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Plan  Introduction  Généralités sur l’élasticité  Généralités sur la mécanique de la rupture  Méthodes de calcul du facteu...
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Introduction  Dans le milieu industriel, de nombreuses applications sontconcernées par la mécanique de la rupture.   La vo...
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Généralités sur l’élasticité           L’élasticité est la propriété physique dun corps dereprendre sa forme initiale aprè...
Généralités sur l’élasticitéI- Tenseur des contraintes  Quand un corps est soumis à laction de forces extérieures descontr...
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Généralités sur la mécanique de la ruptureI- Essai et courbe de traction                                              22
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Calcule du facteur d’intensité de contrainte KII- La méthode des éléments finis               1- Définition  La méthode de...
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Conclusion   Le KI en fonction de la longueur de la fissure a est linéaire,pour les matériaux isotropes et orthotropes   U...
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PerspectivesDans cette étude on a cherché à étudier la propagation de lafissure en supposant que cette dernière se propage...
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Sujet sur la mécanique du rupture.

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  1. 1. Département de physique Diplôme des Études Supérieures Approfondies (DESA) Modélisation, Simulation et Caractérisation en physique (MSCP) Préparé par : M. Mohamed REFFADI Sous la direction du : Pr. F. LAHNAComité de jury :M. Mohamed ABID Faculté des Sciences Ain ChokM. Abdelkader BOULZHAR Faculté des Sciences Ain ChokM. Rachid SEHAQUI Faculté des Sciences Ain ChokM. EL hassan SAYOUTY Faculté des Sciences Ain ChokM. Fouzi LAHNA Faculté des Sciences Ain Chok 2 Soutenu le : Jeudi 07 Février 2008 à 14h30.
  2. 2. Plan Introduction Généralités sur l’élasticité Généralités sur la mécanique de la rupture Méthodes de calcul du facteur d’intensité decontraintes Résultats et interprétations Conclusion Perspectives 3
  3. 3. 4
  4. 4. Introduction Dans le milieu industriel, de nombreuses applications sontconcernées par la mécanique de la rupture. La volonté de concevoir des structures de plus en plus légèreset à la durée de vie de plus en plus longue nécessite de prendreen compte les fissures dans les calculs de structure. Définir les facteurs d’élasticité, Déterminer les critères de la rupture, Décrire les méthodes analytiques et numériques de calculs dufacteur d’intensité des contraintes, Analyser et discuter les résultats obtenus, analytiquement etnumériquement 5
  5. 5. 6
  6. 6. Généralités sur l’élasticité L’élasticité est la propriété physique dun corps dereprendre sa forme initiale après suppression de lasollicitation. Le corps est parfaitement élastique sil retrouvecomplètement sa forme originale après suppression de lacharge. Il est partiellement élastique si la déformation produite parles forces externes ne disparaît pas complètement lorsquecelles-ci sont annulées. 7
  7. 7. Généralités sur l’élasticitéI- Tenseur des contraintes Quand un corps est soumis à laction de forces extérieures descontraintes sétablissent, par réaction, à lintérieur de ce corps. Aux contraintes sont associées des déformations. 8
