθ = 0 . C • Si C enlace le fil une fois, ∫ dθ = 2 π . C C • Si C enlace le fil N fois, ∫ dθ = 2 Nπ M C θ dl La circulation de B sur une courbe fermée est donc directement reliée au courant qui traversela surface délimitée par cette courbe. C’est Ampère qui, en recherchant une explication dumagnétisme dans une théorie de la dynamique des courants, découvrit cette propriété duchamp magnétique. Démontrée ici sur un cas particulier à partir de la loi de Biot et Savart,nous ne démontrerons pas que ce résultat est général, c’est à dire valable pour un conducteurquelconque.II.2.2- Le théorème d’AmpèreThéorème : La circulation de B le long d’une courbe C quelconque, orientée et fermée,appelée contour d’Ampère, est égale à µ 0 fois la somme algébrique des courants quitraversent la surface délimitée par C ∫ B ⋅ dl = µ courbe 0 IintCette relation fondamentale est l’équivalent du théorème de Gauss pour le champélectrostatique : elle relie le champ ( B ou Es ) à ses sources (le courant I ou la charge Q) dansle vide (à l’intérieur d’un matériau il faut les corriger). Cependant, à la différence du théorèmede Gauss, elle n’est valable qu’en régime permanent (courants continus). I1 I2 C Iint = - I1 + I2 - I2= - I1
  18. 18. 16Remarques :• Le théorème d’Ampère et la loi de Biot et Savart ont la même cause originelle.• Le choix du sens de la circulation sur le contour d’Ampère choisi est purement arbitraire. Une fois ce choix fait, la règle du bonhomme d’Ampère permet d’attribuer un signe aux courants qui traversent la surface ainsi délimitée.• Comme pour le théorème de Gauss, ce qui compte c’est la somme algébrique des sources : par exemple, si deux courants de même amplitude mais de sens différents traversent la surface, le courant total sera nul (voir figure ci-dessus).Exemple: le solénoïde infiniConsidérons un solénoïde infini, comportant N spires par unité de longueur, chacuneparcourue par un courant I permanent. Etant donné la géométrie cylindrique du solénoïde, onse place en coordonnées cylindriques, l’axe z étant l’axe du solénoïde. La densité de courantest toroïdale et s’écrit j ( ρ,θ , z ) = j ( ρ )uθ puisqu’il y a invariance par rotation autour de l’axe zet translation le long de ce même axe. Donc, le champ magnétique est poloïdal et s’écrit B( ρ,θ , z ) = B( ρ )uzOn choisit trois contours d’Ampère différents (voir figure) : D C (2) A B R (1) I O z l (3)Contour (1) : ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = 0 AB BC CD DA ∫ B ⋅ dzu AB z − ∫ B ⋅ dzu CD z =0 BABl = BDC lDonc, le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (parce qu’il est infini).Contour (2) : on obtient le même résultat, c’est à dire un champ uniforme à l’extérieur. Maiscomme ce champ doit être nul à l’infini, on en déduit qu’il est nul partout.Contour (3) : ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = − Nlµ I AB BC CD DA 0 − ∫ Bu CD z ⋅ dzuz = − Nlµ 0 I B = µ 0 NI
  19. 19. 17II.2.3- Relations de continuité du champ magnétiquePuisque le courant est la source du champ magnétique, on peut se demande ce qui se passe àla traversée d’une nappe de courant infinie. Comme pour le champ électrostatique, va-t-onvoir une discontinuité dans le champ ?Soit une distribution surfacique de courant js séparant l’espace en deux régions 1 et 2. dS2 S2 n12 S js S1 dS1 Région 2 Région 1Considérons une surface fermée fictive, traversant la nappe de courant. La conservation duflux magnétique à travers cette surface s’écrit ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS = 0 S1 S2 SLoù SL est la surface latérale. Lorsqu’on fait tendre