  8. 8. Généralités sur l’élasticitéII- Tenseur des déformation Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3servant à décrire létat de déformation local résultant decontraintes (efforts internes). ε ε ε   xx xy xz  ε =  ε yx ε ε   ε yy yz   zx ε zy ε  zz  Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement. Avec : i, j = (x, y, z) 9
  9. 9. Généralités sur l’élasticitéIII- Élasticité tridimensionnelle Pour bien définir le comportement entre le système et lescontraintes extérieures, on doit donc écrire les différentesrelations entre contraintes (σij), déformations (εij) etdéplacements (Ui). On a besoin de définir 15 équations pour résoudre unproblème d’élasticité en 3 dimensions. 10
  10. 10. Généralités sur l’élasticitéIII- Élasticité tridimensionnelle A- Loi de Hooke - Dans le cas dun matériau isotrope : 1 +ν ν ε ij = σ ij − σ kk δ ij [6 équations] E E δ ij { =1 = 0 p o u r i= j pour i≠ j Avec: E : Module de Young ν : Coefficient de poisson 11
  11. 11. Généralités sur l’élasticité - Dans le cas dun matériau anisotrope : Le comportement élastique est modélisé par un tenseur dordre 4 [Cijkl] contenant 81 coefficients élastiques. En appliquant la sommation sur les indices k et l. Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur. Remarque : [σ ] = [C ][ε ] Avec [C] Tenseur des rigidités [ε ] = [S ][σ ] Avec [S ] Tenseur des complaisances élastiques. 12
  12. 12. Généralités sur l’élasticité En introduisant les coefficients d’élasticité pour un matériau anisotrope [S ] s’écrit sous les formes.   1 −ν 21 −ν 31 η 1 , 23 η 1 , 13 η 1 , 12      E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12  η η η  ν 12  − 1 −ν  32 2 , 23 2 , 13 2 , 12   E 1 E E 3 G 23 G 13 G 12   2   − ν 13 −ν 23 1 η 3 , 23 η 3 , 13 η 3 , 12    S =  E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12   η η η η η   23 , 1 23 , 2 23 , 3 1 23 , 13 23 , 12   E 1 E 2 E 3 G G G    23 13 12  η 13 , 1 η 13 , 2 η 13 , 3 η 13 , 23 1 η 13 , 12     E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12   η η η η η   12 , 1 12 , 2 12 , 3 12 , 23 12 , 13 1     E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12  Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus généraldanisotropie, il faut trois modules dYoung, trois modules de cisaillement, troiscoefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV et neuf coefficients deLEKHNITSKII. 13
  13. 13. Généralités sur l’élasticité - Dans le cas dun matériau orthotrope : Définition : Un matériau est dit orthotrope, sil a deux plans de symétries de comportement mécanique, il y a donc trois axes dorthotropies, doù :Lexistence de deux plans de symétrie annule douze constantes élastiques.  1 −ν −ν   21 31 0 0 0   E 1 E 2 E 3     −ν 1 −ν  ε   12 32 0 0 0  σ    11    E E ε 11 E σ 22  1 2 3    −ν −ν ε 22  1  σ 13 23  33   0 0 0  =  E  γ  E E  33  τ 23  1 2 3   1 23 γ   0 0 0 0 0  τ    G 13  13   γ  τ 23    12   0 0 0 0 1 0 12     G 13   0 1  0 0 0 0    G 12  Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes 14
  14. 14. Généralités sur l’élasticitéIII- Élasticité tridimensionnelle B- Les équations d’équilibreLes équations d’équilibre sont données par les relations suivantes : ∂σ + X = 0 ij [3 équations différentielles scalaires] ∂ i X j Les Xi sont les composantes des forces volumiques. C- Les équations géométriques Les équations géométriques s’écrivent sous la forme : 1  ∂U i ∂U  ε = + j   [6 équations différentielles scalaires] ij 2  ∂x j ∂x   i  15
  15. 15. Généralités sur l’élasticitéIII- Élasticité bidimensionnelle A- Loi de Hooke - Dans le cas dun matériau isotrope : 1 +ν νε ij = σ ij − tra ce (σ ij ) δ ij [3 équations] E E Avec : i, j=1 ,2 - Dans le cas dun matériau anisotrope :ε 11 = α 11σ 11 + α 12σ 22 + α 16σ 12ε 22 = α 12σ 11 + α 22σ 22 + α 26σ 12γ 12 = α 16σ 11 + α 26σ 22 + α 66σ 12   S en C . P SS C =S − ; i, j = 1,2,6. i3 j3Où α = ij  ij  C en D . P ; Avec : ij ij  ij S 33 16
  16. 16. Généralités sur l’élasticitéIII- Élasticité bidimensionnelle A- Loi de Hooke - Dans le cas dun matériau orthotrope : Il est désormais plus simple d’exprimer les équations constitutivesd’un matériau orthotrope dans un état de contraintes planes par unematrice des complaisances plus compacte.   1 − ν 12 0    E E  ε 11    ν 1 1 2  σ  11   ε 22  =  −  E 21 E 0   σ 22  γ 12    1 2 1    τ 12    0 0   G   12  Avec : E 1 = E 2 ν 12 ν 21 17
  17. 17. Généralités sur l’élasticitéIII- Élasticité bidimensionnelle B- Les équations d’équilibreLes équations d’équilibre sont données par les relations suivantes : ∂σ + X = 0 ij [2 équations différentielles scalaires] ∂ i X j Les Xi sont les composantes des forces volumiques. C- Les équations géométriques Les équations géométriques s’écrivent sous la forme : 1  ∂U i ∂U  ε = + j   [3 équations différentielles scalaires] ij 2  ∂x j ∂x   i  18
  18. 18. 19
  19. 19. Généralités sur la mécanique de la rupture La mécanique de la rupture est une philosophie de conceptionvisant à développer un critère de ruine prenant en comptel’existence de fissures dans le matériau. La mécanique de la rupture a pour objet l’étude lecomportement mécanique d’un matériau en présence de fissuresmacroscopiques. Le but de la mécanique de la rupture est de formuler des critères,cest-à-dire de définir les conditions pour les quelles un défautidentifié (ou non) peut se propager sous une sollicitation donné. 20
  20. 20. Généralités sur la mécanique de la ruptureI- Mode de rupture cisaillement anti-plan Traction (Mode III) (Mode I) Cisaillement simple (Mode II) 21
  21. 21. Généralités sur la mécanique de la ruptureI- Essai et courbe de traction 22
  22. 22. Généralités sur la mécanique de la ruptureI- Essai et courbe de traction 23
  23. 23. Généralités sur la mécanique de la rupture II- Les facteurs de la rupture A- Facteur d’intensité de contraintes i. Cas d’une géométrie infinie : KI = σ ∞ (π a) 1/ 2 En mode I KII = τ ∞ (π a) 1/ 2 En mode II ii. Cas d’une géométrie finie : Pour des éprouvettes de dimensions finies, plus intéressantes en pratique,les facteurs d’intensité de contraintes K (m= I, II) sont de la forme : K m = ασ m (π a ) 1/ 2 σ m = σ ∞ ou τ ∞ 24
  24. 24. Généralités sur la mécanique de la ruptureII- Les facteurs de la rupture B- Le taux de restitution d’énergie Noté G, le taux de restitution d’énergie représente l’énergienécessaire pour faire progresser la fissure d’une longueur unité. Où E est le module d’Young et ν le coefficient de poisson. 25
  25. 25. 26
  26. 26. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KII- La méthode des éléments finis 1- Définition La méthode des éléments finis est une méthode de résolutionapprochée déquations aux dérivées partielles. 2- Importance de la méthodeDe très nombreux problèmes physiques sexpriment sous formedéquations aux dérivées partielles soumises à des conditions auxlimites particulières. Mécanique de la rupture Mécanique des solides déformables Conduction thermique Electromanitisme… 27
  27. 27. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI II- Le maillage Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale. 1- Les types de maillageMaillage triangulaire (3 et 6 nœuds). Maillage quadrangle (4, 8 et 9 nœuds). 28