cette surface vers zéro ( S1 tend vers S2 ),on obtient ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS = 0 S1 S2 ∫∫ ( B S1 = S 2 2 ) − B1 ⋅ n12 dS = 0puisque dS1 = − dS2 = − dSn12 dans cette limite. Ce résultat étant valable quelque soit lasurface S choisie, on vient donc de démontrer que (B 2 ) − B1 ⋅ n12 = 0Pour la composante tangentielle, nous allons utiliser le théorème d’Ampère. Considérons lecontour d’Ampère suivant : n12 C D js N M B A τ Région 2 Région 1Le théorème d’Ampère s’écrit alors ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + AB BC ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = µ I CD DA 0
  20. 20. 18Le courant I est celui qui circule sur la nappe, autrement dit, il est défini par la densité decourant surfacique I = ∫∫ j ⋅ dS = ∫ js ⋅ τ dl ( ) ABCD MN ( )où MN , n12 , τ est un trièdre direct. Dans la limite DA → 0 , le théorème d’Ampère fournit ∫ ( B − B ) ⋅ dl = ∫ (µ MN 1 2 MN 0 S ) j ⋅ τ dlPuisque MN est quelconque, on doit avoir ( ) B1 − B2 ⋅ dl = µ 0 jS ⋅ τ dl ( ) ( = B1 − B2 ⋅ dl τ ∧ − n12 ) = [( B − B ) ∧ n ] ⋅ τ dl 1 2 12c’est à dire (puisque la direction de τ est arbitraire) ( ) B1 − B2 ∧ n12 = µ 0 jSEn résumé, à la traversée d’une nappe de courant,• la composante normale du champ magnétique reste continue,• la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.III.2.4- Les trois façons de calculer le champ magnétiqueEn guise de résumé voici des conseils sur les méthodes à employer pour calculer le champmagnétique.• La formule de Biot et Savart : elle n’est pratique que lorsqu’on sait faire l’addition vectorielle des champs dB créés par un petit élément du circuit (souvent des circuits filiformes).• La conservation du flux : à n’utiliser que si l’on connaît déjà son expression dans une autre région de l’espace (voir un exemple d’utilisation à la section précédente).• Le théorème d’Ampère : il faut être capable de calculer la circulation du champ sur un contour choisi. Cela nécessite donc une symétrie relativement simple des courants.Dans tous les cas, il faut prendre en compte les propriétés de symétrie de la densité decourant.II.3- Le dipôle magnétiqueII.3.1- Champ magnétique créé par une spireSoit une spire plane, de forme quelconque, de centre d’inertie O, parcourue par un courantpermanent I. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M del’espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées àla taille de la spire).
  21. 21. 19 On pose z M r = OM r ′ = PM r r ρ = OP = r − r ′ u= r θ r’ n u On va donc utiliser la formule de Biot et Savart, dans la limite r >> ρ , pour tout point P OI appartenant à la spire P dOP µ I dρ ∧ r ′ B( M ) = 0 ∫ 4 π spire r ′ 3Evaluons le terme r ′ pour des points M situés à grande distance de la spire : r ′3 r′ r−ρ r−ρ = ≈ r′ ( ) 3 3 3 r 2 + ρ 2 − 2r ⋅ ρ 2  r ⋅ ρ 2 r 3 1 − 2 2   r  r−ρ r ⋅ ρ ≈ 3  1+ 3 2  r  r  u ρ u⋅ρ ≈ 2 − 3 + 3 3 u r r roù nous avons fait un développement limité à l’ordre 1. En reportant cette expression dans laformule de Biot et Savart on obtient µ0 I  dρ ∧ ρ  B( M ) ≈ 4 πr 2  ∫ dρ ∧ u − ∫ r + 3 ∫ dρ ∧ u ρ ⋅ u r spire ( ) spire  spire  Evaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse :  • ∫ dρ ∧ u =  ∫ dρ  ∧ u = [ρ( P ) − ρ( P )] ∧ u = 0   0 0 spire spire puisque le vecteur u est indépendant du point P sur la spire et qu’on fait une intégration surtoute la spire, en revenant au point de départ P0 . dρ ∧ ρ 1 2S• − ∫ spire r = ∫ ρ ∧ dρ = r spire r noù n est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l’axe z) et S sa surface. Cecalcul est général, valable quelle que soit la surface.