  28. 28. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI III- Méthodes de calcul de KI 1- Méthodes directes u KI r (3 −ν )(1+ν ) −1+ 2sin2 (θ / 2)   =i. Méthode avec champ   v 2µ 2π (3 −ν )(1+ν ) +1− 2cos (θ / 2) de déplacement 2 KI θ θ 3θ σ xx (θ ) = cos (1 − sin sin ) 2π r 2 2 2 KI θ θ 3θ ii. Méthode avec champ de σ yy (θ ) = cos (1 + sin sin ) déplacement 2π r 2 2 2 KI θ θ 3θ σ xy (θ ) = cos (sin sin ) 2π r 2 2 2 29
  29. 29. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KIIII- Méthodes de calcul de KI 1- Méthodes indirectes i. Méthode de complaisance P ² ∂Cm(a) Gm = m . ; m= I, II 2 ∂a ii. Méthode de déplacement virtuel Pm ² ∆C m ( a ) Gm = . ; m = I , II 2 ∆a 30
  30. 30. 31
  31. 31. Résultats et interprétations I- Description de l’essai b P L= a + c 2h a c P Éprouvette DCBP : Charge appliquée = 10 daN 2h : Hauteur de l’éprouvettea : Longueur de fissure L : Longueur de l’éprouvette (320mm)c : Ligament b : Épaisseur de l’éprouvette = 1 mm 32
  32. 32. Résultats et interprétations II- Maillage utilisé En raison de symétrie, le maillage est effectué sur demi éprouvette ..... 4 6 9 ..... . 1h .. 2 3 5 8 20mm 7 10 320mm 33
  33. 33. Résultats et interprétations III- Matériaux isotropes Les matériaux isotropes utilisés dans notre travail sont représentés dans le tableau suivant : Matériaux Acier Cuivre Aluminium PlexiglasModule de Young E en 20 000 12 500 7 400 290 [daN/mm2]Coefficient de poisson ν 0 ,3 0,35 0,34 0,36 34
  34. 34. Résultats et interprétations- Méthodes utilisées 1- Méthode complaisance ( numérique) Nous tournons le programme pour avoir le déplacement virtuel Uycomplaisance C (a) pour chaque matériaux, avec C (a) =2Uy/P, Trace de la courbe de C (a) Lissage de C (a), afin de trouver le polynôme correspondante, ∂C ( a ) Calcule de ∂a P ∂C 2 (a ) Calcule de G I (a ) = I 2 ∂a 1 −ν 2 G I (a ) = 2 Calcule de KI E K I (a ) En fin, on trace la courbe de KI (a). 35
  35. 35. Résultats et interprétations - Méthodes utilisées 2- Formule de KANNINEN ( Analytique) 2× 3 × P × a × [1 + 0.64( h / a ) ] K1 (a ) = b × h3/2 P : Charge appliquée a : Longueur de fissure h : Demi hauteur de l’éprouvette b : Épaisseur de l’éprouvette a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240KI [daN.mm-3/2] 21,06 26,60 32,15 37,69 43,23 48,77 54,32 59,86 65,40 70,94 La formule analytique de KANNINEN du facteur d’intensité de contrainte ne dépend pas de la nature du matériau ( ν,E) 36
  36. 36. Résultats et interprétations - Résultats Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme le suivant : - Cas de l’acier avec (2h= 50mm).Longueur Déplacement ∂C (a ) Taux de FIC KI FIC KI Ecart en de Complaisance restitutionfissure"a" Uy ∂a dénergie Numérique "KANNINEN % 60 0,05191000 0,01038200 4,22E-04 0,02107722 21,52 21,06 2,19% 80 0,10640000 0,02128000 6,79E-04 0,03394985 27,32 26,60 2,67% 100 0,18970000 0,03794000 9,98E-04 0,04991838 33,12 32,15 3,04% 120 0,30810000 0,06162000 1,38E-03 0,06898281 38,94 37,69 3,31% 140 0,46780000 0,09356000 1,82E-03 0,09114314 44,76 43,23 3,53% 160 0,67480000 0,13496000 2,33E-03 0,11639938 50,58 48,77 3,70% 180 0,93540000 0,18708000 2,90E-03 0,14475153 56,40 54,32 3,84% 200 1,25600000 0,25120000 3,52E-03 0,17619958 62,23 59,86 3,96% 220 1,64200000 0,32840000 4,21E-03 0,21074353 68,06 65,40 4,06% 240 2,10100000 0,42020000 4,97E-03 0,24838338 73,88 70,94 4,14% N.B : Pour le lissage, on a trouvé que le polynôme en 3ème degré donne des bons résultas. 37
  37. 37. Résultats et interprétations - Résultats - Cas d’Acier Courbe de complaisance enfonctionde "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier- -Acier 2h = 50 mm-C plaisance en om [m /daN m ] FIC[daN.m -3/2] m 4,50E-01 80,00 4,00E-01 70,00 3,50E-01 60,00 3,00E-01 50,00 2,50E-01 C plaisance om Lissage 3èm degré e 40,00 2,00E-01 C plaisance om 30,00 KANN N INE 1,50E-01 1,00E-01 20,00 5,00E-02 10,00 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 38
  38. 38. Résultats et interprétations - Résultats - Cas du cuivre Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Cuivre- -Cuivre-C plaisance en om [m /daN m ] FIC [daN.m -3/2] m 8,00E-01 8,00E+01 7,00E-01 7,00E+01 6,00E-01 6,00E+01 5,00E-01 5,00E+01 Complaisance 4,00E-01 4,00E+01 KANINNEN 3,00E-01 3,00E+01 C plaisance om 2,00E-01 Lissage 3èm degré 2,00E+01 e 1,00E-01 1,00E+01 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 39
  39. 39. Résultats et interprétations - Résultats - Cas d’Aluminium Courbe de FIC en m I en fonction de "a" ode Courbe de complaisance enfonctionde "a" -Alimunium- -Alum - iniumC plaisance en om FIC[daN.m -3/2] m [m /daN m ]1,20E+00 8,00E+01 7,00E+011,00E+00 6,00E+018,00E-01 5,00E+016,00E-01 4,00E+01 Méthode de complaisance C plaisance om 3,00E+014,00E-01 Méthode de KANNINEN Lissage 3èm degré e 2,00E+012,00E-01 1,00E+010,00E+00 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 40
  40. 40. Résultats et interprétations - Résultats - Cas du Plexiglas Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Plexiglas- -Plexiglas-C plaisance en om [m /daN m ] FIC [daN.mm-3/2]35 8,00E+0130 7,00E+01 6,00E+0125 5,00E+0120 Données réelles 4,00E+01 Complaisance15 Lissage 3èm degré e KANNINEN 3,00E+0110 2,00E+015 1,00E+010 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[mm] 41
  41. 41. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN Courbe de complaisance enfonctionde "a" Courbe de FICen m I en fonction de "a" ode -Acier 2h= 20 m - m -Acier 2h = 20 m - mC plaisance en om [m /daN m ] FIC[daN m .m -3/2] 8,00E+00 350,00 7,00E+00 300,00 6,00E+00 250,00 5,00E+00 C plaisance om 200,00 4,00E+00 Lissage 4èm degré e C plaisance om 150,00 3,00E+00 KAN IN N NE 100,00 2,00E+00 1,00E+00 50,00 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 42
  42. 42. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 25 m - m -Acier 2h = 25 mm-C plaisance en om [m /daN m ] FIC[daN m .m -3/2] 3,50E+00 250,00 3,00E+00 200,00 2,50E+00 2,00E+00 150,00 C plaisance om Lissage 3èm degré e C plaisance om 1,50E+00 100,00 KANN N INE 1,00E+00 50,00 5,00E-01 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 43
  43. 43. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 130 mm- -Acier 2h = 130 mm-Com plaisance en [m /daN] m FIC [daN.mm-3/2] 3,50E-02 25,00 3,00E-02 20,00 2,50E-02 2,00E-02 Complaisance 15,00 Lissage 3èm degré e Complaisance 1,50E-02 KANNINEN 10,00 1,00E-02 5,00 5,00E-03 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[mm] 44
  44. 44. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN Courbe de com plaisance enfonctionde "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h= 135 m - m -Acier 2h = 135 mm-C plaisance en om [m /daN m ] FIC[daN m .m -3/2] 3,50E-02 20,00 3,00E-02 18,00 16,00 2,50E-02 14,00 2,00E-02 C plaisance om 12,00 Lissage 3èm degré e 10,00 C plaisance om 1,50E-02 KAN IN N N E 8,00 1,00E-02 6,00 4,00 5,00E-03 2,00 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 45