  22. 22. 20 n En effet, une surface élémentaire dS, telle que 1 ρ ∧ dρ = dS n 2 O dS est toujours engendrée lors d’un petit déplacement du vecteur ρ . ρ P dρ= dOP• ∫ dρ ∧ u ( ρ ⋅ u ) = − u ∫ d ρ ( ρ ⋅ u ) spire spire ∫ d ( xy) =[ xy]P = 0Prenons une surface S plane quelconque. Sur cette surface, on a Po opuisqu’on revient au même point départ P . On a donc l’égalité ∫ xdy = - ∫ ydx . Par ailleurs, 0 [] [] x y x2 o x2 oon a également la propriété suivante ∫ x dx = = ∫ y dy = = 0. 2 x 2 y o oOn va utiliser ces propriétés générales pour calculer l’intégrale inconnue ci-dessus. ( )Si on décompose les vecteurs ρ et u dans la base e1 , e2 engendrant le plan de la spire, onobtient ( ) dρ ρ ⋅ u = dρ1 ( ρ1u1 + ρ2u2 )e1 + dρ2 ( ρ1u1 + ρ2u2 )e2or, ∫ ρ1u1dρ1 = 21 [ρ1 ( P0 ) − ρ1 ( P0 )] = 0 u 2 2 spireD’où ( ) ∫ dρ ρ ⋅ u = u2 ∫ ρ2 dρ1 e1 + u1 ∫ ρ1dρ2 e2 spire spire spire = −u2 Se1 + u1Se2 = Sn ∧ uEn rassemblant ces résultats, on obtient un champ magnétique µ I  2S  B( M ) ≈ 0 2  n − 4 πr  r 3u r ∧ Sn ∧ u  ( ) On voit donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire « vue »depuis une grande distance, à savoir le moment magnétique dipolaire M = ISn ( )En utilisant l’égalité u ∧ M ∧ u = M u ⋅ u ( ) ( ) − u u ⋅ M , on obtient alors l’expression duchamp magnétique créé par un dipôle B( M ) = µ0 4 πr 3 [ ( ) 3u M ⋅ u − M ] µ0 M ⋅u =− grad 2 4π r
  23. 23. 21En coordonnées sphériques, u ⋅ M = M cosθ et les composantes poloidales du champs’écrivent  B = µ 0 2 M cosθ  r 4 πr 3    Bθ = µ 0 Msinθ   4 πr 3Lignes de champ :Comme nous l’avons vu précédemment, les lignes de champ ne sont pas des courbes où lanorme du champ magnétique est constante. Ici, l’équation des lignes de champ encoordonnées sphériques fournit : dr rdθ = µ0 2 M µ0 M cosθ sin θ 4π r 3 4π r 3 θ cosθ dθ r dr ∫ r = 2θ∫ sin θ r0 0 r sin θ ln = 2 ln r0 sin θ 0 2  sin θ  r = r0    sin θ 0 où le rayon sphérique r0 correspond à un angle θ 0 arbitraire.Remarques :1. Ces expressions ne sont pas à retenir : il faut par contre comprendre et savoir reproduire la démonstration.2. Pour établir l’expression du champ créé par un dipôle, nous avons fait un développement limité en ne conservant que les termes d’ordre un. Les termes d’ordre supérieur (multipolaires) ne jouent un rôle qu’à proximité immédiate de la spire.II.3.2- Le modèle du dipôle en physiqueIl est intéressant de remarquer que l’expression du champ magnétique créé par une spire decourant (dipôle magnétique M = ISn ) est formellement équivalente à celle du champélectrostatique créé par un système de deux charges opposées (dipôle électrique p = qd ) 1 p⋅u E( M ) = − grad 2 4 πε 0 rCependant, pour le champ magnétique, il s’avère impossible de séparer le dipôle en unecharge magnétique « + » et une autre « - ». Le dipôle est la première source de champmagnétique. C’est la raison pour laquelle il joue un si grand rôle dans la modélisation deseffets magnétiques observés dans la nature, au niveau microscopique comme macroscopique.L’origine du champ magnétique d’un matériau quelconque (ex : aimant) doit êtremicroscopique. En utilisant le modèle atomique de Bohr, on peut se convaincre que les
  24. 24. 22atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Le modèle deBohr de l’atome d’Hydrogène consiste en un électron de charge q=-e en mouvement circulaire 2πuniforme autour d’un noyau central (un proton) avec une période T = . ω Si on regarde sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s’il y avait un courant ω q qω I= = T 2π On a donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la +e distance moyenne au proton, c’est à dire le rayon de Bohr a0 a0 . L’atome d’Hydrogène aurait donc un moment -e v = ω a 0 magnétique intrinsèque qω 2 M = ISn = 2 a0 n = q 2m ( mωa0 2 n ) q = L 2m ( )où L est le moment cinétique de l’électron et q 2 m est appelé le facteur gyromagnétique.Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges enrotation autour d’un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au momentcinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) :ce qui compte c’est l’existence d’un courant. Il suffit donc d’avoir un décalage, même léger,entre les vitesses des charges « + » et celles des charges « - ».Du coup, on peut expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux enfonction de l’orientation des moments magnétiques des atomes qui les composent :• Matériaux diamagnétiques : les moments sont distribués aléatoirement, il n’y a pas de champ magnétique intrinsèque.• Matériaux paramagnétiques : ceux pour lesquels les moments peuvent s’orienter dans une direction privilégiée en présence d’un champ magnétique extérieur, pouvant donc être ainsi aimantés momentanément.• Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels).La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétiquecorrespond au pôle Sud géographique (à un angle près).Au niveau macroscopique, l’explication de l’existence du champ magnétique observé sur lesplanètes et sur les étoiles est encore aujourd’hui loin d’être satisfaisante. La théorie de l’effetdynamo essaye de rendre compte des champs observés par la présence de courants,essentiellement azimutaux, dans le cœur des astres.Plusieurs faits connus restent partiellement inexpliqués :• Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tous les 11 ans. Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu’il y avait eu une inversion il y a environ 700.000 ans. Par ailleurs, on observe des fluctuations du champ.• Non-alignement avec le moment cinétique de l’astre : s’il est de l’ordre d’une dizaine de degrés pour la Terre (avec une modification de la direction de l’axe magnétique d’environ 15’ par an), il est de 90° pour celui de Neptune !