  45. 45. Résultats et interprétationsIV- Matériaux orthotropes Les matériaux orthotropes utilisés dans notre travail sontreprésentés dans le tableau suivant : Matériaux Pin sylvestre Eucalyptus Douglas E1 (daN/mm2) 1 700 1 924 1 669 E2 (daN/mm2) 108 96,1 132 E3 (daN/mm2) 108 _ 92 G12 (daN/mm2) 141 101,4 120 ν12 0,22 0,5 0,367 ν21 0,0139 2,497E-02 0,029 ν13 0,22 _ 0,384 ν31 0,0139 _ 0,021 ν23 0,62 _ 0,594 ν32 0,62 _ 0,414 46
  46. 46. Résultats et interprétations- Méthodes utilisées 1- Méthode complaisance ( numérique) Nous suivons les même étapes que pour les matériaux isotrope, sauf que pour le calcul de KI nous utiliserons la formule suivante : 1    α 11α 22   α 22  2α 12 + α 66  1 1 2 2  2 = KI  + 2 G  α  I   2    11  2α 11   Avec : α ij = S ij En contraintes planes 47
  47. 47. Résultats et interprétations- Méthodes utilisées 2- Formule du Pr. LAHNA ( Analytique) 1  2   12   sh λc + sin λc   sh λc ch λc − sin λc cos λc  2 2 2 3r  ( P I )  3 3 λa  +  +  b  λ h   sh λc − sin λc   2 2 sh λc − sin λc 2 2  h       K I = 1  α 22  α 22  2 2α 12 + α 66  1 4     +     2α 11  α 11    2α 11   r =α 1  6α 11  1 4 66 Où et λ=   α 11 h  α 22    Avec : α ij = S ij En contraintes planes 48
  48. 48. Résultats et interprétations- RésultatsLes résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme lesuivant : - Cas de Pin Sylvester avec (2h= 50mm).Longueur de Déplacement Uy Complaisance ∂C (a ) Taux de restitution FIC KIfissure"a" ∂a dénergie Numérique 60 1,17E+00 2,35E-01 7,75E-03 3,88E-01 8,67 80 2,12E+00 4,24E-01 1,14E-02 5,71E-01 10,46 100 3,47E+00 6,94E-01 1,58E-02 7,90E-01 12,31 120 5,30E+00 1,06E+00 2,09E-02 1,05E+00 14,16 140 7,68E+00 1,54E+00 2,68E-02 1,34E+00 16,02 160 1,07E+01 2,14E+00 3,34E-02 1,67E+00 17,89 180 1,44E+01 2,87E+00 4,07E-02 2,03E+00 19,75 200 1,88E+01 3,77E+00 4,87E-02 2,44E+00 21,62 220 2,41E+01 4,83E+00 5,75E-02 2,88E+00 23,48 49
  49. 49. Résultats et interprétations - Résultats - Cas du Pin Sylvester Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" FIC [daN.mm-3/2] -Pin sylvestere - 25,00 -Pin sylvestere -C plaisance en om [m /daN] m 6,00E+00 20,00 5,00E+00 15,00 4,00E+00 Complaisance 3,00E+00 Lissage 3èm degré 10,00 e Complaisance-CP- 2,00E+00 5,00 1,00E+00 Longueur de la fissure Longueur de fissure 0,00E+00 0,00 "a"[mm] "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220 50
  50. 50. Résultats et interprétations - Résultats - Cas du Douglas Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Douglas- -Douglas-C plaisance en om [m /daN m ] FIC [daN.mm-3/2]6,000 30,0005,000 25,0004,000 20,000 C plaisance om3,000 15,000 Lissage 3èm degré e Complaisance2,000 10,0001,000 5,000 Longueur de la fissure0,000 "a" en [m ] m 0,000 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220 "a"[mm] 51
  51. 51. Résultats et interprétations - Résultats - Cas d’Eucalyptus Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" - Eucalyptus - -Eucalyptus -Complaisance en [mm/daN] 5,000 FIC [daN.mm-3/2] 25,000 4,500 4,000 20,000 3,500 3,000 15,000 2,500 2,000 Complaisance Complaisance 10,000 1,500 Lissage 3ème degré 1,000 5,000 0,500 Longueur de la fissure Longueur de fissure 0,000 "a" en [mm] 0,000 "a"[mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220 52