  25. 25. 23 Chapitre III- Actions et énergie magnétiquesIII.1- Force magnétique sur une particule chargéeCe qui a été dit aux chapitres précédents concerne plus particulièrement les aspectsmacroscopiques, l’influence mesurable d’un champ magnétique sur un circuit électrique. Or,le courant circulant dans un circuit est dû au déplacement de particules chargées. Nousprendrons donc le parti ici de poser l’expression de la force magnétique s’exerçant sur uneparticule (sans la démontrer) puis de montrer comment s’exprime cette force sur un circuit.Historiquement bien sûr, c’est la force de Laplace qui a été mise en évidence la première, laforce de Lorentz n’est venue que bien plus tard…III.1.1- La force de LorentzLa force totale, électrique et magnétique (on dit électromagnétique) subie par une particule decharge q et de vitesse v mesurée dans un référentiel galiléen est ( F =q E +v∧B )On appelle cette force la force de Lorentz. On peut la mettre sous la forme Fe = qE  F = Fe + Fm où   Fm = qv ∧ B où Fe est la composante électrique et Fm la composante magnétique. La composantemagnétique de la force de Lorentz (parfois appelée force magnétique) possède un ensemble depropriétés remarquables :1. La force magnétique ne fournit pas de travail. Si on applique la relation fondamentale de la dynamique pour une particule de masse m et charge q, on obtient dv Fm = qv ∧ B = m dt donc d  1 2 d  1 dt  2 mv =  dt  2 mv ⋅ v = mv ⋅  dv dt ( ) = qv ⋅ v ∧ B = 0 . L’énergie cinétique de la particule est donc bien conservée.2. La force magnétique est une correction en (v / c) à la force de Coulomb , où c est la 2 vitesse de la lumière (cf chapitre I).3. Violation du principe d’action et de réaction. On peut aisément vérifier sur un cas particulier simple que la force magnétique ne satisfait pas au 3ème principe de Newton. Pour cela, il suffit de prendre une particule 1 se dirigeant vers une particule 2. Le champ magnétique créé par 1 sera alors nul à l’emplacement de la particule 2, µq B1 = 0 1 v1 ∧ u12 = 0 , 4 πr 2
  26. 26. 24 et donc la force F1 / 2 sera nulle. Mais si la deuxième particule ne se dirige pas vers la première, son champ magnétique sera non nul en 1 et il y aura une force F2 / 1 non nulle…III.1.2- Trajectoire d’une particule chargée en présence d’un champ magnétiqueConsidérons une particule de masse m et charge q placée dans un champ magnétiqueuniforme avec une vitesse initiale v(t = 0) = v0 . La relation fondamentale de la dynamiques’écrit dv q = v∧B dt mPuisque la force magnétique est nulle dans la direction du champ, cette direction estprivilégiée. On va donc tirer parti de cette information et décomposer la vitesse en deuxcomposantes, l’une parallèle et l’autre perpendiculaire au champ, v(t ) = v p + v⊥ . L’équationdu mouvement s’écrit alors  dv p  =0  dt   dv⊥ = q v ∧ B  dt  m ⊥La trajectoire reste donc rectiligne uniforme dans la direction du champ. Prenons un repèrecartésien dont l’axe z est donné par le champ B = Bk . z L’équation portant sur la composante perpendiculaire se y décompose alors en deux équations B x RL  dvx = ωv  dt  y qB -e  où ω = v0 = v i 0  dvy = −ωv m  dt  x Cas particulier d’une particule de charge négative (rotation dans le sens direct) Ce système se ramène à deux d 2 viéquations de la forme 2 = −ω 2 vi (pour i = x, y) et a donc pour solution dt  dx = v = v cos ωt  dt  x ⊥0   dy = vy = − v⊥ sin ωt   dt 0où l’on a choisi une vitesse initiale suivant x, v⊥ 0 = v⊥ 0 i . En intégrant une deuxième fois cesystème on obtient
  27. 27. 25  v⊥ 0  x = ω sin ωt    y = v⊥ 0 cos ωt   ωoù les constantes d’intégration ont été choisies nulles (choix arbitraire). La trajectoire est donc mv⊥ 0 qBun cercle de rayon RL = , le rayon de Larmor, décrit avec la pulsation ω = , dite qB mpulsation gyro-synchrotron. Ce cercle est parcouru dans le sens conventionnel positif pourdes charges négatives.Le rayon de Larmor correspond à la « distance » la plus grande que peut parcourir uneparticule dans la direction transverse avant d’être déviée de sa trajectoire. Cela corresponddonc à une sorte de distance de piégeage. A moins de recevoir de l’énergie cinétiquesupplémentaire, une particule chargée est ainsi piégée dans un champ magnétique.Il est intéressant de noter que plus l’énergie cinétique transverse d’une particule est élevée(grande masse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand.Inversement, plus le champ magnétique est élevé et plus ce rayon est petit.Remarque : Nous avons vu au Chapitre II qu’une charge en mouvement créé un champmagnétique. Donc, une particule mise en rotation par l’effet d’un champ magnétique extérieurva créer son propre champ. Il n’en a pas été tenu compte dans le calcul précédent, celui-ciétant la plupart du temps négligeable.III.1.3- Distinction entre champ électrique et champ électrostatiqueNous allons traiter ici un problème un peu subtil. En mécanique classique, il y a troisprincipes fondamentaux : le principe d’inertie, la relation fondamentale de la dynamique et leprincipe d’action et de réaction. Nous avons déjà vu que la force magnétique Fm = qv ∧ B nesatisfaisait pas au 3ème principe. Mais il y a pire. Pour pouvoir appliquer la relationfondamentale de la dynamique, il faut se choisir un référentiel galiléen. Ce choix étantarbitraire, les lois de la physique doivent être indépendantes de ce choix (invariancegaliléenne). Autrement dit, les véritables forces doivent être indépendantes du référentiel. Ilest clair que ce n’est pas le cas de la force magnétique Fm . En effet, considérons une particuleq se déplaçant dans un champ magnétique avec une vitesse constante dans le référentiel dulaboratoire. Dans ce référentiel, elle va subir une force magnétique qui va dévier sa trajectoire.Mais si on se place dans le référentiel propre de la particule (en translation uniforme parrapport au laboratoire, donc galiléen), sa vitesse est nulle. Il n’y a donc pas de force et elle nedevrait pas être déviée ! Comment résoudre ce paradoxe ?C’est Lorentz qui a donné une solution formelle à ce problème, mais c’est Einstein qui lui adonné un sens grâce à la théorie de la relativité. La véritable force, électromagnétique, est laforce de Lorentz ( F =q E +v∧B )Supposons que cette particule soit soumise à un champ électrostatique Es et un champmagnétique B , mesurés dans le référentiel R du laboratoire. Dans un référentiel R’ où laparticule est au repos, le terme magnétique sera nul. Si on exige alors l’invariance de la force,on doit écrire
  28. 28. 26 ( F ′ = qE ′ = F = q Es + v ∧ B)Le champ E ′ « vu » dans le référentiel R’ est donc la somme du champ électrostatique Es etd’un autre champ, appelé champ électromoteur Em = v ∧ B . Ainsi, on a bien conservél’invariance de la force lors d’un changement de référentiel, mais au prix d’unecomplexification du champ électrique qui n’est plus simplement un champ électrostatique !Deux conséquences importantes :1. La circulation d’un champ électrique E = Es + Em est en générale non nulle à cause du terme électromoteur (d’où son nom d’ailleurs) : celui-ci peut donc créer une différence de potentiel qui va engendrer un courant, ce qui n’est pas possible avec un champ purement électrostatique.2. Le champ électrique « vu » dans R’ dépend du champ magnétique « vu » dans R. On ne peut donc pas appliquer la règle de changement de référentiel classique (transformation galiléenne) mais une autre, plus complexe (transformation de Lorentz). Champs électrique et magnétique dépendent tous deux du référentiel, la compréhension de ce phénomène électromagnétique ne pouvant se faire que dans le contexte de la relativité.Ceci dit, nous utiliserons tout de même l’expression de la force magnétique ou de Lorentzpour calculer, par