  52. 52. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de com plaisance en fonction de "a" -E ucalyptus 2h=35m -m Courbe de FICen mode I en fonction de "a" - Eucalyptus 2h=35mm-C plaisance[m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 40,00014,000 35,00012,000 30,00010,000 25,000 8,000 C plaisance om 20,000 Lissage3èm degré e 6,000 15,000 4,000 C plaisance om 10,000 P LAH A r. N 2,000 5,000 0,000 0,000 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a[m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 53
  53. 53. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de com plaisance en fonction de "a" -E ucalyptus 2h=40m -m Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" - Eucalyptus 2h=40mm-C plaisance [m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 30,0009,0008,000 25,0007,0006,000 20,0005,000 C plaisance om 15,0004,000 Lissage 3èm degré e3,000 10,000 Complaisance2,000 P LAHNA r. 5,0001,0000,000 0,000 a [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 54
  54. 54. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de com plaisance en fonction de "a" -E ucalyptus 2h=50m -m Courbe de FICen m I en fonction de "a" - ode Eucalyptus 2h=50m - mC plaisance [m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 25,0005,0004,500 20,0004,0003,5003,000 15,000 C plaisance om2,500 Lissage 3èm degré e2,000 10,0001,500 C plaisance om1,000 5,000 P LAH A r. N0,5000,000 0,000 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 55
  55. 55. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de com plaisance en fonction de "a" -E ucalyptus 2h=60m m- Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" - Eucalyptus 2h=60mm-C plaisance [m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 20,0003,500 18,0003,000 16,0002,500 14,000 12,0002,000 C plaisance om 10,0001,500 Lissage 3èm degré e 8,000 6,000 Complaisance1,000 4,000 P LAHN r. A0,500 2,0000,000 0,000 a [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 56
  56. 56. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de complaisance enfonctionde "a" -Eucalyptus 2h=65m - m Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=65mm-C plaisance [m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 20,0003,000 18,0002,500 16,000 14,0002,000 12,000 C plaisance om 10,0001,500 Lissage 3èm degré e 8,0001,000 6,000 C plaisance om 4,000 P LAH A r. N0,500 2,0000,000 0,000 a [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 57
  57. 57. 58
  58. 58. Conclusion Le KI en fonction de la longueur de la fissure a est linéaire,pour les matériaux isotropes et orthotropes Une concordance entre les valeurs de KI obtenus à partir lesformules analytiques (KANNINEN et Pr. LAHNA) et ceuxobtenus par la méthode numérique (méthode de complaisance), Le KI ne dépend pas de la nature du matériau mais seulementde sa géométrie dans le cas des isotropes. Le KI dépend de la nature du matériau dans le cas desorthotrope La formule de KANNINEN est valable dans lintervalle : h h 25 mm ( = 4% ) < 2h < 135 mm ( = 21% ). l l La formule du Pr. LAHNA est valable dans lintervalle : 40 mm ( h = 6,2% ) < 2h < 65 mm ( h = 10,2% ). l l 59
  59. 59. 60
  60. 60. PerspectivesDans cette étude on a cherché à étudier la propagation de lafissure en supposant que cette dernière se propage dunemanière linéaire, ce qui nest pas toujours vrai dans la réalité. Cette étude reste encore un sujet très vaste de rechercheque nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pourcela on prévoit dans des études à venir de : Prendre en considération le changement de la direction dela fissure (critère de bifurcation). Étudier une géométrie déprouvette afin de trouver laformule analytique de calcul de KI. 61

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