exemple, des trajectoires de particules dans le formalisme de la mécaniqueclassique. On ne devrait pas obtenir des résultats trop aberrants tant que leurs vitesses restenttrès inférieures à celle de la lumière.Une dernière remarque : nous avons implicitement supposé que la charge q de la particuleétait la même dans les deux référentiels. Cela n’est a priori pas une évidence. Nous pouvonsen effet imposer que toute propriété fondamentale de la matière soit effectivement invariantepar changement de référentiel. Le concept de masse, par exemple, nécessite une attentionparticulière. En effet, tout corps massif possède un invariant appelé « masse au repos ».Cependant sa « masse dynamique » (impulsion divisée par sa vitesse) sera d’autant plusélevée que ce corps aura une vitesse s’approchant de celle de la lumière.Nous admettrons donc que la charge électrique est bien un invariant (dit relativiste).III.2- Actions magnétiques sur un circuit ferméIII.2.1- La force de LaplaceNous avons vu que la force subie par une particule chargée en mouvement dans un champmagnétique, la force de Lorentz, s’écrit ; F = q( E + v ∧ B) . Considérons un milieu comportantα espèces différentes de particules chargées, chaque espèce ayant une densité volumique nα,et une vitesse vα . Ces divers porteurs de charges sont donc responsables d’une densité localede courant j = ∑ nα qα vα . αPar ailleurs, chaque particule étant soumise à la force de Lorentz, la force s’exerçant sur unélément de volume d 3V comportant ∑ nα d 3V particules s’écrit α
  29. 29. 27 d 3 F = ∑ nα qα ( E + vα ∧ B) d 3V αOn voit donc apparaître une force due au champ électrique. Cependant, si le volumeélémentaire que l’on considère est suffisamment grand pour que s’y trouve un grand nombrede particules e si le conducteur est électriquement neutre, on doit avoir ∑ nα qα = 0 αce qui annule la force électrique.On obtient alors d 3 F = ∑ nα qα vα ∧ B d 3V = (∑ nα qα vα ) ∧ B d 3V , c’est à dire α α d F = j ∧ B d 3V 3Nous avons donc ci-dessus l’expression générale de la force créée par un champ magnétiqueextérieur sur une densité de courant quelconque circulant dans un conducteur neutre (larésultante est évidemment donnée par l’intégrale sur le volume).Dans le cas particulier d’un conducteur filiforme, l’élément de volume s’écrit d 3V = d 2 S ⋅ dl ,où dl est un élément de longueur infinitésimal orienté dans la direction de j et d 2 S unesurface infinitésimale. d 2S j dl S: section du filDans le cas d’un circuit filiforme (très mince donc où l’on peut considérer que le champ estconstant), la force qui s’exerce par unité de longueur s’écrit dF = ∫∫ ( j ∧ B) d 2 Sdl = ( ∫∫ jd 2 S ) dl ∧ B S S = ( ∫∫ j ⋅ d 2 S ) dl ∧ B S = Idl ∧ BLa force qui s’exerce sur un conducteur fermé, parcouru par un courant permanent I, appeléeforce de Laplace, vaut F=I ∫ dl ∧ B circuitCette force s’applique sur un circuit qui est un solide. Dans ce cours, on ne considèrera quedes circuits pour lesquels on pourra appliquer le principe fondamental de la mécanique, en
  30. 30. 28assimilant ceux-ci à des points matériels (leur centre d’inertie). Aucun élément de longueur nesera privilégié : la force dF = Idl ∧ B s’applique au milieu de chaque portion dl.Remarques :1. Ayant été établie à partir d’équations valables uniquement en régime permanent, cette expression n’est vraie que pour un courant permanent. Il faut en particulier faire attention à intégrer la force sur le circuit fermé.2. Pour des circuits fermés de forme complexe, il devient difficile de calculer la force magnétique à partir de l’expression de la force de Laplace. Dans ce cas, il vaut mieux utiliser une méthode énergétique (travaux virtuels, voir plus bas).3. A partir de la force de Lorentz, qui est une force microscopique agissant sur des particules individuelles et qui ne travaille pas, nous avons obtenu une force macroscopique agissant sur un solide. Cette force est capable de déplacer le solide et donc d’exercer un travail non nul. Comment comprendre ce résultat ? Il faut interpréter la force de Laplace comme la résultante de l’action des particules sur le réseau cristallin du conducteur. C’est donc une sorte de réaction du support à la force de Lorentz agissant sur ses constituants chargés. Au niveau microscopique cela se traduit par la présence d’un champ électrostatique, le champ de Hall.4. Bien que la force de Lorentz ne satisfasse pas le principe d’Action et de Réaction, la force de Laplace entre deux circuits, elle, le satisfait ! La raison profonde réside dans l’hypothèse du courant permanent parcourant les circuits (I le même, partout dans chaque circuit) : en régime permanent, il n’y a plus de problème de délai lié à la vitesse de propagation finie de la lumière.III.2.2- Définition légale de l’AmpèreConsidérons le cas de deux fils infinis parcourus par un courant I1 et I2 , situés à une distanced l’un de l’autre. I1 I2 B1 B1 u12 dGrâce au théorème d’Ampère, il est alors facile de calculer le champ magnétique créé parchaque fil. La force par unité de longueur subie par le fil 2 à cause du champ B1 vaut dF1 / 2 = I2 dl ∧ B1 = − I1 dl ∧ B2 = − dF 2 / 1 µ0 I1 I2 =− u12 2πdCette force est attractive si les deux courants sont dans le même sens, répulsive sinon.Puisqu’il y a une force magnétique agissant sur des circuits parcourus par un courant, on peut
  31. 31. 29mesurer l’intensité de celui-ci. C’est par la mesure de cette force qu’a été établie la définitionlégale de l’Ampère (A) :L’Ampère est l’intensité de courant passant dans deux fils parallèles, situés à 1 mètre l’unde l’autre, et produisant une attraction réciproque de 2.10-7 Newtons par unité de longueurde fil.II.2.3- Moment de la force magnétique exercée sur un circuitPuisqu’un circuit électrique est un solide, il faut utiliser le formalisme de la mécanique dusolide (2ème année de DEUG). On va introduire ici les concepts minimaux requis. Soit un point P quelconque appartenant à un circuit électrique et le point O, le centre d’inertiede ce circuit. Si ce circuit est parcouru par un courant permanent I et plongé dans un champmagnétique B , alors chaque élément de circuit dl = dOP , situé autour de P, subit une forcede Laplace dF = Idl ∧ B . Le moment par rapport à O de la force de Laplace sur l’ensemble ducircuit est alors Γ= ∫ OP ∧ dF circuitSoient trois axes ∆ i , passant par le centre d’inertie O du circuit et engendrés par les vecteurs 3unitaires ui . Le moment de la force s’écrit alors Γ = ∑ Γi ui . L’existence d’un moment non i =1nul se traduit par la mise en rotation du circuit autour d’un ou plusieurs axes ∆ i . Autrementdit, par une modification de la « quantité de rotation » du solide, c’est à dire son momentcinétique. Le moment cinétique du solide par rapport à O est J = ∫ OP ∧ vdm circuitoù dm est la masse élémentaire située sur l’élément dOP, et v sa vitesse. Dans tous les cas defigure étudiés dans ce cours, on admettra que le moment cinétique d’un circuit peut se mettresous la forme 3 J = ∑ Ii Ωi ui = [ I ] Ω i =1où Ω est le vecteur instantané de rotation et Ii les 3 moments d’inertie du circuit par rapportaux 3 axes ∆ i ([I] est la matrice d’inertie, ici diagonale). Le moment d’inertie par rapport àl’axe ∆ i est défini par Ii = ∫ dm r 2 i circuitoù ri est la distance d’un point P quelconque du circuit à l’axe ∆ i . La dynamique d’un circuitsoumis à plusieurs moments de forces extérieures est donnée par le théorème du momentcinétique (pour un solide) dJ = ∑ Γext dtDans le cas d’un circuit tournant autour d’un seul axe Oz, avec une vitesse angulaire «Ω = Ω uz = θ uz et un moment d’inertie Iz constant, on obtient l’équation simplifiée suivante Izθ«= ∑ Γz «

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